专题03 二次函数压轴题（期末真题汇编，广东专用）九年级数学上学期人教版

专题03 二次函数压轴题 1．(24-25九上·广东广州天河区·期末)大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为2米，且点离地面的高度为3.75米． 请尝试数学建模解决以下问题： (1)在图1中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式； (2)为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，交于点．为不影响耕作，将点到地面的距离定为1.5米．求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度． 【答案】(1) (2)做这一个支架所需铝合金材料的最大长度为米． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数关系式及勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）设与之间的函数关系式，将点代入，用待定系数法求解即可； （2）先求得，再求出，然后求得直线的函数关系式为，设，则，可得出，最后由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 设与之间的函数关系式，将点代入， 得，解得． 水流所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到地面的距离定为1.5米， 将代入得： ， 解得：， ， ， 设直线的函数关系式为，将点，代入得， ，解得：， 直线的函数关系式为， 设， ， ， ， ， 当时，有最大值，为1， 做这一个支架所需铝合金材料的最大长度为米． 2．(24-25九上·广东广州越秀区·期末)已知抛物线经过点，抛物线G与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），点P为抛物线G上A，B之间的动点（点P不与点A，B重合）． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若，的面积的最大值为9，求在时的取值范围； (3)若，点D为线段上一定点（点D不与点A，B重合），过D作x轴的垂线l，直线l分别交射线，于点E，F，若点P运动的过程中，的值始终为6，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）先求出，，得出的面积为，可知当点P为抛物线的顶点时，取得最大值为，求出，然后根据二次函数的增减性求解即可； （3）设点，点，求出直线的解析式为，得，同理可求出，从而，化简得，然后根据点P运动的过程中始终为定值6即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点 ，即 ， 抛物线的对称轴为； （2）解：由（1）可得，设点P的坐标为． 令可得， 解得， 点A在点B的左侧， ， 的面积为 点P为抛物线G上A，B之间的动点 当点P为抛物线的顶点时，取得最大值为 ，解得 ， ，， 在时随着x的增大而增小，在时随着x的增大而增大 令时，，令时，， 当时， （3）解：设点，点 在抛物线解析式中 令得或4， ， ， 设直线的解析式为， 则 解得 直线的解析式为 垂线l与PA交于点E， 同理可得，直线的解析式为 ， ， ， 化简得 点P运动的过程中始终为定值6    解得    解得 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 3．(24-25九上·广东广州天河区·期末)已知关于的函数． (1)当，时， ①求当时，该函数的最小值； ②当时，有最小值为，求当时，的最大值． (2)当时，若该函数图象与坐标轴有两个交点，求的值； (3)当，且时，若该函数图象与轴有两个不同交点，试说明该图象与直线始终有两个交点，并求出这两点之间距离的取值范围． 【答案】(1)①；②的最大值为 (2)或 (3)见解析，这两点之间距离大于 【分析】（1）①当时，把二次函数解析式化为顶点式，可得二次函数的对称轴为直线，结合，得出二次函数开口向上，进而可得当时，随着的增大而减小，由二次函数的性质计算即可得解；②由当时，有最小值为，求出，即可得出，再由二次函数的性质求解即可； （2）当时，，再分两种情况：当时；当且过原点时，分别求解即可得解； （3）当时，，由该函数图象与轴有两个不同交点，求出，联立可得，求出，即可得出该图象与直线始终有两个交点，设两个交点为，，由一元二次方程根与系数的关系可得：，，表示出，结合计算即可得解． 【详解】（1）解：①当时，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴二次函数开口向上， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当，该函数的值最小，为； ②∵， ∴当时，有最小值为， 解得：， ∴， 当时，，当时，， ∴当时，的最大值为； （2）解：当时，， ∵当时，该函数图象与坐标轴有两个交点， ∴当时， 解得：或， 当时，，与坐标轴只有一个交点，不符合题意； 当时，，符合题意； 当且过原点时， 将代入得：， ∴， ∴此时函数解析式为，符合题意； 综上所述，或； （3）解：当时，， ∵该函数图象与轴有两个不同交点， ∴， ∵， ∴， ∴； 联立可得：， ∴， ∴该图象与直线始终有两个交点， 设两个交点为，， 由一元二次方程根与系数的关系可得：，， ∴ ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值、二次函数与一元二次方程、勾股定理求两点之间的距离等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 4．(24-25九上·广东江门蓬江区·期末)【问题背景】如图1，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，现将图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的部分与原图象x轴上方部分组成新的函数图象． 【问题探究】 （1）请求出A、B、C三点的坐标； （2）若直线与新的函数图象恰好有3个公共点时，求b的值； 【问题拓展】 （3）如图2，直线l与x轴平行，且与新的函数图象共有4个公共点，从左到右依次为点P、Q、M、N，当时，求点M的坐标． 【答案】（1）A、B、C三点的坐标分别为：、、；（2）或；（3）． 【分析】（1）对于，令，则或1，则函数的对称轴为直线，则，即可求解； （2）分两种情况讨论，当直线与函数的图象相切时和当直线经过点B时，据此即可求解； （3）根据函数的对称性得：，得到，即可求解． 【详解】解：（1）对于，令，则或1， 则函数的对称轴为直线， 当时，， 则， 故A、B、C三点的坐标分别为：、、； （2）由翻折的性质得，翻折后的抛物线表达式为：， 分两种情况讨论， ①当直线与函数的图象相切时： 联立和得：， 整理得： 则，则， ②当直线经过点B时： 将点B的坐标代入得：，则， 综上，或； （3）根据函数的对称性得：， ∵，则，即， 设直线l为：， 联立和得：， 则，， 则， 同理可得：， 则， 解得：， 令， 解得：(舍去负值)， 即点． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象翻折、一次函数的图象和性质，确定临界点和利用根和系数的关系处理数据是解题的关键． 5．(24-25九上·广东江门江海区·期末)如图，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式及C点坐标； (2)如图1，连接，在对称轴上找一点D，使得是以为底角的等腰三角形，求点D的坐标； (3)如图2，第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，连接交于点Q．当的值最大时，求点的坐标，并求出这个最大值． 【答案】(1)， (2)或或 (3)， 【分析】（1）将，代入解析式，即可求解； （2）由二次函数的对称轴得对称轴为直线，设，①当时，②当时，由勾股定理，即可求解； （3）过作轴交于，由等腰三角形的定义得，由勾股定理得直线的解析式为，设，，可得，，由二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得， 故抛物线的表达式为：， 当时，， ； （2）解：， 对称轴为直线， 设， ①当时，如图， ， 解得：， ； ②当时，如图， ， 解得：，， ； 故点D的坐标为或或； （3）解：过作轴交于， 轴， ，， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 设， ， ， ， ， ， ， 当时， 的最大值是； ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，二次函数的性质求最值，掌握待定系数法，能熟练利用二次函数的性质求最值及根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关键． 6．(24-25九上·广东广州荔湾区·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，连结． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段的长度； (3)点是抛物线上的一个动点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)，或 (2)6 (3)满足题意的点的坐标为或 【分析】本题主要考查了二次函数综合问题，待定系数法求解抛物线解析式，根据抛物线对称性质求解，两点之间的距离等知识． （1）利用待定系数法求解抛物线解析式即可． （2）根据二次函数的对称性质得出点坐标为，再根据两点之间的距离公式求解即可． （3）作关于直线对称的轴对称图形，根据抛物线对称性，则在抛物线上，坐标为，点与点重合，点与点重合，，故点为抛物线上满足题意的点，坐标为． 取点关于轴的对称点，坐标为，求出解析式，再联立抛物线解析式则进一步即可得出答案． 【详解】（1）解：依题意，点在抛物线上， 代入得， 解得， 抛物线解析式为： ，或 （2）解：抛物线对称轴为直线，点、点关于对称轴对称， ，， ∴点坐标为， ∴． （3）解：抛物线为轴对称图形，对称轴为直线； 令，得，点坐标为； 点、点、点在抛物线上，作关于直线对称的轴对称图形， 根据抛物线对称性，则在抛物线上，坐标为， 点与点重合，点与点重合，， 故点为抛物线上满足题意的点，坐标为． 取点关于轴的对称点，坐标为， 则， 设解析式为， 则 解得： 则直线解析式为， 与抛物线联立： 得， 解得，（与重合，舍去） 令，得， 点也是符合题意的点； 综上，满足题意的点的坐标为或． 7．(24-25九上·广东广州荔湾区·期末)已知抛物线过点，点，点． 直线过点，交线段于点，记的面积为，的面积为，且． (1)用含的式子表示； (2)求直线的解析式； (3)当，时，已知点在直线上，若抛物线与线段有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)直线解析式为或 (3) 【分析】（1）将点坐标代入抛物线解析式即可求解； （2）分两种情况：．当点A在点的左侧时，ii．当点、点交换位置时，点、点也交换位置，分别求解即可； （3）根据，求出点坐标和抛物线解析式，根据在直线上，求出的坐标，在根据抛物线与线段有且只有一个交点判断与抛物线的位置关系，代入求解的取值范围即可． 【详解】（1）解：依题意，点在抛物线上，代入得， 化简得． （2）解：抛物线对称轴， 依题意及抛物线的对称性知，点、点关于直线对称，点在抛物线对称轴上． 由得，为定值，设线段交对称轴于点，则坐标为． ．当点A在点的左侧时，如图，取点关于直线的对称点， 由对称性知，，故， ，得， 故，点E坐标为， 把点D、E坐标代入，得：， 解得：， 直线解析式为． ii．当点、点交换位置时，点、点也交换位置， 同理，此时点坐标为，直线解析式为． 综上，直线解析式为或． （3）解：当时，点在左，点在右，直线解析式为． 依题意，点在直线上，代入得，即，点坐标为， 将，代入原抛物线得，即， 令得， ∴抛物线过定点和，如下图： 观察图像，抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线顶点在点正下方， 且不会运动到点的上方． 过点作直线轴，交抛物线于点． 在变化过程中，当点位于点下方时，线段在抛物线内部，与抛物线无交点； 当点位于点上方（含重合）时，线段与抛物线只有一个交点． 抛物线中，令，则，点坐标为， 当，即时，点位于点上方（含重合），线段与抛物线只有一个交点． 过点作直线轴，交抛物线于点． 令，得，点坐标为． 依题意，点在线段上，，，， 即点在抛物线内测， 当点向上移动时，也在向上移动，但不能超过点，即，． 综上所述，满足题意． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，二次函数的图象与性质，抛物线的对称性，二次函数上点的坐标特征等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．(24-25九上·广东东莞·期末)如图，抛物线与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． (1)求A、B 两点的坐标及直线的函数表达式； (2)P是线段上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； (3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)，， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法，此题有一定的难度． (1)因为抛物线与x轴相交，所以可令，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式； (2)根据P点在上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案； (3)此题要分两种情况：①以为边，②以为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标． 【详解】（1）解：令，得 ， 解得或， ∴， 将C点的横坐标代入得 ， ∴， ∴设直线的函数解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴直线的函数解析式是； （2）设P点的横坐标为， 则P、E的坐标分别为，， ∵P点在E点的上方， ∴， 由，对称轴，抛物线开口向下， ∴当时，PE的最大值为； （3）(3)存在4个这样的点F，分别是，． ①如图1， 连接C与抛物线和y轴的交点， ∴轴， ∴，， ∴F点的坐标是； ②如图2， ，A点的坐标为， ∴F点的坐标为； ③如图3， 此时C，G两点的纵坐标互为相反数， ∴G点的纵坐标为3，代入抛物线中，得 ， 解得（不符合题意，舍去）， ∴G点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴直线与x轴的交点F的坐标为； ④如图4， 同③可求出F的坐标为， ∴符合条件的F点共有4个，为，，． 9．(24-25九上·广东广州增城区·期末)抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)若是线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，求线段的最大值； (3)将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后图象与原图象在轴上方的部分组成了一个“”形状的新图象，若直线与该新图象恰好有三个公共点，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1或 【分析】（1）用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）用待定系数法求出线段所在的直线方程为：，由题意可设，其中，则，进而得到，从而即可得到答案； （3）分当过点时，直线与新图象有3个公共点，和当与新图象的封闭部分有一个公共点（即相切）时，直线与新图象有3个公共点，分别求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入得， 解得： ∴二次函数的解析式为：； （2）解：∵在图象上， ∴，即， 设直线的解析式为：，代入， 则， 解得：， 线段所在的直线方程为：， 如图1， ，     由题意可设，其中，则， ， 当时，长度的最大值为，此时，点的坐标为； （3）解：根据题意得到如图2， ， 当过点时，直线与新图象有3个公共点，把代入得， 当与新图象的封闭部分有一个公共点（即相切）时，直线与新图象有3个公共点， 由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于轴对称， 所以其解析式为， 所以方程组有一组解，消去得到的方程有两个相等的实数根，则， 所以， 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的交点问题、二次函数的最值，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解题的关键． 10．(24-25九上·广东东莞石龙第二中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于和两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，是线段下方抛物线上的一点，作于，求的最大值； (3)如图，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； (4)如图，过点作直线与抛物线相交于点和点，若点和点的纵坐标之和为，求该直线的解析式． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)有最大值； (3)点的坐标为； (4)直线解析式为或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）过作轴于点，交于点，求出直线解析式为，设，则，，利用，求出，最后根据二次函数的性质即可求解； （）过作轴于点，过作轴于点，然后证明，由性质得，设，则，代入得，再解方程和检验即可； （）设直线解析式为，由于过点，则直线解析式为，联立联立，则，再通过一元二次方程根与系数的关系即可求解； 本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程解法及根与系数的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过作轴于点，交于点， 由（）得：抛物线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值； （3）解：如图，过作轴于点，过作轴于点， ∴， 由上可知于，，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴，， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴点的坐标为； （4）解：设直线解析式为， ∵过点， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立：， ∴， ∵点和点的纵坐标之和为，， ∴ ∵，， ∴， 整理得：， ∴直线解析式为或． 11．(24-25九上·广东东莞部分学校·期末)如图1，在中，，，点是边上的一动点，、分别为、的中点，连接．过点作，分别与、交于、两点． (1)的度数为 °； (2)如图，连接，试解决下列问题： ①试判断与的数量关系，并说明理由； ②连接，若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② 【分析】本题考查了中位线定理、全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的最值问题，灵活掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据中位线的性质推出即可； （2）①证明≌，然后根据是的中点即可得出结论； ②设，用含的式子分别表示出、、、、，再表示出，借助二次函数的最值即可求解． 【详解】（1）由题意知，为等腰直角三角形，为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）①，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴≌， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴； ②设，则， ∵、分别为、的中点， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴当时，的面积的最大值为． 12．(24-25九上·广东汕尾·期末)【建立模型】 （1）如图1，点B是线段上的一点，，垂足分别为点C，B，D，．求证：． 【类比迁移】 （2）如图2，点A在一次函数的图象上，连接，将绕点O逆时针旋转到，若一次函数经过点A，B． ①求的值； ②求经过点A，B的直线的解析式． 【拓展延伸】 （3）如图3，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，已知点，连接，抛物线上是否存在点M，使得?若存在，求出点M的横坐标． 【答案】（1）证明见解析；（2）①，②直线的解析式为（3）或 【分析】（1）根据题意得出，，证明，即可得证； （2）①点A在一次函数的图象上，代入表达式求出结论； ②先求出点，将点代入得直线的解析式求出结论； （3）如图3，当M点位于x轴上方，且，过点Q作，交于点D，过点D作轴于点E．证明，可得，，可得，求解，令， 可得M的横坐标为；如图，当M点位于x轴下方，且，同理可得，为．由，可得M的横坐标是． 【详解】（1）证明：如图，    ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）①∵点A在一次函数的图象上， ∴， 解得：； ②如图所示，分别过点作轴，轴，垂足分别为， ∵将绕点O逆时针旋转到， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， 一次函数经过点A，B， 将代入得：， 解得： ∴直线的解析式为； （3）存在； 如图3，当M点位于x轴上方，且，过点Q作，交于点D，过点D作轴于点E．    ∵，， ∴， ∴， ∵轴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 令，得，， ∴， 又， ∴， ∴， 设表达式为，则  ， 解得：， ∴直线表达式， 令，得，(舍去)， ∴M的横坐标为； 如图，当M点位于x轴下方，且，    同理可得，直线表达式为． 由，得，(舍去) ∴M的横坐标是． 综上：M的横坐标为或． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，反比例函数的应用，二次函数的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用类比的方法解题是关键． 13．(24-25九上·广东广州海珠区等5地·期末)已知抛物线（m为常数，且）． (1)不论为何值，抛物线的图象一定经过某些定点．请求出这些定点的坐标； (2)若对于任意自变量，都有点与点分别到点的距离相等，则与形成的函数称为抛物线（异于）是抛物线的“倍相伴函数”． ①求抛物线的“2倍相伴函数”是的解析式； ②在①的情况下，的图象经过两个定点和（在左边），横坐标分别为、，若存在时，与都随着的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)和 (2)① ②或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、列不等式求自变量的取值范围、含参数的二次函数问题的求解等知识与方法，解题的关键是理解并应用新定义，结合二次函数的图象探究函数图象经过的定点以及定点对函数白变量取值范围的影响，此题难度较大 （1）根据“定点”的定义结合函数的解析式，可知当或3时，函数值y与m的取值无关，可得此时两个定点的坐标； （2）①由题意得，设函数上的任意一点坐标为，则关于的对称点为，代入，再令即可求得答案； ②由题意得∶ 对称轴为直线，对称轴为直线， 分两种情况∶当和当时，分别列不等式求解即可 【详解】（1）解： 令， 解得：， 在抛物线中， 令得， 令，得， ∴抛物线y的图象经过定点和． （2）解：①依题意，与关于中心对称， 故， 设函数上的任意一点坐标为， 则关于的对称点为， 依题意必在函数上， 代入， 得， 化简得：， 令， 得， ②的图象经过定点和． 根据与关于中心对称，， 可得必过定点，， 故， 即． 对称轴为直线，对称轴为直线， 当时，的图象开口向上，在对称轴右侧随x增大而增大， 则时满足题意， 解得∶， 当时，的图象开口向下，在对称轴左侧随x增大而增大， 则时满足题意， 解得∶， 所以，当时，与都随x增大而增大，满足题意 当时，的图象开口向下，在对称轴左侧随x增大而增大， 则满足题意， 解得：， 当时，的图象开口向下，在对称轴右侧随x增大而增大， 则，满足题意， 解得：， 所以，当时，与都随x增大而增大， 满足题意． 综上所述，当，与都随x增大而增大， 或满足题意． 14．(24-25九上·广东湛江寸金培才学校·期末)如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线于点，交抛物线于点，连结． ①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标； ②若，求出的值． 【答案】(1) (2)①点的坐标为或；②的值为或5 【分析】（1）把代入求出一次函数解析式，则的坐标为，再把代入中即可求出抛物线的解析式． （2）①求出，根据，求出，，结合轴，求出，设，则，，分为当和当，分别求解即可；②求出直线的解析式，分为当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N，证明，求出，从而求出直线的解析式，即可求解．当点P在x轴下方时，得出，全等三角形的性质求出，求出直线的解析式即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 故， 则的坐标为， 把代入中 得， 解得：， ∴抛物线的解析式的为：． （2）解：①∵， 令，则，解得：或3， ∴， 又∵， ∴，，， 又轴， ， ， ， ∵， ∴，， ， 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故； 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故， 综上，或． ②∵点，， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）； 当点P在x轴下方时，如下图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）； 综上所述，的值为：或5． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，一次函数解析式求解，注意相似三角形分情况讨论．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 15．(24-25九上·广东广州花都区·期末)在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到新抛物线，点为新抛物线上一点． (1)直接写出平移后新抛物线的表达式； (2)当时，记新抛物线与原抛物线组成的图象为，过点作轴的垂线，若直线与图象只有一个交点，求的取值范围； (3)若点在原抛物线上的对应点为，连接，当为直角三角形，且为直角边，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，抛物线的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据函数图象的平移规律可得新抛物线的表达式为； （2）画出图象C的示意图，仔细观察图象即可求解； （3）分两种情况∶①当时，构造三垂直模型利用三角函数即可列比例式求解∶②当时，构造三垂直模型利用三角函数即可列比例式求解． 【详解】（1）解∶将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位， 根据平移规律：上加下减，左加右减，可得新抛物线的解析式为：； （2）解∶根据题意，画出图象如下： 由，可得顶点坐标， 根据图象可得： ①当点与顶点重合时， 直线与图象只有一个交点，此时 ②设与轴相交于点，令，得， 当直线经过点时，记直线与新抛物线的另一交点为， 根据对称性得 记新抛物线与正半轴的交点为，令，求得 （舍去）即由图可知，当时，直线与图象只有一个交点综上，的取值范围是或； （3）解∶①当时，由图象可知，此时点在第一象限， 理由：由平移可知知点在轴上方，即在第一象限， 过点作轴于点于点，由平移，得， ， ， ，， ， ， 因为点，得，即， 又点在上， 得到， 即，解得（舍去）， 所以，即点； ②当时，过点作轴于点于点，由平移，得，同①可证明， ，， 设，得， 又点在上，得到， 即，解得（舍去）， 所以，即点， 根据平移得， 综上或． 16．(24-25九上·广东潮州饶平县·期末)综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 (1)求外边缘抛物线的函数分析式，并求喷出水的最大射程； (2)请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，喷出水的最大射程为 (2)点B的坐标为 (3) 【分析】易得的顶点A的坐标，用顶点式表示出的分析式，进而把点H的坐标代入可得a的值，取，可得的长度； 设出平移后的分析式，进而把点H的坐标代入可得m的值，取，求得相应的x的值可得抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，点D与点B重合或点F在上，分别求得对应的的长，可得的取值范围． 本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得的分析式是解决本题的关键；易错点是根据二次函数的平移规律得到的分析式；难点是判断出洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带时，点D或点F对应的位置． 【详解】（1）解：由题意得：点是外边缘抛物线的顶点， 设， 抛物线过点， ， ， 外边缘抛物线的函数分析式为：， 当时，， 解得：，舍去， 喷出水的最大射程为． （2）解：由左右平移得到， 设， 经过点， ， 解得：，舍去， ， 把代入，得： 解得：，舍去， 点B的坐标为． （3）解：要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 点D与点B重合或点F在上， 当点D与点B重合时，， 当点F在上时，， 解得：，不合题意，舍去， ， ， 的取值范围是 17．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)如图，抛物线． (1)试说明无论为何值，抛物线必经过某个定点． (2)若抛物线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，且满足． ①求的值． ②抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)说明见解析 (2)①；②存在，点的坐标为或 【分析】（）把代入函数解析式得，即可说明； （）①由题意可知，，可得，即可求出点的坐标，进而求解的值；②连接，在轴上取点，使得，过点作，交抛物线于点，可得，把代入求出点的坐标，求出直线的解析式，进而求得直线的表达式，最后联立函数解析式即可求解； 本题考查了待定系数法，二次函数的几何应用，二次函数与一次函数的交点问题，求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴无论为何值，抛物线必经过定点； （2）解：①由题意，知，， ∵抛物线必经过定点 ∴， ∵， ∴， 解方程，得（舍去），， ∴点的坐标是， 把点代入，得， 解得； ②∵， ∴抛物线的解析式是． 如图，在轴上取点，使得，过点作交抛物线于点， 则， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 把代入，得， ∴点的坐标是， 设直线的解析式是． 则， 解得， ∴直线的解析式是， 设直线的解析式是， 把点代入，得， ∴直线的解析式是 联立函数式得， 解得或， ∴抛物线上存在点，使得，点的坐标是或． 18．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)如图，在菱形中，，，点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作于点Q，作交直线于点M，交直线于点F，设与菱形重叠部分图形的面积为S，点P运动时间为t（秒）． (1)当点M与点B重合时，_______秒； (2)当t为何值时，与全等； (3)求S与t的函数关系式． 【答案】(1)2 (2)或4 (3) 【分析】（1）根据直角三角形的性质求解即可； （2）分两种情况：①当时，②当时，由全等三角形的性质得出关于t的方程，解方程可得出答案； （3）分两种情况：①当时，②当时，由直角三角形的性质及三角形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）解：如图1：当M与B重合时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）解：分以下两种情况讨论： ①当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，t的值为或4； （3）解：由题意得， 分以下两种情况讨论： ①时，如图2， 在中，，，， ∴， ∴， 同理在中，， ∴， ∴与菱形重叠部分图形的面积为； ②当时，如图3， 在中，，，， ∴， ∴， 同理在中，， ∴，， ∵菱形，且， ∴，，， ∴，， ∴， 由①得， ∴与菱形重叠部分图形的面积为， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的性质、全等三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识点，正确进行分类讨论是解题的关键． 19．(24-25九上·广东茂名祥和中学·期末)综合运用 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点F，交直线于点，连接， ①连接，当的面积为时，求点的横坐标； ②直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①的面积为时，点的横坐标为1或4；②能，当点的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于的方程，然后解方程求出就可得到对应的点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于的方程，从而可得到满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：（1）将代入， 得：， 解得，     则抛物线解析式为． （2）设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 所以直线的解析式为，    ． 设，则，， ∴． ①根据题意得的面积为， 故可得方程： 解得． 的面积为10时，点的横坐标为1或4．     ②能． ∵， 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分． （3）抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵， ∴， 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与轴的交点坐标，能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 20．(24-25九上·广东珠海斗门区·期末)如图1，抛物线与直线相交于O、B两点，点A在抛物线上且横坐标为2，点D为抛物线与x轴的交点，点E是线段上一动点． (1)求点B坐标； (2)连接、，求的最小值； (3)为什么三角形？请说明理由： (4)如图2，点C是线段的中点，连接、，将沿折叠，得到，若与重叠部分的面积是面积的，求的长． 【答案】(1) (2) (3)直角三角形，见解析 (4)或 【分析】本题综合考查二次函数的性质．难点在于分类探讨折叠后的图形，以此判断出点E所在的位置． （1）二次函数和一次函数联立，求得合适的解即为点B的坐标； （2）取二次函数的，求得点D的坐标，点D关于直线对称的点，连接交线段于E，此时最小，再由勾股定理求出最小值即可； （3）根据点A、点B的坐标，进而根据两点间的距离公式分别求得，，，得到较小的两边的平方和等于较大边的平方，那么为直角三角形； （4）分类探讨画出相关图形，易得折叠后连接后点、B、C、E组成的四边形是平行四边形，进而根据，以及折叠得到的边长相等可得的长度． 【详解】（1）解：∵将代入抛物线得， ， ∴联立， 解得或， ； （2）解：当代入抛物线得， 解得或， ， ∴点D关于直线对称的点， 连接交线段于E，此时最小， 过A作轴，交y轴于F，则， ， ∴最小值为； （3）解：是直角三角形，理由如下： ， ， ， 是直角三角形； （4）解：分以下两种情况： ①当在上方时，设与交于点M， ∵C是的中点， ， ， ∴M是的中点， 由折叠可知，， ， ， ∴M是的中点， ∴四边形是平行四边形， ， ②当在下方时，设与交于点M， 同理可得四边形是平行四边形， ； ∴在直角中，， 又， 所以， 综上所述：的长为或． 2 / 57 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数压轴题 1．(24-25九上·广东广州天河区·期末)大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为2米，且点离地面的高度为3.75米． 请尝试数学建模解决以下问题： (1)在图1中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式； (2)为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，交于点．为不影响耕作，将点到地面的距离定为1.5米．求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度． 2．(24-25九上·广东广州越秀区·期末)已知抛物线经过点，抛物线G与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），点P为抛物线G上A，B之间的动点（点P不与点A，B重合）． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若，的面积的最大值为9，求在时的取值范围； (3)若，点D为线段上一定点（点D不与点A，B重合），过D作x轴的垂线l，直线l分别交射线，于点E，F，若点P运动的过程中，的值始终为6，求a的值． 3．(24-25九上·广东广州天河区·期末)已知关于的函数． (1)当，时， ①求当时，该函数的最小值； ②当时，有最小值为，求当时，的最大值． (2)当时，若该函数图象与坐标轴有两个交点，求的值； (3)当，且时，若该函数图象与轴有两个不同交点，试说明该图象与直线始终有两个交点，并求出这两点之间距离的取值范围． 4．(24-25九上·广东江门蓬江区·期末)【问题背景】如图1，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，现将图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的部分与原图象x轴上方部分组成新的函数图象． 【问题探究】 （1）请求出A、B、C三点的坐标； （2）若直线与新的函数图象恰好有3个公共点时，求b的值； 【问题拓展】 （3）如图2，直线l与x轴平行，且与新的函数图象共有4个公共点，从左到右依次为点P、Q、M、N，当时，求点M的坐标． 5．(24-25九上·广东江门江海区·期末)如图，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式及C点坐标； (2)如图1，连接，在对称轴上找一点D，使得是以为底角的等腰三角形，求点D的坐标； (3)如图2，第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，连接交于点Q．当的值最大时，求点的坐标，并求出这个最大值． 6．(24-25九上·广东广州荔湾区·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，连结． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段的长度； (3)点是抛物线上的一个动点，满足，求点的坐标． 7．(24-25九上·广东广州荔湾区·期末)已知抛物线过点，点，点． 直线过点，交线段于点，记的面积为，的面积为，且． (1)用含的式子表示； (2)求直线的解析式； (3)当，时，已知点在直线上，若抛物线与线段有且只有一个交点，求的取值范围． 8．(24-25九上·广东东莞·期末)如图，抛物线与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． (1)求A、B 两点的坐标及直线的函数表达式； (2)P是线段上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； (3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 9．(24-25九上·广东广州增城区·期末)抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)若是线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，求线段的最大值； (3)将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后图象与原图象在轴上方的部分组成了一个“”形状的新图象，若直线与该新图象恰好有三个公共点，求的值． 10．(24-25九上·广东东莞石龙第二中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于和两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，是线段下方抛物线上的一点，作于，求的最大值； (3)如图，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； (4)如图，过点作直线与抛物线相交于点和点，若点和点的纵坐标之和为，求该直线的解析式． 11．(24-25九上·广东东莞部分学校·期末)如图1，在中，，，点是边上的一动点，、分别为、的中点，连接．过点作，分别与、交于、两点． (1)的度数为 °； (2)如图，连接，试解决下列问题： ①试判断与的数量关系，并说明理由； ②连接，若，求的面积的最大值． 12．(24-25九上·广东汕尾·期末)【建立模型】 （1）如图1，点B是线段上的一点，，垂足分别为点C，B，D，．求证：． 【类比迁移】 （2）如图2，点A在一次函数的图象上，连接，将绕点O逆时针旋转到，若一次函数经过点A，B． ①求的值； ②求经过点A，B的直线的解析式． 【拓展延伸】 （3）如图3，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，已知点，连接，抛物线上是否存在点M，使得?若存在，求出点M的横坐标． 13．(24-25九上·广东广州海珠区等5地·期末)已知抛物线（m为常数，且）． (1)不论为何值，抛物线的图象一定经过某些定点．请求出这些定点的坐标； (2)若对于任意自变量，都有点与点分别到点的距离相等，则与形成的函数称为抛物线（异于）是抛物线的“倍相伴函数”． ①求抛物线的“2倍相伴函数”是的解析式； ②在①的情况下，的图象经过两个定点和（在左边），横坐标分别为、，若存在时，与都随着的增大而增大，求的取值范围． 14．(24-25九上·广东湛江寸金培才学校·期末)如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线于点，交抛物线于点，连结． ①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标； ②若，求出的值． 15．(24-25九上·广东广州花都区·期末)在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到新抛物线，点为新抛物线上一点． (1)直接写出平移后新抛物线的表达式； (2)当时，记新抛物线与原抛物线组成的图象为，过点作轴的垂线，若直线与图象只有一个交点，求的取值范围； (3)若点在原抛物线上的对应点为，连接，当为直角三角形，且为直角边，求点的坐标． 16．(24-25九上·广东潮州饶平县·期末)综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 (1)求外边缘抛物线的函数分析式，并求喷出水的最大射程； (2)请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 17．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)如图，抛物线． (1)试说明无论为何值，抛物线必经过某个定点． (2)若抛物线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，且满足． ①求的值． ②抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期末)如图，在菱形中，，，点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作于点Q，作交直线于点M，交直线于点F，设与菱形重叠部分图形的面积为S，点P运动时间为t（秒）． (1)当点M与点B重合时，_______秒； (2)当t为何值时，与全等； (3)求S与t的函数关系式． 19．(24-25九上·广东茂名祥和中学·期末)综合运用 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点F，交直线于点，连接， ①连接，当的面积为时，求点的横坐标； ②直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 20．(24-25九上·广东珠海斗门区·期末)如图1，抛物线与直线相交于O、B两点，点A在抛物线上且横坐标为2，点D为抛物线与x轴的交点，点E是线段上一动点． (1)求点B坐标； (2)连接、，求的最小值； (3)为什么三角形？请说明理由： (4)如图2，点C是线段的中点，连接、，将沿折叠，得到，若与重叠部分的面积是面积的，求的长． 2 / 57 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $