27.2.2相似三角形的性质 自主达标测试题 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年人教版九年级数学下册《27.2.2相似三角形的性质》 自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．如图，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，分别是和上的点，，若，那么（    ） A．2 B． C． D． 3．如图，D是的边BC上一点．已知，则BD的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 4．如图，中，，，的平分线交于E、交于F，下列结论中错误的是 （    ） A． B．是等腰三角形 C． D． 5．如图，在菱形中， ，点分别在和上，且．若四边形是正方形，则的长为 （    ） A． B．1 C． D． 2 6．如图，直线l经过正方形的中心O，分别与和相交于点E和点F，并与的延长线相交于点G．若，，则的长为（  ）    A．1 B． C． D．2 7．如图，在中，，，分别是边AB、AC上的高线，连接，那么和的周长之比为（    ）    A． B． C． D． 8．如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上），公共点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若两个正方形的面积之和是，且，则的值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题（满分24分） 9．两个相似三角形对应中线之比是，它们的面积差是，则较大三角形的面积是 ． 10．如图，点为等边边的中点，连接，取中点，作射线交于点，则 ． 11．如图，矩形中，，，点在边上，若以点、、为顶点的三角形与相似，则 ． 12．如图，线段，于点，于点，，，点为线段上一动点，且以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则的长为 ． 13．如图，矩形内接于，且边落在上，如果，，，，那么的长为 14．如图，已知四边形是平行四边形，点是的中点，连接，相交于点，过作的平行线交于点，若，则的值是 ． 15．如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，则此时液面的宽度为 ． 16．如图，是的外接圆的直径，，垂足为．若，则直径长为 ． 三、解答题（满分72分） 17．如图，梯形ABCD中，，点E，F分别在线段AD，DC上，且．若，求DF的长． 18．如图，BE平分，延长BE至点D，使．若，求CE的长． 19．如图，为的直径，D为弧中点，于点E，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 20．如图，在正方形中，点为边上一动点，交于点，过点作交于点，点为的中点． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)若，求证：． 21．如图，在中，，，与轴交于点，已知点的坐标是，点的坐标是． (1)点的坐标是_______，_______； (2)探究：在轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．在平面直角坐标系中，已知，，点P从点O开始沿边向点A以的速度移动；点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间． (1)用含t的代数式表示：线段 ； ． (2)求当t为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出t的值． (4)求当t为何值时，线段分三角形的面积比为． 23．在平行四边形中，对角线交于点是线段上一个动点（不与点、点重合），过点分别作的平行线，交于点，交于点，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，，且与相似，请补全图形，并求的值： (3)如图3，如果，且射线过点．请补全图形，并求的度数． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，即相似三角形的对应角相等，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 通过相似图形，找到对应角和，直接利用已知角度数即可求出的度数． 【详解】解：由题可知且， ∵相似三角形对应角相等， ∴ ． 故选：． 2．B 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．先求解再证明可得 【详解】解： ， ， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的边长比等于相似比，解题的关键是证明两个三角形相似． 首先证明，由相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， 故选：B． 4．C 【分析】本题考查相似三角形的判定，等腰三角形的判定，根据同角的余角相等，有两组对应角相等的两个三角形相似，等角对等边，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵的平分线交于E、交于F， ∴， ∴，故选项D正确，不符合题意； ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰三角形；故选项B正确，不符合题意； 无法得到；故选项C错误，符合题意； 故选C． 5．C 【分析】本题考查的是菱形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练地证明三角形相似是解本题的关键. 证明，可得，结合正方形的性质证明，可得，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：∵四边形是菱形， ． ∵， ∴ ∴． ∵四边形是正方形， ，， ． ， ∴， ∴， ∴． ， ∴． ∴， ．， ， ． ． 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；根据正方形的性质，结合三角形全等，得到，证明，得到，从而得到结果． 【详解】解：连接，   是正方形的中心， 在上，且，， ， ，， ， 在和中， ， ， 四边形是正方形，则， ， ， 解得：， 故选：D． 7．A 【分析】由∠A=60°，CD、BE是AB、AC边上的高，可得∠ABE=∠ACD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得，由∠A是公共角，即可证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形周长比等于相似比即可得答案. 【详解】∵∠A=60°，CD、BE是AB、AC边上的高， ∴∠ABE=∠ACD=30°， ∴， ∵∠A为△ADE和△ACB的公共角， ∴△ADE∽△ACB， ∴△ADE与△ACB的相似比为， ∴和的周长之比=. 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，如果两个三角形的两组对应边的比相等，且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题关键. 8．C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键．设，，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论． 【详解】解：设，， 由题意得：， ∵正方形与（其中边，分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9． 【分析】本题考查了相似三角形的性质，一元一次方程的应用，根据相似三角形的性质求出面积比，根据题意列出方程，解方程即可，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形对应中线之比是， ∴它们的面积比是， 设较小三角形的面积是，较大三角形的面积是， ∴， 解得， ∴较大三角形的面积是， 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；过点D作，交于点H，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：过点D作，交于点H，如图所示： ∴， ∴， ∵点D、E分别为、的中点， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 11．或或 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质，根据题意分，，根据相似三角形的性质，列出比例式，求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴， 分两种情况讨论： ①当时， ∴ ②当时， 设，则 ∴ 解得： 即或 综上所述，或或． 故答案为：或或． 12．1或3或8 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，则，根据相似三角形的性质可分两种情形构建方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似， ①当时，，解得 经检验，是该方程的解． ②当时，，解得或， 经检验，或是该方程的解． ∴当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，的长为1或3或8． 故答案为：1或3或8． 13． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及矩形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 设、相交于点，证四边形是矩形，得，由矩形得，得，设，则有，，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出的值，即可求出的长． 【详解】解：如图，设、相交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则有，， ∴， 解得：， 则， 故答案为：． 14．6 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，由四边形 是平行四边形，得 ，再证明 ，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵ 是 的中点， ， ∵四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：6． 15．9 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质． 如图，作于E，则，由题意知，，，则，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于E，则， 由题意知，，， ∴． 又∵， ∴． ∴． 即． 解得，． 答：液面的宽度为． 故答案为：9． 16． 【分析】首先得到，，证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵是的外接圆的直径，， ∴ ∴ ∴，即 ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 17． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理与性质，关键在于找出条件判定两个三角形相似，再由相似三角形的性质求出边之间的比例关系，代入已知边求出未知边即可． 由已知条件可得，根据相似三角形的判定定理得到，再通过相似三角形对应边成比例代入数据，进行求解即可． 【详解】解：在梯形中，， ， ． ， ， ， ，即， 解得． 18． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是证明两个三角形相似． 根据角平分线的性质结合等腰三角形的性质可得出，结合对顶角相等，即可证出，根据相似三角形的性质，即可得出，代入数据即可求出的长度． 【详解】解：平分， ． ． 又 ， ． ， ， 解得． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，圆周角定理，等腰三角形的判定，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由圆周角定理得出，，则，由，得出，进而得出，即可得证； （2）证明，得出，则，再证明，得出，则，进而可证得结论． 【详解】（1）证明：∵D为弧的中点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（）连接，证明和全等，得，，在四边形中，由，得，再根据得，则，进而得，由此即可得出结论； （）根据，得，进而得，，则，由此得，则，即，然后再根据即可得出结论； （）过点作，的延长线交于，则四边形为矩形，进而得，根据，得，则，证明得，再证明得，则，即，由此得，据此即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：过点作，的延长线交于，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，同角的补角相等，矩形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 21．(1)； (2)存在，或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理，求一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰直角三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）过点A作轴于H，则，进而得到，则可得到；证明是等腰直角三角形，得到，则；由三线合一定理得到点D为的中点，则，求出直线解析式，进而求出直线与x轴的交点坐标即可得到答案； （2）可证明；则以、、为顶点的三角形与相似时，只存在和这两种情况；据此利用相似三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作轴于H， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵， ∴点D为的中点， ∴ 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，； ∵， ∴， ∴； ∴以、、为顶点的三角形与相似时，只存在和这两种情况； 当， ∴，即， ∴， ∴点P的坐标为，即； 当时， ∴，即， ∴， ∴点P的坐标为，即； 综上所述，点P的坐标为或． 22．(1)； (2)或3 (3)或1 (4)或3 【分析】本题考查了列代数式，相似三角形——动点问题，动态几何问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题意用分别表示出，； （2）根据得到关于的方程求解； （3）根据与相似，，列出比例式，分，两种情况，分别得到关于的方程求得即可； （4）根据当线段分三角形的面积比为时，得到，或，分别转化为关于的方程求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；； （2）解：， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，四边形的面积为； （3）解： 与相似，， ∴或， ①当时， 则， ∴， ②当时， 则， ∴， 综上所述，当或1时，与相似； （4）解：当线段分三角形的面积比为时， 则，或， ∴，或， 解方程，得或3， 解方程，无解， ∴当或3时，线段分三角形的面积比为． 23．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质证出，得出则可得出结论； （2）证明，设，那么，，得出，求出，则可得出答案； （3）由题意画出图形，证明平行四边形为菱形，设，，求出得出，证明.设，那么.求出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵过点作、的平行线交于点，交、于点、， ， ， ， ， ， 在平行四边形中，， ， 又， ， ，即， 又∵， ； （2） ∵如图，在平行四边形中， ∴平行四边形为长方形， ， ， 又，且， ， ∴此时有， 设，那么， ∴， ∵， ， ； （3）如图： ， ∴平行四边形为菱形， 设，， ， ， ∴， ， ， ， ， (负根已舍)， ， ， ， ， ， ∴设，则∠， ， ， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $