第二十三章《旋转》同步单元基础与培优高分必刷卷-2025-2026学年人教版九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

第二十三章《旋转》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于原点的对称点在第一象限内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D．不存在 3．在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．下列各图案中，不是通过旋转变换设计而成的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，绕点C逆时针旋转得到，若与互补，则n的值为（  ） A．60 B．90 C．100 D．120 6．如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线交于原点O ， 平行x轴，点M的坐标是， 点F的坐标是， 则点N的坐标是（ ） A． B． C． D． 7．如图是中国共产主义青年团团旗，是中国共产主义青年团的象征和标志．如果将左上角图案绕某点O旋转后所得到的图形与原图形重合，则旋转角的值不可能是（    ） A． B． C． D． 8．如图，把等边绕点顺时针旋转，得到，连接、交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，将对角线绕点逆时针旋转角度，使得（为正实数）．设．（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．如图，在中，，，．将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（　　） A．1 B． C．2 D． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图为某桥梁模型的示意图，其中与关于点成中心对称，点、分别是、的中点，横梁的长度为，则模型中的主承重钢梁的长是 ． 12．如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为 ． 13．在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点A，将该直线沿轴向左平移6个单位长度后，与轴交于点．若点与A关于原点对称，则的值为 ． 13．如图，等边中，，则以线段为边构成的三角形的各角的度数分别为 ． 14．平面直角坐标系中，，，，连接，将绕B点顺时针旋转到． （1）点D的坐标为 ；（用字母m来表示） （2）连结，则的最小值为 ． 15．平面直角坐标系中，，，，连接，将绕B点顺时针旋转到． （1）点D的坐标为 ；（用字母m来表示） （2）连结，则的最小值为 ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在边的延长线上，求证：． ． 17．如图，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，，． (1)点关于原点的对称点的坐标是___________； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出旋转后的． 18．如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①②③④”，观察图形，回答以下问题． (1)图1的风车绕中心先顺时针旋转，形成图2的状态，再逆时针旋转，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①，②，③，④”； (2)图1的风车绕中心顺时针旋转后，风叶①到达了图4________的位置（填入A，B，C，D）； (3)图1所示风车绕中心逆时针旋转________度（旋转一周内），风叶①也能到达第（2）问中位置； (4)图1所示风车中风叶①最少翻折________次，也能到达第（2）问中位置． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的度数． 20．在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知点A、B、C的坐标分别为、、． (1)将沿着x轴向左平移5个单位后得到，请在图中画出平移后的； (2)将绕着O顺时针旋转后得到，请在图中画出旋转后的，并直接写出的坐标； (3)将线段绕着某个定点旋转后得到（其中点A的对应点为点，点B的对应点为点）则这个定点的坐标是______． 21．如图1，将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形，与交于点． 数学思考： （1）填空：图1中 ；（用含的代数式表示） 深入探究： （2）如图2，当点在对角线的垂直平分线上时，连接CH，求证：． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．综合与实践 问题情境： 在中，，，．将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点． 初步探究： （）如图，当点恰好落在边上时，连接，求证：． 问题解决： 当旋转一定角度，与交于点（点不与点重合）时， （）如图，若恰好是边的中点，试猜想与的位置关系，并说明理由． （）如图，当时，请直接写出的长． 23．如图， 在四边形中，，．P、Q分别为、的中点，连接、，将线段绕点P顺时针旋转得到，将线段绕点P逆时针旋转得到，连接，分别过E、F作的垂线，垂足为G、H． (1)若，求的长 (2)线段与是否存在数量关系？若存在，写出结论并证明；若不存在，请说明理由； (3)如图， 、的延长线交于点M，连接．若，求线段的取值范围（用含m的式子表示）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章《旋转》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．已知关于原点的对称点在第一象限内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【详解】解：点关于原点的对称点在第一象限， 点在第三象限， ， 解得：， 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点的对应点为，且关于点成中线对称， ∴，即， ∴设，且， ∴， 解得，， ∴， 故选：A ． 4．下列各图案中，不是通过旋转变换设计而成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、可以通过旋转变换设计而成，故A选项不符合题意； B、不可以通过旋转变换设计而成，故B选项符合题意； C、可以通过旋转变换设计而成，故C选项不符合题意； D、可以通过旋转变换设计而成，故D选项不符合题意； 故选：B． 5．如图，绕点C逆时针旋转得到，若与互补，则n的值为（  ） A．60 B．90 C．100 D．120 【答案】B 【详解】解：设， 由旋转的性质可知，， ∴，． ∵与互补， ∴，即， ∴， ∴． 故选：B． 6．如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线交于原点O ， 平行x轴，点M的坐标是， 点F的坐标是， 则点N的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵的两条对角线，交于原点， ∴点与点关于原点对称，点与点关于原点对称， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴点的纵坐标是，点的横坐标是， ∵平行轴，即， ∴点的坐标是， 故选：A． 7．如图是中国共产主义青年团团旗，是中国共产主义青年团的象征和标志．如果将左上角图案绕某点O旋转后所得到的图形与原图形重合，则旋转角的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题知，若将五角星的五个外部的顶点连接起来，将得到一个正五边形． ∵， ∴当五角星绕其中心旋转整数倍的度数后，会与原图形重合． ，，， ∴旋转角的值不可能是． 故选：A． 8．如图，把等边绕点顺时针旋转，得到，连接、交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由旋转可得，，， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∵是由等边旋转得到， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴． 故选：C 9．如图，在正方形中，将对角线绕点逆时针旋转角度，使得（为正实数）．设．（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 当时，过点E作于H， 当时，则，是等腰直角三角形， ∴，， 在中，， 整理得，故A不符合题意； 当时，则，是等腰直角三角形， ∴，，即点与点重合， ∴，故B符合题意； 当时，则，， ∴，，， 在中，， 则，故C不符合题意； 当时，则，， ∴，，，即点与点重合， ∴，故D不符合题意； 故选：B． 10．如图，在中，，，．将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】如图，过作于，求解，，结合旋转的性质证明，，，可得为等边三角形，求解，再利用含角的直角三角形的性质及勾股定理即可得答案． 【详解】解：如图，过作于， 由，， ， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， ∴， ∴， ∴， ∴A到的距离为1． 故选：A． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图为某桥梁模型的示意图，其中与关于点成中心对称，点、分别是、的中点，横梁的长度为，则模型中的主承重钢梁的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称以及三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线定理是解答本题的关键．根据三角形的中位线定理可得，再根据中心对称的性质可得，即可得解． 【详解】解：点、分别是、的中点， 是的中位线， ， 与关于点成中心对称， ． 故答案为：． 12．如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示： 可供选择的白色小正方形的个数为3个． 故答案为：3． 13．在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点A，将该直线沿轴向左平移6个单位长度后，与轴交于点．若点与A关于原点对称，则的值为 ． 【答案】3 【详解】解：∵直线（m为常数）与x轴交于点A， ∴当时，， 解得， ∴， ∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度， ∴平移得到， ∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后与x轴交于点， ∴当时，， 解得， ∴， ∵点与A关于原点O对称， ∴， 解得， 故答案为：3． 14．如图，等边中，，则以线段为边构成的三角形的各角的度数分别为 ． 【答案】，，． 【详解】解：将逆时针旋转，得到， ∵，是等边三角形，且旋转角相等，则, ∴是等边三角形. 则 又∵ ∴ 故以线段三边构成的三角形为 所以 故答案为： . 15．平面直角坐标系中，，，，连接，将绕B点顺时针旋转到． （1）点D的坐标为 ；（用字母m来表示） （2）连结，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，求一点绕某点旋转后的坐标，勾股定理及二次函数的性质； （1）画出图形，过点D作轴于点E，证明即可； （2）由（1）点D的坐标，利用勾股定理及二次函数的性质求得的最小值，从而可求得的最小值． 【详解】解：（1）如图，过点D作轴于点E， 则， 由旋转知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 若点B在x轴正半轴上， ∴， ∴； 若点B在x轴负半轴上，则， 同理得； 综上，； 故答案为：； （2）由勾股定理得：， 当时，取得最小值8， 从而取得最小值， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在边的延长线上，求证：． ． 【答案】见解析 【详解】证明：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，． ∵B，C，E三点在同一直线上， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∴， ∴． 17．如图，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，，． (1)点关于原点的对称点的坐标是___________； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出旋转后的． 【详解】（1）解：点A关于原点的对称点的坐标是． 故答案为：． （2）解：如图，即为所求作的三角形． ． 18．如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①②③④”，观察图形，回答以下问题． (1)图1的风车绕中心先顺时针旋转，形成图2的状态，再逆时针旋转，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①，②，③，④”； (2)图1的风车绕中心顺时针旋转后，风叶①到达了图4________的位置（填入A，B，C，D）； (3)图1所示风车绕中心逆时针旋转________度（旋转一周内），风叶①也能到达第（2）问中位置； (4)图1所示风车中风叶①最少翻折________次，也能到达第（2）问中位置． 【详解】（1）解：如图，图2，图3即为所求； （2）解：观察图形可知，旋转—次循环， ， 所以风叶①到达了图4中位置． （3）解：图1所示风车绕中心逆时针旋转 270 度（旋转一周内），风叶（1）也能到达第（2）问中位置． 故答案为： 270 ； （4）解：由如图5可知，最少翻折 2 次，也能到达第（ 2 ）问中位置． 故答案为： 2 ． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵由旋转得，，而， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）， ∴， ∴． 20．在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知点A、B、C的坐标分别为、、． (1)将沿着x轴向左平移5个单位后得到，请在图中画出平移后的； (2)将绕着O顺时针旋转后得到，请在图中画出旋转后的，并直接写出的坐标； (3)将线段绕着某个定点旋转后得到（其中点A的对应点为点，点B的对应点为点）则这个定点的坐标是______． 【详解】（1）解：如图1，即为所画； （2）解：如图2，即为所画， 由图可知； （3）解：线段可以看成是线段绕着某个定点旋转后得到的图形， 点与点B是对应点，点与点A是对应点， 连接，相交于点D（定点）， 由图形知，， 即旋转中心为点， 故答案为． 21．如图1，将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形，与交于点． 数学思考： （1）填空：图1中 ；（用含的代数式表示） 深入探究： （2）如图2，当点在对角线的垂直平分线上时，连接CH，求证：． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ， 由旋转得：， ， ， 故答案为：； （2）证明：∵点在对角线的垂直平分线上，边经过点， ， ∵四边形是矩形， ， 由旋转得：， ， 在和中， ， ∴， ． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．综合与实践 问题情境： 在中，，，．将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点． 初步探究： （）如图，当点恰好落在边上时，连接，求证：． 问题解决： 当旋转一定角度，与交于点（点不与点重合）时， （）如图，若恰好是边的中点，试猜想与的位置关系，并说明理由． （）如图，当时，请直接写出的长． 【详解】（）证明：由旋转的性质可知，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即； （）解：． 理由：∵是边的中点，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴； （）解：过点作于点， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴， 由勾股定理得，， ∴． 23．如图， 在四边形中，，．P、Q分别为、的中点，连接、，将线段绕点P顺时针旋转得到，将线段绕点P逆时针旋转得到，连接，分别过E、F作的垂线，垂足为G、H． (1)若，求的长 (2)线段与是否存在数量关系？若存在，写出结论并证明；若不存在，请说明理由； (3)如图， 、的延长线交于点M，连接．若，求线段的取值范围（用含m的式子表示）． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点P是的中点， ∴， 在中，； （2）证明：如图1，由旋转得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图2，作于点L，则， ∴四边形是矩形， ∴， 由（2）知，， ∵， ∴， 设， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵Q是斜边的中点， ∴， ∴， 当时，， ∴； 当时，，此时， ∴； ∴； 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $