陕西省宝鸡实验高级中学2026届高三上学期数学第11周周末作业

宝鸡实验高级中学2026届高三数学第11周周末作业 ---金台区区检考试适应性试题 班级：________姓名：_______ 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．瑞士数学家欧拉发现了公式：，其中为虚数单位，.据此可知，下列说法中错误的是（    ） A．为纯虚数. B．的共轭复数为 C．的模长等于 D．对应的点位于第三象限 3．已知直线与直线，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．为了深入调研学生会考模拟考试成绩，掌握学生数学会考成绩情况，现从该年级同学中随机抽取100名学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图，下列说法不正确的是（   ） A． B．众数为85 C．第70百分位数为80 D．该样本平均成绩为76 5．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数是（  ） ① ② 函数的图象关于点对称 ③ 函数在区间上单调递减 ④ 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．设为正项等比数列的前n项和，若，，则（   ） A． B． C． D．2 等级 名称 速度大小 2 轻风 3 微风 4 和风 5 劲风 7．帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（线段长度代表速度大小，单位：），则该时刻的真风为（    ） A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 8．设是圆上任意一点，若的最小值为，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．当取得最大值时， D．的最大值为 10．已知为等差数列，其前项和为，，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．当且仅当时，最大 D．满足的最大整数n为14 11．抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点，其中点在第一象限，则（    ） A． B．当时， C．若点的坐标为，则周长的最小值为8 D．当时， 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．在的展开式中，的系数为 ． 13．已知若的定义域为，则实数的取值范围为 ； 若的值域为，则实数的取值范围为 ． 14．如图，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点的正上方有一个光源，与球相切，，球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于 ． 四、解答题:（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，设 (1)当时，求的外接圆面积； (2)当为何值时，四边形OACB面积最大，最大值为多少； 16．已知椭圆的一个焦点为，且离心率为， (1)求椭圆的方程； (2)不过原点O的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程． 17． 如图：直角梯形ABCD中，ADBC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EFAB，AD=2AE=2AB=4FC=4，将四边形EFCD沿EF折起成如图的位置，使AD=AE. （1）求证：BC平面DAE； （2）求四棱锥D﹣AEFB的体积； （3）求面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值. 18．已知函数． (1)当时，证明函数在单调递增； (2)若函数在有极值，求实数a的取值范围； (3)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的零点个数． 19．随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为 例如在1秒末，粒子会等可能地出现在四点处. (1)设粒子在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量 ，求 的分布列和数学期望； (2)记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）已知 求 以及； （ii）令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知 证明：该粒子是常返的. 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝鸡实验高级中学2026届高三数学第11周周末作业 ---金台区区检考试适应性试题 班级：________姓名：_______ 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由题意，集合，，则.故选：A 2．瑞士数学家欧拉发现了公式：，其中为虚数单位，.据此可知，下列说法中错误的是（    ） A．为纯虚数. B．的共轭复数为 C．的模长等于 D．对应的点位于第三象限 【答案】D【详解】A：由题意为纯虚数，正确； B：由题意，则的共轭复数为，正确； C：由题意，模为，正确； D：由题意得，则其对应的点为，，则，，对应的点位于第二象限，错误；故选：D. 3．已知直线与直线，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】直线与直线，则可得，得或，当时，直线与直线，成立； 当时，直线与直线，成立；所以等价于或， 则“”不能推出“”，“”可以推出“”；则“”是“”的必要而不充分条件.故选:B． 4．为了深入调研学生会考模拟考试成绩，掌握学生数学会考成绩情况，现从该年级同学中随机抽取100名学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图，下列说法不正确的是（   ）    A． B．众数为85 C．第70百分位数为80 D．该样本平均成绩为76 【答案】C【详解】对A，依题意，得（频率之和为1），解得，正确；对B，众数为最高矩形对应中点横坐标为85，正确； 对C，因为，，所以第70百分位数，由解得为，错误；对D，由频率分布直方图，估计这100名学生测试成绩的平均数为： ，正确. 故选：C. 5．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数是（  ） ① ② 函数的图象关于点对称 ③ 函数在区间上单调递减 ④ 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B【详解】由题图得，所以，故①正确； 则，由，得， 解得，又，所以，故， 因为，所以函数的图象关于点对称，故②正确；令，解得， 故函数的单调递减区间为，令，得到的一个减区间为，又则函数在区间上先单调递减再单调递增，故③错误；因为，所以．由，得， 若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点， 则，解得，故④错误．故选：B. 6．设为正项等比数列的前n项和，若，，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C【详解】设等比数列的公比为，∵，∴. 由得，∴.故选：C 7．帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（线段长度代表速度大小，单位：），则该时刻的真风为（    ） 等级 名称 速度大小，（单位：） 2 轻风 3 微风 4 和风 5 劲风 图1    A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A【详解】由题意及图得，视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反，设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，则，船行风速：， 因此，， 由表得，真风风速为轻风.故选：A 8．设是圆上任意一点，若的最小值为，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D【详解】因是圆上任意一点， 由可得， 将其理解为圆上点与点的距离，其最小值为， 依题意，可得，即，又， 由，当且仅当时，取得等号，即当时，的最小值为4.故选：D 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．当取得最大值时， D．的最大值为 【答案】CD【详解】若，则，即，故A不正确； 若，则，则，故B不正确； 因（其中且） 当取得最大值时， 则，故C正确； 因为，令的起点为坐标原点，则终点在单位圆上， 又表示之间的距离，间的距离为， 故可知，故D正确.故选：CD 10．已知为等差数列，其前项和为，，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．当且仅当时，最大 D．满足的最大整数n为14 【答案】AB【详解】对A：，故，故A正确； 对B：，故的公差为，故， 则，故B正确；对C：由，故，当时，，当时，，故当或时，最大，故C错误； 对D：当时，，当时，，又，故， 则当时，，当时，，故满足的最大整数为，故D错误. 故选：AB. 11．抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点，其中点在第一象限，则（    ） A． B．当时， C．若点的坐标为，则周长的最小值为8 D．当时， 【答案】ACD 【详解】A选项，直线与轴的交点为，所以焦点为，所以，所以A选项正确；B选项，当时，联立得，所以B选项错误； C选项，因为，，所以，过点作准线的垂线，垂足为，三角形周长为，所以C选项正确；D选项，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，， 根据三角形相似得，所以， 所以直线的倾斜角为，则．所以D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．在的展开式中，的系数为 ． 【答案】8【详解】对于，其展开式的通项为：， 易知，中不含项，故令，则 要得到与，需要与（）中的相乘，即， 所以的系数为8.故答案为：8 13．已知若的定义域为，则实数的取值范围为 ； 若的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 ； 【详解】定义域为即真数恒大于0，则或，得 所以的取值范围是．值域为即真数能取遍 当时，不成立，当时满足，解得， 所以的取值范围是故答案为：； 14．如图，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点的正上方有一个光源，与球相切，，球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于 ． 【答案】【详解】解法一：（单德林球）设椭圆方程为，球与相切于点． 由切线长定理得，则，得． 解法二：作过圆锥的轴与椭圆长轴的截面，如图， 根据圆锥曲线的定义,可得球与长轴的切点是椭圆的焦点F, 设光线与球相切于点E, 与球相切于点D, 且等于内切圆的半径也即球的半径，即, , 根据切线长定理得: 设,由三角形面积公式得: ， ， ，即， 又是焦点到长轴顶点的距离，故, 即， 所以所求椭圆的离心率为. 故答案为：. 四、解答题:（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，设 (1)当时，求的外接圆面积； (2)当为何值时，四边形OACB面积最大，最大值为多少； 【解】（1）在中，由余弦定理可得， 当时，,故， 因此的外接圆半径为，故外接圆的面积为， （2）中，， 又， 四边形的面积为， ∵， ∴， ∴当，即时，四边形的面积最大，且最大值为． 16．已知椭圆的一个焦点为，且离心率为， (1)求椭圆的方程； (2)不过原点O的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程． 【解】（1）因为，故，而离心率为，故， ，故椭圆方程为：. （2） 由得到， 故，故， 而直线不过原点，故，故或. 故， 又到的距离为， 故 ， 当且仅当时等号成立， 故面积的最大值为，此时直线方程为. 17．如图：直角梯形ABCD中，ADBC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EFAB，AD=2AE=2AB=4FC=4，将四边形EFCD沿EF折起成如图的位置，使AD=AE. （1）求证：BC平面DAE； （2）求四棱锥D﹣AEFB的体积； （3）求面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值. 【解】（1）证明：∵直角梯形ABCD中，ADBC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EFAB， ∴CFDE，CF⊂面CBF，DE面CBF，则DE面CBF； FBAE，FB ⊂面CBF，AE面CBF，则AE面CBF； 又∵AE∩DE=E，DE､AE⊂面DAE ∴面CBF面DAE 又BC⊂面CBF，所以BC平面DAE （2）取AE的中点H，连接DH ∵EF⊥ED，EF⊥EA，ED∩EA=E ∴EF⊥平面DAE又DH⊂平面DAE， ∴EF⊥DH ∴AE=ED=DA=2， ∴DH⊥AE，DH=， 又AE∩EF=E ∴DH⊥面AEFB… 所以四棱锥D﹣AEFB的体积 （3）如图以AE中点为原点，AE为x轴建立空间直角坐标系 则A(﹣1，0，0)，D(0，0，)，B(﹣1，﹣2，0)，E(1，0，0)，F(1，﹣2，0) 因为，所以C(，﹣2，) 易知是平面ADE的一个法向量，==(0，2，0) 设平面BCD的一个法向量为=(x，y，z) 由 令x=2，则y=2，z=﹣2，∴=(2，2，﹣2)， ∴cos<，>= 所以面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值为 18．已知函数． (1)当时，证明函数在单调递增； (2)若函数在有极值，求实数a的取值范围； (3)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的零点个数． 【解】（1）当时，由，可得， 因，则，又因为，则， 所以函数在单调递增； （2）， 因为函数在有极值，所以在有变号的根， 又因为在单调递增，则， 即 ,，所以，解得， 故实数a的取值范围为； （3）因为函数在点处的切线方程为， 所以，且， 解得． 故则， 当时，，即在单调递增， 因，所以在没有零点； 当时，，即在没有零点． 综上所述，函数的零点个数为1个． 19．随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为 例如在1秒末，粒子会等可能地出现在四点处. (1)设粒子在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量 ，求 的分布列和数学期望； (2)记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）已知 求 以及； （ii）令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知 证明：该粒子是常返的. 【解】（1）粒子在第秒可能运动到点或或的位置，的可能取值为：， ，，， 所以的分布列为： . （2）（i）粒子奇数秒不可能回到原点，故， 粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑： 每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有种情形； 每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有种情形； 于是， 第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动步，向右移动步，向上移动步， 向下移动步，故 . 故. （ii）利用可知： ， 于是， 令，， 故在上单调递增， 则，于是， 从而有：， 即为不超过的最大整数，则对任意常数，当时， ，于是, 综上所述，当时，成立，因此该粒子是常返的. 【点睛】关键点睛：本题第二问（ii）的关键点在于利用可得，再令可证得，进一步可得，即可得出答案. 学科网（北京）股份有限公司 $