5.3 第3课时 行程问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年新教材七年级数学上册同步备课（北师大版2024）

3 一元一次方程的应用 第五章 一元一次方程 七年级上册数学（北师版） 第3课时 行程问题 教学目标 1. 能借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系,从而列出方程,解决问题。 2. 使学生进一步领会采用代数方法解应用题的优越性。 3. 培养学生实事求是的态度及与人合作交流的能力,逐步树立克服困难的信心、意志力,培养学生学习数学的热情和良好的人格品质。 重点：利用方程解决行程问题。 难点：找等量关系列方程。 导入新课 速度、时间、路程，这三者有什么关系？ 速度×时间 = 路程 据调查，中学生的平均步行速度为1.2 m/s，说说你上学的平均时长，试估算从家到学校的距离。 探究新知 直线行程问题 1 问题： 小明每天早上要到距家 1000 m 的学校上学。一天，小明以 80 m/min 的速度出发，出发后 5 min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以 180 m/min 的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ （1） 问题中有哪些已知量和未知量？ 合作探究 （2）想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗？ 解：设爸爸追上小明用了 x min， 小明家 学校 80×5 80x 180x 合作探究 （3）你是怎样列出方程的？与同伴进行交流。 据题意得 80×5 + 80x = 180x。 解：设爸爸追上小明用了 x min， 小明家 学校 80×5 80x 180x 解得 x = 4。 180×4 = 720（m），1000 - 720 = 280（m）。 答： 爸爸追上小明用了 4 min。追上小明时，距离学校还有 280 m。 方法总结 找出问题中的等量关系是列方程解应用题的关键，对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系。这样可以比较直观地反映出方程中的等量关系。 小明家 学校 80×5 80x 180x 练一练 1. (周口·月考) 古代名著《算术启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日， 问良马几何追及之。意思是：跑得快的马每天走 240 里，跑得慢的马每天走150 里，慢马先走 12天，那么快马几天可以追上慢马？ 解：设快马需要 x 天可以追上慢马，由题意得， 240x = 150(x + 12)， 解得 x = 20。 答：快马 20 天可以追上慢马。 2. A，B 两地相距 60 千米，甲、乙两人分别从 A，B 两地出发相向而行，甲的速度是 8 千米/时，乙的速度是 6 千米/时．经过多长时间两人相距 4 千米？ 8x 6x 60 4 A B 8x 6x 60 4 A B 解：设经过 x 小时两人相距 4 千米，根据题意，得 8x+6x = 60-4或 8x+6x = 60+4 典例精析 例1 小明和小华两人在 400 m 的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑 260 m，小华每分钟跑 300 m，两人起跑时站在跑道同一位置。 （1）如果小明起跑后 1 min 小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）如果小明起跑后 1 min 小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 环形行程问题 2 分析：本题涉及哪些量？你能画图说明小明和小华跑步的情形吗？在问题（1）和（2）中，两人所走的路程分别有什么关系？ 260 起点 起点 260 260x 300x 260x 300x 追及问题 相遇问题 解：（1）设小华用 x min 追上小明，根据等量关系，可列出方程 260 + 260x = 300x。 解这个方程，得 x = 6.5。 因此，小华用 6.5 min 追上小明。 追及问题 260 起点 260x 300x （2）设小华起跑后 x min 两人首次相遇， 根据等量关系，可列出方程 260x + 300x = 400 - 260。 解这个方程，得 x = 0.25。 因此，小华起跑后 0.25 min 两人首次相遇。 起点 260 260x 300x 相遇问题 归纳总结 行程问题的基本类型： 相遇问题： 甲的路程 ＋ 乙的路程 ＝ 总路程。 追及问题： 追者路程 ＝ 被追者路程 ＋ 相隔距离。 练一练 3. (漳州·期中) 如图，正方形 ABCD 的边长是 2 个单位长度，一只乌龟从 A 点出发以每秒2 个单位长度的速度顺时针绕正方形运动，另有一只兔子也从 A 点出发以每秒 6 个单位长度的速度逆时针绕正方形运动，则第 2024 次相遇在 ( ) A. 点 A B. 点 B C. 点 C D. 点 D A 思考交流 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？与同伴进行交流。 实际问题 实际问题的解 数学问题 （一元一次方程的解） 数学问题 （一元一次方程） 寻找相等关系 抽象 解方程 解释 验证 回顾本节一元一次方程应用的学习，对于如何寻找等量关系列方程，你积累了哪些经验？ 回顾反思 我学会了列表分析、画图分析 当堂小结 行程问题 直线行程 环形行程 相遇问题 追及问题 课堂练习 1. 小明家离学校 2.9 千米，一天小明放学走了 5 分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走 60 米，爸爸骑自行车每分钟骑 200 米，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？ 解：设小明爸爸出发 x 分钟后接到小明，如图所示， 由题意，得 200x＋60(x＋5) ＝2900. 答：小明爸爸从家出发 10 分钟后接到小明. 解得 x＝10. 2. 甲、乙两人在一条长 400 米的环形跑道上跑步，甲的速度为 360 米/分，乙的速度是 240 米/分。 （1）两人同时同地同向跑，问第一次相遇时，两人一共跑了多少圈？ 解：设 x 分钟后两人第一次相遇，由题意，得 360x － 240x ＝ 400。 答：两人一共跑了 5 圈。 解得 x ＝ 。 ( ×360 ＋ ×240)÷400 ＝ 5 (圈)。 （2）两人同时同地反向跑，问几秒后两人第一次相遇？ 解：设 x 分钟后两人第一次相遇，由题意，得 360x + 240x ＝ 400。 答：40 秒后两人第一次相遇。 解得 x ＝ 。 分钟 ＝ 40 秒。 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $