专题01 一元二次方程（期末真题汇编50题，广东专用）九年级数学上学期人教版

专题01 一元二次方程 4大高频考点概览 考点01 由一元二次方程的解求参数 考点02 解一元二次方程 考点03 一元二次方程的根与系数的关系 考点04 实际问题与一元二次方程 地 城 考点01 由一元二次方程的解求参数 一、单选题 1．(24-25九上·广东清远清城区·期末)一元二次方程的一个根是，则m的值为（   ） A．2 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根的概念．根据一元二次方程根的概念，将代入方程，求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， 解得， 故选：B． 2．(24-25九上·广东汕头·期末)若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2016 B．2018 C．2022 D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先利用一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．(24-25九上·广东清远清新区·期末)若是一元二次方程的一个根，则m的值是（   ） A．0 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，得，解得，即可作答． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴把代入，得， 解得， 故选：D． 4．(24-25九上·广东广州海珠区等5地·期末)若是方程的一个根，则常数的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解决此题的关键，把代入一元二次方程得，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 故选：． 5．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)已知是关于的方程的一个根，则为（   ） A．6 B． C．15 D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根的定义，解题的关键是将方程的根代入方程求出m的值． 将代入方程求出m值，再计算的值． 【详解】解：把代入得：， 解得， ∴， 故选：C． 6．(24-25九上·广东珠海金湾区·期末)已知是一元二次方程的一个实数根，则c等于（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键．把代入原方程即可解出c的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴把代入原方程，得， ∴， 故选：D． 7．(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)已知是方程的根，则代数式的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了求代数式的值，一元二次方程的解，由a是方程的一个根，得到，则，然后利用整体代入求值即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴ ∴， ∴， 故选：B． 8．(24-25九上·广东韶关乳源县·期末)已知关于x的一元二次方程的一个根为，则实数k的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】将代入，即可求解， 本题考查了一元二次方程的解的定义，以及解方程的能力，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题关键． 【详解】∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：， 故选：B． 二、填空题 9．(24-25九上·广东广州增城区·期末)若是关于x的一元二次方程的解，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解是解答的关键．将代入已知方程组求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的解， ∴， 解得， 故答案为：2． 10．(24-25九上·广东中山·期末)已知是一元二次方程 的一个根，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解答． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得：， 故答案为：2． 11．(24-25九上·广东深圳·期末)已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，巧用整体思想是解题的关键． 将代入方程，再结合整体思想即可解决问题． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴ 故答案为： 12．(24-25九上·广东东莞松山湖区·期末)关于x的一元二次方程的一个根是1，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键． 根据题意将根代入方程，求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是1， ∴， 解得， 故答案为：． 13．(24-25九上·广东汕尾·期末)若方程的一个根是1，则a的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解一元二次方程的解的概念是解题的关键．由题意可把代入一元二次方程即可求解． 【详解】解：由题意把代入一元二次方程得： ，解得：， 故答案为：2． 14．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值等于 ． 【答案】2025 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，把代入方程即可得到答案. 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：2025 15．(24-25九上·广东潮州饶平县·期末)已知m是方程的一个实数根，则 ． 【答案】2 【分析】根据题意可得：把代入一元二次方程中得：，然后进行计算即可解答． 本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， ， 故答案为： 地 城 考点02 解一元二次方程 一、单选题 1．(24-25九上·广东东莞厚街福民学校·期末)一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此判断符号即可． 【详解】解：在方程中，，，， ∴， ∴该方程无实数解， 故选：C． 2．(24-25九上·广东梅州丰顺县·期末)一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用直接开平方法求解． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故选：B． 3．(24-25九上·广东清远清城区·期末)若一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（   ） A． B． C．9 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式，代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：A． 4．(24-25九上·广东清远清新区·期末)一元二次方程的解为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 本题运用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 解得：或， 故选：C． 5．(24-25九上·广东阳江阳西县·期末)若关于x的方程没有实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式，得出关于的一元一次不等式，并解不等式得出的取值范围是解题的关键；对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程无实数根．根据根的判别式列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴． 故选：D． 6．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可解答． 【详解】解：∵， ， ∴方程没有实数根． 故选D． 7．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)下列方程中，有两个相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．通过计算根的判别式的值和根的判别式的意义对A、B、C、D进行判断即可． 【详解】解：A．，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意； B．，则方程有两个相等的实数根，所以B选项符合题意； C．，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意； D．，方程没有实数根．所以D选项不符合题意． 故选：B． 8．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)方程配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键．先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可． 【详解】， ， ， 故选：B 9．(24-25九上·广东珠海金湾区·期末)用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元二次方程−配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，未知移到左边，二次项系数化为1，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方即可求出解． 【详解】解：，即， 方程两边同时加1，可得，即， 故选：B． 二、填空题 10．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式值为的条件，因式分解法解一元二次方程，根据题意可得，解方程即可求解． 【详解】解：依题意， ∴或，且 ∴ 故答案为：． 11．(24-25九上·广东肇庆端州区·期末)方程有实数根，则k的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】1（大于等于1的数均可） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，先把原方程化为一般式，再由题意可得判别式大于等于0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴k的值可以是1， 故答案为：1（大于等于1的数均可）． 三、解答题 12．(24-25九上·广东清远连州·期末)下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 移项，得．…………………………………………第一步 配方，得，即………………第二步 由此，可得．…………………………………………第三步 ……………………………………第四步 请完成下列任务： (1)上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是_________，其中，“配方法”所依据的数学公式是_______（填“完全平方公式”或“平方差公式”） (2)小华同学利用配方法解题过程中，从第______步开始出现错误，请写出正确的解题过程． 【答案】(1)等式的基本性质，完全平方公式 (2)二，解题过程见解析 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键． 对于（1），根据等式的基本性质和完全平方公式解答即可； 对于（2），先移项，再配方，然后求出解即可． 【详解】（1）解：上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是等式的基本性质，其中“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式． 故答案为：等式的基本性质，完全平方公式； （2）解：小华同学利用配方法解题的过程中，从第二步开始出现错误，正确的解法如下： ， 移项，得， 配方，得， 即， 可得， ∴． 故答案为：二． 13．(24-25九上·广东汕头潮南区陈店实验·期末)【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中“◎”的个数为__________；第n个图案中“★”的个数可表示为__________． 【规律应用】 （2）若第n（n是正整数）个图案中“★”的个数是“◎”的个数的2倍，求n的值． 【答案】（1）；；（2）11 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）第1个图案中有“◎”个，“★”个； 第2个图案中有“◎”个，“★”个； 第3个图案中有“◎”个，“★”个； 第4个图案中有“◎”个，“★”个； …… ∴第n个图案中有“◎”个，“★”个； 故答案为：；； （2）解：依题意，， 解得：（舍去）或． 答：的值为． 地 城 考点02 一元二次方程的根与系数的关系 一、单选题 1．(24-25九上·广东东莞松山湖未来学校·期末)设a，b是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．18 B． C．20 D．22 【答案】A 【分析】本题主要考查的是一元二次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系式解此题的关键． 根据根与系数的关系看得，由a，b是方程的两个实数根可得，进而可以得解． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ； 则的值为18． 故选：A． 2．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)设、是方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，先把代入，得出，然后结合，得出，即可作答． 【详解】解：由条件可知，， ， 则， 故选：A． 二、填空题 3．(24-25九上·广东清远清城区·期末)若，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， 故答案为：． 4．(24-25九上·广东清远连州·期末)若、是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：、是方程的两个实数根， ，， ． 故答案为：． 三、解答题 5．(24-25九上·广东汕头龙湖区·期末)关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且是非负整数， (1)求的值； (2)若是该方程的两个实数根，则 ． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据根的判别式可得，再根据是非负整数，即可求解； （2）根据根与系数的关系得，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 解得：， 是非负整数， ． （2）解：当时，方程化为， ∴， ∴， ， 故答案为：． 6．(24-25九上·广东汕头潮南区陈店实验·期末)若m，n是一元二次方程的两个实数根，求的值． 【答案】． 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 7．(24-25九上·广东清远清新区·期末)【阅读材料】若关于x的一元二次方程的两根为、，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】 一元二次方程的两根为、，则________，________； (2)【类比运用】已知关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为、，满足，求k的值． (3)【思维拓展】已知实数m，n，满足，，且，求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系直接计算即可； （2）根据根与系数的关系求出，，再代入，解一元二次方程即可得到答案； （3）由题意：可看成方程的两个根，利用根与系数的关系，并把式子变形后即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由题意可得：，， ， ， 解得； （3）解：由题意：可看成方程的两个根， ， ． 8．(24-25九上·广东广州海珠区等5地·期末)已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若是方程的两根，且，求的值 【答案】(1)详见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，一元二次方程根与系数关系是解决此题的关键． （1）求该方程根的判别式即可解答； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，根据得出，即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意可得：，，， ， 无论取何值，方程总有实数根； （2）解：，是方程的两根， ，， ， ， 解得，，． 9．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)已知是关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)若，是方程的两个实数根，且，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及解一元二次方程-公式法，熟知一元二次方程根与系数的关系及公式法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）将代入方程，并用因式分解法对所得方程进行求解即可． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）解：将代入方程得， ， 或， 解得，． （2）解：因为，是方程的两个实数根， 所以，． 又因为， 所以， 解得． 又因为， 解得， 所以m的取值范围是：． 10．(24-25九上·广东深圳罗湖区布心中学·期末)阅读材料后解答问题： 材料1：已知实数a、b满足，，且，求的值． 解：依题意得：a与b为方程的两根，∴，，∴． 材料2：配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以，即：有最小值1，此时；同样，因为，所以，即有最大值6，此时． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)拓展提升：当 时，代数式有最 （填写大或小）值为 ． 【答案】(1)3， (2) (3)，大， 【分析】（1）依据题意，由一元二次方程的两个根为和，从而可得，，进而可以得解； （2）依据题意，由一元二次方程的两根分别为m，n，从而，，，进而代入计算可以得解； （3）依据题意得，，结合，从而，则，进而可得当当时，代数式有最大值为，进而可以得解． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为和， ∴， 故答案为：3；． （2）解：∵一元二次方程的两根分别为m，n， ∴，， ∴， （3）解：由题意得， 又∵ ∴ ∴ ∴当时，代数式有最大值为． 故答案为：，大，． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方、分式的化简求值、根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 地 城 考点04 实际问题与一元二次方程 1．(24-25九上·广东河源源城区·期末)《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来，代表了国家把加强中小学劳动教育摆在更加突出的位置．某中学为了让学生体验农耕劳动，准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙． (1)要围成养鸡场的面积为，则养鸡场的长和宽各为多少？ (2)学校想要围成一个面积为的养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)养鸡场的长为，宽为； (2)这一想法不能实现，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设，则，根据养鸡场的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长为，即可确定结论； （2）假设这一想法能实现，设，则，根据养鸡场的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长为，即可得出假设不成立，即这一想法不能实现． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：养鸡场的长为，宽为； （2）解：这一想法不能实现，理由如下： 假设这一想法能实现，设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即这一想法不能实现． 2．(24-25九上·广东东莞可园中学·期末)综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的该收纳盒的底面积为． ①该收纳盒的高是多少？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 【答案】(1)剪去的小正方形的边长为； (2)①收纳盒的高为厘米；②不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 【分析】本题主要考查用一元二次方程的运用， （1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，则底面的长为厘米，宽为厘米，根据面积的计算公式列式即可求解； （2）根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，结合图示分析可得收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为列式可得， ②根据该收纳盒的高与玩具机械狗的尺寸比较即可求解． 【详解】（1）解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得： ，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为 （2）①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米， ∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米， ∵收纳盒的底面积为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为厘米， ②∵， ∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 3．(24-25九上·广东汕头·期末)某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：． (1)当时，利润为_____元； (2)若该公司要获得418元的利润，求每件的销售单价． 【答案】(1) (2)每件的销售单价为元或元 【分析】本题主要考查了一次函数与一元二次方程的应用； （1）将代入一次函数解析式可得销售量，然后根据每件的利润乘以数量即为总利润即可得； （2）根据利润=销售数量×每件的利润可得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：当时， ， ∴销售量为件， 利润为：（元）， 故答案为：； （2）解：由题意得： 展开并整理方程： 解得： 答：每件的销售单价为元或元． 4．(24-25九上·广东东莞石龙第二中学·期末)东莞公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售400个，6月份销售576个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1) (2)该品牌头盔的实际售价应定为50元 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“4月份销售400个，6月份销售576个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出答案． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元， 由题意得：， 整理得， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元． 5．(24-25九上·广东深圳·期末)某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机表演，从这块空地上划出部分区域作为安全区（如图），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地为起飞区．设原正方形空地的边长为． (1)起飞区的边的长为______（用含x的代数式表示）； (2)若起飞区的面积为，求原正方形空地的边长． 【答案】(1)； (2)原正方形空地的边长为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）根据题意，列出的代数式即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，起飞区的边的长为， 故答案为：； （2）解∶ 根据题意可得：，即， 解得：，舍去 答：原正方形空地的边长为． 6．(24-25九上·广东东莞部分学校·期末)某小区为了改善绿化环境，计划购买A、B两种树苗共100棵，其中A树苗每棵40元，B树苗每棵35元．经测算购买两种树苗一共需要3800元． (1)计划购买A、B两种树苗各多少棵？ (2)在实际购买中，小区与商家协商：两种树苗的售价均下降a元（），且每降低1元，小区就多购买A树苗2棵，B树苗3棵．小区实际购买这两种树苗的费用比原计划费用多了300元，求该小区实际购买两种树苗的售价下降额a（元）的值． 【答案】(1)A树苗60棵，B树苗40棵 (2)5 【分析】本题考查二元一次方程组、一元二次方程的实际应用： （1）设购买A树苗x棵，B树苗y棵，列二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据题意列关于a的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设购买A树苗x棵，B树苗y棵， 依题意得， 解得：． 答：购买A树苗60棵，B树苗40棵． （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵， ∴， 答：该小区实际购买两种树苗的售价下降额a（元）的值为5． 7．(24-25九上·广东梅州五华县·期末)如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，若苗圃园的面积为，求x的值． 【答案】x的值为10 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．根据矩形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为． 根据题意得，， 解得， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故x的值为10． 8．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)据统计，某企业年利润为万元，年利润为万元，该企业年到年利润的年平均增长率都相同． (1)求该企业利润的年平均增长率； (2)若年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业年的利润能否超过万元？ 【答案】(1) (2)不能 【分析】（）该企业利润的年平均增长率为，根据题意列出方程解答即可； （）根据题意列出算式计算即可判断求解； 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：该企业利润的年平均增长率为， 由题意得，， 解得，（不合，舍去）， 答：该企业利润的年平均增长率为； （2）解：∵， ∴该企业年的利润不能超过万元． 9．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)某商店在国庆前购进某种文创品，预计每件盈利元，其中年月日至月日的日销售量如图所示． (1)求年月日至月日文创品的日平均增长率； (2)用你学过的知识预估年月日的日销售盈利情况． 【答案】(1)年月日至月日文创品的日平均增长率为； (2)预估年月日的日销售盈利元． 【分析】（）设年月日至月日文创品的日平均增长率为， 由题意得，然后解方程并检验即可； （）根据题意列式计算即可； 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设年月日至月日文创品的日平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：年月日至月日文创品的日平均增长率为； （2）解：由题意可知，（元）， 答：预估年月日的日销售盈利元． 10．(24-25九上·广东云浮罗定·期末)项目化学习 项目主题：探究皱纱鱼腐销售利润 项目背景：皱纱鱼腐，形似圆球，色泽金黄，“鱼腐”即“愈富”，不仅鲜香滋味奇，更有美好寓意，这道地方非遗文化在悄悄走向全国．某校学习小组以“探究皱纱鱼腐销售利润问题”为主题开展项目学习． 驱动任务：按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材 某特产专卖店销售皱纱鱼腐，其进价为每千克50元，按每千克90元出售，平均每月可售出200千克，后经市场调查发现，单价每降低5元，平均每月的销售量可增加50千克． 解决问题： (1)若每月的销售量为400千克，则每千克皱纱鱼腐的售价为_____元； (2)若专卖店销售皱纱鱼腐想要平均每月获利8750元，求皱纱鱼腐的售价应定为每千克多少元？ 【答案】(1)70 (2)皱纱鱼腐的售价应定为每千克75元或每千克85元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每千克皱纱鱼腐应降价x元，则每千克皱纱鱼腐的售价为元，平均每月的销售量为千克，根据每月的销售量为400千克，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设每千克皱纱鱼腐应降价y元，则每千克皱纱鱼腐的售价为元，平均每月的销售量为千克，根据专卖店销售皱纱鱼腐想要平均每月获利8750元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每千克皱纱鱼腐应降价x元，则每千克皱纱鱼腐的售价为元，平均每月的销售量为千克，即千克， 由题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：70； （2）解：设每千克皱纱鱼腐应降价y元，则每千克皱纱鱼腐的售价为元，平均每月的销售量为千克，即千克， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 答：皱纱鱼腐的售价应定为每千克75元或每千克85元． 11．(24-25九上·广东广州花都区·期末)某校在开展综合实践活动中取得了丰硕成果．为了进一步推广宣传，学校在一块长方形场地布展，米，米．为了让展览效果更好，现将长方形场地划分为六个展区，展示六个小组的项目成果，在各展区之间留同样宽的长方形通道．如果六个展区的总面积为70平方米，求通道的宽度． 【答案】通道的宽度为1米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设通道的宽度为x米，则六个展区的长为米，宽为米，根据六个展区的总面积为70平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设通道的宽度为x米，则六个展区的长为米，宽为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽度为1米． 12．(24-25九上·广东清远清城区·期末)直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某平台上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． (1)若日获利1000元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ (2)经统计，促销活动后第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件．如果第二日、第三日销售的增长率相同，求该款小商品的日平均增长率． 【答案】(1)每件售价应定为50元； (2)该款小商品的日平均增长率为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每件降价x元，则每件售价应为元，日销售量为件，每件盈利为元，根据日获利1000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该款小商品的日平均增长率为m，根据第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设每件降价x元，则每件售价应为元，日销售量为件，每件盈利为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，日销售量为件； 当时，日销售量为件， 因为商家想尽快销售完该款商品，所以应选择日销售量较大的方案，故取， ∴， 答：每件售价应定为50元； （2）解：设该款小商品的日平均增长率为m， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款小商品的日平均增长率为． 2 / 30 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 4大高频考点概览 考点01 由一元二次方程的解求参数 考点02 解一元二次方程 考点03 一元二次方程的根与系数的关系 考点04 实际问题与一元二次方程 地 城 考点01 由一元二次方程的解求参数 一、单选题 1．(24-25九上·广东清远清城区·期末)一元二次方程的一个根是，则m的值为（   ） A．2 B．4 C． D．5 2．(24-25九上·广东汕头·期末)若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2016 B．2018 C．2022 D．2024 3．(24-25九上·广东清远清新区·期末)若是一元二次方程的一个根，则m的值是（   ） A．0 B． C．3 D． 4．(24-25九上·广东广州海珠区等5地·期末)若是方程的一个根，则常数的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 5．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)已知是关于的方程的一个根，则为（   ） A．6 B． C．15 D． 6．(24-25九上·广东珠海金湾区·期末)已知是一元二次方程的一个实数根，则c等于（   ） A． B． C． D．2 7．(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)已知是方程的根，则代数式的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 8．(24-25九上·广东韶关乳源县·期末)已知关于x的一元二次方程的一个根为，则实数k的值为（　　） A． B．1 C． D．2 二、填空题 9．(24-25九上·广东广州增城区·期末)若是关于x的一元二次方程的解，则 ． 10．(24-25九上·广东中山·期末)已知是一元二次方程 的一个根，则m的值为 ． 11．(24-25九上·广东深圳·期末)已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 12．(24-25九上·广东东莞松山湖区·期末)关于x的一元二次方程的一个根是1，则k的值是 ． 13．(24-25九上·广东汕尾·期末)若方程的一个根是1，则a的值是 ． 14．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值等于 ． 15．(24-25九上·广东潮州饶平县·期末)已知m是方程的一个实数根，则 ． 地 城 考点02 解一元二次方程 一、单选题 1．(24-25九上·广东东莞厚街福民学校·期末)一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 2．(24-25九上·广东梅州丰顺县·期末)一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·广东清远清城区·期末)若一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（   ） A． B． C．9 D．6 4．(24-25九上·广东清远清新区·期末)一元二次方程的解为（   ） A． B． C．或 D． 5．(24-25九上·广东阳江阳西县·期末)若关于x的方程没有实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 7．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)下列方程中，有两个相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 8．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)方程配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 9．(24-25九上·广东珠海金湾区·期末)用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)若，则 ． 11．(24-25九上·广东肇庆端州区·期末)方程有实数根，则k的值可以是 ．（写出一个即可） 三、解答题 12．(24-25九上·广东清远连州·期末)下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 移项，得．…………………………………………第一步 配方，得，即………………第二步 由此，可得．…………………………………………第三步 ……………………………………第四步 请完成下列任务： (1)上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是_________，其中，“配方法”所依据的数学公式是_______（填“完全平方公式”或“平方差公式”） (2)小华同学利用配方法解题过程中，从第______步开始出现错误，请写出正确的解题过程． 13．(24-25九上·广东汕头潮南区陈店实验·期末)【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中“◎”的个数为__________；第n个图案中“★”的个数可表示为__________． 【规律应用】 （2）若第n（n是正整数）个图案中“★”的个数是“◎”的个数的2倍，求n的值． 地 城 考点02 一元二次方程的根与系数的关系 一、单选题 1．(24-25九上·广东东莞松山湖未来学校·期末)设a，b是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．18 B． C．20 D．22 2．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)设、是方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25九上·广东清远清城区·期末)若，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 4．(24-25九上·广东清远连州·期末)若、是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 三、解答题 5．(24-25九上·广东汕头龙湖区·期末)关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且是非负整数， (1)求的值； (2)若是该方程的两个实数根，则 ． 6．(24-25九上·广东汕头潮南区陈店实验·期末)若m，n是一元二次方程的两个实数根，求的值． 7．(24-25九上·广东清远清新区·期末)【阅读材料】若关于x的一元二次方程的两根为、，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】 一元二次方程的两根为、，则________，________； (2)【类比运用】已知关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为、，满足，求k的值． (3)【思维拓展】已知实数m，n，满足，，且，求的值． 8．(24-25九上·广东广州海珠区等5地·期末)已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若是方程的两根，且，求的值 9．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)已知是关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)若，是方程的两个实数根，且，求的取值范围． 10．(24-25九上·广东深圳罗湖区布心中学·期末)阅读材料后解答问题： 材料1：已知实数a、b满足，，且，求的值． 解：依题意得：a与b为方程的两根，∴，，∴． 材料2：配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以，即：有最小值1，此时；同样，因为，所以，即有最大值6，此时． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)拓展提升：当 时，代数式有最 （填写大或小）值为 ． 地 城 考点04 实际问题与一元二次方程 1．(24-25九上·广东河源源城区·期末)《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来，代表了国家把加强中小学劳动教育摆在更加突出的位置．某中学为了让学生体验农耕劳动，准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙． (1)要围成养鸡场的面积为，则养鸡场的长和宽各为多少？ (2)学校想要围成一个面积为的养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 2．(24-25九上·广东东莞可园中学·期末)综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的该收纳盒的底面积为． ①该收纳盒的高是多少？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 3．(24-25九上·广东汕头·期末)某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：． (1)当时，利润为_____元； (2)若该公司要获得418元的利润，求每件的销售单价． 4．(24-25九上·广东东莞石龙第二中学·期末)东莞公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售400个，6月份销售576个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 5．(24-25九上·广东深圳·期末)某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机表演，从这块空地上划出部分区域作为安全区（如图），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地为起飞区．设原正方形空地的边长为． (1)起飞区的边的长为______（用含x的代数式表示）； (2)若起飞区的面积为，求原正方形空地的边长． 6．(24-25九上·广东东莞部分学校·期末)某小区为了改善绿化环境，计划购买A、B两种树苗共100棵，其中A树苗每棵40元，B树苗每棵35元．经测算购买两种树苗一共需要3800元． (1)计划购买A、B两种树苗各多少棵？ (2)在实际购买中，小区与商家协商：两种树苗的售价均下降a元（），且每降低1元，小区就多购买A树苗2棵，B树苗3棵．小区实际购买这两种树苗的费用比原计划费用多了300元，求该小区实际购买两种树苗的售价下降额a（元）的值． 7．(24-25九上·广东梅州五华县·期末)如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，若苗圃园的面积为，求x的值． 8．(24-25九上·广东佛山南海区·期末)据统计，某企业年利润为万元，年利润为万元，该企业年到年利润的年平均增长率都相同． (1)求该企业利润的年平均增长率； (2)若年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业年的利润能否超过万元？ 9．(24-25九上·广东佛山顺德区·期末)某商店在国庆前购进某种文创品，预计每件盈利元，其中年月日至月日的日销售量如图所示． (1)求年月日至月日文创品的日平均增长率； (2)用你学过的知识预估年月日的日销售盈利情况． 10．(24-25九上·广东云浮罗定·期末)项目化学习 项目主题：探究皱纱鱼腐销售利润 项目背景：皱纱鱼腐，形似圆球，色泽金黄，“鱼腐”即“愈富”，不仅鲜香滋味奇，更有美好寓意，这道地方非遗文化在悄悄走向全国．某校学习小组以“探究皱纱鱼腐销售利润问题”为主题开展项目学习． 驱动任务：按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材 某特产专卖店销售皱纱鱼腐，其进价为每千克50元，按每千克90元出售，平均每月可售出200千克，后经市场调查发现，单价每降低5元，平均每月的销售量可增加50千克． 解决问题： (1)若每月的销售量为400千克，则每千克皱纱鱼腐的售价为_____元； (2)若专卖店销售皱纱鱼腐想要平均每月获利8750元，求皱纱鱼腐的售价应定为每千克多少元？ 11．(24-25九上·广东广州花都区·期末)某校在开展综合实践活动中取得了丰硕成果．为了进一步推广宣传，学校在一块长方形场地布展，米，米．为了让展览效果更好，现将长方形场地划分为六个展区，展示六个小组的项目成果，在各展区之间留同样宽的长方形通道．如果六个展区的总面积为70平方米，求通道的宽度． 12．(24-25九上·广东清远清城区·期末)直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某平台上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． (1)若日获利1000元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ (2)经统计，促销活动后第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件．如果第二日、第三日销售的增长率相同，求该款小商品的日平均增长率． 2 / 30 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $