27.2.1相似三角形的判定 自主达标测试题 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年人教版九年级数学下册《27.2.1相似三角形的判定》 自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．在判断“有一个锐角相等的两个直角三角形”是否相似时，甲、乙同学的观点如下：甲：相似；乙：不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 2．在和中，，，则这两个三角形（    ） A．既全等又相似 B．相似 C．全等 D．无法判定 3．如图，下列四个三角形中，与相似的是（    ） A． B． C． D． 4．用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，与不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，给出下列条件：①，②，③，④，其中不能判定的条件为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 6．如图，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上结论都对 7．如图是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中．当时，t的值为（   ） A．3 B． C． D．或 二、填空题（满分24分） 9．如图，已知，请添加一个条件 ，使得．    10．如图，是斜边上的高，，，则的长为 ． 11．已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为 时，与相似． 12．在中，∠ACB=90°，AC>BC，O是边AB的中点，过点O的直线将分割成两个部分，若其中的一个部分与相似，则满足条件的直线共有 条 13．矩形中，，，点E是边上的一点，沿过点E的直线折叠，使点B落在对角线上的点F处，当是直角三角形时，则的长为 ． 14．如图，点D是的边的中点，交于点E，的平分线交于点F，若，则的长为 ． 15．如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有 对相似三角形． 16．如图，在半圆中，直径，半圆上一点，于点，若，则的长是 ． 17．如图，矩形中，，．P为的中点，点Q在边上，过点Q作于点E，连接，若，则 ． 三、解答题（满分72分） 18．如图，是的高，是的外接圆直径，点O为圆心．与相似吗？说明理由． 19．如图，和是两个等腰直角三角形，，的顶点E位于边 的中点上．设与交于点M，与交于点N，求证：． 20．如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 21．如图，已知，，，，，． (1)求的长； (2)求证：． 22．如图，是的直径，C为圆周上一点，延长至点D，连接，使得为的切线．延长，过点D作，垂足为E．已知平分． (1)求证：． (2)若，试求的半径． 23．中，，，点E是边上一点，点D是射线上一点，过点D作交直线于F． (1)如图①，若，点D是的中点，点E是的中点，连接，则______； (2)如图②，若点D是的中点，点F在边上，证明：； (3)若，试探究，的数量关系． 参考答案 1．C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据两角分别相等的两个三角形相似进行解答即可． 【详解】解：有一个锐角相等，同时直角相等，根据两角分别相等的两个三角形相似即可判定两个直角三角形相似， 故甲对，乙不对， 故选：C 2．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握“两角分别相等的两个三角形相似”即可判断. 【详解】解：在中， 则 在中， 则 则这两个三角形相似； 故选：B． 3．D 【分析】是等边三角形，结合各选项是否符合相似的条件即可. 【详解】解：三条边都为6，为等边三角形，故其相似三角形也为等边三角形， 因为A、B、C选项中都只有两边相等，都为等腰三角形，不符合题意， 只有D选项中三角形的各边都为3，为等边三角形. 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大. 4．D 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理，能根据作图痕迹判断条件是解题的关键． 分别根据作图痕迹，依据相似三角形的判定定理，即可判断． 【详解】解： A、由作图可知，E、F分别为、中点， ∴， ∴，故本选项不符合题意； B、由作图可知，平分，点E在的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故本选项不符合题意； C、由作图可知，， ∴， ∴，故本选项不符合题意； D、由作图知，、是的角平分线，不能说明，故本选项符合题意． 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．由图可知与中为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答． 【详解】解：①，再加上为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ②，再加上为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ③可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定； ④中不是已知的比例线段的夹角，不正确 故选：D． 6．C 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 令，根据勾股定理求出相关边长，再根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A.根据直角三角形斜边最长和角所对的直角边等于斜边的得，， ∴； ， ∴； ∵， ∴； ∴， ∴该选项错误，不符合题意； B.∵， ∴与不相似， 该选项错误，不符合题意； C.令，由勾股定理得， ∵， ∴，且， ∴， ∴该选项正确，符合题意； 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项进行判断即可． 【详解】解：设每个小正方形的边长为，则在中，，，， A、在中，，，， ，，， ， ，故A选项不符合题意； B、在中，，，， ，，， ， 和不相似，故B选项符合题意； C、在中，，，， ，，， ， ，故C选项不符合题意； D、在中，，，， ，，， ， ，故D选项不符合题意； 故选：B ． 8．B 【分析】本题考查相似三角形的判定，由勾股定理求出长，再由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，分别列出关于的方程，求出，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理得： ， 由题意得：,， 当时， ∵， ∴, 此时, ， 故选：B． 9．或或（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．熟练掌握有两组角分别对应相等的三角形相似是解题的关键． 【详解】解：添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵, ∴，即， ∵， ∴； 故答案为：或或（答案不唯一）． 10．9 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键． 利用直角三角形的性质和余角的性质可证∽，然后得成比例的线段求解即可． 【详解】解：由题意可得：，，， ， ∽， , ， ，， , 解得： 故答案为： 11． 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，解决问题的关键是熟知相似三角形的对应边成比例． 设第三边长为,应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，解题即可． 【详解】解：的三边长分别是， 三边长的比为． ，且的两边长分别是1和需要分情况进行讨论: ①若，解得； ②若，∵，∴该情况不成立 ③若，解得 经检验，当时，与的三边对应成比例，两三角形相似；当时，与的三边对应不成比例，两三角形不相似； 故答案为：． 12．3 【分析】由于三角形ABC是直角三角形，所以必须保证直线l与三角形的任意一边能够形成直角三角形，进而再判定其是否相似． 【详解】∵三角形ABC是直角三角形. ∴只有创造出一个直角时，才有可能满足题中相似的条件； ①当l∥BC时，可得三角形相似； ②当l∥AC时，亦可得三角形相似； ③当l⊥AB时，三角形也相似， 故满足题中的直线L共有3条. 【点睛】本题考查相似三角形的判定，对于没有图的题可根据题意画出图形，通过图形得出小三角形与△ABC有一个角是公用角（也就是相等的）是解决此题的关键. 13．3或 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 分两种情况讨论，当和时，结合图象进行解题． 【详解】解：矩形中，，， 如图，当折痕为，时， ∵， ∴， 根据折叠的性质，得，， ∴， 设，则， 则有， 即， 解得：； 如图，当折痕为，时，， 由折叠可知，， 设，则， ∵， ∴∽， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：3或 ． 14．2 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，掌握中位线定理是解题的关键． 由可证是的中位线，从而，根据角平分线的定义、平行线的性质可得，从而，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴为的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．6 【分析】根据矩形的性质得到，根据邻补角的定义得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】四边形是矩形， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有6对相似三角形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 16． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，连接，，证明，推出可得结论，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 【详解】解：如图，连接，， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵ ， ∴， ， ∴， ∵， ， 故答案为：． 17．5 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，矩形的性质及等腰三角形的性质，利用结合，证得，结合等腰三角形的三线合一得到是解题的关键． 【详解】∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 故答案为：5 18．相似，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，圆的有关知识，由圆周角定理可得，由相似三角形的判定可求证． 【详解】解：与相似，理由如下： ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质，由等腰直角三角形的性质得到，，，进而得到，，则可证明，据此可证明结论． 【详解】证明：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定． （1）由等边三角形性质得，，从而有；由得，由相似三角形的判定得证； （2）根据，，求出，由等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵，即：， ∴，， ∴，, ∴； （2）结论：． 证明∵， ∴； ∵， ∴，， 又∵， ∴ 21．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，进而求出的长； （2）根据，，得，又，可得，根据相似三角形的判定即可得到． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 22．(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，即，根据为的切线，得出，即，则，又，得出，即可得，从而证出． （2）设的半径为，根据，平分，得出，证明，由（1）可知，从而得，，证明是等边三角形，得出，，即可得，得出，即可求出的半径． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵是的直径， ∴，即， ∵为的切线， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：设的半径为， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则的半径为． 【点睛】该题考查了圆周角定理，切线的性质定理，相似三角形的判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 23．(1)； (2)见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（1）根据证明，得出，根据直角三角形斜边上中线的性质求出，然后根据勾股定理求解即可； （2）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （3）分点D在上和点D在延长线上两种情况讨论，根据等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识求解即可． 【详解】（1）解∶ 连接， ∵，，点D是的中点， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，点E是的中点，， ∴， ∴， 又， ∴； （2）证明 ∶连接， ∵，，点D是的中点， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）解∶当点D在上时，如图，过D作交于G， ∴， ∴，， ∵，，点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点D在AB延长线上时，如图，过D作交延长线于H， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，，的数量关系是． 学科网（北京）股份有限公司 $