第三十二章 概率初步（知识清单）数学人教版五四制九年级上册

第三十二章 概率初步 知识点01 随机事件与概率 1. 事件的类型：必然事件是在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。 2. 事件发生的可能性：必然事件发生的可能性为1；不可能事件发生的可能性为0；随机事件发生的可能性介于0和1之间。 3. 概率：对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。 4. 概率的计算：如果在一次试验中，有n种可能的结果，且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=m/n，0≤P(A)≤1。 5. 事件发生的可能性与概率的关系：事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0。 知识点02 用列举法求概率 1. 直接列举法：当事件涉及的对象比较单一且等可能结果数目较少时，可直接列举出所有等可能的结果，再利用概率公式P(A)=m/n求概率。 2. 列表法：当一次试验涉及两个因素，且可能出现的等可能结果数目较多时，常采用列表法。选其中一次操作或一个条件为横行，另一次操作或另一个条件为竖行，列出表格，再用概率公式计算。 3. 画树状图法：当一次试验涉及三个或更多个因素时，为不重不漏地列出所有等可能的结果，通常采用画树状图法。 知识点03 利用频率估计概率 1. 在大量重复实验中，如果事件A发生的频率m/n会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P(A)=p。 2. 用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增加，频率会越来越接近概率。 易错点1 模球实验中的有放回与无放回易错问题 1.易错问题总结： 有放回时，每次摸球概率独立不变，如连续摸2次红球概率为单次概率平方；无放回时概率受前次结果影响，需用组合数计算，易混淆两种情境下的概率公式。 计算“至少”类问题时，有放回可用对立事件简化，无放回易因忽略剩余球数变化导致计算错误。 2.注意事项总结 明确实验规则：判断是否放回，确定样本空间是否变化，有放回样本数恒定，无放回随次数减少。 区分有序与无序：有放回注重顺序，无放回用组合时需注意是否有序，避免重复或遗漏计数。 例题1．2023年10月15日上午，我校迎来了重量级嘉宾一曼联传奇球星，英超欧冠双料射手王德怀特·约克和陕西长安联合足球俱乐部优秀球员糜昊伦，与同学们面对面交流指导．为了进一步普及和推广足球运动，发扬光大“足球精神”，初一年级体育组在第二课堂活动中安排了班级之间的足球比赛．经过第一轮的比拼后，四个班级、、、进入半决赛．半决赛中对阵班级按如下方式决定：准备四张一模一样的卡片，在卡片的正面写上四个班级的名字，将卡片背面朝上放在桌上，随机地从中依次无放回地抽取两张卡片，抽取到的两张卡片代表的班级比赛，剩余两个班级进行比赛． (1)抽第一张卡片时，抽到班的概率为________； (2)请用树状图或者列表法求出半决赛中班与班进行比赛的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，注意是放回实验还是不放回实验是解题的关键． （1）根据概率公式直接得出答案； （2）根据题意先画列表列求出所有等可能结果数，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）∵有A、B、C、D四张卡片， ∴抽到D班的概率为． 故答案为：； （2）列表如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到A班和B班进行比赛的结果有2种， ∴半决赛中A班与B班进行比赛的概率为． 易错点2 几何概率问题 1.易错问题总结 混淆几何度量类型：误将长度、面积、体积等度量方式混用，如在平面问题中错用线段长度计算概率。 忽略等可能性：未确保基本事件在几何区域内均匀分布，导致概率计算基于非均匀模型而出错。 2.注意事项总结 明确几何模型：根据问题场景确定用长度、面积还是体积作为度量，保证样本空间与事件的度量维度一致。 验证均匀性：确认随机点在区域内等可能分布，必要时通过图形分割或坐标转换简化计算。 例题2．（1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为和的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 ． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 【答案】（1） （2） （3）乙获胜的概率大，理由见解析 【分析】本题考查几何概率的求法，掌握正方形面积和阴影部分面积的计算方法是解题关键． （1）用阴影部分的面积除以总面积即可； （2）用阴影部分的面积除以总面积即可； （3）分别求出两人获胜的概率即可解答． 【详解】解：（1）根据题意，图中正方形的面积为， 图中阴影部分的面积为：， 则它击中阴影部分的概率：； （2）∵图形的总面积为，阴影部分面积为， ∴点P恰好在阴影部分的概率是：； （3）乙获胜的概率大，理由如下： 由图可知：甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：， ∴， 故乙获胜的概率大． 易错点3 求概率涉及其他知识点的综合问题 1.易错问题总结 知识衔接断层：如与函数结合时，误将概率定义域等同于函数定义域；与数列结合时，忽略概率事件的递推逻辑。 逻辑分层混乱：多步骤问题中，混淆分步与分类计数原理，或在含统计图表题中误读数据与概率的对应关系。 2.注意事项总结 拆解知识链条：明确各模块衔接点，如用不等式确定概率事件范围时，先厘清变量取值逻辑。 分步验证逻辑：复杂问题按“事件分解→对应知识点套用→概率公式计算”分步推进，每步验证合理性。 例题3．甲、乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转． (1)甲先单独转A转盘，转到4的概率_____； (2)请用树状图或列表法列出所有可能的结果； (3)若指针所指的两个数字都是方程的解时，则甲获性；若指针所指的两个数字都不是方程的解时，则乙获胜．问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)甲获胜的概率更大，说明见解析 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解一元二次方程．解题的关键是注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，进行求解即可； （3）求出方程的解，分解求出两人获胜的概率，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，转到4的概率为； 故答案为： （2）由题意，列出树状图如下： （3）此游戏乙获胜的概率更大，理由如下： 解方程得：， 所以，从上表中可看出，指针所指的两个数字有12种等可能的结果， 其中两个数字都是方程的解有4次，两个数字都不是方程的解有2次， 所以，P（甲胜）=，P（乙胜）=， 所以，此游戏甲获胜的概率更大． 易错点4 概率与统计的综合易错问题 1.易错问题总结 数据解读偏差：误将频率直接等同于概率，忽略大样本下频率的稳定性；或混淆统计量（如均值、方差）与概率事件的关联。 抽样逻辑混淆：分层抽样中错算各层概率权重，或在独立性检验时误将相关性当作因果性，导致概率推断错误。 2.注意事项总结 明确频率与概率关系：用频率估计概率需基于足够样本，区分“实际数据”与“理论概率”的差异。 紧扣抽样与检验规则：按抽样方法确定概率计算的样本基数，独立性检验中严格遵循卡方值判断逻辑，不牵强关联。 例题4．2024年8月12日，2024巴黎奥运会落下帷幕．6名贵州籍运动员为国征战，赢得了3枚奥运金牌．射击运动员谢瑜在男子10米气手枪项目中获得金牌，为中国队夺得第三金，这也是贵州历史上第一个射击奥运冠军．为了解学生对观看奥运比赛的喜爱程度，某兴趣小组在本校随机抽取部分学生进行调查，被调查的每个学生按A（非常喜欢），B（比较喜欢），C（一般），D（不喜欢）四个等级进行评价．绘制成如下两幅不完整的统计图（如图①，图②）．请你结合图中信息解答下列问题： (1)这次被调查的学生共有________人；并补全条形统计图； (2)在A（非常喜欢），B（比较喜欢），C（一般），D（不喜欢）这四个等级中，选择________等级的人数是最多的，调查数据的中位数落在________等级． (3)学校决定成立“羽毛球”“篮球”“乒乓球”“排球”四个球类运动社团．若小亮、小颖都只能参加其中一个社团，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率． 【答案】(1)300，画图见解析 (2)B，B (3) 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合、求中位数、树状图求概率等知识点，从统计图中获取所需信息是解题的关键． （1）用组的人数除以其所占的百分比即可求得总人数；总人数减去组人数即可求出组的人数，最后补全条形统计图即可； （2）比较各个等级即可得出人数最多；根据中位数是第150、151个数据的平均数，即可解答； （3）先利用树状图确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：这次被调查的学生共有（人）， 故答案为：300； ∴组的人数为（人）， 补全条形统计图： （2）解：∵， ∴选择B等级的人数是最多的， 将所有数据按等级人数从小到大排列，有60人，有110人,有90人，有40人，总共有300个数据，中位数是第150和151个数据的平均数．前A和B等级共有人， 所以第150、151个数据都在等级，故中位数落在等级． 故答案为：B，B； （3）解：“羽毛球”“篮球”“乒乓球”“排球”四个球类运动社团分别用E、F、G、H， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中他们选择同一社团的结果有4种， ∴他们选择同一社团的概率为． 易错点5 概率与频率的综合易错问题 易错问题总结 1. 混淆概率与频率的概念：误将频率当作概率，忽略“大量重复试验”的前提。例如，仅做几次抛硬币试验，就认为正面朝上的频率等于概率，而概率是频率在大量试验下的稳定值。 2. 计算等可能结果时重复或遗漏：用列举法求概率时，对“等可能”理解不到位，导致结果重复计数或遗漏。比如同时掷两枚骰子，错误列举结果数量，影响概率计算的准确性。 注意事项总结 1. 明确概率与频率的关系：概率是理论值，频率是实验值，大量重复试验中频率才会趋近于概率，解题时需关注试验次数是否足够多。 2. 严谨列举等可能结果：使用列表法或树状图法时，务必确保所有结果不重不漏，且每个结果发生的可能性相等，以此保证概率计算的正确性。 例题5．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000 摸到白球的次数m 73 117 152 370 604 751 摸到白球的频率 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近___________；随机摸出一个球，摸到白球的概率是___________，摸到黑球的概率是___________；（保留两位小数） (2)试估算，口袋中黑球的个数是________，白球的个数是___________； (3)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌均匀，再任意摸出一个球，请用树状图的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 【答案】(1)，， (2)1，3 (3) 【分析】（1）本题考查了由频率估计概率，随着n的增大，频率逐渐稳定在，即得到摸到白球的概率，从而得到摸到黑球的概率． （2）本题考查了概率的相关计算，根据概率乘以总数即可解题． （3）本题考查了用树状图求概率，根据题意画出树状图，得到两次摸到的球的颜色正好相同的情况数再除以总的情况数，即可解题． 【详解】（1）解：由题意知，摸到白球的频率逐渐接近：， 则摸到白球的概率可看作：， 摸到黑球的概率：． 故答案为：，，； （2）解：由（1）可知摸到白球的概率为，摸到黑球的概率为，而小球总数为4， 所以口袋中黑球的个数：， 口袋中白球的个数：． 故答案为：1，3； （3）解：画树状图如下， 共有16种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色正好相同的有10种情况， 两次摸到的球的颜色正好相同的概率为． 一、单选题 1．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“最”  “美”  “辽”  “宁”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．从中任取一球，不放回，再从中任取一球，取出的两个球上的汉字恰能组成“辽宁”的概率是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了画树状图求概率，先画出树状图，即可得出所有可能出现的结果，及符合条件的结果，再根据概率公式得出答案，掌握树状图求概率是解题的关键． 【详解】解：画树状图如图， 一共有种可能出现的情况，取出的两个球上的汉字恰能组成“辽宁”的种情况， ∴取出的两个球上的汉字恰能组成“辽宁”的概率是， 故选：． 2．如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的半径为r，则扇形的面积为，根据将下面的阴影正好平分两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠，求出阴影部分的面积为：，然后求出概率即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，则扇形的面积为，记以、为直径的两个半圆的另一个交点为，    如图，连接，，，， ∵，， ∴， ∵点C在半圆上， ∴， ∴在上，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴将下面的阴影正好平分为两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠， ∴阴影部分的面积为：， ∴在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求几何概率，扇形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，直径所对的圆周角为直角，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，求出阴影部分的面积． 3．已知A，B两个口袋中都有6个分别标有数字0，1，2，3，4，5的彩球，所有彩球除标示的数字外没有区别．甲、乙两位同学分别从A，B两个口袋中随意摸出一个球．记甲摸出的球上数字为x，乙摸出的球上数字为y，数对对应平面直角坐标系内的点Q，则点Q落在以原点为圆心，半径为的圆上或圆内的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是用列表法或者用树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据已知列表得出所有结果，进而得出满足条件的点的个数为8个，即可求出点Q落在以原点为圆心，半径为的圆上或圆内的概率． 【详解】解：根据题意列表得出： 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 ∵数对对应平面直角坐标系内的点Q，点Q落在以原点为圆心， 半径为的圆上或圆内的横坐标、纵坐标的平方和小于或等于5， ∴满足横、纵坐标的平方和小于或等于5的点有、、、、、、、， ∴满足条件的点的个数为：8个，且所有的点由表可得共计36个， ∴点Q落在以原点为圆心，半径为的圆上或圆内的概率为：． 故选：A． 4．不透明的口袋里装有若干个除颜色外都相同的小球，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，得到一组统计数据（见下表），则下列说法错误的是（   ） 摸球的次数 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 A． B． C．摸到红球的概率约为0.60 D．若袋中有9个红球，则总球数有14个 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是理解频率与概率的关系，以及掌握频率的计算方法． 根据频率的计算公式“频率频数总数”，分别计算各选项中的值，再结合大量重复试验中频率稳定值可估计概率，对各选项进行判断． 【详解】解：A、计算100次摸球时的频率，，正确，不符合题意； B、300次摸球时，摸到红球的次数，正确，不符合题意； C、随着试验次数增加，频率稳定在0.60附近，可估计概率约为0.60，正确，不符合题意； D、若袋中有9个红球，由摸到红球的概率约为0.60可得，总球数有，故该选项说法错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题 5．在3张相同的小纸条上分别写有“石头”“剪子”“布”，将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，则甲取胜的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列表求概率．先列出表格得出所有可能出现的结果，进而得出符合条件的结果，再根据概率公式得出答案． 【详解】解：用表格列出所有可能的结果： 石头 剪子 布 石头 （石头，剪子） （石头，布） 剪子 （剪子，石头） （剪子，布） 布 （布，石头） （布，剪子） 由表格可知，共有6种可能的结果，并且它们的出现是等可能的．“甲取胜”记为事件，它的发生有3种可能．， 所以甲取胜的概率为． 故答案为： 6．1777年，法国科学家布丰提出了一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题．在平面上画有一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率，同时也证明了这个概率是．某数学兴趣小组做了这个试验来估计的近似值，他们取，得到试验数据如下： 试验次数 500 相交频数 157 相交频率 0.314 由此估计的近似值为 （精确到0.01） 【答案】 【分析】本题考查了频率估计概率，根据这个概率是，，得出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 则， ∴的近似值为， 故答案为：． 7．有甲、乙两个黑布袋，甲布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字和；乙布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字，，．小明从甲布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，再从乙布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，则满足有两个不相等实数根的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、列表法求概率，根据一元二次方程有两个不相等实数根，可得：，列表表示出的所有情况，可知共有种等可能的情况出现，其中满足的只有种，所以满足有两个不相等实数根的概率是. 【详解】解：有两个不相等实数根， ， ， 由表可知，共有种等可能的情况出现，其中满足的只有种， 满足有两个不相等实数根的概率是． 故答案为：． 8．2024年6月2日清晨，嫦娥六号成功着陆在月球背面南极——艾特肯盆地预选着陆区，开启了人类探测器首次在月球背面的样品采集任务．小亮同学是航天知识爱好者，他利用边长为的正方形制作出七巧板如图1，并拼出火箭模型如图2．在对火箭模型进行创意宣讲时，激光笔射出的小红点落在该模型的任意位置，它停在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查几何概率．用阴影部分的面积除以正方形的总面积，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ∴图③的面积为， 图④的面积为， 正方形的面积为， ∴停在阴影部分的概率为， 故答案为： 三、解答题 9．茂陵博物馆是以汉武帝茂陵、霍去病墓及大型石刻群等为主的西汉断代史博物馆，馆藏文物丰富．馆内文创店新推出四款特色明信片(除画面不同外，其他完全相同)，分别是：．马踏匈奴，．西汉鎏金马，．四神纹玉铺首，．四神纹铜染器，店员将这四款明信片各取一张背面朝上洗匀后放于展示台上． (1)小茂随机抽取一张明信片，则抽到“．西汉鎏金马”的概率是____________； (2)小茂想随机抽取两张明信片(先随机抽取一张，不放回，洗匀后再随机抽取一张)，一张送给朋友，一张自己收藏．请用列表法或画树状图法求他抽取的两张明信片中含有．四神纹玉铺首的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率公式、画树状图求概率等知识点，正确画出树状图是解题的关键． （1）直接运用概率公式求解即可； （2）先根据题意画出树状图确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】（1）总共有四张特色明信片，“．西汉鎏金马”是其中一张， ∴抽到“．西汉鎏金马”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 由上图可知共有12种等可能的结果，其中含有．四神纹玉铺首的结果有6种， ∴(抽取的两张明信片中含有．四神纹玉铺首)． 10．如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小颖的观点是对的，理由见解析 【分析】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键． （1）共有9种结果，转出数字9的结果有1种，利用概率公式计算即可； （2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是9的结果有1种， ∴P（转出数字9）； 故答案为：； （2）解：小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7）（转出红色）， 小颖的观点是对的． 11．某奶茶店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，店员记录了抽奖数据如下： 摸球的次数 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 14 33 95 155 241 298 602 摸到红球的频率                                    (1)通过以上摸奖数据，摸到红球的概率估计为________．（结果精确到） (2)若先从袋子中取出个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则________． (3)若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求的值． 【答案】(1) (2)12 (3)2 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应概率，还涉及了必然事件． （1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于 ； （2）根据题意可得需要拿出所有的红球即可； （3）根据题意可得拿掉个红球，加入个黑球后，则红球，总球数不变，再由概率公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：通过以上实验，摸到红球的概率估计为， 故答案为：； （2）解：∵估计摸到红球的概率为， ∴盒子里红球的数量为个， ∵“摸出黑球”为必然事件， ∴袋子只有黑球，需要拿出所有的红球， ， 故答案为：12 ； （3）解：由（2）知红球的数量为12个， 根据题意得， 解得：． 12．某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 (1)计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； (2)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)0.68、0.74、0.68 、0.69、0.68、0.70 (2) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，数值越来越精确． （1）根据频率的算法，频率＝频数÷总数，可得各个频率； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率． 【详解】（1）解： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70 （2）由表格可知：获得铅笔的概率约是； 故转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是． 13．为响应生态文明，增强居民环保意识，某社区举办“绿色生活”问答赛，答对道以上题目的居民可参与如图①的自由转盘抽奖（指针指向边界需重新转）．请根据以上信息，完成下列问题： (1)小远在此次问答赛中共答对道题目，他转到环保购物袋的概率是 ； (2)请你重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ，要求奖项包含内容同图①．你可以写出设计方案，也可以在图②中画出具体设计方法（标清楚具体奖项名称）． 【答案】(1) (2)设计方法见解析 【分析】本题考查了几何概率，掌握概率计算方法是解题的关键． （）用环保购物袋所在扇形的圆心角度数除以即可求解； （）根据概率求出各奖项所在扇形圆心角的度数，进而画出设计方法即可； 【详解】（1）解：环保购物袋所在扇形的圆心角度数为， ∴他转到环保购物袋的概率是， 故答案为：； （2）解：∵抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ， ∴环保卫士徽章所在扇形圆心角的度数为， 节能台灯所在扇形圆心角的度数为， 环保购物袋所在扇形的圆心角度数为， ∴谢谢参与所在扇形的圆心角度数为， ∴设计方法如图所示： 14．我市启动“阳光体育”活动以后，各中小学体育活动精彩纷呈，形式多样．现有四项体育活动：篮球、乒乓球、羽毛球、跳绳（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对以上四项活动的喜好程度，我市对中小学进行最喜好的体育活动抽样调查．并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图： (1)请补全条形统计图； (2)估计某校3000名学生中最喜欢乒乓球活动的人数约为__________人； (3)现从喜好篮球的甲、乙．丙、丁四名学生中任选两人参加校篮球队进行集训，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同时被选到的概率． 【答案】(1)图见解析 (2)1200； (3) 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得抽取的学生人数，再用抽取的学生人数乘以扇形统计图中C的百分比可得C类的人数，用抽取的学生人数分别减去A，C，D类的人数，求出B类的人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用3000乘以样本中B类的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及甲和丁同时被选到的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：抽取的学生人数为：（人）， 的人数为：（人）， 的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：估计全校3000名学生中最喜欢乒乓球活动的人数约为（人）， 故答案为：1200； （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好甲和丁被选到的结果有2种， 恰好甲和丁被选到的概率为． 15．高尔顿钉板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图1是一个竖直放置的高尔顿钉板，其中，灰色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A，处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的小球，小球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至小球落入下面的甲槽或乙槽内． (1)求从入口A，处投放一个小球落入甲槽内的概率； (2)某商家在研究了高尔顿钉板实验后，利用其进行抽奖促销活动销售一种商品．现有如下抽奖方案： 方案一：商品定价54元，顾客入店购买一件该商品，可以在图1所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元； 方案二：商品定价a元，商家改进高尔顿钉板后如图2所示，将钉子减少为3层．顾客入店购买一件该商品，可以在图2所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元． 已知一件该商品的成本为40元，假如某天有100人各购买了一件该商品，并参与了此抽奖，请估算若要使商家采用方案一获利不少于方案二，那么方案二中的定价a最高为多少元？并说明理由． 【答案】(1) (2)商品的定价最高为55元，理由见解析 【分析】本题考查了概率的计算与应用，解题的关键是通过树形图分析所有可能情况，结合概率公式进行计算，并根据获利情况建立不等式求解． （1）通过画树形图列出小球下落的所有可能情况，根据概率公式计算小球落入甲槽的概率． （2）分别计算方案一和方案二商家的获利，根据方案一获利不少于方案二列出不等式，求解得出方案二商品定价的最大值． 【详解】（1）解：根据题意，画出如下树形图， 共有8种等可能情况，其中落入甲槽内的有6种， ∴从入口处投放一个小球落人甲槽内的概率； （2）解：方案二中的定价最高为55元． 理由如下：由（1）知方案一中，从入口处投放一个小球落人甲槽内， ∴（从入口处投放一个小球落人乙槽内， 则商家的获利大约为（元）； 由题可知，方案二中，（从入口处投放一个小球落入甲槽内）， 从入口处投放一个小球落人乙槽内， 则商家的获利大约为（元）； ∵要使商家采用方案一的获利不少于方案二，则，解得， 故方案二中商品的定价最高为55元． 16．某中学开展“国庆70周年阅兵盛典观看情况”调查活动，随机调查了部分初中生观看阅兵盛典的收视情况，并将调查结果统计后绘制成如图1和图2所示的不完整统计图． (1)被调查初中生的人数为 人； (2)把条形统计图补充完整； (3)若该学校有学生1000人，请估计该校没观看阅兵盛典的学生人数？ (4)某班级3名同学都观看了阅兵盛典，1人完整看完，1人看一多半，一人看一少半，要从这3人中任选2人写观后感在班级交流，请用列表法或画树形图法求选出的2人恰好1人全看完，1人看一多半的概率． 【答案】(1) (2)见解析 (3)估计该校没观看阅兵盛典的学生人数为人 (4) 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图信息关联，样本估计总体，画树状图法求概率； （1）由“看完整”的人数及其所占百分比可得被调查初中生的人数， （2）用总人数减去其它类型人数求得“看一多半”的人数，据此补全图形即可； （3）用总人数乘以样本中“没看”人数所占百分比可得； （4）设甲完整看完，乙看一多半，丙看一少半，根据画树状图法即可求得结果． 【详解】（1）解：被调查初中生的人数为：（人） 故答案为：． （2）“看一多半”的人数为：（人） 补全条形图如下： （3）（人） 答：估计该校没观看阅兵盛典的学生人数为人； （4）解：设甲完整看完，乙看一多半，丙看一少半 共有种等可能结果，其中恰好1人全看完，1人看一多半的有种， ∴恰好1人全看完，1人看一多半的概率为 17．某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 【答案】(1)、 (2)， (3) 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：、； （2）解：若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是； 故答案为：，； （3）解：，，， ． 18．某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试（测试满分为10分），并将这20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，并制成了如下统计图表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲组 8 8 乙组 8.3 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空：________，________，_________； (2)该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9分及以上的人数； (3)现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 【答案】(1)8.3  8.5  7 (2)估计测试成绩达到9分及以上的人数有144名 (3) 【分析】（1）从折线统计图中可以看出，甲组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人，根据平均数的定义计算可得甲组的平均数；从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人；根据中位数的定义可以得到乙组的中位数为、众数为； （2）计算出抽取的人中得分及以上的人的数量占总人数的比例为，用九年级总人数计算出九年得分及以上的人的数量； （3）运用列表法表示出随机抽出人总共有种情况，其中抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的有种情况，从而得到抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为． 【详解】（1）解：从折线统计图中可以看出，甲组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人， 甲组的平均数为， 从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人， 乙组的中位数为， 乙组中出现次数最多的数据是， 乙组的众数为， 故答案为，，； （2）（名） 答：估计测试成绩达到9分及以上的人数有144名； （3）将甲组满分为10分的一名学生记为A，乙组满分为10分的两名学生分别记为B，C，列表如下： A B C A B C 共有6种等可能的结果，其中所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有共4种， ∴所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，条形统计图、折线统计图以及样本估计总体，掌握中位数、众数平均数的计算方法是正确解答的前提，列举出所有可能出现的结果是计算概率的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十二章 概率初步 知识点01 随机事件与概率 1. 事件的类型：必然事件是在一定条件下 的事件；不可能事件是在一定条件下必然 的事件；随机事件是在一定条件下 的事件。 2. 事件发生的可能性：必然事件发生的可能性为 ；不可能事件发生的可能性为 ；随机事件发生的可能性介于 之间。 3. 概率：对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的 称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。 4. 概率的计算：如果在一次试验中，有n种可能的结果，且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)= ，0≤P(A)≤1。 5. 事件发生的可能性与概率的关系：事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0。 知识点02 用列举法求概率 1.  法：当事件涉及的对象比较单一且等可能结果 时，可直接列举出所有等可能的结果，再利用概率公式P(A)=m/n求概率。 2.  法：当一次试验涉及 ，且可能出现的等可能结果数目较多时，常采用列表法。选其中一次操作或一个条件为横行，另一次操作或另一个条件为竖行，列出表格，再用概率公式计算。 3.  法：当一次试验涉及 或 时，为不重不漏地列出所有等可能的结果，通常采用画树状图法。 知识点03 利用频率估计概率 1. 在大量重复实验中，如果事件A发生的频率m/n会稳定在某个 ，那么这个 就叫做事件A的概率，记为P(A)=p。 2. 用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的 ，频率会越来越接近 。 易错点1 模球实验中的有放回与无放回易错问题 1.易错问题总结： 有放回时，每次摸球概率独立不变，如连续摸2次红球概率为单次概率平方；无放回时概率受前次结果影响，需用组合数计算，易混淆两种情境下的概率公式。 计算“至少”类问题时，有放回可用对立事件简化，无放回易因忽略剩余球数变化导致计算错误。 2.注意事项总结 明确实验规则：判断是否放回，确定样本空间是否变化，有放回样本数恒定，无放回随次数减少。 区分有序与无序：有放回注重顺序，无放回用组合时需注意是否有序，避免重复或遗漏计数。 例题1．2023年10月15日上午，我校迎来了重量级嘉宾一曼联传奇球星，英超欧冠双料射手王德怀特·约克和陕西长安联合足球俱乐部优秀球员糜昊伦，与同学们面对面交流指导．为了进一步普及和推广足球运动，发扬光大“足球精神”，初一年级体育组在第二课堂活动中安排了班级之间的足球比赛．经过第一轮的比拼后，四个班级、、、进入半决赛．半决赛中对阵班级按如下方式决定：准备四张一模一样的卡片，在卡片的正面写上四个班级的名字，将卡片背面朝上放在桌上，随机地从中依次无放回地抽取两张卡片，抽取到的两张卡片代表的班级比赛，剩余两个班级进行比赛． (1)抽第一张卡片时，抽到班的概率为________； (2)请用树状图或者列表法求出半决赛中班与班进行比赛的概率． 易错点2 几何概率问题 1.易错问题总结 混淆几何度量类型：误将长度、面积、体积等度量方式混用，如在平面问题中错用线段长度计算概率。 忽略等可能性：未确保基本事件在几何区域内均匀分布，导致概率计算基于非均匀模型而出错。 2.注意事项总结 明确几何模型：根据问题场景确定用长度、面积还是体积作为度量，保证样本空间与事件的度量维度一致。 验证均匀性：确认随机点在区域内等可能分布，必要时通过图形分割或坐标转换简化计算。 例题2．（1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为和的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 ． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 易错点3 求概率涉及其他知识点的综合问题 1.易错问题总结 知识衔接断层：如与函数结合时，误将概率定义域等同于函数定义域；与数列结合时，忽略概率事件的递推逻辑。 逻辑分层混乱：多步骤问题中，混淆分步与分类计数原理，或在含统计图表题中误读数据与概率的对应关系。 2.注意事项总结 拆解知识链条：明确各模块衔接点，如用不等式确定概率事件范围时，先厘清变量取值逻辑。 分步验证逻辑：复杂问题按“事件分解→对应知识点套用→概率公式计算”分步推进，每步验证合理性。 例题3．甲、乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转． (1)甲先单独转A转盘，转到4的概率_____； (2)请用树状图或列表法列出所有可能的结果； (3)若指针所指的两个数字都是方程的解时，则甲获性；若指针所指的两个数字都不是方程的解时，则乙获胜．问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明． 易错点4 概率与统计的综合易错问题 1.易错问题总结 数据解读偏差：误将频率直接等同于概率，忽略大样本下频率的稳定性；或混淆统计量（如均值、方差）与概率事件的关联。 抽样逻辑混淆：分层抽样中错算各层概率权重，或在独立性检验时误将相关性当作因果性，导致概率推断错误。 2.注意事项总结 明确频率与概率关系：用频率估计概率需基于足够样本，区分“实际数据”与“理论概率”的差异。 紧扣抽样与检验规则：按抽样方法确定概率计算的样本基数，独立性检验中严格遵循卡方值判断逻辑，不牵强关联。 例题4．2024年8月12日，2024巴黎奥运会落下帷幕．6名贵州籍运动员为国征战，赢得了3枚奥运金牌．射击运动员谢瑜在男子10米气手枪项目中获得金牌，为中国队夺得第三金，这也是贵州历史上第一个射击奥运冠军．为了解学生对观看奥运比赛的喜爱程度，某兴趣小组在本校随机抽取部分学生进行调查，被调查的每个学生按A（非常喜欢），B（比较喜欢），C（一般），D（不喜欢）四个等级进行评价．绘制成如下两幅不完整的统计图（如图①，图②）．请你结合图中信息解答下列问题： (1)这次被调查的学生共有________人；并补全条形统计图； (2)在A（非常喜欢），B（比较喜欢），C（一般），D（不喜欢）这四个等级中，选择________等级的人数是最多的，调查数据的中位数落在________等级． (3)学校决定成立“羽毛球”“篮球”“乒乓球”“排球”四个球类运动社团．若小亮、小颖都只能参加其中一个社团，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率． 易错点5 概率与频率的综合易错问题 易错问题总结 1. 混淆概率与频率的概念：误将频率当作概率，忽略“大量重复试验”的前提。例如，仅做几次抛硬币试验，就认为正面朝上的频率等于概率，而概率是频率在大量试验下的稳定值。 2. 计算等可能结果时重复或遗漏：用列举法求概率时，对“等可能”理解不到位，导致结果重复计数或遗漏。比如同时掷两枚骰子，错误列举结果数量，影响概率计算的准确性。 注意事项总结 1. 明确概率与频率的关系：概率是理论值，频率是实验值，大量重复试验中频率才会趋近于概率，解题时需关注试验次数是否足够多。 2. 严谨列举等可能结果：使用列表法或树状图法时，务必确保所有结果不重不漏，且每个结果发生的可能性相等，以此保证概率计算的正确性。 例题5．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000 摸到白球的次数m 73 117 152 370 604 751 摸到白球的频率 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近___________；随机摸出一个球，摸到白球的概率是___________，摸到黑球的概率是___________；（保留两位小数） (2)试估算，口袋中黑球的个数是________，白球的个数是___________； (3)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌均匀，再任意摸出一个球，请用树状图的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 一、单选题 1．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“最”  “美”  “辽”  “宁”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．从中任取一球，不放回，再从中任取一球，取出的两个球上的汉字恰能组成“辽宁”的概率是 （    ） A． B． C． D． 2．如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 3．已知A，B两个口袋中都有6个分别标有数字0，1，2，3，4，5的彩球，所有彩球除标示的数字外没有区别．甲、乙两位同学分别从A，B两个口袋中随意摸出一个球．记甲摸出的球上数字为x，乙摸出的球上数字为y，数对对应平面直角坐标系内的点Q，则点Q落在以原点为圆心，半径为的圆上或圆内的概率为（　　） A． B． C． D． 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 4．不透明的口袋里装有若干个除颜色外都相同的小球，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，得到一组统计数据（见下表），则下列说法错误的是（   ） 摸球的次数 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 A． B． C．摸到红球的概率约为0.60 D．若袋中有9个红球，则总球数有14个 二、填空题 5．在3张相同的小纸条上分别写有“石头”“剪子”“布”，将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，则甲取胜的概率为 ． 石头 剪子 布 石头 （石头，剪子） （石头，布） 剪子 （剪子，石头） （剪子，布） 布 （布，石头） （布，剪子） 6．1777年，法国科学家布丰提出了一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题．在平面上画有一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率，同时也证明了这个概率是．某数学兴趣小组做了这个试验来估计的近似值，他们取，得到试验数据如下： 试验次数 500 相交频数 157 相交频率 0.314 由此估计的近似值为 （精确到0.01） 7．有甲、乙两个黑布袋，甲布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字和；乙布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字，，．小明从甲布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，再从乙布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为，则满足有两个不相等实数根的概率是 ． 8．2024年6月2日清晨，嫦娥六号成功着陆在月球背面南极——艾特肯盆地预选着陆区，开启了人类探测器首次在月球背面的样品采集任务．小亮同学是航天知识爱好者，他利用边长为的正方形制作出七巧板如图1，并拼出火箭模型如图2．在对火箭模型进行创意宣讲时，激光笔射出的小红点落在该模型的任意位置，它停在阴影部分的概率为 ． 三、解答题 9．茂陵博物馆是以汉武帝茂陵、霍去病墓及大型石刻群等为主的西汉断代史博物馆，馆藏文物丰富．馆内文创店新推出四款特色明信片(除画面不同外，其他完全相同)，分别是：．马踏匈奴，．西汉鎏金马，．四神纹玉铺首，．四神纹铜染器，店员将这四款明信片各取一张背面朝上洗匀后放于展示台上． (1)小茂随机抽取一张明信片，则抽到“．西汉鎏金马”的概率是____________； (2)小茂想随机抽取两张明信片(先随机抽取一张，不放回，洗匀后再随机抽取一张)，一张送给朋友，一张自己收藏．请用列表法或画树状图法求他抽取的两张明信片中含有．四神纹玉铺首的概率． 10．如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 11．某奶茶店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，店员记录了抽奖数据如下： 摸球的次数 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 14 33 95 155 241 298 602 摸到红球的频率                                    (1)通过以上摸奖数据，摸到红球的概率估计为________．（结果精确到） (2)若先从袋子中取出个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则________． (3)若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求的值． 12．某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 (1)计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； (2)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少（结果保留小数点后一位）？ 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70 13．为响应生态文明，增强居民环保意识，某社区举办“绿色生活”问答赛，答对道以上题目的居民可参与如图①的自由转盘抽奖（指针指向边界需重新转）．请根据以上信息，完成下列问题： (1)小远在此次问答赛中共答对道题目，他转到环保购物袋的概率是 ； (2)请你重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ，要求奖项包含内容同图①．你可以写出设计方案，也可以在图②中画出具体设计方法（标清楚具体奖项名称）． 14．我市启动“阳光体育”活动以后，各中小学体育活动精彩纷呈，形式多样．现有四项体育活动：篮球、乒乓球、羽毛球、跳绳（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对以上四项活动的喜好程度，我市对中小学进行最喜好的体育活动抽样调查．并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图： (1)请补全条形统计图； (2)估计某校3000名学生中最喜欢乒乓球活动的人数约为__________人； (3)现从喜好篮球的甲、乙．丙、丁四名学生中任选两人参加校篮球队进行集训，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同时被选到的概率． 15．高尔顿钉板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图1是一个竖直放置的高尔顿钉板，其中，灰色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A，处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的小球，小球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至小球落入下面的甲槽或乙槽内． (1)求从入口A，处投放一个小球落入甲槽内的概率； (2)某商家在研究了高尔顿钉板实验后，利用其进行抽奖促销活动销售一种商品．现有如下抽奖方案： 方案一：商品定价54元，顾客入店购买一件该商品，可以在图1所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元； 方案二：商品定价a元，商家改进高尔顿钉板后如图2所示，将钉子减少为3层．顾客入店购买一件该商品，可以在图2所示的钉板上玩一次游戏，小球落入甲槽内则该商品立减2元，落入乙槽内则该商品立减6元． 已知一件该商品的成本为40元，假如某天有100人各购买了一件该商品，并参与了此抽奖，请估算若要使商家采用方案一获利不少于方案二，那么方案二中的定价a最高为多少元？并说明理由． 16．某中学开展“国庆70周年阅兵盛典观看情况”调查活动，随机调查了部分初中生观看阅兵盛典的收视情况，并将调查结果统计后绘制成如图1和图2所示的不完整统计图． (1)被调查初中生的人数为 人； (2)把条形统计图补充完整； (3)若该学校有学生1000人，请估计该校没观看阅兵盛典的学生人数？ (4)某班级3名同学都观看了阅兵盛典，1人完整看完，1人看一多半，一人看一少半，要从这3人中任选2人写观后感在班级交流，请用列表法或画树形图法求选出的2人恰好1人全看完，1人看一多半的概率． 17．某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 18．某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试（测试满分为10分），并将这20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，并制成了如下统计图表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲组 8 8 乙组 8.3 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空：________，________，_________； (2)该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9分及以上的人数； (3)现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． A B C A B C 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $