11.1幂的运算（基础篇）讲义2025-2026学年华东师大版 数学八年级上册

11.1幂的运算 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、同底数幂的乘法 1、法则：am·an·ap·……=am+n+p+……（m、n、p……均为正整数） 文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2、注意事项： （1）a可以是实数，也可以是代数式等。 如：2·3·4=2+3+4=9；(-2)2·(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25； ()3·()4=()3+4=()7；(a+b)3·(a+b)4·(a+b)= (a+b)3+4+1=(a+b)8 （2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。 （3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。 二、幂的乘方 1、法则：(am)n=amn（m、n均为正整数）。推广：｛[(am)n]p｝s=amn p s 文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 2、注意事项： （1）a可以是实数，也可以是代数式等。 如：(2)3=2×3=6；[()3]4=()3×4=()12；[(a-b)2]4= (a-b)2×4=(a-b)8 （2）运用时注意符号的变化。 （3）注意该法则的逆应用，即：amn= (am)n，如：a15= (a3)5= (a5)3 三、积的乘方 1、法则：(ab)n=anbn（n为正整数）。推广：(acde)n=ancndnen 文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。 2、注意事项： （1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。 如：(2)3=222=42；(×)2=()2×()2=2×3=6； (-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3；[(a+b)(a-b)]2=(a+b)2(a-b)2 （2）运用时注意符号的变化。 （3）注意该法则的逆应用，即：anbn =(ab)n；如：23×33= (2×3)3=63，(x+y)2(x-y)2=[(x+y)(x-y)]2 四、同底数幂的除法 1、法则：am÷an=am-n（m、n均为正整数，m＞n，a≠0） 文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2、注意事项： （1）a可以是实数，也可以是代数式等。 如：4÷3=4-3=；(-2)5÷(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4； ()6÷()4=()6-4=()2=2；(a+b)16÷(a+b)14= (a+b)16-14=(a+b)2=a2+2ab +b2 （2）注意a≠0这个条件。 （3）注意该法则的逆应用，即：am-n = am÷an；如：a x-y= ax÷ay，(x+y)2a-3=(x+y)2a÷(x+y)3 型 习 练 题 同底数幂相乘 1．若，则m的值为（   ） A．3 B．6 C．7 D．10 2．若a、b均为正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 5．计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 同底数幂乘法的逆应用 6．已知，其中为正整数，则（   ） A．5 B．6 C． D． 7．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．已知，，则的值是（    ） A．1 B． C．5 D．6 9．若，则等于（　　）． A．5 B．3 C．6 D．10 10．若，，则的值为（   ） A．20 B．12 C．64 D．16 幂的乘方运算 11．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 12．下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 13．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 14．如果，那么的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 15．已知，那么的值是（   ） A．48 B．24 C．72 D．36 幂的乘方的逆用 16．已知，则的值为（    ） A．6 B．12 C．72 D．108 17．已知，，则的值是（    ）． A．6 B．7 C．11 D．12 18．等于（   ） A． B． C． D． 19．已知，则的值为（    ） A．17 B．24 C．36 D．72 20．已知，，，则有（    ） A． B． C． D． 积的乘方运算 21．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 22．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 23．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 24．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 25．下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 积的乘方的逆用 26．的计算结果是（    ） A． B． C． D． 27．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 28．计算的结果是（ ） A． B． C． D．3 29．计算的结果是（   ） A．1 B．－1 C． D． 30．计算的结果为（   ） A．0 B．0.1 C． D．0.2 同底数幂的除法运算 31．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 32．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 33．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 34．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 35．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 同底数幂除法的逆用 36．若，则的值为（　　） A． B． C．4 D． 37．已知，，则的值是（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 38．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D．4 39．已知，则值为（   ） A．95 B．20 C．205 D． 40．已知，，则的值是（    ） A．1 B．6 C．8 D．14 幂的混合运算 41．计算： 42．计算： (1)． (2)________． 43．计算： 44．计算：． 45．计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1幂的运算 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、同底数幂的乘法 1、法则：am·an·ap·……=am+n+p+……（m、n、p……均为正整数） 文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2、注意事项： （1）a可以是实数，也可以是代数式等。 如：2·3·4=2+3+4=9；(-2)2·(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25； ()3·()4=()3+4=()7；(a+b)3·(a+b)4·(a+b)= (a+b)3+4+1=(a+b)8 （2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。 （3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。 二、幂的乘方 1、法则：(am)n=amn（m、n均为正整数）。推广：｛[(am)n]p｝s=amn p s 文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 2、注意事项： （1）a可以是实数，也可以是代数式等。 如：(2)3=2×3=6；[()3]4=()3×4=()12；[(a-b)2]4= (a-b)2×4=(a-b)8 （2）运用时注意符号的变化。 （3）注意该法则的逆应用，即：amn= (am)n，如：a15= (a3)5= (a5)3 三、积的乘方 1、法则：(ab)n=anbn（n为正整数）。推广：(acde)n=ancndnen 文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。 2、注意事项： （1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。 如：(2)3=222=42；(×)2=()2×()2=2×3=6； (-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3；[(a+b)(a-b)]2=(a+b)2(a-b)2 （2）运用时注意符号的变化。 （3）注意该法则的逆应用，即：anbn =(ab)n；如：23×33= (2×3)3=63，(x+y)2(x-y)2=[(x+y)(x-y)]2 四、同底数幂的除法 1、法则：am÷an=am-n（m、n均为正整数，m＞n，a≠0） 文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2、注意事项： （1）a可以是实数，也可以是代数式等。 如：4÷3=4-3=；(-2)5÷(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4； ()6÷()4=()6-4=()2=2；(a+b)16÷(a+b)14= (a+b)16-14=(a+b)2=a2+2ab +b2 （2）注意a≠0这个条件。 （3）注意该法则的逆应用，即：am-n = am÷an；如：a x-y= ax÷ay，(x+y)2a-3=(x+y)2a÷(x+y)3 型 习 练 题 同底数幂相乘 1．若，则m的值为（   ） A．3 B．6 C．7 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则：． 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 2．若a、b均为正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，将等式左边化简为，右边化简为，据此即可得到． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ， 故选 ：D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法． 根据同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查乘方运算的含义，同底数幂的乘法运算，先确定符号，再利用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故选： C． 5．计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂运算法则，解题的关键是能熟练运用该法则． 根据指数运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：A． 同底数幂乘法的逆应用 6．已知，其中为正整数，则（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则是解题的关键．利用同底数幂的乘法法则，将转化为与的乘积，再代入已知值计算． 【详解】解：∵， ∴ 故选：B． 7．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则是解题的关键．利用同底数幂的乘法法则将转化成，再代入已知值计算即可． 【详解】解： ，， ． 故选：D． 8．已知，，则的值是（    ） A．1 B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查指数运算的基本性质，直接应用法则即可求解.利用指数运算法则，同底数幂的乘法，底数不变，指数相加. 【详解】解：∵ ，， ∴ . 故选D. 9．若，则等于（　　）． A．5 B．3 C．6 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，根据逆用同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 10．若，，则的值为（   ） A．20 B．12 C．64 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，将转化为，再代入已知值计算即可 【详解】解：，， ， 故选：C 幂的乘方运算 11．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂的乘法和幂的乘方法则，准确计算是解题的关键． 需根据幂的运算法则逐一判断各选项，即可得解． 【详解】同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘； 选项：，错误； 选项：，错误； 选项：，正确； 选项：，错误． 故正确答案为． 12．下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算性质，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、幂的乘方以及同类项的概念． 根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同类项的合并规则，对每个选项进行分析判断． 【详解】解：A、与不是同类项，不能直接合并，所以，该选项错误； B、与不是同类项，不能直接合并，所以，该选项错误； C、根据幂的乘方法则，，该选项错误； D、根据同底数幂的乘法法则，，该选项正确． 故选：D． 13．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．和不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意； B． ，故 B正确，符合题意； C． ，故C错误，不符合题意； D．，故D错误，不符合题意． 故选B． 14．如果，那么的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题关键，根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， ， 解得：， 故选：B． 15．已知，那么的值是（   ） A．48 B．24 C．72 D．36 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方计算. 先根据幂的乘方计算法则求出，再由同底数幂乘法的逆运算法则得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴ ． 故选：C. 幂的乘方的逆用 16．已知，则的值为（    ） A．6 B．12 C．72 D．108 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算的逆用，逆用同底数幂的乘法，幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 17．已知，，则的值是（    ）． A．6 B．7 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的逆用等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 将 分解为 ，再计算 即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选D． 18．等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方．根据幂的乘方求得，再利用同底数幂相乘的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 19．已知，则的值为（    ） A．17 B．24 C．36 D．72 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． 先求出幂的乘方，再进行同底数幂的乘法运算． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 20．已知，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，幂的乘方的逆用． 将各数的指数转化为相同的次数，比较底数的大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴ 即． 故选：A ． 积的乘方运算 21．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方． 根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，积的乘方法则进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意． 故选：C． 22．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算法则，掌握相关知识是解决问题的关键．幂的运算法则包括同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方．根据这些法则逐一验证各选项即可． 【详解】解： A、，原运算错误，故此选项不符合题意； B、，原运算错误，故此选项不符合题意； C、，运算正确，故此选项符合题意； D、，原运算错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 23．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据积的乘方，幂的乘方且负数的奇数次幂为负，偶数次幂为正逐项计算判断即可；本题主要考查了指数运算规则，包括积的乘方、幂的乘方以及负数的乘方运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：选项A：，故错误； 选项B：，故错误； 选项C：，故正确； 选项D：，故错误； 故选：C． 24．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，幂的乘方法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 25．下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方及合并同类项的法则，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方及合并同类项的法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法、积的乘方及合并同类项的法则逐一判断即可． 【详解】解：选项A、，所以选项A错误，不符合题意； 选项B、，所以选项 B正确，符合题意； 选项C、，所以选项C错误，不符合题意； 选项D、，所以选项 D错误，不符合题意． 故选：B． 积的乘方的逆用 26．的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，把原式先变形为，进一步变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 27．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂乘法及积的乘方的逆运算，将原式进行正确的变形是解题的关键． 利用同底数幂乘法及积的乘方得逆运算法则将原式变形后进行计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 原式 ， 故选：C． 28．计算的结果是（ ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，掌握该知识点是解题的关键． 先将化为，再根据积的乘方的逆运算进行计算即可； 【详解】解： ． 故选D． 29．计算的结果是（   ） A．1 B．－1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂乘法及积的乘方，将原式进行正确的变形是解题的关键．逆用同底数幂乘法及积的乘方法则将原式变形后进行计算即可． 【详解】∵ ， ∴ 原式 ． 故选：C． 30．计算的结果为（   ） A．0 B．0.1 C． D．0.2 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方和同底数幂相乘．逆用积的乘方法则和同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 同底数幂的除法运算 31．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方；利用幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方的运算法则分别对各项进行运算即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 32．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括幂的乘方、同底数幂的乘除法以及积的乘方．需逐一验证各选项是否符合这些规则． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C 33．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算性质，包括幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘法和除法．根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：∵根据幂的乘方性质，， ∴ ，选项A正确； 选项B中，； 选项C中，； 选项D中，． 故选：A． 34．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的运算，根据同底数幂的乘法和除法运算法则，幂的乘方和积的乘方运算法则分别计算判断即可，熟练掌握各计算法则是解题的关键． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B正确； C．，故C错误； D．，故D错误； 故选：B． 35．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂相乘（除）和合并同类项， 根据计算法则逐项计算，可得答案．同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；合并同类项，字母和其指数不变，系数相加减；幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【详解】解：因为，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C正确； 因为，所以D不正确． 故选：C． 同底数幂除法的逆用 36．若，则的值为（　　） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法逆运算，幂的乘方的逆运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．利用指数运算的性质，将 转化为 ，再代入已知值计算． 【详解】解：∵ , ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 37．已知，，则的值是（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，将表示为，然后代入已知值求解． 【详解】解：∵ ，且，， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 38．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法逆运算，幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 利用指数运算性质，将已知条件转化为以9为底的幂，然后代入所求表达式求解． 【详解】解： 故选：A． 39．已知，则值为（   ） A．95 B．20 C．205 D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则和幂的乘方法则的逆用．逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则把变形，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 40．已知，，则的值是（    ） A．1 B．6 C．8 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂除法逆用，幂的乘方逆用，熟练掌握运算法则，是解题的关键．逆用同底数幂除法和幂的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 幂的混合运算 41．计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式运算法则是解题的关键．先运算积和幂的乘方运算法则，再运用同底数幂相乘运算法则计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 42．计算： (1)． (2)________． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了幂的混合运算和积的乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）利用积的乘方和同底数幂乘法计算后，再计算减法即可； （2）逆用积的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 故答案为： 43．计算： 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项等知识；利用同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项的知识计算即可． 【详解】解： ． 44．计算：． 【答案】0 【分析】此题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项法则，解题关键在于掌握运算法则； 先根据幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则化简，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 45．计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $