专题27.1 圆的基本元素与圆的对称性（高效培优讲义）数学华东师大版九年级下册

专题27.1 圆的基本元素与圆的对称性 教学目标 1.通过观察实验操作，使学生理解圆的定义. 2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念. 3.理解圆心角概念和圆的旋转不变性. 4.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，以及它们在解题过程中的应用. 5.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性. 6.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题. 教学重难点 1、重点：（1）经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关概念.（2）圆心角、弦、弧之间的关系及其理解应用.（3）垂直于弦的直径所具有的性质以及证明. 2、难点：（1）理解圆的概念的形成过程和圆的集合定义．（2）从圆的旋转不变性出发，发现并论证圆心角、弦、弧之间的关系.（3）利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题. 知识点01 圆的概念 ★1、圆的定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周 ，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做 圆心 ，线段OA叫做 半径 ．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“ 圆O ”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． ★2、确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 知识点02 与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫弦； 直径：经过圆心的 弦 叫直径,是圆中最长的弦； 弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧； 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆 ； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示，如图中 叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示，如图中 叫做劣弧； 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆； 等弧：能够互相重合的弧叫做等弧； 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.一个圆心角所对的弧是唯一的. 【注意】 1、半圆是弧，但弧不一定是半圆.弧包括优弧、劣弧和半圆.半圆既不是优弧也不是劣弧. 2、等弧只能出现在同圆或等圆中. 知识点03 弧、弦、圆心角的关系 ★1.圆的旋转对称性 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 因此，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称轴. ◆2、弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等． 【注意】 （1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，圆心角所对的弧、弦也不一定相等． （2）因为弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”． 知识点04 垂径定理 ★1.圆的轴对称性 圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，它的对称中心是圆心. ◆2、垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的依据是圆的轴对称的性质. 推导格式： ◆3、垂径定理的用法： （1）连接圆心与弦的一端，与过圆心且垂直与弦的线段和弦的一半构成直角三角形（即垂径定理三角形），利用勾股定理列式求值. （2）如图弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系： （3）r ,a，d，h，已知其中任意两个量，即可求出另外两个量. ◆4、垂径定理的推论： （1）垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）垂径定理及其推论：一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） ◆3、垂径定理的几个基本图形： 题型01与圆有关的概念 【典例1】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）已知的半径是，则中最长的弦长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆的性质． 根据直径是圆中最长的弦解答即可． 【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，的半径为， ∴⊙O最长的弦为， 故选：B． 【变式1-1】下列命题中错误的有（    ） ①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是一个圆中最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是要熟悉圆的有关概念．根据圆的弦、弧的概念判断即可． 【详解】解：①弦是圆上任意两点之间的线段，故原说法错误； ②半径不是弦，故原说法错误； ③直径是一个圆中最长的弦，说法正确； ④弧不一定是半圆，半圆是弧，故原说法错误， 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）下列说法正确的个数是（   ） ①直径是圆的对称轴；②半径相等的两个半圆是等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④优弧一定大于劣弧． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了圆的相关概念． 根据圆的相关概念作答即可． 【详解】解：直径所在的直线是圆的对称轴，所以①错误； 半径相等的两个半圆是等弧，所以②正确； 能完全重合的两条弧是等弧，所以③错误； 同圆或等圆中优弧一定大于劣弧，所以④错误． 故选A． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）下列命题中正确的是（   ） ①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧． A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥ 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理，运用直径的定义与性质即可判断①③⑤是否正确；运用“比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧” 即可判断②④是否正确；运用“在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧”即可判断⑥⑧是否正确；运用“圆上两点间的部分叫做圆弧”即可判断⑦是否正确．解题的关键是理解命题有题设和结论两部分组成． 【详解】解：直径是圆中最长的弦，故①正确； 弧不一定是半圆，故②错误； 直径是线段不是直线，故③错误； 半圆是弧，故④错误； 直径是弦，故⑤错误； 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故⑥错误； 圆上两点间的部分叫做圆弧，故⑦错误； ⑧∵在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧， ∴大小不等的圆中不存在等弧，该命题正确． ∴正确的命题是①⑧． 故选：A． 题型02 确定圆的条件 【典例2】（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可． 【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则： A、经过一个点P的圆有无数个，正确； B、以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确； C、半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确； D、以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误． 故选：D． 【变式2-1】（2024秋•广平县期末）下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．经过已知点M B．以点O为圆心，10cm长为半径 C．以10cm长为半径 D．以点O为圆心 【答案】B． 【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴B选项正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 【变式2-2】下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．已知圆心O B．已知半径r＝5cm C．已知圆心O，半径r＝5cm D．已知点A为圆上一点 【答案】C． 【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 【变式2-3】已知点A，B，且AB＜4，画经过A，B两点且半径为2的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C． 【分析】作AB的垂直平分线，在垂直平分线上找到A、B两点距离为2的点，该点有两个． 【详解】解：根据题意作图如下， 由图可知经过A，B两点且半径为2的圆有2个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查确定圆的条件的知识点，此题不是很难，但需要有较强的作图能力． 题型03 圆中角度的计算 【典例3】（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．利用平行线的性质求出的度数，再根据等腰三角形的性质求出的度数，进而得出的度数，最后由等腰三角形性质求． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 故选：C． 【变式3-1】（2024·广东广州·模拟预测）如图，在中，弦与半径平行，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本概念，三角形内角和定理，等边对等角等知识，由平行线的性质得出的度数，由等边对等角得出的度数，由角的和差得出的度数，然后由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式3-2】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，点，在上，且点，在的异侧，连接，，．若，且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，同圆半径相等，等边对等角，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关性质和定理．由平行线的性质，可得的度数，从而可得的度数，根据三角形的内角和定理计算可得的度数，再根据平角的定义即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， 故答案为： 【变式3-3】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）如图，以的直角顶点为圆心，以的长为半径的圆分别交 于点，交于点，连接．若，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了圆的有关概念，等边对等角，直角三角形的性质，三角形内角和定理，由直角三角形性质可得，又，然后通过等边对等角，三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∵， ∴是等腰三角形，， ∴． 题型04 圆中线段长度的计算 【典例4】（2024•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（　　） A． B．8 C．6 D．5 【答案】D． 【分析】连结CD，根据直角三角形斜边中线定理求解即可． 【详解】解：如图，连结CD， ∵CD是直角三角形斜边上的中线， ∴CDAB10＝5． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【变式4-1】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点 B作的垂线交圆O于点C，以为边作矩形，连接．若，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，线段的和差，解题的关键是熟练掌握以上性质． 连接，根据矩形的性质得出相等的边和直角，利用勾股定理和线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：C． 【变式4-2】（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】根据，，可得四边形是菱形，则可得，进而可得是等边三角形，，由可得，进而可得是等边三角形，则可得． 本题考查了菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，以及圆的相关知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】 解：连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵, ∴四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：1 【变式4-3】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是半圆O的直径，正方形和正方形彼此相邻且内接于半圆O，点A，B，F在半圆上，点C，D，G在直径上，点E在上，正方形的面积为16． (1)求证：； (2)求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，即可证明； （2）设，则，由勾股定理得到，求出，即可得到的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 设，则， ∵正方形的面积， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得（舍去负值）， ∴，， ∴， ∴半径长是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆的性质等知识点，关键是由勾股定理求出的长． 题型05 弧、弦、圆心角的关系辨析 【典例5】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 C．等弧所对的弦相等 D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本概念，弧、弦、圆心角之间的关系，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据圆的相关性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误，不符合题意； B、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故原说法错误，不符合题意； C、等弧所对的弦相等，故原说法正确，符合题意； D、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式5-1】下列关于“圆周角及圆心角”的说法不正确的是（   ） A．圆心角的度数与其所对的弧的度数相等 B．顶点在圆周上的角叫做圆周角 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等 D．在圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角与圆心角的基本概念及性质，根据圆周角与圆心角的基本概念及性质逐一分析即可，掌握圆周角与圆心角的基本概念及性质是解题的关键． 【详解】解：、 圆心角的度数等于其对应弧的度数，原选项说法正确，不符合题意； 、 圆周角定义要求顶点在圆上且两边与圆相交，原选项说法错误，符合题意； 、同圆或等圆中，相等圆心角所对的弦相等，原选项说法正确，不符合题意； 、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 【变式5-2】下列说法中，正确的是（　　） A．等弦所对的弧相等 B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 【答案】B． 【分析】根据题意画出符合已知条件的图形，再逐个判断即可． 【详解】解：A．如图， 弦AB＝弦AB，但是所对的两段弧不相等，故本选项不符合题意； B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，故本选项符合题意； C．如图， ∠AOB＝∠COD，但是弦AB和弦CD不相等，故本选项不符合题意； D．如图， 弦AB＝弦AB，但是圆心角∠ADB和∠ACB不相等，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，如果其中有一对量相等，那么其余两对量也分别相等． 【变式5-3】（2025九年级上·江苏·专题练习）下列语句中： ①直径是弦，弦是直径； ②平分弦的直径垂直于弦； ③长度相等的弧是等弧； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴； ⑤相等的圆心角所对的弧长相等． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据圆的认识、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系对各小题进行逐一判断即可． 【详解】①直径是弦，但弦不一定是直径，说法错误； ②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，说法错误； ③同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，说法错误； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，符合圆的性质，说法正确； ⑤弧长由圆心角和半径决定，相等的圆心角所对的弧长不一定相等，说法错误． 故选：A． 题型06 利用弧、弦、圆心角的关系求角度 【典例6】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先根据圆心角、弧、弦的关系得到，然后利用平角的定义计算的度数，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式6-1】（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查弧、弦、圆心角之间的关系，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质． 连接，由已知可得，从而可得，根据三角形的内角和定理，结合等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：连接， ∵、是的弦，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 【变式6-2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数． 【分析】连接AD，根据直角三角形的两锐角互余求出∠C，根据∠ADC＝∠C＝70°，根据三角形内角和定理求出∠CAD＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝40°，求出∠DAE＝50°，再根据等腰三角形的性质得出∠DEA＝∠ADE，再求出答案即可． 【详解】解：连接AD， ∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°， ∴∠C＝90°﹣∠ABC＝70°， ∵AC＝AD， ∴∠ADC＝∠C＝70°， ∴∠CAD＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝40°， ∵∠CAB＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°， ∵AD＝AE， ∴∠DEA＝∠ADE（180°﹣∠DAE）＝65°． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和直角三角形的性质等知识点，能熟记等边对等角和直角三角形的两锐角互余是解此题的关键． 题型07 利用弧、弦、圆心角的关系求线段长 【典例7】如图，点A在半圆O上，BC是直径，．若AB＝2，则BC的长为 　 　． 【答案】． 【分析】连接OA，由圆心角，弦，弧的关系可得OA⊥BC，结合等腰直角三角形的性质可求解OB的长，进而可求解BC的长． 【详解】解：连接OA， ∵，BC是直径， ∴OA⊥BC， ∵OA＝OB，AB＝2， ∴OA＝OB， ∴BC＝2OA． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆周角，弦，弧的关系，等腰直角三角形的性质，求解OA，OB的长是解题的关键． 【变式7-1】（2024秋•芜湖期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB，BC＝1，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E连接AC．证明△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE，EC，AC，可得结论． 【详解】解：过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E连接AC． ∵∠AOC＝90°， ∴∠ABC（360°﹣90°）＝135°， ∴∠ABE＝45°， ∵∠E＝90°，AB， ∴AE＝EB＝1， ∵BC＝1， ∴EC＝2， ∴AC， ∴OA＝OCAC． 故选：C． 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式7-2】（2024•贵池区二模）如图，点C是直径AB的三等分点（AC＜CB），点D是弧ADB的三等分点（弧BD＜弧AD），若直径AB＝12，则DC的长为 　 　． 【答案】2． 【分析】过D作DE⊥AB于E，求出∠DOB＝60°，解直角三角形求出DE、OE的长度，求出CE，再根据勾股定理求出DC即可． 【点睛】解：过D作DE⊥AB于E，则∠DEC＝90°， ∵点C是直径AB的三等分点（AC＜CB），直径AB＝12， ∴AC＝4，BC＝8，OD＝OA＝OB＝6， ∴CO＝2， ∵点D是弧ADB的三等分点（弧BD＜弧AD）， ∴∠DOB60°， ∴∠ODE＝30°， ∴OEOD＝3，DE3， ∴CE＝OE+CO＝3+2＝5， ∴DC2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和直角三角形的性质，能求出∠DOB＝60°和半径的长度是解此题的关键． 【变式7-3】如图，在⊙O中，ACAB，直径BC＝2，，则AD＝　 　． 【答案】3． 【分析】如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．证明四边形DEAF是正方形，可得ADAF，想办法求出AF，可得结论． 【详解】解：如图，连接DB，DC，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F． ∵BC是直径， ∴∠BAC＝90°， ∵BC＝2，AB＝2AC， ∴AC＝2，AB＝4， ∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°， ∴四边形DEAF是矩形， ∵AD平分∠BAC， ∴DE＝DF， ∴四边形DEAF是正方形， ∴ADAF， ∵∠DAB＝∠DAC， ∴， ∴BD＝CD， ∵∠DEB＝∠F＝90°，DB＝DC，DE＝DF， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）， ∴BE＝CF， ∴AB+AC＝AE+BE＝AF﹣CF＝2AF＝6， ∴AF＝3， ∴ADAF＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，特殊四边形解决问题． 题型08 弧、弦、圆心角中的倍数关系 【典例8】如图，在同圆中，若∠AOB＝2∠COD，则AB与2CD的大小关系是（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．不能确定 【答案】B． 【分析】根据角平分线的性质得出∠AOE＝∠EOB，进而利用圆心角与弧的关系以及三角形的三边关系可直接求解． 【详解】解：作∠AOB的角平分线OE，交圆O于E，如图： ∵OE平分∠AOB， ∴∠AOE＝∠EOB， ∵∠AOB＝2∠COD， ∴∠AOE＝∠EOB＝∠COD， ∴， ∴AE＝BE＝CD， ∵AE+BE＞AB， ∴AB＜2CD． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形的三边关系；熟练掌握三角形的三边关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 【变式8-1】（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，是的两段弧，且，则弦与之间的关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了弧与弦之间的关系，在点D右侧且在上取一点E，使得，连接，则可证明，，进而得到，根据即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在点D右侧且在上取一点E，使得，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：A． 【变式8-2】（2024•陕西模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且3，则弦AC与弦BC的关系是（　　） A．AC＝3BC B．ACBC C．AC＝（1）BC D．AC＝BC 【分析】如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，证明△CDB是等腰直角三角形，且AD＝BD，设CD＝CB＝x，则AD＝BDx，计算AC和BC的比可得结论． 【详解】解：如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵3， ∴∠AOC＝135°， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO＝22.5°， ∵OD是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD＝22.5°， ∴∠CDB＝∠CBD＝45°， 设CD＝CB＝x，则AD＝BDx， ∴， ∴AC＝（1）BC． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆心角和弧的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，常通过作辅助线构建等腰直角三角形是解本题的关键． 【变式8-3】如图，在⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：2． 【分析】首先推出DE⊥OC，求出∠EDO＝90°，根据ODOCOE，求出∠DEO＝30°，求出∠EOC，根据OC⊥AB，求出∠BOC＝90°，求出∠BOE＝30°，即可求出答案． 【详解】证明：∵AB⊥OC，DE∥AB， ∴DE⊥OC， ∴∠EDO＝90°， ∵D为OC中点， ∴ODOCOE， ∴∠DEO＝30°， ∴∠EOC＝90°﹣30°＝60°， ∵OC⊥AB， ∴∠AOC＝90°， ∴∠BOE＝90°﹣60°＝30°， 即∠BOE＝30°，∠COE＝60°， ∴2． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，和30度角的直角三角形，利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数是解答此题的关键． 题型09 弧、弦、圆心角的证明 【典例9】（23-24九年级上·浙江湖州·期中）如图，是的两条弦，点分别在上，且是弧的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的知识点是同圆中弧、弦的关系，关键是明确在同圆中等弦对等弧、等弧对等弦． 首先由点是的中点，得出，再由根据等弦对等弧得出，然后由等式的性质和等弧对等弦证出结论． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式9-1】（2025·广东广州·二模）如图，在中，，于点D，于点E，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，连接，根据题意得出，进而证明，即可得证． 【详解】证明：连接． ， ， ， ． 又， ， ． 【变式9-2】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由得出，即，即可得证； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴． 【变式9-3】（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E,． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得； （2）因为，所以，即．结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2）连接、、，并作直线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴E、O都在的垂直平分线上， ∴． 题型10 垂径定理有关的概念辨析 【典例10】下列说法正确的是（    ） A．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 B．平分弦的直径垂直于弦 C．长度相等的弧是等弧 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 【答案】D 【分析】根据对称轴的定义对A进行判断；根据垂径定理的推论对B进行判断；根据等弧定义对C进行判断；根据圆心角定理对D进行判断． 【详解】解：A、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以A选项错误； B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误； C、长度相等的弧不一定能重合,所以不一定是等弧，所以C选项错误； D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，掌握相关定理是解题关键． 【变式10-1】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意； B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意； D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式10-2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）下列说法不正确的是（   ） ①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直平分弦的直线必定经过圆心；④平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． A．③④ B．②④ C．①② D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理及其推论． 根据垂径定理及其推论判断各说法的正误，注意弦为直径时的特殊情况． 【详解】解：∵ 当弦为直径时，平分弦的直径可能不垂直于弦， ①错误； ∵ 当弦为直径时，平分弦的直径可能不平分弦所对的弧， ②错误； ∵ 垂直平分弦的直线必过圆心（垂径定理推论），③正确； ∵ 平分弧的直径必垂直平分弧所对的弦（垂径定理逆定理）， ④正确． ∴ 不正确的是①②， 故选C 【变式10-3】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）下列说法中①在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；②半径相等的两个半圆是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，包括圆的定义、等弧的条件、圆心角与弧的关系以及垂径定理的逆命题．根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ ① 在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，这是圆的定义，正确； ∵ ② 半径相等的两个半圆，弧长相等且均为半圆，故能重合，是等弧，正确； ∵ ③ 相等的圆心角所对的弧相等，需在同圆或等圆中才成立，否则不一定，错误； ∵ ④ 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，但弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，错误； ∴ 正确的有①和②，共2个． 故选：B． 题型11 利用垂径定理求线段长 【典例11】如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD=2，EM=5，则⊙O的半径为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R，根据垂径定理求出CM，根据勾股定理得出方程，求出即可． 【详解】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R， ∵直径EF⊥CD，垂足为M，CD=2， ∴CM=DM=， 在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2=OM2+CM2， R2=（5-R）2+（）2， 解得R=3． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，用了方程思想，题目比较典型，难度适中． 【变式11-1】如图，的直径，弦，垂足为，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OA，根据线段比例关系求出OM的长，在中应用勾股定理求出AM的长度，利用垂径定理即可求解． 【详解】解：连接OA， ∵直径， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 【变式11-2】（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，勾股定理，根据题意可知，，从而得到，，得，得到，得，设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，计算的值即可． 【详解】解：点D是弧的中点， ， 为的直径，， ， ，， ， ， ， 设圆的半径为R，连接， 根据勾股定理，得到， 解得， 故答案为：15． 【变式11-3】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，点都在圆上，是的直径，交于点E．且． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，平行线的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据垂径定理可得出，然后根据弧、弦的关系即可得证； （2）根据垂径定理得出，，根据平行线的性质可得出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 题型12 利用垂径定理求角度 【典例12】（2024秋•诸城市校级月考）如图，⊙O的直径是4cm，C是的中点，弦AB、CD交于P，CD＝2cm，求∠APC的度数． 【分析】作OH⊥CD于H，连接OC交AB于E，如图，根据垂径定理得CH＝DHCD，在根据勾股定理计算出OH＝1，则利用含30度的直角三角形三边的关系得∠OCH＝30°，由于C是的中点，根据垂径定理的推理得到OC⊥AB，然后在Rt△PCE中利用互余即可计算出∠APC的度数． 【详解】解：作OH⊥CD于H，连接OC交AB于E，如图， ∵OH⊥CD， ∴CH＝DHCD， 在Rt△OCH中，∵OC＝2，CH， ∴OH1， ∴∠OCH＝30°， ∵C是的中点， ∴OC⊥AB， 在Rt△PCE中，∵∠ECP＝30°， ∴∠CPE＝60°， 即∠APC的度数为60°． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【变式12-1】如图，AB为⊙O的直径，AD是⊙O的弦，E是AD的中点，连接OE并延长交⊙O于点C，若∠BAD＝20°，求∠ACO的度数． 【分析】根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，由E是AD的中点得到OE⊥AD，则利用互余可计算出∠AOE＝70°，加上∠OAC＝∠AOC，于是可根据三角形内角和定理计算出∠AOC． 【详解】解：∵E是AD的中点， ∴OE⊥AD， ∴∠AEO＝90°， ∵∠BAD＝20°， ∴∠AOE＝70°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠AOC， ∴∠AOC（180°﹣∠AOC）（180°﹣70°）＝55°． 【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 【变式12-2】如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．135° 【分析】如图，延长CD交⊙O 于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．根据垂径定理以及三角形的中位线定理，可得DEPT，当PT是直径时，DE的长最大，再证明∠AOB＝90°，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长CD交⊙O 于P，延长CE交⊙O于T，连接PT． ∵OA⊥PC，OB⊥CT， ∴CD＝DP，CE＝TE， ∴DEPT， ∴当PT是直径时，DE的长最大， 连接OC， ∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT， ∴∠COD＝∠POA，∠COB＝∠BOT， ∴∠AOB＝∠COA+∠COB∠POT＝90°， 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题． 【变式12-3】如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE． （1）若AB＝6，求DE的长； （2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数． 【分析】（1）根据垂径定理得到，则AC＝AB＝6，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到DE的长； （2）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和计算出∠C＝40°，然后利用ED＝EC得到∠CDE＝∠C＝40°． 【详解】解：（1）∵BC⊥OA， ∴，∠ADC＝90°， ∴AC＝AB＝6， ∵点E为AC的中点， ∴DEAC＝3； （2）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠BAC＝100°， ∴∠C（180°﹣100°）＝40°， ∵点E为AC的中点， ∴ED＝EC， ∴∠CDE＝∠C＝40°． 【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了直角三角形斜边上的中线性质． 题型13 利用垂径定理求最值 【典例13】（2024秋•道外区期末）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM的长的最小值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A． 【分析】过O作OM′⊥AB，连接OA，由“过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短”的知识可知，当OM于OM′重合时OM最短，由垂径定理可得出AM′的长，再根据勾股定理可求出OM′的长，即线段OM长的最小值． 【详解】解：如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA， ∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短， ∴当OM于OM′重合时OM最短， ∵AB＝8，OA＝5， ∴AM′8＝4， 在Rt△OAM′中，OM′3， ∴线段OM长的最小值为3． 故选：A． 【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 【变式13-1】（2024春•江夏区校级月考）如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　） A．5 B．2.5 C．3 D．2 【答案】B． 【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可． 【详解】解：连接OD，如图， ∵CD⊥OC， ∴∠DCO＝90°， ∴CD， 当OC的值最小时，CD的值最大， 而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合， ∴CD＝CBAB5＝2.5， 即CD的最大值为2.5， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键． 【变式13-2】在平面直角坐标系中，若以A（2，﹣1）为圆心，2为半径的⊙A与过点B（1，0）的直线交于C、D，则CD的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】C． 【分析】连接AC，作AE⊥CD于E，根据垂径定理和勾股定理得出CE＝DECD，CE，所以当AE取最大值时，CE最小，即CD最小，由于AE的最大值为AB，利用勾股定理即可求得CE的最小值，进而求得CD的最小值． 【详解】解：如图，连接AC，作AE⊥CD于E， ∴CE＝DECD，CE ∵AC＝2， ∴当AE取最大值时，CE最小，即CD最小， ∴当E点与B重合时，AE最大， ∵A（2，﹣1），B（1，0）， ∴AB2＝（2﹣1）2+（﹣1﹣0）2＝2， ∴CE的最小值为：， ∴CD的最小值为2， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，垂线段最短以及坐标与图形性质，明确E点与B重合时，AE最大是解题的关键． 【变式13-3】（2024•江都区模拟）如图平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为4，过点O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是　 　． 【答案】6． 【分析】连接OB，如图，利用垂径定理得到AC＝BC＝2，则利用勾股定理可计算出OC＝11，利用三角形三边的关系，当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小，然后计算出OD的长，从而得到点D到AB的距离的最小值． 【详解】解：连接OB，如图， ∵OC⊥AB， ∴AC＝BCAB＝2， 在Rt△OBC中，OC11， 当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小， ∵OD5， ∴点D到AB的距离的最小值为11﹣5＝6． 故答案为6． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 题型14 垂径定理的分类讨论问题 【典例14】已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案． 【详解】解；如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故EF． 如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故． 综上，，之间的距离为或， 故选：D． 【变式14-1】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）在半径为的中，弦，则弦所对的弧的中点到的距离是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理， 作，连接，根据垂径定理得，再根据勾股定理求出，然后根据可得答案． 【详解】解：如图所示，过点O作，交于点E，交于点C，D，连接， ∴，点C是劣弧的中点，点D是优弧的中点， ∵， 根据勾股定理，得， ∴， 所以弦所对的弧的中点到的距离是或， 故选：D． 【变式14-2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可． 【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm； 故选D． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑． 【变式14-3】（2022•牡丹江）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝ 3：5，则AC的长为 　 　． 【答案】4或2． 【分析】连接OA，由AB⊥CD，设OC＝5x，OM＝3x，则DM＝2x，根据CD＝10可得OC＝5，OM＝3，根据垂径定理得到AM＝4，然后分类讨论：当如图1时，CM＝8；当如图2时，CM＝2，再利用勾股定理分别计算即可． 【详解】解：连接OA， ∵OM：OC＝3：5， 设OC＝5x，OM＝3x，则DM＝2x， ∵CD＝10， ∴OM＝3，OA＝OC＝5， ∵AB⊥CD， ∴AM＝BMAB， 在Rt△OAM中，OA＝5， AM， 当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8， 在Rt△ACM中，AC； 当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2， 在Rt△ACM中，AC． 综上所述，AC的长为4或2． 故答案为：4或2． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 题型15 利用垂径定理解决实际问题 【典例15】（2025·山东济南·模拟预测）如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，交于，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可． 【详解】连接，交于， 由题意得：（米），， （米），， 在中， （米）， 米， 即点到弦所在直线的距离是米， 故选：C． 【变式15-1】（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长．”则的长是 寸． 【答案】10 【分析】此题考查了垂径定理的应用，解决本题的关键是注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题． 连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点E为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为x，表示出，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，且寸， ∴寸， 设的半径的长为x，则， ∵寸， ∴寸， 在中，根据勾股定理得： 解得， ∴寸． 故答案为：10． 【变式15-2】（2025九年级上·全国·专题练习）图2是从正面看到的一个“老碗”（图1）的形状示意图是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接，．已知，碗深，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理构造方程求解． 由垂径定理可知，；设的半径为，则；在中，根据勾股定理列方程求解半径． 【详解】解： 是的一部分，是的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中， ， ， ， ， 即的半径为． 故选：A． 【变式15-3】（江苏省徐州市区2025—2026学年九年级上学期期中联考检测数学试题）如图1是回龙窝里面的一处月亮门．图2是某个月亮门的示意图，过圆心作，交于点，垂足为．已知，．求这个月亮门所在圆的半径． 【答案】这个月亮门所在圆的半径为 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理的运用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键，设圆的半径，在中，利用勾股定理得到,代入解出的值，即可得到答案． 【详解】解：由题可得：设圆的半径， ∵， ∴,, ∵，, ∴,， 在中，由勾股定理得：, 即， 解得：， 答：这个月亮门所在圆的半径为． 题型16垂径定理的综合运用 【典例16】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，内接于，是的直径，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键． （1）由垂径定理得出，由等腰三角形的性质得出，由得，即可得出结论； （2）利用勾股定理求出，依题意，得，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即的半径为． 【变式16-1】（2024浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 【答案】（1）7；（2）8 【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长； （2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长． 【详解】解：（1）连接AO和DO， ∵，且EF过圆心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理， ， ∴； （2）如图，连接BO和DO， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ，解得，（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解． 【变式16-2】（25-26九年级上·广东惠州·期中）白马西风塞上，杏花烟雨江南，江南之瑰丽，在水与桥．据张守仁《惠州西湖志》中统计，民国时期，惠州有桥20座，建国后，又新添了各种各样的景观桥，桥横南北水路，水通天下济渠，如今的惠州西湖仍保留了六座圆弧形古桥．今天天气晴朗，秋高气爽，小明来到西湖第一桥“西新桥”（旧称“苏公桥”）． (1)小明站在桥上，测得桥下中间最大的桥洞水面宽度为6.4米，拱顶高出水面1.6米，如图，请你帮助小明求出此圆弧形拱桥的半径； (2)微风徐来，小明乘着船，微动涟漪，徐徐开到桥洞前，已知小明所乘的船宽4.8米，船舱顶部为矩形并高出水面1.2米，请你判断一下，此游船能否顺利通过该桥洞?说说你的理由． 【答案】(1)此圆弧形拱桥的半径为4米 (2)游船不能顺利通过该桥洞，理由见解析 【分析】此题考查了垂径定理的应用．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）根据垂径定理和勾股定理求解； （2）方法（一）：连接，利用垂径定理得米，利用勾股定理得米，进而求出，与1.2米比较即可得出结论； 方法（二）：由勾股定理求出，则，再与4.8米比较即可得出结论． 【详解】（1）解：连接 ， 为中点， （米）， （米）， 又∵（米）， 设（米），则（米）， 在中，根据勾股定理得： 即：， 解得， 答：此圆弧形拱桥的半径为4米； （2）解：方法（一）：游船不能顺利通过该桥洞，理由如下： 如图，米，，交于， 则（米）， 连接， 在中，根据勾股定理得：， （米）， 又∵（米）， ， 游船不能顺利通过该桥洞； 方法（二）：， 船舱顶部为长方形并高出水面米， （米）， 在中，根据勾股定理得：， （米）， （米）， 又∵， ， 游船不能顺利通过该桥洞． 【变式16-3】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是的弦，点，在上，，，垂足分别为，，． (1)如图（1），若是的直径，求证：． (2)如图（2），若不是的直径， ①求证：； ②若，则的半径为___________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂径定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）连接，欲证与相等，先证、关系，再证明即可； （2）①过O作于G，先证明，过O作，分别交延长线、延长线于M、N，连接、，证明四边形、四边形是矩形得到，，，证明得到，进而可得结论； ②连接，设，利用垂径定理和勾股定理求解x值即可解答． 【详解】（1）证明：连接，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）解：①过O作于G，则， ∵， ∴，则， 过O作，分别交延长线、延长线于M、N，连接、，如图（2）， ∵，， ∴，， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图（2），连接， 设, ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，，又， ∴，解得， ∴，则， 即该圆的半径为． 一、选择题 1．（2025九年级下·全国·专题练习）下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答． 【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 2．（2025·湖北·模拟预测）如图，是的直径，点、在上，，，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了半径相等，平行线的性质及三角形内角和定理．根据三角形内角和定理可求得的度数，再根据平行线的性质及三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 4．（25-26九年级上·福建福州·期中）下列命题中，假命题是（   ） A．如果两条弧是等弧，则它们所对的弦相等 B．如果两条弧不相等，则它们所对的弦也一定不相等 C．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦 D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧 【答案】B 【分析】本题考查圆中弧、弦之间的关系以及垂径定理，解决本题的关键． 圆中弧、弦之间的关系以及垂径定理判断选项即可． 【详解】解：等弧所对的弦相等， A为真命题； 在同圆或等圆中，两条弧不相等时，它们可能对应同一条弦，如优弧和劣弧，B为假命题； 平分弦所对两条弧的直线必过圆心且垂直于弦，C为真命题； 过圆心且垂直于弦的直线平分该弦及所对弧，D为真命题； ∴ 假命题是B． 故选：B． 5．（2025·湖南衡阳·二模）如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，由点是中点，可得，进而可得，根据，即可得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 6．（25-26九年级上·河南三门峡·阶段练习）如图，B为的半径上一点（不与点O，C重合），点E在圆上．以，为边作矩形，延长到点A，使，连接，则（   ） A． B． C． D．与的大小关系不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了圆的基本性质，矩形的性质，勾股定理．由矩形的性质求得，，由勾股定理得到，，根据，即可判断． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 故选：A． 7．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则该纸杯杯底的直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，设圆心，过点O作于N，交于点M，连接，， ， ∵， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：B． 8．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，是的弦，于点，连接．若，，则的半径的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，连接，由垂径定理得到，由圆周角定理得到，判定是等腰直角三角形，求出，于是得到的半径的长为． 【详解】解：连接， ∵直径于点E， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的半径的长为． 故选：D． 二、填空题 9．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，是弦，C是上一点，连结并延长交于点D，连接，，．若，，则的度数为 度． 【答案】40 【分析】本题考查了圆的概念，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等边对等角；根据圆的半径相等再结合等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：40． 10．（2024秋•北仑区期中）在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为　 　． 【分析】如图，⊙O的半径为1，弦AB，连接OA、OB，利用勾股定理的逆定理可判断△OAB为等腰直角三角形，则∠AOB＝90°，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 【解答】解：如图，⊙O的半径为1，弦AB， 连接OA、OB， ∵OA＝OB＝1， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴∠AOB＝90°， ∴AB所所的弧的度数为90°或270°． 故答案为90°或270°． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 11．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米，若点C为圆周的最低点，则点C到弦所在直线的距离是 ． 【答案】米 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 如图：连接交于D，由垂径定理得（米），再由勾股定理得，然后求出的长即可． 【详解】解：如图：连接交于D， 由题意得：（米），， ∴（米），， 在中，（米）， 米，即点C到弦所在直线的距离是米． 故答案为米． 12．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知的直径为10，现内有两条弦，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】首先证明出是等边三角形，得到，然后证明出，得到，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， ∵的直径为10，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 点C的位置有两种情况，如左图时，； 如右图时，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆的基础知识，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题 13．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是⊙O的直径，是⊙O的弦，． (1)求证：； (2)如果弦的长为8，与间的距离是3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点O作，延长交⊙O于点E，根据题意可得：，推出，即可证明； （2）根据垂径定理可得，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，作垂足为点，延长交⊙O于点E， ∵是⊙O的直径，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，则， ∵，与间的距离是3，即， ∴， ∴， ∴． 14．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）如图，是的直径，弦交于点E，点B是劣弧的中点． (1)求证：． (2)若，的半径为1，求弦的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是求出． （1）根据垂径定理可得答案； （2）先求出，再求出，最后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵点B是劣弧的中点，是的直径， ∴，， ∴． （2）解：如图，连接， ∵，，， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ． 15．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，弦，于E，于H． (1)求证：． (2)若的半径为5，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键． （1）由题意易得，进而问题可求证； （2）连接，由勾股定理，得．根据垂径定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 即， ∴． （2）解：连接， ∵，， ∴． ∴， 同理可得， ∴． 16．（2025九年级上·全国·专题练习）已知如图：是的直径，点、点在上，于点，连接、、，，，． (1)求的长． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设圆的半径为，根据已知条件和垂径定理求出，再根据勾股定理在和中，列出关于的二元一次方程，求出半径，从而求出直径即可； （2）在中，根据勾股定理求出，再由垂径定理求出，，然后根据三角形中位线定理求出，最后根据四边形的面积进行计算即可． 【详解】（1）解：设圆的半径为， ．， ，为半径， ，， ， 在和中：， ， 解得：，（舍）， ， ； （2）解：在中，，， ， ， ， ， 为中点，为中点， 为中位线， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，弧、弦、圆心角之间的关系，三角形的中位线，解题关键是正确识别图形，找出线段与线段之间的关系． 17．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某座古代石拱桥的桥拱是圆弧形，其跨度为米，拱高为米．为保护桥梁，现需在桥拱下方安装防护支架． (1)圆弧桥拱所在圆的半径． (2)若在的中点处竖立一根垂直于的立柱，求的长． 【答案】(1)10米 (2)米 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理和矩形的判定和性质，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）作出圆心O，连接，设的半径为r，则米，，米，在中运用勾股定理即可求解； （2）连接，过点F作于点H，证明四边形为矩形，进而可得，在中运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，的半径为r，连接， ∵为16米，为4米，， ∴米，，米， ∴在中， 解得米． （2）解：连接，过点F作于点H． ∵，， ∴四边形为矩形， ∵E是的中点， ∴米， ∴在中，， ∴米． 18．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）在中，，为弦，为直径，于E，于F． (1)如图1，若过圆心O，求的度数； (2)如图2，若与相交于G证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）连接，由垂径定理得，再根据圆心角定理得，进而可证为等边三角形，即可求解； （2）连接，由垂径定理和圆心角定理证得，进而得，从而证得，即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵为直径，，，过圆心O， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； （2）解：如图，连接， ∵为直径，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理、圆心角定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理和圆心角定理是解题的关键． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.1 圆的基本元素与圆的对称性 教学目标 1.通过观察实验操作，使学生理解圆的定义. 2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念. 3.理解圆心角概念和圆的旋转不变性. 4.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，以及它们在解题过程中的应用. 5.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性. 6.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题. 