精品解析：广东省广州市华美英语实验学校2025－2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年第一学期期中考试九年级数学试题（问卷） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列4个图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（ ）． A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的半径为2，直线与相切，若某一条直线上存在点到圆心O的距离为，则这条直线是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图为五子棋棋盘一部分，若在该部分上取一点建立平面直角坐标系，则白棋A所在点的坐标为，白棋B所在点的坐标为．要使该平面直角坐标系上所有棋子所代表的点关于原点对称，则还需要一个棋子下在（　　） A. B. C. D. 7. 2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有1人被感染，经过两轮传播后就有64人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（ ） A. 5人 B. 6人 C. 7人 D. 8人 8. 如图，在中，圆心O到的距离为，的半径为，则弦的长为（ ） A. B. C. D. 9. 若，，三点都在二次函数图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，连接对角线平分，交于点，将绕点顺时针旋转得到．若，则（ ） A B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，你正确的动作应是以左脚跟为旋转中心，沿着逆时针方向旋转______度． 12. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为___________． 13. 如图，正五边形内接于，点F是上的动点，则∠AFC的度数为______． 14. 利用一面长度为的墙，用长的篱笆，怎样围成一个面积为的矩形场地？若设与墙垂直的边长为x米，由题意可列方程_____________． 15. 如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则不等式成立时，取值范围是______． 16. 如图，四边形内接于，，，，则的半径为________． 三、解答题（共9题，共72分） 17. 解方程：． 18. 已知，是方程的两实数根，求值． 19. 如图，三个顶点坐标分别为、、． （1）画出将绕原点O顺时针旋转后得到的． （2）在x轴上求作一点P，使的周长最小，并直接写出点P的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 20. 如图，是的直径，四边形内接于，延长交于点E，且．已知，求的度数． 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，求： （1）若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元 （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多 22. 2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米，建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高． （1）求抛物线的解析式； （2）判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由； 23. 如图，是的直径，C是的中点，连结并延长到点D，使，E是的中点，连结并延长交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若交于点H，连接，，求的长． 24. 问题提出 如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：． 尝试应用 如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，求证：． 问题拓展 如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度（用含a，b的式子）． 25. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点．点P是该抛物线上的动点，其横坐标为m，将点P沿y轴正方向向上平移1个单位长度得到点Q，过点P作轴于点N，连结，以、为边作矩形． （1）求此抛物线对应的函数关系式． （2）在A、P两点之间的部分（包含A、P两点）图象记为G．设与此抛物线的交点的横坐标为n，图象G最高点与最低点的纵坐标之差为h，若，求h的取值范围． （3）设矩形的边与抛物线的交点为B（点B不与该矩形的顶点重合），当以矩形的一边为直角边，并以这边上的两个端点与点B为顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出m的值．（写出三个值即可） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试九年级数学试题（问卷） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列4个图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、是中心对称图形，符合题意，选项正确； C、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握其定义是解题关键． 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（ ）． A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，正确理解一元二次方程的定义是解答本题的关键．“方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程”．根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， ， ， 故选：． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数，，为常数，，顶点坐标是，可得答案． 【详解】抛物线的顶点坐标是, 故选：D． 4. 如图，的半径为2，直线与相切，若某一条直线上存在点到圆心O的距离为，则这条直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，直接根据直线与圆的位置关系可得出结论． 【详解】解：∵的半径是2，圆心O到直线l的距离是，， ∴直线与相交． 故选：B． 5. 如图，是的直径，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握定理以及推论是解题的关键．根据在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角相等，解答即可． 详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6. 如图为五子棋棋盘的一部分，若在该部分上取一点建立平面直角坐标系，则白棋A所在点的坐标为，白棋B所在点的坐标为．要使该平面直角坐标系上所有棋子所代表的点关于原点对称，则还需要一个棋子下在（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的坐标确定原点的位置，建立直角坐标系，再根据成中心对称的性质，进行求解即可． 【详解】解：由题意，建立如图所示平面直角坐标系， 由图可知：需要添加的棋子的位置为红色位置，即：点； 故选B． 【点睛】本题考查坐标与中心对称．解题的关键是根据已知点的坐标，建立平面直角坐标系． 7. 2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有1人被感染，经过两轮传播后就有64人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（ ） A. 5人 B. 6人 C. 7人 D. 8人 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设1个人传染人，第一轮共传染人，第二轮共传染人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案． 【详解】解：设每个人传染人，根据题意列方程得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 故选：C． 8. 如图，在中，圆心O到的距离为，的半径为，则弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 由圆心O到的距离为，即，则，再利用勾股定理求出的长，进而求得弦的长． 【详解】解：由题意可得：∵，， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：， ∴． 故选：D． 9. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵抛物线上的点离对称轴较远，离对称轴较近， ∴， 故选：B． 10. 如图，在正方形中，连接对角线平分，交于点，将绕点顺时针旋转得到．若，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，，由角平分线的定义可得，由旋转的性质可得、、，证明得到，设，则、，从而得到，求出x的值，进而确定的长,最后根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形，为正方形的对角线， ∴，，， ∵平分， ， ∵将绕点顺时针旋转得到，， ，，， ， ， ， ， 设，则，， ，解得：， ∴， ∵， ∴, ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、分母有理化等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，你正确的动作应是以左脚跟为旋转中心，沿着逆时针方向旋转______度． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查旋转的基本概念．结合生活实际理解“向左转”这一旋转动作的旋转角度． 【详解】解：在体育课上，“向左转”的动作是以左脚跟为旋转中心，沿着逆时针方向旋转90度． 故答案为：90． 12. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入方程，可得：，再整体代入求解即可． 【详解】解：是关于一元二次方程的一个根， ， 整理得：， ． 故答案为：． 13. 如图，正五边形内接于，点F是上的动点，则∠AFC的度数为______． 【答案】##72 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，正多边形与圆，求出正五边形的中心角的度数，掌握圆周角定理是正确解答的前提．求出正五边形的中心角的度数，再根据圆周角定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵五边形是的内接正五边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 利用一面长度为的墙，用长的篱笆，怎样围成一个面积为的矩形场地？若设与墙垂直的边长为x米，由题意可列方程_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．设与墙垂直的边长为x米，则长为，根据矩形的面积为，列方程求解． 【详解】解：设与墙垂直的边长为x米，则宽为， 由题意得，， 故答案为：． 15. 如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则不等式成立时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题关键是利用数形结合的思想分析问题．观察图象，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线相交于，两点， 当时，二次函数图象在一次函数图象上方， 观察图象可知，此时， 故不等式成立时，的取值范围是． 故答案为： ． 16. 如图，四边形内接于，，，，则的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，即可证得，进而可求得，再利用圆周角定理得到，运用含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是的直径，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵是直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题（共9题，共72分） 17. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．由得：，进一步计算即可求解． 【详解】解：分解因式得：， 即，， 解得：，． 18. 已知，是方程的两实数根，求值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，关于的一元二次方程的两根为，则，．由是一元二次方程的两个实数根，可得，，再把因式分解，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出将绕原点O顺时针旋转后得到的． （2）在x轴上求作一点P，使的周长最小，并直接写出点P的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】（1）见解析 （2）图见解析，． 【解析】 【分析】本题考查了作中心对称图形，轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）要使的周长最小，则最小，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求； 由图可知：． 20. 如图，是的直径，四边形内接于，延长交于点E，且．已知，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，由圆内接四边形对角互补得到的度数，由等边对等角得到，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，求： （1）若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元 （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多 【答案】（1）每件衬衫应降价元 （2）每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利元 【解析】 【分析】本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，销售问题(实际问题与二次函数)， 的最值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设每件衬衫应降价元，用表示出每天多销售的件数，再根据题中的等量关系列出一元二次方程求解； （2）设商场每天的盈利为元，列出二次函数，转化为顶点式，求出最值． 【小问1详解】 解：设每件衬衫应降价元，则每天多销售件，由题意，得 ， 解得：，． 要扩大销售，减少库存， 每件衬衫应降价元． 【小问2详解】 设商场每天的盈利为元，由题意，得 ， 时，最大元． 答：每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利元． 22. 2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米，建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高． （1）求抛物线的解析式； （2）判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由； 【答案】（1） （2）此次击球越过球网并落在对方区域内，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确地求出函数解析式，是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时，y的值，时，y的值，即可求解． 【小问1详解】 解：网球飞行过程中在点处达到最高， 设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：此次击球越过球网并落对方区域内（含边界）；理由如下： ∵， 当时，， 网球越过球网， 当时，， 网球落在对方区域； 此次击球越过球网并落在对方区域内． 23. 如图，是的直径，C是的中点，连结并延长到点D，使，E是的中点，连结并延长交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若交于点H，连接，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂径定理可证为的中位线，再根据中位线的性质可得，即可得证； （2）根据证明，再根据勾股定理求得，再根据等面积法即可得解． 【小问1详解】 证明：连接，如图， 是的直径，C是的中点， ， ， 为的中位线， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：E是的中点， ， ， ， ， ， 在中，， ， 为直径， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形的中位线，垂径定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，解题的关键综合运用以上知识点，正确作出辅助线． 24. 问题提出 如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：． 尝试应用 如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，求证：． 问题拓展 如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度（用含a，b的式子）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】问题提出：由旋转的性质可证得，，进而得证，即可利用证明． 尝试应用：延长，使，连接，由题意可知、、、四点共圆，可得，进而可得，利用SAS可证得，根据其性质得，，，进而可证得，，即可得证． 问题拓展：将绕点逆时针旋转至，则为等边三角形，由，可知、、、、五点共圆，可得，，，根据，，可得，进而得证，可得，则，作交于，则，可求得，，即可求得的长度． 【详解】解：问题提出： 证明：∵，，将绕着点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴，即：， 在与中，， ∴． 尝试应用：延长，使，连接， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 又∵，即：， ∴、、、四点共圆， ∴， ∴， 在与中，， ∴． ∴，， ∴，即：， ∴ ∵ ∴， ∴ 即：． 问题拓展：将绕点逆时针旋转至，则为等边三角形， ∴，， ∵， ∴、、、、五点共圆， 则：，，， ，， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ∴， ∵，，， ∴ ∴， ∴，则， 作交于，则， ∵， ∴， ∴， 则：． 【点睛】本题属于几何综合，考查全等三角的判定及性质，等腰三角形的性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，添加辅助线构造全等三角形和利用圆周角定理转化角是解决问题的关键，属于中考压轴题． 25. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点．点P是该抛物线上的动点，其横坐标为m，将点P沿y轴正方向向上平移1个单位长度得到点Q，过点P作轴于点N，连结，以、为边作矩形． （1）求此抛物线对应的函数关系式． （2）在A、P两点之间的部分（包含A、P两点）图象记为G．设与此抛物线的交点的横坐标为n，图象G最高点与最低点的纵坐标之差为h，若，求h的取值范围． （3）设矩形的边与抛物线的交点为B（点B不与该矩形的顶点重合），当以矩形的一边为直角边，并以这边上的两个端点与点B为顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出m的值．（写出三个值即可） 【答案】（1）； （2）； （3）或或或或．（写出三个值即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式．解决本题的关键是根据等腰直角三角形的性质分类讨论 （1）利用待定系数法，把点坐标代入，求出的值即可； （2）分别求出当和时，图象最高点与最低点的纵坐标之差，即为的取值范围； （3）抛物线与轴的交点坐标分别为和，抛物线的顶点坐标为，所以要分当时、当时，当时，即当在抛物线顶点的上方时，当，即当与抛物线的交点恰好是抛物线的顶点时，当时，共种情况讨论求解． 【小问1详解】 解：把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线对应的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时， 如下图所示， 当与抛物线的交点的横坐标为时， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点与点是对称点， 点的纵坐标为， 此时在图象最高点是抛物线的顶点，抛物线顶点纵坐标为，最低点为点，点的纵坐标为， ； 当时， 如下图所示， 点的横坐标是，纵坐标是， 此时点在轴上， ， 点的纵坐标为， 此时在图象最高点是抛物线的顶点，抛物线顶点纵坐标为，最低点为点，点的纵坐标为， ， 的取值范围为； 【小问3详解】 解：解方程， 得：，， 抛物线与轴的交点坐标分别为和， 如下图所示， 当点在点左侧时，则有， 恰好在轴上，点是抛物线与轴的交点， ， ， 抛物线与轴的交点的坐标为 ， 是等腰直角三角形， 点的纵坐标为， 解方程， 可得：，(舍去)； 当时， 如下图所示， 点的横坐标为，纵坐标为， 则点的纵坐标为， 点的纵坐标为， ， 若为等腰直角三角形， 则有， 整理得：， 解得：，(舍去)； 当时， 如下图所示， 点的横坐标为， 设与抛物线的交点横坐标为 则， 即， ， 若为等腰直角三角形， 则有， 解得：； 当时， 如下图所示， 与抛物线的交点恰好是抛物线的顶点， 此时， 是等腰直角三角形； 当时， 如下图所示， 点的横坐标为，纵坐标为, 则点的横坐标为，纵坐标为， 若为等腰直角三角形， 则有， 点的坐标为 可得方程：， 解得：． 综上所述，的值可能为：或或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $