11.3乘法公式（基础篇）讲义2025-2026学年华东师大版 数学八年级上册

11.3乘法公式 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、两数和乘以这两数的差 1、公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；名称：平方差公式。 2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。 如：(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19；(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2； (a+b+)( a+b -)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2； （2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。 （3）注意公式的来源还是“多项式×多项式”。 二、完全平方公式 1、公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。 2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。 如：(+3)2=()2+2××3+32=2+6+9=11+6；(mn-a) 2=(mn)2-2mn·a+ a2= m2n2-2mna+ a2； ( a+b -)2=( a+b)2-2( a+b)+2= a2+2a b+b2-2a-b +2； （2）注意公式运用时的对位“套用”； （3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。 3、补充公式：(a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca 特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算”。 型 习 练 题 运用平方差公式进行运算 1．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如：，所以8，……都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（   ） A．86 B．230 C．462 D．480 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式． 设两个连续奇数为和（为正整数），，根据题意可知，“凤凰数”是正整数，且为的倍数，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：设两个连续奇数为和（为正整数）， ∵， 根据题意可知，“凤凰数”是正整数，且为8的倍数， A．，不是“凤凰数”，不符合题意； B．，不是“凤凰数”，不符合题意； C．，不是“凤凰数”，不符合题意； D．，是“凤凰数”，符合题意． 故选：D． 2．下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式：判断即可． 【详解】解：A、，其中，符合公式，符合题意． B、，第二项不是相反项，不符合题意． C、，不符合题意． D、，无相同项和相反项，不符合题意． 故选A． 3．下列各式可以用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，掌握相关知识是解决问题的关键．平方差公式为 ，找出可化为该形式的选项即可． 【详解】解：A：，为完全平方公式的相反数，非平方差公式，故此选项不符合题意； B：，无相同项也无互为相反数的项，不可用平方差公式，故此选项不符合题意； C：，符合平方差公式，故此选项符合题意； D：，为完全平方公式的相反数，非平方差公式，故此选项不符合题意． 故选：C． 4．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式：（1）两个两项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数，熟记公式结构是解题的关键． 【详解】解：A选项：∵ ，∴ 不能用平方差公式计算； B选项：∵ ，∴ 可以用平方差公式计算； C选项：∵ ，∴ 不能用平方差公式计算； D选项：∵项不匹配，无相同和相反项，∴ 不能用平方差公式计算. 故选：B. 5．下列各式中，计算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是平方差公式，熟记公式是解题的关键． 根据平方差公式分别求解，然后判断即可． 【详解】解：A、，计算结果正确，故A选项不符合题意； B、，计算结果正确，故B选项不符合题意； C、，计算结果正确，故C选项不符合题意； D、，计算结果错误，故D选项符合题意． 故选：D． 平方差公式与几何图形 6．如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何解释，数形结合，分情况表示阴影部分面积是解决问题的关键． 分别表示出图1阴影部分面积，再表示图2阴影部分面积，由两个图的阴影部分面积相等即可得到答案． 【详解】解：由图1可知，； 如图所示： ， 由两个图的阴影部分面积相等可得，， 故选：C． 7．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一矩形如图，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何应用，解决本题的关键是分别求解阴影部分的面积． 根据正方形的面积可先求解出阴影部分的面积，再根据矩形面积公式再求解矩形面积，由此可得等式． 【详解】解：边长为的正方形的面积为， 边长为的小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 再把余下的部分剪拼成一矩形， 可得矩形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为， ∴可得等式． 故选：D ． 8．如图“L”形的图形的面积有如下四种表示方法：①；②；③；④．其中正确的表示方法有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【分析】此题主要考查平方差公式、多项式乘法的几何背景，掌握组合图形的拼接方法与面积的计算方法是解决问题的关键． 利用割补的方法将原图形进行转化，结合面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图①，图①中，大正方形面积为，小正方形面积为，所以整个图形的面积为； 如图②，一个长方形的面积是，另一个长方形的面积是，所以整个图形的面积为； 如图③，在图③中，拼成一个长方形，长为，宽为，则面积为． 综上所述：“L”形的图形的面积为①；②；③；共3种方法正确． 故选：B． 9．如图，在边长为m正方形纸片中剪去一个边长为小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片．通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的图解，关键是通过几何图形之间的数量关系推出平方差公式． 根据题中的两个图形分别表示出阴影部分的面积，再根据阴影部分的面积相等即可得到相应的等式，据此即可作答． 【详解】解：根据第一个图可知：阴影部分的面积为：； 根据第二个图可知：阴影部分的面积为：； ∴， 故选C． 10．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出两个图形阴影部分的面积，进而根据两个图形阴影部分面积相等即可得出等式，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可知，第一个图形阴影部分的面积为，第二个图形阴影部分的面积为， ∵两个图形阴影部分面积相等， ∴等式为， 故选：． 运用完全平方公式进行运算 11．若，则的值为（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式应用；根据题意将展开整理后，然后利用等式的性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A； 12．下列计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，包括幂的乘方、合并同类项和完全平方公式．根据运算法则和乘法公式逐一判断即可． 【详解】A中，，错误； B中，，正确； C中，，错误； D中，，错误． 故选B． 13．利用乘法公式计算，下列方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将整理为，然后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：． 故选：B． 14．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握完全平方公式并能运用求解． 根据公式，逐一验证各选项即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 15．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的乘法运算．根据单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式，以及完全平方公式的运算法则求解，即可解题． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：B． 通过对完全平方公式变形求值 16．若，则a、b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了利用完全平方公式配方，通过将二次三项式进行配方后，比较系数求出a和b的值，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 比较系数得：， 即； 又， 即， ， 因此，， 故选：C． 17．若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的公式变换，熟练应用是关键． 利用完全平方公式展开 ，并代入已知条件求解 ． 【详解】∵ ， 又 ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故答案选：A． 18．已知，则的值为（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，设，则，，再根据求出的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故选：A． 19．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，能正确变形是解此题的关键．对已知条件变形，得到关于的等式，然后代入求值． 【详解】解：， 两边同时平方可得，即， 两边同时除以得，即； 代数式变形为， 化简合并同类项得， 代数式， 故选：D． 20．规定，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了整式的乘法运算． 根据新定义列出等式，进而计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即． 故选：C． 完全平方公式在几何图形中的应用 21．借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图（1）是长，宽分别为a和b的小长方形，用4个这样的小长方形围成图（2）所示的两个正方形，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y．观察图形，下列4个结论中，正确的个数是（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减、完全平方公式与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． 根据图形表示出两个正方形边长与、的关系，结合乘法公式计算逐个判断即可． 【详解】解：由图形可得，，，故①正确； ∴，故②正确； 由图形可得，，故③正确； ， ∴，即故④正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：D． 22．如图，两个正方形边长分别为，．已知，阴影部分的面积为14，则值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式与图形的问题，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 故选C． 23．如图，有两个正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放置在A的内部得到图甲，将A，B并列放置．以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和14，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了乘法公式的几何意义，完全平方公式和平方差公式的应用，根据图甲和图乙中阴影部分的面积列出等式，再通过对等式的变形和计算，分别判断每个选项的正确性． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为，即，故B选项正确； 图乙中阴影部分的面积为，即，故选项D正确； ∴，故选项C正确； ∴，故选A错误． 故选：A． 24．有如图所示的A，B，C三种纸片若干张，棋盘要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，如选取A纸片9张，再取B纸片1张，还需要取C纸片（   ） A．12张 B．10张 C．6张 D．4张 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，设还需要取k张C卡片，根据题意可得是一个完全平方式，据此求解即可． 【详解】解：设还需要取k张C纸片， ∵取纸片张，取纸片张， ∴面积和为， ∵要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，C纸片的面积为， ∴，是一个完全平方式， ∴， ∴（负值舍去） ∴还需张C纸片， 故选：C． 25．如图，有两个正方形，，其边长分别表示为，现将放置在的内部得到图甲，将，并列放置，以正方形与正方形的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的几何应用，平方差公式的应用，根据图形可得图甲阴影部分面积为，即可判定选项；根据图乙阴影部分的面积为，可得，进而由完全平方公式得，即可判定；利用平方差公式可得，即可判定；由完全平方公式得，即可判定，综上即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：图甲中阴影部分是边长为的正方形， ∴图甲阴影部分面积为，故选项符合题意； 图乙整体上是边长为的正方形，面积为， ∴图乙阴影部分的面积为，即， ，故选项不合题意； 由可得，由可得， ，故选项不合题意； ，即， ，故选项不合题意． 故选：． 求完全平方式中字母系数 26．已知(为常数)是一个完全平方式，则的值为( ) A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式．根据完全平方式的定义，得，则，解得的值，即可作答． 【详解】解：∵ 是一个完全平方式， ∴， ∴ ， 即， 故选：D． 27．若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（ ） A． B． C．16 D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特点是解题的关键； 根据完全平方式得出，即可求解． 【详解】解：∵ 是一个完全平方式， ∴可设为 ， ∴， 解得：． 故选：D． 28．若恰是另一个整式的平方，则常数k的值为（   ） A．9 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，该二次表达式为完全平方式，则，可通过比较系数法进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设， 则， 依题意，， 故，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：D． 29．若是完全平方式，则的值是（　　） A．-6 B．6 C． D．±36 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，运用完全平方式的定义进行变形、求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴当时，是一个完全平方式， 故选：C． 30．已知是完全平方式，则的值为（    ） A．±4 B．±2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是要注意积的2倍符号，有正负两种情形，避免漏解．根据完全平方公式，题中的首末两项是x和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和2积的两倍，据此即可解答． 【详解】解：∵是完全平方式，且， ∴， ∴， 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3乘法公式 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、两数和乘以这两数的差 1、公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；名称：平方差公式。 2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。 如：(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19；(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2； (a+b+)( a+b -)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2； （2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。 （3）注意公式的来源还是“多项式×多项式”。 二、完全平方公式 1、公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。 2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。 如：(+3)2=()2+2××3+32=2+6+9=11+6；(mn-a) 2=(mn)2-2mn·a+ a2= m2n2-2mna+ a2； ( a+b -)2=( a+b)2-2( a+b)+2= a2+2a b+b2-2a-b +2； （2）注意公式运用时的对位“套用”； （3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。 3、补充公式：(a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca 特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算”。 型 习 练 题 运用平方差公式进行运算 1．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如：，所以8，……都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（   ） A．86 B．230 C．462 D．480 2．下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式可以用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 4．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各式中，计算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 平方差公式与几何图形 6．如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（   ） A． B． C． D． 7．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一矩形如图，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 8．如图“L”形的图形的面积有如下四种表示方法：①；②；③；④．其中正确的表示方法有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 9．如图，在边长为m正方形纸片中剪去一个边长为小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片．通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式（       ） A． B． C． D． 10．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 运用完全平方公式进行运算 11．若，则的值为（    ） A．4 B．1 C． D． 12．下列计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 13．利用乘法公式计算，下列方法正确的是（   ） A． B． C． D． 14．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 15．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 通过对完全平方公式变形求值 16．若，则a、b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 17．若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 18．已知，则的值为（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 19．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 20．规定，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 完全平方公式在几何图形中的应用 21．借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图（1）是长，宽分别为a和b的小长方形，用4个这样的小长方形围成图（2）所示的两个正方形，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y．观察图形，下列4个结论中，正确的个数是（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 22．如图，两个正方形边长分别为，．已知，阴影部分的面积为14，则值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 23．如图，有两个正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放置在A的内部得到图甲，将A，B并列放置．以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和14，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 24．有如图所示的A，B，C三种纸片若干张，棋盘要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，如选取A纸片9张，再取B纸片1张，还需要取C纸片（   ） A．12张 B．10张 C．6张 D．4张 25．如图，有两个正方形，，其边长分别表示为，现将放置在的内部得到图甲，将，并列放置，以正方形与正方形的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 求完全平方式中字母系数 26．已知(为常数)是一个完全平方式，则的值为( ) A．4 B． C． D． 27．若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（ ） A． B． C．16 D． 28．若恰是另一个整式的平方，则常数k的值为（   ） A．9 B．3 C． D． 29．若是完全平方式，则的值是（　　） A．-6 B．6 C． D．±36 30．已知是完全平方式，则的值为（    ） A．±4 B．±2 C．2 D．4 学科网（北京）股份有限公司 $