北京市北京汇文中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

北京汇文中学教育集团2025-2026学年度第一学期 期中考试 高三年级数学学科 1本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选 择题，共110分. 2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效第一部分必须 用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答， 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项 1.设集合A={xx<a,B={-3,0,1,5},若集合A∩B有且仅有2个元素，则实数a的取值范 围为() A.（-3,+） B.[l,5) C.[l,+o) D.(0,] 2.复数在复平面上所对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在等比数列{a}中，a,=8,a4=a,a5,则a,=（) C. 4 2 D.1 4.已知函数f(x)=ax2+bx+c,且a>b>C,a+b+c=0,则() A.x∈(0,1)，都有f(x)>0 B.x∈(0,1)，都有f(x)<0 C.3x∈(0,1)，使得f(x)=0 D.3x。∈(0,1)，使得f(x)>0 5.若(2x-1)4=a4x4+ax3+a,x2+ax+a,则a4-a,+2-a=() A.-1 B.1 C.80 D.81 6.在平面直角坐标xOy中，已知三点A(1,1),B(m,3),C(3,n),若向量OB,OC在OA上的投 影向量相同，则m-n的值为() A.6 B.3 C.2 D.0 7.如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几 何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为() A.24+π B.24-3元 C.24-元 D.24+5π 8.已知不等式a(x-x)(x-x2)>0的解集为A,不等式b(x-x)(x-x2)≥0的解集为 B,其中a、b为非零常数.则“AUB=R”是“ab<0”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 g.在ABC巾，∠ABC-号，D为边C上一点，∠D8C-且BD=1,则ABC面积的 6 最小值为() A.2W5 B.5 c.25 D. 3 3 10.对于函数f(x),若存在实数x,使f(x)f(x+2)=1,其中2≠0，则称f(x)为“可 e',x>0 移元倒数函数”，x为“f(x)的可移倒数点”设f(x)= 1 若函数f(x)恰有3个 x<0 x+a “可移1倒数点”，则a的取值范围() A.(2,e) B.(2,+0o) C.(-1,2) 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11.函数f(x)=ln(x+1)+V8-2的定义域为 12.圆x2+y2-ar+2=0与直线1相切于点A(3,1),则圆的半径为 直线1的方程 为 所以直线1的方程y-1=-（x-3),即x+y-4=0 13.如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，其中正六边形 的顶点称为“晶格点”，若四个不同的点4，B,C,D均为“晶格点”， A,B两点的位置如图所示，则ABAC的最大值为 CD的最大值为 14.如图，在边长为3的正方形ABCD中，点M在AD上，正方形ABCD以AD为轴逆时 针旋转0角(0≤B≤)到AB,CD的位置，同时点M沿着AD从点A运动点D, 3 MN=DC,点Q在MN,上，在运动过程中点Q始终满足QM= 记点Q在面 cose ABCD上的射影为Q,,则在运动过程中向量BQ,与BM夹角a的正切值tana的最大值 为 Q0 15.对正整数n=a9°+a9++a19-+a9,其中4，∈{0，l,2,…,8y(i=01,2,…,k), 记w(n)=a。+a+…+ak.设Tn=o(1)+o(2)+.+w(9m)m=1,2,3,…,8),给出下面四个 结论： ①o(12)=3: ②o(9”-1)=8n ③o(9n+1)=o(n)+1: ④数列 工a为等差数列. 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共5小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.如图，在正三棱柱ABC-ABC中，AA=AC=2,D,E分别为CC, A,B的中点， (I)证明：ED//平面ABC: (IⅡ)求直线CC与平面ABD所成角的大小： (IⅢI)线段BC上是否存在点G,使得AG⊥BD？若存在，求出点G 到平面ABD的距离；若不存在，说明理由. 17.北京中轴线位于北京老城中心，纵贯老城南北，是统领整个老城规划格局的建筑与遗 址的组合体，其中9处中轴线遗产点分为A、B、C三种类型，如下表： A(古代皇家宫苑建 B(古代皇家祭祀建 C(古代城市管理设 类型 筑) 筑) 施) 中轴线遗产 钟鼓 正阳 永定 景山 故宫 端门 太庙 社稷坛 天坛 点 楼 门 门 在上述9处中轴线遗产点中，某研学团队计划随机选取3处进行研学 (1)求选取的3处遗产点都为A类的概率； (2)设选取的3处遗产点的类型种数为X,求X的分布列及数学期望： (3)设选取的3处遗产点中，A,B,C类遗产点的个数分别为YA,Y,Yc,记 D=D(Y4),D2=D(Y4+Ya),D3=D(Y4+Y),直接写出方差D,D2与D大小关 系.（无需证明） 18.已知同数/)=25snsm受-+4cos2,且在(-g孕上单调从以下三个 条件中选择一个作为已知，使得f(x)存在 ①f()的最大值为2：②f(0)=-1:③f)的图象关于直线x=-兀对称： 6 (1)求函数f(x)的单调增区间： (2)已知x≠x,且f(x)=f(x2)=1,求x-的最小值 注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答， 按第一个解答计分. 19.己知函数fx)=+2 Γx2+3x (1)求曲线y=f(x)在点A(-2,f(-2)处的切线方程 (2)设函数g(x)=f(x)-n(x+2). (i)求g(x)的单调区间； (i)判断g(x)的零点个数，并说明理由； (3)若存在m条互相平行的直线与曲线y=f(x)相切，写出m的最大值（只需写出结 论) 20.已知椭圆C:2+业 +6=1(a>b>0)的左顶点为4A(-2,0),两个焦点与短轴一个顶点构 成等腰直角三角形，过点P(1,O)且与x轴不重合的直线1与椭圆交于M,N不同的两点. (I)求椭圆P的方程： (IⅡ)当AM与MN垂直时，求AM的长： (D若过点P且平行于AM的直线交直线x=于点Q,求证：直线NQ恒过定点. 2 21.对于无穷数列{an},{bn},若b=max{a,a2,…a}-min{a,a2,,a}k∈(1,2,3)， 则称{bn}是{an}的“收缩数列”其中，max{a,a2,…,a},min{a,a2,…,a}分别表示 a,a2,",a.中的最大数和最小数.已知{an}为无穷数列，其前n项和为Sn,数列{bn}是{an} 的收缩数列” (1)若an=2n+1,求{bn}的前n项和； (2)证明：{b}的收缩数列”仍是{bn}: （3)若S+3,++S.-n+g+,6.a=12,3,求所有满足该条件的a} 2+ 2 北京汇文中学教育集团2025-2026学年度第一学期 期中考试 高三年级数学学科 1本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选 择题，共110分. 2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效第一部分必须 用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答， 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项. 1.设集合A={xx<a,B={-3,0,1,5},若集合A∩B有且仅有2个元素，则实数a的取值范 围为() A.（-3,+0) B.[l,5) C.[l,+o) D.(0,] 【答案】D 2.复数二在复平面上所对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【详解】 由复数的运算法则可知： a-00-+, i(1+i) 、1 1- 则复数二的虚部是 本题选择B选项， 3.在等比数列{an}中，a,=8,a4=aa5,则a,=（) B.1 C. 1 D.1 4 【答案】A 4.已知函数f(x)=ax2+bx+c,且a>b>c,a+b+c=0,则() A.x∈(0,1)，都有f(x)>0 B.x∈(0,1)，都有f(x)<0 C.3x∈(0,1)，使得f(x)=0 D.3x∈(0,1)，使得f(x)>0 【答案】B 【详解】由a>b>c,a+b+c=0可知a>0,c<0,抛物线开口向上.因为 f(0)=c<0,fI)=a+b+c=0,即1是方程ax2+bx+c=0的一个根，所以x∈(0,1)，都 有f(x)<0, 故选B. 5.若(2x-1)4=a4x4+ax3+a2x2+a,x+a，则a4-4+a2-a41=() A.-1 B.1 C.80 D.81 【答案】C 【详解】因为(2x-1)4=a4x4+ax3+a2x2+ax+a, 令x=0得，a,=1, 令x=-1得，a4-a+a2-a,+a=(-3)=81, 所以，a4-a3+a2-a1=81-1=80. 故选：C. 6.在平面直角坐标xOy中，己知三点A(L,1),B(m,3),C(3,m),若向量OB,OC在OA上的投 影向量相同，则m-n的值为() A.6 B.3 C.2 D.0 【答案】D 【详解】向量OB,OC在向量OA上的投影向量相同， OB.OA OC.OA :OA 得(OB-OCOA=0, 而AL,1),B(m,3),C(3,nm),得0B-OC=（m-3,3-n),OA=(1,1), 得(m-3,3-n(1,1）=0, 得m-3+3-n=0, 得m-n=0. 故选：D 7.如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几 何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为() A.24+π B.24-3π C.24-π D.24+5元 【答案】C 【详解】由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2 为半径的。球后的剩余部分， 其表面积等于正方体表面积减去三个半径为2的：圆，再加上2为半径的。球面， P 则S=6×2-3xxπx22+x4×元x22=24-元. 4 8 故选：C 8.已知不等式a(x-x)(x-x2)>0的解集为A,不等式b(x-x)(x-x2)≥0的解集为 B,其中a、b为非零常数.则“AUB=R”是“ab<0”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 又.在△1BC中，∠1BC-,D为边AC上一点，∠DBC-若且B0=1,则△MBc面积的 最小值为() A.25 B.√5 C.25 D. √5 3 3 【答案】C 【详解】 因为∠BC-否，∠D8C=若 所以∠ABD=2红_π元 362 又因为BD=1, 所以SDx4Bo,.c sin∠D8C= 根据等面积法可得：Sc=So+Scm,即csm经-分+任， 324 整理得√5ac=2c+a. 由基本不等式可得：2c+a≥2√2ac,当且仅当2c=a时等号成立. 则c≥2m,解得：c≥誉，此时a=45,c-25时等号成立 3，c= 3 1 故Sc=2 acsin e 433 10.对于函数f(x),若存在实数，使f(x)f(x+)=1,其中元≠0，则称f(x)为“可 e',x>0 移1倒数函数”，x为“f(x)的可移元倒数点”，设f(x)= 1 若函数f(x)恰有3个 ,x<0 x+ “可移1倒数点”，则a的取值范围() A.(2,e) B.(2,+0) C.(-1,2) 2, 【答案】A e,x>0 【详解】依题意，f(x)= (x+a*50 1 由f()恰有3个“可移1倒数点”，得方程∫(x)f(x+)=1恰有3个不等实数根， ①当x>0时，x+1>0,方程f()f(c+)=1可化为e2=1,解得x=2 这与x>0不符，因此在(0，+∞)内f(x)f(x+)=1没有实数根： ②当-1<x<0时，x+1>0,方程f)f(x+1)=1可化为e=, x+a 该方程又可化为a=e1-x. 设k(x)=e1-x,则k'(x)=ex1-l, 因为当x∈(-1,0)时，k(x)>0,所以k(x)在(-1,0)内单调递增， 又因为k(-1)=2,k(0)=e,所以当x∈(-l,0)时，k(x)∈(2，e), 因此，当a∈(2，e)时，方程f(x)f(x+1)=1在(-1,0)内恰有一个实数根： 当a∈(0,2]U[e,+o)时，方程f(x)f(x+1)=1在(-1,0)内没有实数根. ③当x=-1时，x+1=0,f(x+1)没有意义，所以x=-1不是f(x)f(x+1)=1的实数根. ④当x<-1时，x+1<0,方程f)fx+)=1可化为1】 =1, x+a x+a+l 化为x2+(2a+1)x+a2+a-1=0,于是此方程在(-∞，-1)内恰有两个实数根， (2a+1)2-4(a2+a-1)>0 则有 2a+1<-1 2 ，解得a>1+⑤ 2 1-(2a+1)+a2+a-1>0 因此当a>1+5时，方程f(/(x+)=1在(，-)内恰有两个实数根， 2 当0<a≤1+5时，方程/(x+l)=1在(-0，-)内至多有一个实数根， 2 绿上，的取位范国为2en5网=2： 故选：A 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11.函数f(x)=lnx+1)+V8-2的定义域为 【答案】(-1,3] x+1>0 【详解】依题意， 8-2*≥0' 解得-1<x≤3， 故答案为：(-1,3] 12.圆x2+y2-ax+2=0与直线1相切于点A3,),则圆的半径为 直线1的方程 为 【详解】(1)由条件可知点A(3,1)在圆上，即32+12-3a+2=0,解得：a=4, 圆的方程x2+y2-4x+2=0台(x-2)}+y2=2, 所以圆的半径r=√2： (2)设圆的圆心C(2,0),kc=3-2 1-0 =1, 由条件可知直线AC与直线l垂直，所以直线l的斜率k=-1,