教学重难点 1、重点：（1）经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关概念.（2）圆心角、弦、弧之间的关系及其理解应用.（3）垂直于弦的直径所具有的性质以及证明. 2、难点：（1）理解圆的概念的形成过程和圆的集合定义．（2）从圆的旋转不变性出发，发现并论证圆心角、弦、弧之间的关系.（3）利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题. 知识点01 圆的概念★1、圆的定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周 ，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做 圆心 ，线段OA叫做 半径 ．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“ 圆O ”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． ★2、确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 知识点02 与圆有关的概念弦：连接圆上任意两点的线段叫弦； 直径：经过圆心的 弦 叫直径,是圆中最长的弦； 弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧； 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆 ； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示，如图中 叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示，如图中 叫做劣弧； 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆； 等弧：能够互相重合的弧叫做等弧； 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.一个圆心角所对的弧是唯一的. 【注意】 1、半圆是弧，但弧不一定是半圆.弧包括优弧、劣弧和半圆.半圆既不是优弧也不是劣弧. 2、等弧只能出现在同圆或等圆中. 知识点03 弧、弦、圆心角的关系 ★1.圆的旋转对称性 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 因此，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称轴. ◆2、弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等． 【注意】 （1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，圆心角所对的弧、弦也不一定相等． （2）因为弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”． 知识点04 垂径定理 ★1.圆的轴对称性 圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，它的对称中心是圆心. ◆2、垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的依据是圆的轴对称的性质. 推导格式： ◆3、垂径定理的用法： （1）连接圆心与弦的一端，与过圆心且垂直与弦的线段和弦的一半构成直角三角形（即垂径定理三角形），利用勾股定理列式求值. （2）如图弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系： （3）r ,a，d，h，已知其中任意两个量，即可求出另外两个量. ◆4、垂径定理的推论： （1）垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）垂径定理及其推论：一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） ◆3、垂径定理的几个基本图形： 题型01与圆有关的概念 【典例1】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）已知的半径是，则中最长的弦长是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列命题中错误的有（    ） ①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是一个圆中最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）下列说法正确的个数是（   ） ①直径是圆的对称轴；②半径相等的两个半圆是等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④优弧一定大于劣弧． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）下列命题中正确的是（   ） ①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧． A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥ 题型02 确定圆的条件 【典例2】（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【变式2-1】（2024秋•广平县期末）下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．经过已知点M B．以点O为圆心，10cm长为半径 C．以10cm长为半径 D．以点O为圆心 【变式2-2】下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．已知圆心O B．已知半径r＝5cm C．已知圆心O，半径r＝5cm D．已知点A为圆上一点 【变式2-3】已知点A，B，且AB＜4，画经过A，B两点且半径为2的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 题型03 圆中角度的计算 【典例3】（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·广东广州·模拟预测）如图，在中，弦与半径平行，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，点，在上，且点，在的异侧，连接，，．若，且，则的度数为 ． 【变式3-3】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）如图，以的直角顶点为圆心，以的长为半径的圆分别交 于点，交于点，连接．若，求的度数． 题型04 圆中线段长度的计算 【典例4】（2024•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（　　） A． B．8 C．6 D．5 【变式4-1】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点 B作的垂线交圆O于点C，以为边作矩形，连接．若，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．1 【变式4-2】（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为 ． 【变式4-3】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是半圆O的直径，正方形和正方形彼此相邻且内接于半圆O，点A，B，F在半圆上，点C，D，G在直径上，点E在上，正方形的面积为16． (1)求证：； (2)求的半径长． 题型05 弧、弦、圆心角的关系辨析 【典例5】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 C．等弧所对的弦相等 D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 【变式5-1】下列关于“圆周角及圆心角”的说法不正确的是（   ） A．圆心角的度数与其所对的弧的度数相等 B．顶点在圆周上的角叫做圆周角 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等 D．在圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 【变式5-2】下列说法中，正确的是（　　） A．等弦所对的弧相等 B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 【变式5-3】（2025九年级上·江苏·专题练习）下列语句中： ①直径是弦，弦是直径； ②平分弦的直径垂直于弦； ③长度相等的弧是等弧； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴； ⑤相等的圆心角所对的弧长相等． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型06 利用弧、弦、圆心角的关系求角度 【典例6】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数． 题型07 利用弧、弦、圆心角的关系求线段长 【典例7】如图，点A在半圆O上，BC是直径，．若AB＝2，则BC的长为 　 　． 【变式7-1】（2024秋•芜湖期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB，BC＝1，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024•贵池区二模）如图，点C是直径AB的三等分点（AC＜CB），点D是弧ADB的三等分点（弧BD＜弧AD），若直径AB＝12，则DC的长为 　 　． 【变式7-3】如图，在⊙O中，ACAB，直径BC＝2，，则AD＝　 　． 题型08 弧、弦、圆心角中的倍数关系 【典例8】如图，在同圆中，若∠AOB＝2∠COD，则AB与2CD的大小关系是（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．不能确定 【变式8-1】（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，是的两段弧，且，则弦与之间的关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式8-2】（2024•陕西模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且3，则弦AC与弦BC的关系是（　　） A．AC＝3BC B．ACBC C．AC＝（1）BC D．AC＝BC 【变式8-3】如图，在⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：2． 题型09 弧、弦、圆心角的证明 【典例9】（23-24九年级上·浙江湖州·期中）如图，是的两条弦，点分别在上，且是弧的中点．求证：． 【变式9-1】（2025·广东广州·二模）如图，在中，，于点D，于点E，求证：． 【变式9-2】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，． 求证： (1)； (2)． 【变式9-3】（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E,． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 题型10 垂径定理有关的概念辨析 【典例10】下列说法正确的是（    ） A．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 B．平分弦的直径垂直于弦 C．长度相等的弧是等弧 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 【变式10-1】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 【变式10-2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）下列说法不正确的是（   ） ①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直平分弦的直线必定经过圆心；④平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． A．③④ B．②④ C．①② D．①②③④ 【变式10-3】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）下列说法中①在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；②半径相等的两个半圆是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型11 利用垂径定理求线段长 【典例11】如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD=2，EM=5，则⊙O的半径为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式11-1】如图，的直径，弦，垂足为，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ． 【变式11-3】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，点都在圆上，是的直径，交于点E．且． (1)求证：； (2)若，，求． 题型12 利用垂径定理求角度 【典例12】（2024秋•诸城市校级月考）如图，⊙O的直径是4cm，C是的中点，弦AB、CD交于P，CD＝2cm，求∠APC的度数． 【变式12-1】如图，AB为⊙O的直径，AD是⊙O的弦，E是AD的中点，连接OE并延长交⊙O于点C，若∠BAD＝20°，求∠ACO的度数． 【变式12-2】如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．135° 【变式12-3】如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE． （1）若AB＝6，求DE的长； （2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数． 题型13 利用垂径定理求最值 【典例13】（2024秋•道外区期末）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM的长的最小值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式13-1】（2024春•江夏区校级月考）如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　） A．5 B．2.5 C．3 D．2 【变式13-2】在平面直角坐标系中，若以A（2，﹣1）为圆心，2为半径的⊙A与过点B（1，0）的直线交于C、D，则CD的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【变式13-3】（2024•江都区模拟）如图平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为4，过点O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是　 　． 题型14 垂径定理的分类讨论问题 【典例14】已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【变式14-1】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）在半径为的中，弦，则弦所对的弧的中点到的距离是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式14-2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【变式14-3】（2022•牡丹江）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝ 3：5，则AC的长为 　 　． 题型15 利用垂径定理解决实际问题 【典例15】（2025·山东济南·模拟预测）如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式15-1】（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长．”则的长是 寸． 【变式15-2】（2025九年级上·全国·专题练习）图2是从正面看到的一个“老碗”（图1）的形状示意图是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接，．已知，碗深，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式15-3】（江苏省徐州市区2025—2026学年九年级上学期期中联考检测数学试题）如图1是回龙窝里面的一处月亮门．图2是某个月亮门的示意图，过圆心作，交于点，垂足为．已知，．求这个月亮门所在圆的半径． 题型16垂径定理的综合运用 【典例16】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，内接于，是的直径，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【变式16-1】（2024浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 【变式16-2】（25-26九年级上·广东惠州·期中）白马西风塞上，杏花烟雨江南，江南之瑰丽，在水与桥．据张守仁《惠州西湖志》中统计，民国时期，惠州有桥20座，建国后，又新添了各种各样的景观桥，桥横南北水路，水通天下济渠，如今的惠州西湖仍保留了六座圆弧形古桥．今天天气晴朗，秋高气爽，小明来到西湖第一桥“西新桥”（旧称“苏公桥”）． (1)小明站在桥上，测得桥下中间最大的桥洞水面宽度为6.4米，拱顶高出水面1.6米，如图，请你帮助小明求出此圆弧形拱桥的半径； (2)微风徐来，小明乘着船，微动涟漪，徐徐开到桥洞前，已知小明所乘的船宽4.8米，船舱顶部为矩形并高出水面1.2米，请你判断一下，此游船能否顺利通过该桥洞?说说你的理由． 【变式16-3】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是的弦，点，在上，，，垂足分别为，，． (1)如图（1），若是的直径，求证：． (2)如图（2），若不是的直径， ①求证：； ②若，则的半径为___________． 一、选择题 1．（2025九年级下·全国·专题练习）下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·模拟预测）如图，是的直径，点、在上，，，的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（25-26九年级上·福建福州·期中）下列命题中，假命题是（   ） A．如果两条弧是等弧，则它们所对的弦相等 B．如果两条弧不相等，则它们所对的弦也一定不相等 C．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦 D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧 5．（2025·湖南衡阳·二模）如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河南三门峡·阶段练习）如图，B为的半径上一点（不与点O，C重合），点E在圆上．以，为边作矩形，延长到点A，使，连接，则（   ） A． B． C． D．与的大小关系不能确定 7．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则该纸杯杯底的直径为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，是的弦，于点，连接．若，，则的半径的长为（   ） A．3 B． C． D． 二、填空题 9．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，是弦，C是上一点，连结并延长交于点D，连接，，．若，，则的度数为 度． 10．（2024秋•北仑区期中）在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为　 　． 11．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米，若点C为圆周的最低点，则点C到弦所在直线的距离是 ． 12．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知的直径为10，现内有两条弦，，则的度数为 ． 三、解答题 13．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是⊙O的直径，是⊙O的弦，． (1)求证：； (2)如果弦的长为8，与间的距离是3，求的长． 14．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）如图，是的直径，弦交于点E，点B是劣弧的中点． (1)求证：． (2)若，的半径为1，求弦的长． 15．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，弦，于E，于H． (1)求证：． (2)若的半径为5，，，求的长． 16．（2025九年级上·全国·专题练习）已知如图：是的直径，点、点在上，于点，连接、、，，，． (1)求的长． (2)求四边形的面积． 17．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某座古代石拱桥的桥拱是圆弧形，其跨度为米，拱高为米．为保护桥梁，现需在桥拱下方安装防护支架． (1)圆弧桥拱所在圆的半径． (2)若在的中点处竖立一根垂直于的立柱，求的长． 18．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）在中，，为弦，为直径，于E，于F． (1)如图1，若过圆心O，求的度数； (2)如图2，若与相交于G证明：． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $