16.2 整式的乘法（第1课时 单项式与单项式相乘）（教学设计）2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

16.2 整式的乘法(第1课时 单项式乘单项式) 教案 一、核心素养目标: 数学抽象:通过具体实例抽象出单项式乘单项式的运算法则,理解法则的本质内涵。 逻辑推理:经历法则推导过程,体会乘法交换律、结合律及同底数幂乘法法则的应用,发展推理能力。 数学运算:熟练掌握单项式乘单项式的运算法则,能规范、准确进行运算,提升运算技能。 应用意识:能运用单项式乘法解决几何图形相关问题,感受数学与实际的联系。 二、教学重难点 重点:单项式乘单项式的运算法则推导与熟练应用。 难点:理解法则推导的依据,处理运算中系数符号、不同字母及单独字母的运算细节。 三、教学准备 教具:多媒体课件(包含单项式定义回顾、推导实例、练习题)、板书思维导图。 学具:预习任务单(回顾单项式定义、同底数幂乘法法则)。四、教学过程设计 (一)复习引入16.2 整式的乘法(第 1 课时 单项式乘单项式)教案 一、教学基本信息 学科:数学 教材版本:人教版八年级数学上册 课时:1 课时(45 分钟) 适用对象:八年级学生 核心素养目标: 数学抽象:通过具体实例抽象出单项式乘单项式的运算法则,理解法则的本质内涵。 逻辑推理:经历法则推导过程,体会乘法交换律、结合律及同底数幂乘法法则的应用,发展推理能力。 数学运算:熟练掌握单项式乘单项式的运算法则,能规范、准确进行运算,提升运算技能。 应用意识:能运用单项式乘法解决几何图形相关问题,感受数学与实际的联系。 二、教学重难点 重点:单项式乘单项式的运算法则推导与熟练应用。 难点:理解法则推导的依据,处理运算中系数符号、不同字母及单独字母的运算细节。 三、教学准备 教具:多媒体课件(包含单项式定义回顾、推导实例、练习题)、板书思维导图。 学具:预习任务单(回顾单项式定义、同底数幂乘法法则)。 四、教学过程 (一)回顾旧知,导入新课(5 分钟) 复习单项式定义: 提问:“什么是单项式?单独的一个数或一个字母是单项式吗?”(引导学生结合之前所学回答,如 3 、 −2x 、 a 2 b 都是单项式)。 快速判断:下列代数式哪些是单项式? 5xy 、 x 1 、 a+b 、 −7x 3 、 3 2 mn (强调不含除法、加法运算,巩固核心特征)。 复习同底数幂乘法法则: 提问:“同底数幂相乘的法则是什么?”(学生回答: a m ⋅a n =a m+n , m 、 n 为正整数)。 计算练习: a⋅a 2 、 x 3 ⋅x 5 、 (−2) 2 ⋅(−2) 3 (巩固法则,为后续推导铺垫)。 导入新课: 情境提问:“一个长方形广告牌的长为 3x 2 y ,宽为 2xy 3 ,如何计算它的面积?”(引导学生列出算式: 3x 2 y⋅2xy 3 )。 引出主题:这个算式是两个单项式相乘,今天我们就来学习单项式与单项式相乘的运算方法。 (二)探究新知,推导法则(15 分钟) 实例推导,感知逻辑: 展示推导实例 1:计算 2x 3 ⋅3x 2 。 分步引导: 思考:这个算式包含哪些部分的运算?(系数相乘、同底数幂相乘)。 运用运算律拆分: 2x 3 ⋅3x 2 =(2⋅3)⋅(x 3 ⋅x 2 ) (乘法交换律、结合律)。 分别计算: 2⋅3=6 , x 3 ⋅x 2 =x 3+2 =x 5 (同底数幂乘法法则)。 合并结果: 6x 5 。 实例推导 2:计算 (−2a 2 b)⋅5ab 3 。 学生尝试分步计算,教师板书: (−2a 2 b)⋅5ab 3 =(−2⋅5)⋅(a 2 ⋅a)⋅(b⋅b 3 )=−10a 3 b 4 。 追问:“如果其中一个单项式含单独字母,该如何处理?” 如计算 3xy 2 ⋅(−4x 2 z) 。 分析: z 只在第二个单项式中出现,需连同指数保留在积中。 计算过程: 3xy 2 ⋅(−4x 2 z)=(3⋅(−4))⋅(x⋅x 2 )⋅y 2 ⋅z=−12x 3 y 2 z 。 归纳法则,明确内涵: 引导学生观察以上实例,总结规律: 系数如何运算?(相乘) 相同字母的幂如何运算?(同底数幂相乘,指数相加) 只在一个单项式中含有的字母怎么办?(连同它的指数作为积的一个因式)。 板书法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。 强调法则依据:乘法交换律、结合律和同底数幂的乘法法则,让学生理解 “为什么可以这样算”。 (三)例题讲解,规范运算(10 分钟) 基础例题(覆盖不同情况): 例 1:计算 (1)4x 2 y⋅(−xy 2 ) ; (2)(− 2 1 a 2 b 3 )⋅(−6ab 2 ) ; (3)3x 2 ⋅2x 3 ⋅x 。 规范步骤: 第 (1) 题:先算系数 4⋅(−1)=−4 ,再算相同字母 x 2 ⋅x=x 3 、 y⋅y 2 =y 3 ,结果为 −4x 3 y 3 。 第 (2) 题:系数 (− 2 1 )⋅(−6)=3 ,相同字母 a 2 ⋅a=a 3 、 b 3 ⋅b 2 =b 5 ,结果为 3a 3 b 5 (强调分数系数相乘的化简)。 第 (3) 题:三个单项式相乘,依次运算系数 3⋅2=6 ,同底数幂 x 2 ⋅x 3 ⋅x=x 2+3+1 =x 6 ,结果为 6x 6 (拓展多个单项式相乘的法则应用)。 易错点强调: 系数符号:同号得正,异号得负,多个系数相乘时先确定符号,再算绝对值。 指数运算:单独字母的指数为 1(如 x=x 1 ),不要遗漏;不同字母不能合并。 结果形式:系数化为最简整数(分数系数相乘后约分),字母按字母表顺序排列(如 x 3 y 2 z 而非 y 2 x 3 z )。 (四)巩固练习,深化应用(10 分钟) 基础题(全员必做): 计算: (1)2a 3 ⋅3a 2 ; (2)(−3xy)⋅4x 2 y ; (3)( 3 2 m 2 n)⋅(− 4 3 mn 2 ) 。 目的:巩固法则基本应用,规范运算步骤。 提升题(小组讨论): 计算: (1)(−2x 2 y) 2 ⋅3xy 3 (结合积的乘方,拓展综合运算); 几何应用:一个长方体的长为 2x ,宽为 3xy ,高为 xy 2 ,求它的体积(引导学生列出算式 2x⋅3xy⋅xy 2 ,运用法则计算)。 反馈纠错: 选取学生典型错误答案(如系数符号错误、指数相加遗漏、单独字母忽略),集体分析错误原因,强化规范意识。 (五)课堂小结与作业布置(5 分钟) 小结(师生共同梳理): 核心法则:单项式乘单项式的 “三步骤”(系数相乘、同底数幂相乘、单独字母保留)。 关键依据:乘法运算律、同底数幂乘法法则。 易错点:符号处理、指数运算、结果规范。 作业布置: 基础作业:教材练习题(覆盖不同类型,巩固运算技能)。 拓展作业:自编 2 道单项式乘单项式的题目(包含负数系数、分数系数和单独字母),并写出运算过程。 五、板书设计 16.2 整式的乘法(第 1 课时 单项式乘单项式) 一、回顾旧知 单项式定义:数与字母的积(单独数、字母也是) 同底数幂乘法: a m ⋅a n =a m+n 二、法则推导 实例: 2x 3 ⋅3x 2 =(2⋅3)⋅(x 3 ⋅x 2 )=6x 5 法则:系数相乘 相同字母幂相乘 单独字母保留 三、例题讲解 例 1: (1)4x 2 y⋅(−xy 2 )=−4x 3 y 3 (2)(− 2 1 a 2 b 3 )⋅(−6ab 2 )=3a 3 b 5 四、易错点 符号运算 2. 指数相加 3. 结果规范 问题1 我们学习了哪些幂的运算性质? 1.同底数幂相乘,底数不变,指数相加. 2.幂的乘方,底数不变,指数相乘. 3.积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. 问题2 光的速度约是3 105 km/s,太阳光照射到地球上需要的时间约是5 102 s,你知道地球与太阳的距离约是多少吗? 答 根据乘法的意义,地球与太阳的距离约是(3 105) (5 102) km. 设计意图:以幂的相关运算性质(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方 )为切入点,通过问题1唤醒学生的知识储备。问题2结合实际情境,凸显幂运算在实际问题中的应用价值,为新课的展开做好认知铺垫 。 (二)合作探究 思考1 怎样计算(3 105) (5 102) ?计算过程中用到哪些运算律及幂运算性质? 解 (3 105) (5 102) =(3 5) (105 102) 乘法交换律、结合律 =15 107 同底数幂的运算性质 =1.5 108. 科学记数法 思考2 如果将上式中的数字改为字母,比如ac5 bc2,怎样计算这个式子? 解 ac5 bc2 =(a b) (c5 c2) 乘法交换律、结合律 =abc7. 同底数幂的运算性质 思考3 根据以上计算,想一想如何计算单项式乘以单项式? 归纳 单项式与单项式的乘法法则: 一般地,单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. (三)典例分析 例1 计算: (1) 3xy2 2y3 ; (2) (−5a2b)(-3a) ; (3) (2x)3(−5xy2) ; (4)(−3x2y)2(−xy3)2 . 解 (1)原式=(3 2)x (y2 y3)=6xy5 ; (2)原式=[(−5) (−3)](a2 a) b=15a3b ; (3)原式=8x3 (−5xy2)=[8 (−5)](x3 x) y2=−40x4y2 ; (4)原式=9x4y2 x2y6=9(x4 x2)(y2 y6)=9x6y8. 方法总结 (1)在计算时,应先进行符号运算,积的系数等于各因式系数的积; (2)注意按“先算乘方,再算乘法”的顺序运算; (3)不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式; (4)此法则对于多个单项式相乘仍然成立. 设计意图:对单项式乘法法则进行熟练应用。 (四)巩固练习 1. 下面的计算是否正确?如果不正确,应当怎样改正? (1)3a3 2a2=6a6 ; (2)3x2 (−4x2)=−12x2 ; 不正确,原式=6a5. 不正确,原式=−12x4. (3)5y3 3y5=15y15 ; (4)x2 y2(−xy3)2=x4y8. 不正确,原式=15y8. 正确. 2. 计算: (1)3x2 5x3 ; (2)6x2 3xy ; (3)4y (−2xy2) ; (4)−2ab2 (−3ab). 解 (1)原式=(3 5) (x2 x3)=15x5. (2)原式=(6 3) (x2 x)y=18x3y. (3)原式=[4 (−2)]x (y y2)=−8xy3. (4)原式=[(−2) (−3)] (a a) (b2 b)=6a2b3. 3. 计算: (1)(−3xy2)2(−2xy)2 ; (2)(−a)5−(2a 3a)2 (−a) . 解 (1)原式=9x2y4 4x2y2=(9 4) (x2 x2) (y4 y2)=36x4y6. (2) 原式=−a5−(6a2)2 (−a)=−a5−36a4 (−a)=−a5+36a5=35a5. 考试考法: 1. 计算2x⋅(−x)2 的结果是( ) A. 0 B. 2x2 C. 2x3 D. −x3 2. 计算(7.2 103) (2.5 104) 的结果用科学记数法表示正确的是( ) A. 180 000 000 B. 18 107 C. 1.8 107 D. 1.8 108 3.[2025南阳月考]已知单项式6x3y与xny2 的积为mx9y3,则m+n 的值为_. 【解析】∵6x3y⋅(−3/2xny2)=−9x3+ny3 , ∴−9x3+ny3=mx 9y3,∴m=−9,3+n=9 , ∴n=6.∴m+n=−3 . 归纳总结 小结(师生共同梳理): 核心法则:单项式乘单项式的 “三步骤”(系数相乘、同底数幂相乘、单独字母保留)。 关键依据:乘法运算律、同底数幂乘法法则。 易错点:符号处理、指数运算、结果规范。 (八)布置作业 必做题:习题16.2 第1,9题. 五、教学反思 1 / 10 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $