27.2相似三角形 自主达标测试题 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年人教版九年级数学下册《27.2相似三角形》自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．已知，是的中线，是的中线，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，点P在的边AC上，添加下列一个条件，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，D是锐角边上一点，过D的直线交于另一边，截得的三角形与原三角形相似．则这样的直线最多共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．如图，在平行四边形中，F是边上的点，连接交于点E，延长交的延长线于点G，则图中的相似三角形共有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 5．如图，在中，，，M是的中点，平分，，则的长为（   ）． A．10 B．9 C．8 D．7 6．如图，雨后操场有一洼积水，小明在B处站定后，通过水洼P点正好观察到操场旗杆顶部C，小明的眼睛离地面高度为米，他离P点的距离为2米，旗杆底端D离P点12米，点B、P、D在同一水平直线上，则旗杆的高度是（   ） A．6米 B．8米 C．9米 D．12米 7．如图，在中，，，动点从点开始沿边向点匀速运动，运动速度为，动点从点开始沿边向点匀速运动，运动速度为，点和点同时出发．则运动（   ）时，以点、、为顶点的三角形与相似 A．4或6 B．5 C．6或 D．3 8．如图，在矩形中，，，分别在，，上，，，，，，则的长是（   ） A．4 B． C． D．5 二、填空题（满分24分） 9．已知，若，，则的度数为 °． 10．在某一时刻，测得一根高为2.4米的竹竿影长为4米，同时同地测得一根旗杆的影长为20米，那么这根旗杆的高度是 米． 11．如图，矩形中，，，点在边上，若以点、、为顶点的三角形与相似，则 ． 12．如图，甲、乙两建筑物在太阳光线下的影子的端点重合在地面上的点处，已知点、、在一条直线上，若，，乙建筑物的高度，则甲建筑物的高度为 ． 13．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则正方形的边长为 ． 14．已知：如图，在中，，，，点D为上一个动点，正方形的顶点E、F都在边上，点G在外，若，则正方形边长为 ． 15．如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接、．给出下面4个结论： ①；②；③；④．以上结论中，正确的序号有 ． 16．如图，、是的直径，点在上，，点从点出发沿顺时针方向绕圆心O旋转，当 时，直径在中截得的三角形与相似． 三、解答题（满分72分） 17．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，点、、均在格点上，用无刻度的直尺作图． (1)在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边； (2)在图②中的线段上找一个点，使． 18．如图，在中，点D，E分别在边上，的延长线相交于点，且．求证：． 19．小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 20．如图，在中，是边上的高，点在边上，连接交于点，且，点是上一点，且满足，连接交于点，求证： (1)； (2). 21．九年一班同学利用标杆测量校园中的实验楼的高度．小亮在B处竖立了一根标杆，小华走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和实验楼的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点在一条直线上，．根据以上测量数据，请你求出实验楼的高度． 22．如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 23．综合与探究：在正方形中，，点E是边上的动点，连接． (1)【探索发现】如图1，过点D作，求证：； (2)【类比探究】如图2，过点B作于点F，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积； 参考答案 1．C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．由，是的中线，是的中线，得到，结合，即可求解． 【详解】解： ，是的中线，是的中线， ， ， ． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，据此逐项判断即可． 【详解】解：由图可知，， A、添加，根据两角分别相等的两个三角形相似，可判定，不符合题意； B、添加，根据两角分别相等的两个三角形相似，可判定，不符合题意； C、添加，不能判定，符合题意； D、添加，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定，不符合题意． 故选：C． 3．D 【分析】本题综合考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键；根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，两角分别相等的两个三角形相似求解即可． 【详解】解：如图1，作平行于，则， 如图2，作平行于，则， 如图3，作，使，此时是公共角，则， 如图4，作，使，此时是公共角，则， 所以共有四种画法，即四条直线满足条件， 故选：． 4．D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．由平行四边形可得，，进而找出等角，判断相似三角形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，， 图中的相似三角形共有6对， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了角平分线定义、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质．先由平分，并结合过点D的平行辅助线推得；设、的份数，结合M是中点得的份数，进而得与的比例；因，由平行线分线段成比例定理得 ，代入数值计算． 【详解】解：如图，过点D作的平行线，交于点E，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由得， ∴，，即， ∴， 已知，，代入得． 设，则，故， ∵M是的中点， ∴． ∵，由平行线分线段成比例定理：， ∴， 解得．   故答案为：9． 6．C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，镜面反射的基本性质，根据题意得出三角形相似是解题的关键．根据题意由镜面反射的性质可推出，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答． 【详解】解：根据题意可知，，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴米， 即旗杆的高度是9米． 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再分和两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和两种情况， 当时，则， ∴， 解得； 当时，则， ∴， 解得； 综上所述，运动或时，以点、、为顶点的三角形与相似， 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 证明，，根据相似三角形的性质得出，，进而求得，即可求解． 【详解】解：， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ． 故选：B． 9． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．先根据相似三角形的对应角相等，得，再由三角形内角和定理即可解答． 【详解】 ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用物高与影长成正比例，列出方程求解，即可得出结论． 【详解】解：设旗杆的高度为米， 由题意得：， 化简得：， 解得：， 故旗杆的高度为12米． 故答案为：12． 11．或或 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质，根据题意分，，根据相似三角形的性质，列出比例式，求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴， 分两种情况讨论： ①当时， ∴ ②当时， 设，则 ∴ 解得： 即或 综上所述，或或． 故答案为：或或． 12． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型是解决问题的关键．根据已知条件易证，根据相似三角形的性质可得，代入数据即可求的长度． 【详解】解：根据题意得， ， ，即， （）． 故答案为：． 13．4 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，设正方形的边长为，证明，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∴， ∵，且交于点，， ∴， ∵， ∴， 设正方形的边长为，则：，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为； 故答案为：4． 14． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，求得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴正方形边长为， 故答案为：． 15．①②③ 【分析】利用可证，即可判定①；由全等三角形的性质得到，即得是的垂直平分线，得到，即是的垂直平分线，得到，即可判定②；利用三角形中位线的性质可得，，即可判定③；设，则，可得， ，进而得到，即可得，即可判定④． 【详解】解：①是角平分线， ， ， ， ， ，故①正确； ②， ， ， 是的垂直平分线， ， ，故②正确； ③是中线， , 为的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ，故③正确； ④设，则， ， ， ，G为的中点， ， ， ，， ， 和不会相似，故④错误； 综上，结论正确的序号有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，锐角三角函数等，掌握相关知识点是解题的关键． 16．54或72/72或54 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、圆周角定理、垂径定理、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义和性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．分时、时和时三种情形，分别画出图形，求出旋转角的度数即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 分三种情况讨论， 当时，如下图，设与交于点， 可有， ∵， ∴，即直径在中截得的三角形与相似， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如下图，设与交于点， 可有， ∵， ∴，即直径在中截得的三角形与相似， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如下图，设与交于点， 可有， ∵， ∴，即直径在中截得的三角形与相似， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意，舍去． 综上所述，当或72时，直径在中截得的三角形与相似． 故答案为：54或72． 17．(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了网格与勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用网格与勾股定理得，则，故，即可作答． （2）运用网格特征，得，则，故，即，得，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：在线段上找一个点，使，如图所示： 18．见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键．先证明，得到，推导出由，推导出，即可解答． 【详解】证明：，且， ∴， ， 又， ， 又， ∴． 19．(1)旗杆的高度为6米 (2)小水坑F到小明的距离的长为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解： ， ． ， ． ． ， ． ． ． 经检验，是原分式方程的解． 答：旗杆的高度为6米． （2）解：由题意得： ，， ． ． ． ． 即 经检验：是原分式方程的解． 答：小水坑F到小明的距离的长为米． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，分边成比例，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）由已知得出，证明，得出，证出，即可得出结论； （2）证明得出，即，证明，由相似三角形的性质得出，得出是的平分线，从而得出即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 是边上的高， ，和是直角三角形， ， ， 又． ， ； （2）在和中， ， ， ，即， 在和中 ， ， ， 是的平分线， ， 即． 21．20.8米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，过C作于P，交于H，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：过C作于P，交于H， 则米，米，（米），（米）， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴（米）， 答：实验楼的高度为20.8米． 22．(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质与相似三角形的综合应用，解题的关键是通过作垂线构造相似三角形，利用相似三角形的面积比与相似比的关系求解． （1）过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点，构造直角三角形，证明，再结合反比例函数中三角形的面积与系数的关系，求出面积比，进而得到相似比即的值； （2）同样利用（1）中相似三角形的面积比与相似比的关系，结合已知的线段比例，求出的值． 【详解】（1）解：解：如图，过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点， 点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上， ， ， ， ， ， ； （2）解：点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上， ， 由（1）知， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 23．(1)见解析 (2)或2，的面积对应为4或 【分析】（1）由正方形性质得出：，由得，进而推导和，通过互余关系得，最终利用两角对应相等完成相似证明； （2）分两种情况讨论：①当时，作，设，利用为中线及的比例关系解得，此时为等腰直角三角形，求出面积，点共线，故；②当时，作，设，通过和的勾股定理（）解得，进而求得面积，再结合的比例关系：求得，故． 本题主要考查正方形的性质（如直角、边相等）、三角形相似与全等、等腰三角形的分类讨论、勾股定理． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ； （2）解：如图，作于点H， ， ， ， ， 当为等腰三角形时，只有以下两种可能： ①当时，作于点H，如图所示， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得， ，为等腰直角三角形， ， ∴此时点A、F、C三点共线， ； ②当时，作于点H，如图所示， 设， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， ， ， 即， 解得， ； 综上所述，或2，对应面积为或． 学科网（北京）股份有限公司 $