4.5 相似三角形判定定理的证明（分层练习）2025-2026学年北师大版九年级数学上册

4.5 相似三角形判定定理的证明 一．选择题 1．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若CD＝8，则EF的长为（　　） A．1 B．2 C． D．4 2．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（　　） A．16 B．12 C．10 D．8 3．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（　　） A．10 B．8 C．5 D．4 4．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．一问勾中容方几何？”其大意译为：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，四边形CDEF是Rt△ABC的内接正方形，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，则正方形CDEF的边长是（　　） A． B．4 C． D． 5．如图，AB∥CD，AC，BD交于点E，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是DC延长线上的一点，连接OE交BC于点F．已知AB＝6，BC＝8，CE＝3，则CF的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 7．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（　　） A．y B．y C．y D．y 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，连接AD，以下结论不正确的是（　　） A．∠BAD＝72° B．CA2＝CD•CB C． D． 9．如图，在等边△ABC中，点F为AC边上的中点，以F为顶点作一个60°的角交AB、BC边于D、E两点，连结DE，则知道下列哪个条件就可以计算△ABC的周长（　　） A．△ADF的周长 B．△DEF的周长 C．△CEF的周长 D．△BDE的周长 10．如图，等边△ABC中，点D是BC边上一点（不与点B、点C重合），连接AD，以AD为边作等边△AED．DE交AB交于F，给出如下三个结论：①BE＝DC；②AF•BF＝EF•DF；②△DBE∽△ADC；④．上述结论一定正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二．填空题 11．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，如果AC＝4，CD＝3，那么△ACD面积与△CBD的面积的比值是　 　 ． 12．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝BD，过点A作对角线BD的垂线，交边BC于点F，如果F是边BC的中点，那么AF：CD的值是　 　 ． 13．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8．将Rt△ABC平移得到△DEF，边DE和EF分别交AC于点G，H．若△GEH的面积为6，则阴影部分的周长为　 　 ． 14．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的点，若BE：EC＝2：3，AE交BD于F，若S△BEF＝4，则S四边形ABCD等于　 　 ． 15．如图，在△ABC中，E是AC上的点，且AE：EC＝1：2，F为BE的中点，AF的延长线交BC于D，则BD：DC＝ 　 　 ． 16．如图，已知△ABC，∠A＝60°，AB和AC边的高分别为BD和CE，连接DE，若DE＝1，则BC＝　 　 ． 三．解答题 17．如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E、F分别在边AD、AB上，EF∥BD，延长CB到G，且BG＝BC，联结GF、CE． （1）求证：GF＝CE； （2）延长GF交CE于点H，联结BH，求证：2BH2＝GH•GF． 18．如图，E是平行四边形ABCD边BC上一点，线段AE的延长线与边DC的延长线交于点F． （1）若点E是BC的中点，证明：四边形ABFC是平行四边形； （2）平行四边形ABCD的面积为6，求△ABF的面积． 19．如图，已知△ABC是边长为a等边三角形，D为边AB上一点，且，作点A关于CD的对称点A′，连接A'C，A′D，A′D与BC交于点E． （1）求的值； （2）求的值． 20．如图，在△ABC中，点D在边AC上，点M，N在边BC上，且AB2＝AD•AC，∠BAN＝∠CAM，AM，AN分别交BD于点E，F． （1）求证：； （2）若O为BD的中点，连接ON，且BD2＝2BN•BC，求证：ON∥AB． 21．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从C出发，沿CB向点B移动．设P、Q两点移动时间为ts（0＜t＜2.5）． （1）CQ＝ 　 　 cm，CP＝ 　 　 cm（用含t的式子表示）； （2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似． 22．如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD，F为线段AE延长线上一点，且满足． （1）求证：∠FCE＝∠ADB； （2）作CG⊥AF于点G，求证：CG•AF＝CF•BD． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C A C C A D D B 二．填空题 11．． 12．． 13．26． 14．70． 15．． 16．2． 三．解答题 17．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠CDA＝90°，AB＝AD， ∴∠GBF＝∠CDE＝90°，∠ABD＝∠ADB， ∵EF∥BD， ∴∠AFE＝∠ABD，∠AEF＝∠ADB， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴AF＝AE， ∴AB﹣AF＝AD﹣AE， ∴BF＝DE， ∵BG＝BC，DC＝BC， ∴BG＝DC， 在△GBF和△CDE中， ， ∴△GBF≌△CDE（SAS）， ∴GF＝CE． （2）延长GF交CE于点H，联结BH， ∵BC∥AD， ∴∠GCH＝∠CED， 由（1）得△GBF≌△CDE， ∴∠G＝∠DCE， ∴∠G+∠GCH＝∠DCE+∠CED＝90°， ∴∠GHC＝180°﹣（∠G+∠GCH）＝90°， ∴BH＝GBGC， ∴GC＝2BH， ∴GC•GB＝2BH•BH＝2BH2， ∵∠GBF＝∠GHC＝90°，∠G＝∠G， ∴△GBF∽△GHC， ∴， ∴GC•GB＝GH•GF， ∴2BH2＝GH•GF． 18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠CFE＝∠BAE， ∵点E是BC的中点， ∴CE＝BE， 在△FEC和△AEB中， ， ∴△FEC≌△AEB（AAS）， ∴FE＝AE， ∴四边形ABFC是平行四边形． （2）解：作CK⊥AB于点K，FH⊥AB交AB的延长线于点H， ∵CF∥AB， ∴CK＝FH， ∵S▱ABCD＝AB•CK＝AB•FH＝6， ∴S△ABFAB•FH6＝3， ∴△ABF的面积为3． 19．解：（1）∵等边△ABC的边长是a， ∴BC＝AB＝AC＝a， ∵点A关于CD的对称点是A′， ∴CA′＝CA＝AB，DA′＝DA，∠A′＝∠A， ∵， ∴，ADa， ∴， ∵∠CEA′＝∠BED，∠A′＝∠A， ∴△CEA′∽△DEB， ∴； （2）令CE＝5x，DE＝2x， ∴BE＝a﹣5x，EA′a﹣2x， ∵△CEA′∽△DEB， ∴， ∴， ∴xa， ∴CE＝5xa， ∴BE＝BC﹣CEa， ∴． 20．证明：（1）∵AB是线段AD与AC的比例中项， ∴， ∵∠BAC是公共角， ∴△ABD∽△ACB， ∴，∠ABD＝∠ACB， ∵∠BAN＝∠CAM， ∴∠BAM＝∠CAN， ∴△BAE∽△CAN， ∴， ∴， ∴； （2）∵BD2＝2BN•BC，O为BD中点， ∴BD2＝BN•BC＝BO•BD， ∵∠OBN是公共角， ∴△BON∽△BCD， ∴∠BON＝∠C， ∵△ABD∽△ACB， ∴∠ABD＝∠C， ∴∠BON＝∠ABD， ∴ON∥AB． 21．解：（1）在矩形ABCD中，∵AB＝3cm，BC＝4cm， ∴AC＝5cm，AP＝2tcm， ∴PC＝（5﹣2t）cm，CQ＝tcm， 故答案为：t，（5﹣2t）； （2）如图1，∵∠PCQ＝∠ACB， ∴当∠PQC＝90°时，△CPQ∽△CAB， ∴， 即， 解得（秒）； 如图2，∵∠PCQ＝∠ACB， ∴当∠CPQ＝90°时，△CPQ∽△CBA， ∴， 即， 解得（秒）． 综上所述，t为秒与秒时，△CPQ与△CAB相似． 22．证明：（1）设AF交BD于点P， ∵EF＝CF， ∴∠FCE＝∠FEC＝∠AED， ∵四边形ABCD是矩形，E为边CD上一点， ∴∠ADE＝90°， ∵AE⊥BD于点P， ∴∠APD＝90°， ∵∠AED+∠DAE＝90°，∠ADB+∠DAE＝90°， ∴∠AED＝∠ADB， ∴∠FCE＝∠ADB． （2）设AC交BD于点L， ∵AC＝BD，且CL＝ALAC，DL＝BLBD， ∴CL＝DL， ∴∠LCD＝∠LDC， ∵∠FCE＝∠ADB， ∴∠ACF＝∠FCE+∠LCD＝∠ADB+∠LDC＝∠ADC＝90°， ∵CG⊥AF于点G， ∴∠CGF＝∠ACF＝90°， ∵∠F＝∠F， ∴△CGF∽△ACF， ∴， ∴CG•AF＝CF•AC， ∴CG•AF＝CF•BD． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/18 21:37:01；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $