11.5因式分解（基础篇）练习2025-2026学年华东师大版 数学八年级上册

11.5因式分解 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。（分解因式） 因式分解与整式乘法互为逆运算 二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 △公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。 △具体步骤：（1）“看”。观察各项是否有公因式；（2）“隔”。把每项的公因式“隔离”出来；（3）“提”。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。 △(a-b) 2n=(b-a) 2n(n为正整数)；(a-b) 2n+1=-(b-a) 2n+1(n为正整数)； 如：8a2b-4ab+2a=2a·4ab-2a·2b+2a·1=2a(4ab-2b+1)；-5 a2+25 a=-5 a·a+5a·5=-5 a(a+5) (注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。) 三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。 1、平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)；名称：平方差公式。 △注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。 如：102-92 =(10+9)(10-9)=19×1=19；4 x2y2-a2=(2xy)2-a2=(2xy+a)(2xy-a)； （2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。 （3）注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。 2、完全平方公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。 △注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。 如：m2n2-2mna+ a2=(mn)2-2mn·a+ a2=(mn-a)2；x2+4xy+y2=x2+2·x·2y+(2y)2=( x+2 y)2 （2）注意公式运用时的对位“套用”； （3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。 四、补充分解法： 1、公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)( x+b)。 如：x2+5x+6= x2+(2+3)x+2×3=(x+2)( x+3)；x2+5x-6=x2+[6+(-1))]x+6×(-1)=(x+6)( x-1) 2、“十字相乘法” 如：=(x+2)( x+7) =(x+2)( x-4) 1 2 1 2 1 7 1 -4 2 + 7=9 2 + (-4)=-2 五、综合 1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：“一看二套三分解”。 2、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：（1）看首项是否为“一”，若为“一”，就要注意提负号；（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说；（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。 3、注意事项：（1）注意（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；（3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；（4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解，不要乱用此法。 型 习 练 题 判断是否是因式分解 1．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断哪个选项的变形是将多项式化为整式乘积的形式． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个整式积的形式， 选项A、右边是，是和的形式，不是积的形式，故不是分解因式， 选项B、右边是，含有和的形式，不是乘积的形式，故不是分解因式， 选项C、右边是，是整式积的形式，且左边等于右边，故是分解因式， 选项D、右边是，但左边，故不是分解因式， 故选：C． 2．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义及方法逐项分析即可． 【详解】解： A：，故该选项不正确，不符合题意； B：，故该选项不正确，不符合题意； C：，故该选项正确，符合题意； D：右边 不是因式的乘积形式，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C 3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可． 【详解】解：A、是单项式乘多项式的运算，不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不符合题意； C、是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意； D、属于因式分解，符合题意． 故选：D． 4．下列从左边到右边的式子变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式．根据定义判断各选项是否满足从左边的多项式变形为右边的积形式． 【详解】∵因式分解要求等式左边是多项式，右边是整式的积； A中，左边是多项式，右边是整式积的形式，符合定义； B中，，不是因式分解； C中，左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； D中，左边是多项式，但右边是和的形式，不是积的形式，不符合定义； 故选：A． 5．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查因式分解的理解．根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的乘积的形式”，由此即可求解． 【详解】解：、，是因式分解，该选项符合题意； 、，不是因式分解，该选项不符合题意； 、，不是因式分解，该选项不符合题意； 、，不是因式分解，该选项不符合题意； 故选：． 已知因式分解结果求参数 6．若将多项式因式分解，得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，将因式分解后的形式展开，与原多项式比较对应项系数，建立方程，求解即可． 【详解】解： ， 由一次项系数得，， 解得； 由常数项得，， 解得； ∴ ． 故选：B． 7．若多项式可分解为，则（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用公式法因式分解、完全平方公式等知识点，掌握因式分解的定义是解题的关键． 由题意可得，即，进而得到． 【详解】解：∵多项式可分解为， ∴， ∴， ∴，． 故选：B． 8．多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，理解题意， 整理得，即，结合a，m，n为整数，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵多项式分解因式为， ∴， 则， ∵a，m，n为整数， ∴当时，则，即； ∴当时，则，即； ∴当时，则，即； ∴当时，则，即； 则a的取值有4个， 故选：D． 9．如果是的一个因式，则的值为（    ） A． B．6 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，求出x的值是解决问题的关键． 根据是的一个因式得出的值，再将的值代入原式求解m即可． 【详解】解：∵是的一个因式， ∴， ∴， 将代入得， ， ∴． 故选：D． 10．已知多项式分解因式的结果为，则b，c的值分别为（   ） A．3， B．，4 C．20，4 D．20， 【答案】C 【分析】本题主要考查分解因式，先变形为，然后根据对应项相等计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 提公因式法分解因式 11．分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，首先把整体作为公因式提出来，可得：原式，再提公因式． 【详解】解： ． 故选：B． 12．分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．将第二项中的转化为，然后提取公因式，再对提取公因式即可． 【详解】解： ， 故选：D． 13．分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解中提取公因式的方法，解题的关键是确定各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂． 需要分别分析系数和相同字母的幂次，确定公因式． 【详解】解：∵系数6和3的最大公因数为3，字母部分和中，x的最低次幂为1，y的最低次幂为1， ∴公因式为． 故选：A． 14．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的正确性．因式分解需将多项式化为几个整式的乘积形式，且应分解到不能再分解为止．逐项验证各选项即可． 【详解】解：选项A：∵，∴错误； 选项B：∵，等式成立且为乘积形式，∴正确； 选项C：∵，但可进一步分解为，因式分解不彻底，∴错误； 选项D：∵右边不是乘积形式，∴不是因式分解，错误； 故选：B． 15．将多项式进行因式分解，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解． 直接通过提取公因式法进行因式分解． 【详解】 故选：B． 平方差公式分解因式 16．下列多项式因式分解后的结果为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解．根据因式分解判断各项即可． 【详解】解：A、，符合题意， B、不能分解，不符合题意； C、不能分解，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 17．下列式子能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用公式法进行因式分解，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式进行判断即可，平方差公式适用于形如的表达式，可分解为 ． 【详解】解：A.该选项不能用平方差公式分解因式，不符合题意； B. 该选项为完全平方形式，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； C. 该选项不能用平方差公式分解因式，不符合题意； D.∵ ，符合平方差公式， ∴ 可分解为 ； 故选：D． 18．当为自然数时，一定能被下列哪个数整除（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了用平方差公式因式分解的应用，熟练掌握用平方差公式因式分解是解题的关键．利用平方差公式将表达式因式分解为，由于n为自然数，为整数，因此表达式一定能被4整除． 【详解】解： ， 为自然数， 为整数， 能被4整除， 因此，原式一定能被4整除． 故选：B． 19．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．平方差公式适用于形如的多项式，检查各选项是否可化为该形式即可． 【详解】解：选项A：，符合平方差公式，能用平方差公式分解因式，故符合题意； 选项B：，不是平方差形式，故不符合题意； 选项C：，不是平方差形式，故不符合题意； 选项D：，是提公因式，不是平方差形式，故不符合题意； 故选：A． 20．因式分解：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，直接使用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故选：A． 完全平方公式分解因式 21．下列多项式中，是完全平方式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，根据完全平方公式分别转化为完全平方式的形式即可求解． 【详解】A选项=，是完全平方式，符合题意 B选项=，不是完全平方式，不合题意误 C选项=，不是完全平方式，不合题意 D选项=，不是完全平方式，不合题意 故选：A 22．下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式因式分解，完全平方公式的形式为，通过检查各选项是否符合此形式即可判断． 【详解】解：选项A：∵，∴符合完全平方公式，可分解为； 选项B：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项C：∵，∴符合完全平方公式，可分解为 ； 选项D：∵在多项式中，首项为，末项为，而其两倍积为，不等于中间项，∴不符合完全平方公式，不可用完全平方公式分解． 故选：D． 23．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． 根据完全平方公式 ，逐项检查各选项是否符合公式结构． 【详解】解：A：，常数项不是平方数，且无法配成完全平方，故不符合题意； B：，若，则，但，故不符合题意； C：，∵ ，且，∴ 符合完全平方公式，即； D：，若 ，则，但，故不符合题意． ∴ 能用完全平方公式因式分解的是C， 故选：C． 24．下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了运用完全平方公式分解因式，熟知完全平方式的特点是解题关键，根据完全平方式的特点“两个数的平方和，加（减）它们积的2倍”逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 不是完全平方式，不能用完全平方公式分解，不合题意； B. 不是完全平方式，不能用完全平方公式分解，不合题意； C. 是完全平方式，能用完全平方公式分解，分解为，符合题意； D. 不是完全平方式，不能用完全平方公式分解，不合题意﹒ 故选：C 25．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的因式分解，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 根据完全平方公式的形式，逐一分析每个选项是否符合该形式． 【详解】解： 完全平方公式为 选项A，，是平方差公式，不符合完全平方公式； 选项B，，中间项与完全平方公式中形式不匹配（若，，则），不符合完全平方公式；； 选项C，，常数项为，不是非负数，不符合的形式即不符合完全平方公式； 选项D，，其中，，，且， ∴ ，符合完全平方公式因式分解． 故选：D． 综合分解因式 26．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了在实数范围内分解因式，熟练掌握提公因式法与公式法的综合运用是解题的关键． （1）先提公因式a，再利用完全平方公式继续分解即可解答； （2）先对多项式进行化简整理，然后再利用平方差公式进行分解即可解答； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 27．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解． （1）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． （2）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 28．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解中的换元法以及十字相乘法、平方差公式的综合运用．将四次多项式转化为二次多项式，随后对二次多项式分别运用十字相乘法分解，解题的关键是对于能继续用平方差公式分解的部分进一步分解，最终完成高次多项式的因式分解． （1）首先使用换元法转化进行分解，然后使用十字相乘法分解二次式，最后使用回代还原，最后运用平方差公式进行求解即可． （2）首先使用换元转化进行分解，然后使用十字相乘法分解二次式，最后使用回代还原进行求解即可． 【详解】（1）解：设，则原式变为， 所以． 再把代回，得到． 再将分解，得． （2）解：设，则原式变为． 所以． 再把代回，得到． 进一步分解，，， 所以． 29．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的知识点，熟练掌握因式分解的技巧方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式法进行分解即可得； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可得． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 . 30．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 因式分解的应用 31．已知，，求代数式的值． 【答案】300 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解等知识﹒先根据，，得到，再把因式分解为，再整体代入即可求解﹒ 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴﹒ ∴ 32．（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式，已知式子的值求代数式的值，同底数幂相除的逆运算，幂的乘方的逆运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，再把和分别代入，进行计算，即可作答． （2）理解题意，把分别代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意， ∵，， 则， ∴ ； （2）∵， ∴ ． 33．先化简再求值：其中：． 【答案】； 【分析】此题考查整式的化简求值，因式分解，熟练计算是解题的关键． 运用完全平方公式进行因式分解，再代值计算． 【详解】解： ， ． 当，时，原式． 34．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了运用平方差公式进行因式分解，先运用平方差公式因式分解，再进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 35．若，，，求代数式的值． 【答案】． 【分析】本题考查了因式分解的运用，由，，，求出，，，然后通过 即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.5因式分解 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。（分解因式） 因式分解与整式乘法互为逆运算 二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 △公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。 △具体步骤：（1）“看”。观察各项是否有公因式；（2）“隔”。把每项的公因式“隔离”出来；（3）“提”。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。 △(a-b) 2n=(b-a) 2n(n为正整数)；(a-b) 2n+1=-(b-a) 2n+1(n为正整数)； 如：8a2b-4ab+2a=2a·4ab-2a·2b+2a·1=2a(4ab-2b+1)；-5 a2+25 a=-5 a·a+5a·5=-5 a(a+5) (注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。) 三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。 1、平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)；名称：平方差公式。 △注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。 如：102-92 =(10+9)(10-9)=19×1=19；4 x2y2-a2=(2xy)2-a2=(2xy+a)(2xy-a)； （2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。 （3）注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。 2、完全平方公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。 △注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。 如：m2n2-2mna+ a2=(mn)2-2mn·a+ a2=(mn-a)2；x2+4xy+y2=x2+2·x·2y+(2y)2=( x+2 y)2 （2）注意公式运用时的对位“套用”； （3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。 四、补充分解法： 1、公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)( x+b)。 如：x2+5x+6= x2+(2+3)x+2×3=(x+2)( x+3)；x2+5x-6=x2+[6+(-1))]x+6×(-1)=(x+6)( x-1) 2、“十字相乘法” 如：=(x+2)( x+7) =(x+2)( x-4) 1 2 1 2 1 7 1 -4 2 + 7=9 2 + (-4)=-2 五、综合 1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：“一看二套三分解”。 2、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：（1）看首项是否为“一”，若为“一”，就要注意提负号；（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说；（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。 3、注意事项：（1）注意（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；（3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；（4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解，不要乱用此法。 型 习 练 题 判断是否是因式分解 1．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．下列从左边到右边的式子变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 已知因式分解结果求参数 6．若将多项式因式分解，得，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．若多项式可分解为，则（   ） A．8 B． C．4 D． 8．多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如果是的一个因式，则的值为（    ） A． B．6 C．7 D． 10．已知多项式分解因式的结果为，则b，c的值分别为（   ） A．3， B．，4 C．20，4 D．20， 提公因式法分解因式 11．分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 12．分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 13．分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 14．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 15．将多项式进行因式分解，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 平方差公式分解因式 16．下列多项式因式分解后的结果为的是（　　） A． B． C． D． 17．下列式子能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 18．当为自然数时，一定能被下列哪个数整除（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 19．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 20．因式分解：（    ） A． B． C． D． 完全平方公式分解因式 21．下列多项式中，是完全平方式的为（   ） A． B． C． D． 22．下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 23．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 24．下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 25．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 综合分解因式 26．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 27．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 28．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 29．因式分解： (1)； (2)． 30．分解因式： (1)； (2)． 因式分解的应用 31．已知，，求代数式的值． 32．（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值 33．先化简再求值：其中：． 34．计算：． 35．若，，，求代数式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $