专题4 函数及其应用(课件PPT)-【零起点考大学】2026年高考数学高效备考方案

该高中数学高考复习课件聚焦函数四大核心考点，依据高考评价体系梳理函数性质、幂指对函数、函数图象、函数与方程等内容。结合历年真题大数据，明确单调性奇偶性、指数对数计算等高频考点分布，归纳选择填空中等难度题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“核心知识+真题训练+素养提升”模式，如通过定义法判断函数单调性培养数学思维，构造函数解决比较大小问题发展数学眼光，零点存在定理应用强化数学语言表达。特设基础训练与解题方法指导，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

03 专题四 函数及其应用 考点1 函数的性质及其应用 考点2 幂函数、指数与指数函数、对数与对数函数 考点3 函数的图象 考点4 函数与方程 1 历年真题大数据 1.函数是高考数学的必考考点，同时也是求导和其他考点的基础知识点，常以选择填空出现，难度中等。 2.数形结合是解决函数问题的一个重要思想。 3.函数的单调性、奇偶性和指数与对数的计算式都是常考的基础知识。 年份 考点 考查内容 2025 全国Ⅰ卷 函数的基本性质 函数的周期性 函数的基本性质 函数的奇偶性 特定函数 指数函数与对数函数 全国Ⅱ卷 函数的基本性质 函数的奇偶性 2024 新课标Ⅰ卷 函数的性质 函数单调性的运用 新课标Ⅱ卷 函数的性质 函数奇偶性、对称性的应用 全国甲卷 函数的性质 函数奇偶性的应用 对数与对数函数 对数与对数函数的计算 2023 新高考Ⅰ卷 对数与对数函数 对数与对数函数的计算 函数的性质 判断抽象函数的函数性质 函数的性质 新高考Ⅱ卷 函数奇偶性的应用 全国甲卷 函数的性质 函数奇偶性的应用 函数奇偶性的应用 函数的性质 全国乙卷 考点1：函数的性质及其应用 应考核心知识 1.函数的概念 (1)函数. 设A,B是两个非空数集,如果按照对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数y即f(x)与之对应,那么称f:A→B为集合A到值 . (2)定义域、值域. 定义域:函数f(x)的自变量x的取值范围为函数f(x)的定义域. 值域:函数f(x)的定义域内所有函数组成的集合为函数f(x)的值域.集合B的函数,记作y=f(x),其中x自变量,与x对应的y的值即f(x)称为函数. 考点1：函数的性质及其应用 知识拓展 求函数的值域的常用方法 (1)直接法:以自变量x的范围推出y=f(x)的取值. (2)导数法:利用导数求函数的最值,求得值域. (3)单调性法:求函数单调性,利用单调性求值域. (4)基本不等式法:在函数满足“一正二定三相等”的情况下利用基本不等式求得. 考点1：函数的性质及其应用 2.函数单调性常用结论 (1)增(减)函数:设函数在(a,b)上有意义,若对于任意的,∈(a,b),< 时,都有f()<(>)f()成立,则称函数f(x)是区间(a,b)内的增(减)函数,区间(a,b)叫作函数f(x)的增(减)区间 . 单调函数:如果函数f(x)在区间(a,b)内是增(减)函数,那么称函数 f(x)是区间(a,b)内的单调递增函数.此时f(x)在区间(a,b)内具有单调性,区间(a,b)叫作函数f(x)的单调递增(减)区间. 应考核心知识 考点1：函数的性质及其应用 (2)若两个简单函数的单调性相同,则它们的复合函数为增函数;若两个简单函数的 单调性相反,则它们的复合函数为减函数.函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”. 应考核心知识 考点1：函数的性质及其应用 知识拓展 判断函数单调性的常用方法 ①利用已知函数的单调性,如已知f(x),g(x)为增函数,则-f(x)为减函数,f(x)+g(x)为增函数. ②定义法判断函数单调性的一般步骤. 设元设,为该区间的任意两个值,且<. 作差→作差 f()-f(). 变形→通过因式分解、配方、有理化等方法,将差变成因式连乘(除)或平方和的形式,向着有利于判断差值符号的方向变形. 判断符号确定差值的符号,当符号不确定时,可分类讨论. 得出结论最后得出结论是增函数或减函数. ③利用函数图象判断单调性. ④利用基本初等函数的单调性. 考点1：函数的性质及其应用 3.函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数,那么f ()=f(-x);如果函数f(x)是奇函数,那么 f(-x)=-f(x). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具 有相反的单调性. (3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. (4)f(x)为偶函数⇔f(x)=f(|x|) . (5)若奇函数在x=0处有意义,则f(0)=0. 应考核心知识 考点1：函数的性质及其应用 f ( x) 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 g( x ) 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 f ( x)+g( x ) 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 f ( x)-g( x ) 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 f ( x)g( x ) 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数 f ( g( x )) 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 应考核心知识 (6)复合函数的奇偶性. 考点1：函数的性质及其应用 应考核心知识 （7)常见的奇函数与偶函数 奇函数： 偶函数： y= y= y= y= y= y= 注意：若f(x+2)是偶函数，可得f(-x+2)=f(x+2),而不是f(-x-2)=f(x+2). 考点1：函数的性质及其应用 知识拓展 利用函数的奇偶性可解决的四类问题及解题方法 ①求函数值. 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值来求. ②求解析式. 先将待求区间上的变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶 性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式. ③求解析式中的参数的值利用待定系数法求解,根据f(-x)±f(x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对称性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值. ④画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性. 考点1：函数的性质及其应用 4.函数对称性与函数周期性的关系 (1)周期函数的定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有=，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. (2)若函数的图象既关于直线对称，又关于直线对称（≠），则是周期函数，且2||是它的一个周期. 应考核心知识 考点1：函数的性质及其应用 4.函数对称性与函数周期性的关系 （3）若函数的图象既关于点（，0）对称，又关于点（，0）对称（≠），则是周期函数，且2|-|是它的一个周期. （4）若函数的图象既关于直线=对称，又关于点（，0）对称（≠），则是周期函数，且4|-|是它的一个周期. 应考核心知识 考点1：函数的性质及其应用 知识拓展 函数轴对称有关性质 函数y=f(x)关于x =对称⇔f(a+x)=f(b-x)⇔f(x)=f(a+b-x) . (1)【特殊情况】函数y=f(x)关于x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x);函数 y =f(x)关于x=0对称⇔f(x)=f(-x)(即为偶函数). (2)函数y=f(x)关于点(a,b)对称⇔ f(a+x)+f(a-x)=2b⇔f(2a-x)+f(-x)=2b. 【特殊情况】函数y =f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=0⇔f(2a-x)+f(-x) =0;函数y=f(x)关于点(0,0)对称⇔f(x)+f(-x)=0(即为奇函数). 考点1：函数的性质及其应用 A 1. 函数=的定义域是 ( ) A.{xR|x-1} B.{xR|x1} C.{xR|x±1} D.{xR|x-1或x1} 【解析】f(x)=的自变量需满足 x+10,所以定义域为{xR|x-1},故选A. 应考基础训练 A 考点1：函数的性质及其应用 2. 函数 f(x)= -x 的图象 ( ) A. 关于 y轴对称 B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线 y=-x 对称 【解析】因为f(x)的定义域为（-,0）U（0,+ ),关于原点对称,且 f(-x)=- -(-x)=x- = - f(x),所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称.故选C. 应考基础训练 c 考点1：函数的性质及其应用 3. 如果奇函数f(x)在区间[ -7, - 3]上是减函数且最大值为5,那么函数f(x)在区间[3,7] 上是 ( ) A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 【解 析 】因为f(x)为奇函数,所以f(x)在区间[3,7] 上的单调性与f(x)在区间[-7, -3] 上的单调性一致,且f(7)为最小值 .又已知f(-7)= 5, f(7)=-f(-7)=-5. 故选 C. 应考基础训练 c 考点1：函数的性质及其应用 4. 已知f(x)是R上的奇函数, 则函数y = f(2x-1)+1的图象恒过点 ( ) A. (0,0) B.(1, ) C. ( ,1) D.(1,0) 【解析】因为f(x)是R上的奇函数 , 所以 f(0)= 0,令2x-1= 0,解得 x = ,此时y=1,故函数 y= f(2x -1)+1的图象恒过( ,1),故选C 应考基础训练 c 考点一：函数的性质及其应用 应考基础训练 A 考点1：函数的性质及其应用 应考基础训练 考点1：函数的性质及其应用 应考基础训练 D 考点1：函数的性质及其应用 考点2：幂函数、指数与指数函数、 对数与对数函数 1.幂函数 (1)定义:形如y=(α∈Q)的函数称作幂函数,定义域因α而异. (2)幂函数的分类:当α≠0,1时,幂函数y=(α∈Q)在区间[0,+∞)上的图象分三类. ①当α<0时,函数单调递减; ②当α>0时,函数单调递增; ③当α>1时比当0<α<1时,函数的增长率更大些. 应考核心知识 函数 y＝x y＝ y＝ y＝ y＝ 图象 性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单 调递增 在(－∞，0] 上单调递减； 在(0，＋∞) 上单调递增 在R上单 调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞) 上单调递减 公共点 (1,1) 考点2：幂函数、指数与指数函数、 对数与对数函数 知识拓展 比较幂值大小法常见类型及解决方法 ①同底不同指,可利用指数函数的单调性进行比较. ②同指不同底,可利用幂函数的单调性进行比较. ③既不同底也不同指,常常找一个中间值,通过比较两个,幂与中间值的大小来 判断两个幂的大小. 考点2：幂函数、指数与指数函数、 对数与对数函数 2.指数与指数函数 (1)概念:一般地,函数y=(a>0,且a≠1)叫作指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R. (2)指数运算法则: ①·=; ②(=;③(a·b=·; ④= ,其中(a,b>0,x,y∈R). 应考核心知识 y＝ a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 奇偶性 非奇非偶函数 渐近线 x轴 单调性 在（-∞，+∞）上单调递增 在（-∞，+∞）上单调递减 性质 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＜0时，y＞1 在R上是增函数 在R上是减函数 考点2：幂函数、指数与指数函数、 对数与对数函数 3.对数与对数函数 (1)概念:一般地,函数y=(a>0,且a≠1)叫作对数函数,其中x是自变量,函数的定义域为(0,+). (2)特殊对数. 常用对数:以10为底的对数叫作常用对数, 记作lgN. 自然对数:以无理数e为底的对数叫作自然对数,通常记作lnN.其中e=2.71828…. 应考核心知识 考点2：幂函数、指数与指数函数、 对数与对数函数 （3）对数的性质 ①＝0；②＝N；③＝b(a＞0，且a≠1)． （4）换底公式 (a，c均大于0且不等于1，b＞0)。 （5）对数的运算性质 如果a>0,且a，M>0,N>0,那么： ①＝＋； ②＝ ； ③＝n (n∈R); ④; ⑤. 定义 函数y＝(a＞0且a≠1)叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 考点2：幂函数、指数与指数函数、 对数与对数函数 知识拓展 比较对数式大小的方法 ①当底数相同时,可直接利用对数的单调性比较. ②当底数不同,真数相同时,可转化为同底(利用换底公式)或利用函数图像,数形结合解决. ③当底数不同,真数不同时,利用中间值进行比较. 考点2：幂函数、指数与指数函数、 对数与对数函数 【解析】因为y= =,令f（x）=, 因为x- 1,1]关于原点对称,所以f（- x）==- =-f（x）,所以是奇函数,又因为>0,所以y=在[-1,1]是增函数,故选A. 1. 函数y=在[-1,1]上是 ( ) A. 增函数且是奇函数 B. 增函数且是偶函数 C. 减函数且是奇函数 D. 减函数且是偶函数 应考基础训练 A 考点2：幂函数、指数与指数函数、 对数与对数函数 2. 下列命题中正确的是 ( ) A. 当 α=0时函数 y=的图象是一条 直线 B. 幂函数的图象都经过 (0,0) 和 (1,1) 点 C. 若幂函数 y=是奇函数 ,则 y=是定义域上的增函数 D. 幂函数的图象不可能出现在第四象限 应考基础训练 D 考点2：幂函数、指数与指数函数、 对数与对数函数 【解析】对于A,当α=0时函数 y=的图像是一条直线但去掉(0,1)点,故A错误; 对于B,幂函数的图像都经过(1,1)点,当指数α> 0时,都经(0,0)点,故B错误; 对于C,幂函数y=的图像关于原点对称,且当α>0时,函数y=是定义域上的增函数; 当α<0时,函数 y=在(-,0)和(0,+)上都为减函数,故C错误; 对于D,由于在函数y=中,只要x>0,必有 y >0,所以幂函数的图像不可能出现在第四象限,故D正确.故选D. 应考基础训练 考点2：幂函数、指数与指数函数、 对数与对数函数 3.函数f(x)=的定义域是 ( ) A.,+B.(3,+ C.,1)（1，+D.,1)（1，+ 【解析】由f(x)=,得,解得x>且x1,即函数f(x)=的定义域为(,1)（1，+. 故选D. 应考基础训练 D 考点2：幂函数、指数与指数函数、 对数与对数函数 4. 函数f(x)= ln x - 的零点所在的区间大致是 ( ) A. (1,2) B. (2,3) C.（1, ) D. (e, +) 【解析】函数f(x)=lnx-的定义域为(0,+),且在定义域上是增函数,所以函数只有唯一一个零点,又 f(2) =ln2-1<0,f(3)=ln 3->lne-=>0,根据零点存在性定理得函数f(x)=lnx-的零点所在的区间是(2,3).故选B. 应考基础训练 B 考点2：幂函数、指数与指数函数、 对数与对数函数 应考基础训练 B 考点2：幂函数、指数与指数函数、 对数与对数函数 应考基础训练 B 考点3：函数的图象 1.平移变换 (1)y=f(x±a)(a>0)的图象,可由y=f(x)的图象沿x轴向左(+a)或向右(-a)平移a个单位得到.简称:左加右减. (2)y=f(x)±b(b>0)的图象,可由y=f(x)的图象沿y轴向上(+b)或向下(-b)平移b个单位得到.简称:上加下减. 2.常见对称变换 (1)y=f(-x)与y=f(x)的图线关于y轴对称. (2)y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. (3)y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称. 应考核心知识 考点3：函数的图象 3.伸缩变换 (1)y=kf(x)(k>0)的图象,可由y=f(x)的图象上的每个点的纵坐标伸长(k>1)或缩短(0<k<1)为原来的k倍而得到. (2)y=f(kx)(k>0)的图象,可由y=f(x)的图象上的每个点的横坐标伸长(0<k<1)或缩短(k>1)为原来的倍而得到. 4.翻折变换 (1)y= f(x)的图象,先画出y =f(x)的图象,再根据“上不动,下翻上”得到. (2)由于y=f(x)是偶函数,y=f(x)的图象,先画出y=f(x)的图象,在利用 “右动, 左对称”得到. 应考核心知识 考点3：函数的图象 应考基础训练 A 考点3：函数的图象 D 考点3：函数的图象 考点3：函数的图象 C 考点3：函数的图象 考点3：函数的图象 A 考点3：函数的图象 考点3：函数的图象 B 考点3：函数的图象 考点3：函数的图象 ABC 考点3：函数的图象 考点4：函数与方程 (1)函数零点的判断与求解. ①对函数零点的判断与求解. 函数f(x)的零点⇔方程f(x)=0的根⇔函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标. ②零点存在性定理. 如果函数f(x)满足条件:i)图象在闭区间a ,b上连续不断ii)f(a)·f(b)<0,则区间(a,b)上存在一个零点. 应考核心知识 考点4：函数与方程 (2)判断零点个数的常见方法. ①方程法. 解方程f(x)=0,方程有几个解,函数f(x)就有几个零点. ②图象法. 画出函数f(x)的图象,函数f(x)的图线与x轴交点的个数即为函数f(x)零点的个数. ③交点法. 将函数f(x)拆成两个常见的函数h(x)和g(x)的差,从而f(x)=0⇔h(x)-g(x)=0⇔h(x)=g(x),则函数f(x)零点个数即为函数y=h(x)与y=g(x)图象交点的个数. ④判断法. 二次函数零点的问题,通过相应的二次方程的判别法△来判断. 考点4：函数与方程 【解析】由题意知α,β是二次函数 y=+3x- 6的两个零点,故α,β是+3x- 6=0的个根,则+3α- 6= 0,α+β=-3,则+3α=6，且β=-3-α，故-3β=-3（-3-α）=+3α+9=15，故选B. 应考基础训练 1.若α,β是二次函数y=+3x-6的两个零点,则-3β的值是 ( ) A.3 B.15 C.-3 D.-15 B 考点4：函数与方程 应考基础训练 A 考点4：函数与方程 考点4：函数与方程 应考基础训练 考点4：函数与方程 应考基础训练 D 考点4：函数与方程 应考基础训练 考点4：函数与方程 应考基础训练 B 考点4：函数与方程 应考基础训练 考点4：函数与方程 应考基础训练 考点4：函数与方程 应考基础训练 B 考点4：函数与方程 应考基础训练 考点4：函数与方程 应考基础训练 C 考点4：函数与方程 应考基础训练 考点4：函数与方程 应考基础训练 $