4.3 相似多边形（分层练习）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

4.3 相似多边形 一．选择题 1．下列各组图形不一定相似的是（　　） A．两个等腰直角三角形 B．有一个角是100°的两个等腰三角形 C．有一个角是50°的两个等腰三角形 D．有一个角是50°的两个直角三角形 2．在如图所示的三个矩形中，相似的是（　　） A．②③ B．①② C．①③ D．都不相似 3．下列各选项中的矩形与如图所示的矩形不相似的是（　　） A．B． C． D． 4．如图，五边形ABCDE∽五边形FGHMN，若AB＝10cm，FG＝15cm，则下列结论中正确的是（　　） A．3∠C＝2∠H B．2∠A＝3∠F C．3BC＝2GH D．2DE＝3MN 5．两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的对应边之比为（　　） A． B．1：2 C．1：4 D．1：8 6．如图，矩形ABCD∽矩形DEFG，连接AF、CG、DF，要求出△CDG的面积，只需要知道下面哪个图形的面积（　　） A．矩形ABCD的面积 B．四边形ABCG的面积 C．△DEF的面积 D．△ADF的面积 7．如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第9个图案中阴影小三角形的个数是（　　） A．26 B．30 C．34 D．38 8．如图，小康利用复印机将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后的长为10cm，则放大后的矩形的宽为（　　） A． B．5cm C．10cm D．6cm 9．如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形ABCD和四边形EFGH的相似比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 10．如图，已知▱ABCD中，点E，F，G，H分别为AB，CD，AD，BC上的点，且EF∥BC，GH∥AB，GH分别与EF，BF相交于点M，N．若▱AEMG∽▱EBCF，则△BHN的面积一定可以表示为（　　） A． B． C． D． 二．填空题 11．若两个相似图形的周长比为2：1，则它们的面积比为 　 　 ． 12．如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点，早BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝　 　 ． 13．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠D′的度数为 　 　 ． 14．如图，矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形AFED与原矩形ABCD相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 　 　 ． 15．小明和妹妹为家人制作亲子T恤，主要的图案是在一个矩形基础上设计的，每件T恤上的矩形都是相似的．妹妹T恤上矩形的面积为50cm2，妈妈T恤上矩形的长是妹妹T恤上矩形长的2倍，则妈妈T恤上矩形的面积为 　 　 cm2． 16．如图，在正方形网格上有两个相似三角形ABC和△DEF，则∠BAC的度数为 　 　 ． 三．解答题 17．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似． （1）连接相应的对角线AC，A′C′所得的△ABC与△A′B′C′相似吗？△ACD与△A′C′D′呢？如果相似，它们的相似比相等吗？为什么？ （2）四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长比、面积比与相似比有什么关系？ 如果两个五边形相似，还有相同的结论吗？ 18．如图，在矩形ABCD和矩形A′B′C′D′中，已知AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm． （1）求和； （2）矩形ABCD和矩形A′B′C′D′相似吗？请说明理由． 19．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点： 观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似． 观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似． 请回答下列问题： （1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由． （2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为1，求△DEF的面积． 20．数学社团的同学们想用边长为20cm的正方形铝板，设计小组会徽下面是“兴趣小组”和“智慧小组”的设计方案，请认真阅读，并解决问题； “兴趣小组”：我们小组设计的会徽如图1所示，它是由四个全等的“黄金矩形”组成的正方形图案，在该图案中“矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比”． “智慧小组”：我们小组设计的会徽如图2所示，它是由四个全等的直角三角形组成的“赵爽弦图”，其中小正方形的面积为16cm2． 解决问题： （1）“兴趣小组”设计的方案中，小正方形的边长约等于 　 　 cm（精确到0.1 cm）． （2）请你求出“智慧小组”设计的方案中，小直角三角形的两条直角边分别是多少cm？ 21．如果四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形并且相似（不全等），我们就把这条对角线称为“完美对角线”． （1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，AB＝AD，AD∥BC，当∠ADC＝145°时，求证：对角线BD是四边形ABCD的“完美对角线． （2）如图2，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，当∠BAD与∠BCD满足什么关系时，对角线AC是四边形ABCD的“完美对角线”？请说明理由． 22．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比． （1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）． ①四条边成比例的两个凸四边形相似；（ 　 　 命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 　 　 命题） ③两个大小不同的正方形相似．（ 　 　 命题） （2）如图，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A C B D C D C B 二．填空题 11．4：1． 12．1． 13．48°． 14．． 15．200． 16．135°． 三．解答题 17．解：（1）∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似， ∴，∠D＝∠D′，∠B＝∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′，△ACD∽△A′C′D′， 且相似比相等； （2）四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长比等于相似比，面积比为相似比的平方， 五边形还有相同的结论． 18．解：（1）∵AB＝8cm，A′B′＝4cm，BC＝12cm，B′C′＝6cm， ∴， ． （2）相似．理由如下： ∵矩形的内角都是90°，， ∴矩形ABCD和矩形A′B′C′D′相似． 19．解：（1）观点一正确；观点二不正确． 理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O， ∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1， ∴AB∥DE，AC∥DF， ∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB， ∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB， 即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC， ∴△ABC∽△DEF， ∴观点一正确； ②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10， 则新矩形邻边为4和8， ∵，， ∴， ∴新矩形于原矩形不相似， ∴观点二不正确； （2）如图（3），延长DA、EB交于点O， ∵A到DE、DF的距离都为1， ∴DA是∠FDE的角平分线， 同理，EB是∠DEF的角平分线， ∴点O是△ABC的内心， ∵AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∴△ABC是直角三角形， 设△ABC的内切圆的半径为r， 则6﹣r+8﹣r＝10， 解得r＝2， 过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G， ∵AB∥DE， ∴OG⊥AB， ∴OG＝r＝2， ∴， 同理， ∴DF＝9，EF＝12， ∴△DEF的面积为：9×12＝54． 20．解：（1）如图， ∵矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比，黄金矩形AEFG， ∴， ∵正方形ABCD，AD＝AB＝BC＝CD＝20， ∴， ∴， ∵图中四个矩形全等， ∴，， ∴； （2）如图，由题意可得：正方形ABCD，AB＝BC＝CD＝AD＝20，EF2＝16， ∴正方形EFGH的边长为4， 设AE＝a，BE＝b， ∴a2+b2＝400，a﹣b＝4， ∴a2+（a﹣4）2＝400， 整理可得：（a﹣2）2＝196， 解得：a1＝16，a2＝﹣12（负数舍去）， ∴b＝12， ∴小直角三角形的两条直角边分别是16，12． 21．（1）证明：如图1中， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝35°， ∵∠ADC+∠C＝180°，∠ADC＝145°， ∴∠C＝35°， ∴∠ADB＝∠ABD＝∠DBC＝∠C＝35°， ∴△ABD∽△DBC，且△ABD与△DBC不全等， ∴BD是四边形ABCD的“完美对角线”． （2）解：如图2中，当∠BAD∠BCD＝180°时，对角线AC是四边形ABCD的“完美对角线”． 理由：∵AC平分∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD， ∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，∠BAD∠BCD＝∠BAC+∠CAD+∠ACB＝180°， ∴∠DAC＝∠B， ∴△ACB∽△DCA，且△ACB与△DCA不全等， ∴对角线AC是四边形ABCD的“完美对角线”． 22．（1）解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等； ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例； ③两个大小不同的正方形相似，是真命题； 故答案为：假，假，真； （2）证明：如图，连接BD，B1D1． ∵∠BCD＝∠B1C1D1，且， ∴△BCD∽△B1C1D1， ∴∠CDB＝∠C1D1B1，∠C1B1D1＝∠CBD， ∵， ∴， ∵∠ABC＝∠A1B1C1， ∴∠ABD＝∠A1B1D1， ∴△ABD∽△A1B1D1， ∴， ∴∠A＝∠A1，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1， ∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似． 布日期：2 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $