专题03 函数及其性质（必备知识+14大考点+专练，复习讲义）（上海专用）2026年春季高考数学

专题03 函数及其性质 目 录 一、考情分析与命题趋势 二、知识体系构建 知识点1 函数及其表示 1 知识点2 函数的奇偶性与周期性 2 知识点3 函数的单调性、值域与最值 4 知识点4 函数的图像 6 知识点5 幂函数与二次函数 7 知识点6 指数与指数函数 9 知识点7 对数与对数函数 10 知识点8 函数的综合应用 11 知识点9 函数应用题 12 三、考点精析与突破 考点一 函数的定义域 12 考点二 函数的值域 16 考点三 分段函数 20 考点四 函数的单调性 25 考点五 函数的最值 30 考点六 函数的奇偶性 34 考点七 函数的周期性 38 考点八 函数的对称性 44 考点九 函数的图像 48 考点十 一次函数与二次函数 54 考点十一 指数与指数函数 58 考点十二 对数与对数函数 63 考点十三 幂函数 66 考点十四 函数的应用 70 四、实战精练与提升 一、单选题 77 二、填空题 79 三、解答题 84 一、考试要求 知识点 新课程标准 重点 函数及其表示 1. 理解函数的有关概念； 2. 掌握函数的表示法（解析法、图像法、列表法）； 3. 理解分段函数的定义及应用； 4. 掌握求函数定义域的类型及方法 1. 函数概念的准确理解； 2. 分段函数的求值与图像分析； 3. 各类函数定义域的求解方法 函数的奇偶性与周期性 1. 掌握函数奇偶性的判断方法（定义法、图像法）； 2. 能运用函数奇偶性解决求值、对称性等问题； 3. 理解关于奇偶性的常用结论； 4. 明确函数奇偶性与对称性的关系； 5. 理解函数周期性的定义及应用 1. 函数奇偶性的判定与证明； 2. 利用奇偶性和周期性求解函数值、图像问题； 3. 奇偶性与对称性、周期性的综合应用 函数的单调性、值域与最值 1. 理解函数单调性的定义，掌握单调性的判断与证明方法； 2. 掌握函数值域的求解方法，能分析函数的最值 1. 函数单调性的证明与应用（比较大小、解不等式等）； 2. 各类函数值域与最值的求解策略 函数的图像 1. 掌握作函数图像的方法（描点法、变换法等）； 2. 能运用函数图像解决零点、不等式、最值等问题； 3. 理解函数图像的对称性 1. 函数图像的变换（平移、伸缩、对称）； 2. 利用函数图像解决综合问题（零点个数、不等式解集等） 幂函数与二次函数 1. 掌握五种常见幂函数的图像与性质； 2. 理解有关幂函数的结论； 3. 掌握二次函数的图像和性质； 4. 能解决二次函数最值问题的三种类型 1. 幂函数性质的应用； 2. 二次函数的图像分析、单调性与最值问题； 3. 二次函数的实际应用 指数与指数函数 1. 掌握根式与指数幂的运算； 2. 理解指数幂的运算性质； 3. 掌握指数函数的图像与性质 1. 指数幂的化简与求值； 2. 指数函数的单调性及图像应用； 3. 指数函数相关的方程、不等式问题 对数与对数函数 1. 掌握对数的运算性质； 2. 掌握对数函数的图像与性质； 3. 理解反函数的概念（指数与对数函数的反函数关系） 1. 对数的运算（换底公式、对数方程）； 2. 对数函数的单调性、定义域及图像应用； 3. 指数与对数函数的反函数关系应用 函数的综合应用 1. 能运用函数图像解决综合问题； 2. 掌握函数范围与最值的综合求解方法； 3. 能解决与函数相关的方程与不等式问题 1. 函数性质的综合应用（图像、单调性、奇偶性等）； 2. 函数与方程、不等式的转化（零点、恒成立问题等）； 3. 含参函数的范围与最值分析 函数应用题 1. 理解几种常见的函数模型（一次、二次、指数、对数、幂函数等）； 2. 掌握三种函数模型性质的比较； 3. 掌握解答函数应用问题的步骤（审题、建模、求解、检验） 1. 函数模型的选择与应用； 2. 函数应用题的建模与实际意义检验； 3. 函数性质在实际最值、范围问题中的应用 二、命题分析 函数考点考查情况表（2021~2025年春考数据） 考频 考查内容 命题趋势 2025年第8题、2023年第9题 函数的零点与方程根的关系 高频考点，多以小题形式呈现，结合函数图像、方程求解考查函数与方程思想，难度中等，注重对函数零点概念的理解及方程根的转化能力 2024年第1题、2022年第13题、2021年第20题 函数的定义域及其求法 高频基础考点，多在小题中考查，涉及对数、分式、根式等定义域类型，难度较低，注重对函数基本概念的扎实掌握 2024年第9题 分段函数的应用 中频考点，以小题形式考查分段函数的求值或图像分析，难度中等，强调对分段函数定义的理解与分段讨论思想的应用 2024年第16题、2022年第21题 函数与方程的综合运用（不含导数） 高频难点考点，多在解答题中综合考查，结合函数性质、方程求解、不等式等知识，分值高、难度大，注重知识整合与数学思想（如分类讨论、数形结合）的渗透 2024年第1题、2022年第5题、2021年第13题 反函数 中频考点，以小题形式考查反函数的概念及求法（多涉及指数与对数函数），难度较低，注重对反函数定义的理解 2023年第13题 函数的奇偶性 中频考点，以小题形式考查奇偶性的判断或性质应用，难度中等，强调对奇偶性定义的掌握及函数对称性的理解 知识点1 函数及其表示 1．函数的有关概念 （1）函数的定义域、值域： 在函数 中， 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域；与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域．显然， 为非空数集； （2）函数的两要素：定义域和对应关系； （3）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据．由此有些数学书上称定义域和对应关系，为函数的两要素． 2．函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法． 3．分段函数 （1）若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数； （2）分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 4．求函数定义域的类型及方法 （1）已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式（组）求解； （2）对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解； （3）若已知 的定义域为 [a, b] ，则 的定义域可由 求出；若已知 的定义域为 [a, b] ，则 的定义域为 在 时的值域． 知识点2 函数的奇偶性与周期性 1.函数奇偶性的判断 奇偶性 定义 图像特点 偶函数 如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么函数 是偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么函数 是奇函数 关于原点对称 (1)定义法 确定定义域→定义域不是关于原点对称→既不是奇函数也不是偶函数 确定定义域→定义域关于原点对称→→→若 ，则奇（偶）函数定义的等价形式如下： 时 为偶函数； 时 为奇函数→得出结论 (2)图像法 的图像→关于原点对称→ 的图像→关于轴对称→ 2．函数奇偶性的应用 （1）已知函数的奇偶性求函数的表达式 利用奇偶性关于 的方程，从而可得函数 的表达式； （2）已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性，求参数 常采用待定系数法：利用 产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值； （3）奇偶性与单调性综合时，要注意奇函数的图像在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数的图像关于原点对称的区间上的单调性相反（可结合图像理解并记忆之）； （4）抽象函数的奇偶性就是要判断 对应的函数值与 对应的函数值之间的关系，从而得到函数图像关于原点或 轴对称，结合函数的图像作出进一步的判断． 3．关于奇偶性的几个常用结论 （1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件； （2）如果函数 是奇函数且在 处有定义，则一定有 ；如果函数 是偶函数，那么 ； 4．函数的奇偶性与对称性的关系 、 （1）若函数 是偶函数，即 ，则函数 的图像关于直线 对称； （2）若对于 上的任意 都有 或 ，则 的图像关于直线 对称； （3）若函数 是奇函数，即 ，则函数 的图像关于点 中心对称． 5．函数的周期性 （1）周期函数 对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周期； （2）最小正周期 如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期． 知识点3 函数的单调性、值域与最值 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量的值 、 当时，都有，那么就说函数在区间上是严格增函数 当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是严格减函数 图像描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 （2）单调区间的定义 如果函数 在区间 上是增函数或减函数，那么就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，区间 叫做函数 的单调区间． （3）几个常用结论 若函数 、 在区间 上具有单调性，则在区间 上具有以下性质： ①当 、 都是增（减）函数时， 是增（减）函数； ②若 ，则 与 单调性相同；若 ，则 与 单调性相反； ③函数 在公共定义域内与 、 的单调性相反； ④复合函数 的单调性与 和 的单调性有关．简记：＂同增异减＂； （4）增函数与减函数形式的等价变形 任意 且 ，则 在 $[a, b]$ 上是严格增函数； 在 $[a, b]$ 上是严格减函数 （5）有关单调区间的两个注意事项 ①单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示； ②有多个单调区间应分别写，不能用符号＂＂连接，也不能用＂或＂连接，只能用＂逗号＂或 ＂和＂连接． 2．函数的值域 函数值域的求法： （1）利用函数的单调性：若 是[a, b]上的增（减）函数，则 、 分别是 在区间[a, b]上取得最小（大）值、最大（小）值； （2）利用配方法：形如 型，用此方法应注意自变量 的范围； （3）利用三角函数的有界性，如 ； （4）利用＂分离常数＂法：形如 或 、 至少有一个不为零）的函数，可用此法； （5）利用换元法：形如 型，可用此法； （6）利用基本不等式． 知识点4 函数的图像 1.作函数的图像 利用图像变换法作函数的图像: （1）平移变换 水平平移： 向右平移 个单位得 ；向左平移 个单位得 （＂左加右减＂原则） 垂直平移： 向上平移 个单位得 ；向下平移 个单位得 （＂上加下减＂原则） （2）伸缩变换 水平伸缩： 横坐标伸长 为原来的 倍，或缩短 为原来的 倍，得 垂直伸缩： 纵坐标伸长 为原来的 倍，或缩短 为原来的 倍，得 （3）对称变换 关于 轴对称： 变换为 关于 轴对称： 变换为 关于原点对称： 变换为 （4）翻折变换 ：保留 在 轴右侧的图像，再将右侧图像翻折到左侧（使图像关于 轴对称） ：保留 在 轴上方的图像，将 轴下方的图像翻折到上方（使图像在 轴上方及 轴上） 2.函数图像的应用 图像应用常见的命题角度有: ① 确定方程根的个数;② 求参数的取值范围;③ 求不等式的解集, 3．函数图像的对称性 （1）函数图像自身的轴对称性 （1） 函数 的图像关于 轴对称； （2）函数 的图像关于 对称 ; （3）若函数 的定义域为 ，且有 ，则函数 的图像关于直线 对称； （2）函数图像自身的中心对称 （1） 函数 的图像关于原点对称； （2）函数 的图像关于 对称 ; （3）函数 的图像关于点 成中心对称 （3）函数 的图像关于点 成中心对称 （3）两个函数图像之间的对称关系 （1）函数 与 的图像关于直线 对称（由 得对称轴方程）； （2）函数 与 的图像关于直线 对称； （3）函数 与 的图像关于点 对称； （4）函数 与 的图像关于点 对称． 知识点5 幂函数与二次函数 1．幂函数的概念 当指数 固定，等式 确定了变量 随变量 变化的规律，称为指数为 的幂函数． 幂函数表达式的特征： （1）自变量 处在幂底数的位置，幂指数 为常数； （2） 的系数为 1 ； （3）只有一项 2．五种常见幂函数的图像与性质 图像 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 严格增 严格减， 严格增 严格增 严格增 和 严格减 公共点 （1,1） 3．有关幂函数的几个结论 对于形如 （其中 且 与 互质）的幂函数： （1）当 为偶数时， 为偶函数，图像关于 轴对称； （2）当 、 都为奇数时， 为奇函数，图像关于原点对称； （3）当 为偶数时，（或 是非奇非偶函数，图像只在第一象限（或第一象限及原点处） 4．二次函数的图像和性质 图橡 定义域 R 值域 单调性 在 上严格减，在 上严格增 在 上严格增，在 上严格减 奇偶性 b=0时为偶函数,b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 图像特点 （1）对称轴方程： ； （2）顶点坐标： 5．二次函数最值问题的三种类型及解题思路 （1）类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动； （2）思路：抓＂三点一轴＂，三点——区间两个端点和中点，一轴——对称轴 6．由不等式恒成立求参数取值范围的两大思路及一个关键 （1）思路：一是分离参数；二是不分离参数； （2）关键：两种思路都是将问题归结为求函数的值域或最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离在函数 能取到最值的情况下，其依据是： ， . 知识点6 指数与指数函数 1、根式与指数幂的运算 （1） 且 ； （2）当 为奇数时，（因为奇数幂的根与底数符号一致）； 当 为偶数时， ，进一步根据 的符号细分： 若 ，则 ； 若 ，则 2、指数幂的运算性质 （1） ； （2） ； （3） ． 3、指数函数的图像与性质 图像 定义域 R 值域 性质 过定点(0,1) 在区间(一∞,十∞)上是严格增函数 在区间(一∞,十∞)上是严格减函数 知识点7 对数与对数函数 1．对数的概念及运算性质 一般地，如果 ，且 的 次幂等于 ，即 ，那么，数 叫做以 为底 的对数，记作： ． 概念 如果 ，且 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数， 叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化: 运算法则 换底公式 2.对数函数的图像与性质 图像 性质 定义域为(0,十∞) 值域为R 过定点(1,0) 在区间(0,十∞)上是严格增函数 在区间(0,十∞)上是严格减函数 说正数 、 均不为 1 时，当 时， ；当 时， ． 3．反函数 指数函数 且 与对数函数 且 互为反函数，它们的图像关于直线 对称． 知识点8 函数的综合应用 1.图像及应用 (1)幂函数的图像记忆,可记住(或描绘)第一象限图像,并结合定义域与奇偶性确定第二或第三象限上的图像特征; (2)指数函数的图像,可以联合对数函数图像以反函数对称性进行成对记忆; (3)图像的应用,建议从五大部分人手;定义域、值域(最值、有界性)、特殊的点线(坐标轴上的点恒过定点、最值点、零点及渐近线、对称轴等)、性质(奇偶性、单调性、对称性、周期性)、方程与不等式 2.范围与最值 以图像为依托考查幂、指、对函数有关的最值问题或值域问题,考题或以复合函数通过换元来分析,或以分段函数通过两个图像综合考虑来分析,要求掌握图像,不能混淆 3.方程与不等式 以图像为依托考查幂、指、对函数有关的方程与不等式问题,考题或以复合函数通过换元来分析,或以分段函数通过两个图像综合考虑来分析,要求能通过方程与不等式的等价变形来发现并转化: 知识点9 函数应用题 1.几种常见的函数模型 函数模型 函数表达式 一次函数模型 、 二次函数模型 、、 指数函数模型 、、 对数函数模型 、、 幂函数模型 、、 2.三种函数模型性质比较 在（0,﹢∞）上的单调性 严格增函数 严格增函数 严格增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随值增大,图像与轴接近平行 随值增大,图像与轴接近平行 随n值变化而不同 3.解答应用问题的步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型; (2)建模:把自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模(求模):求解数学模型,得出数学结论; (4)释模(还原):将数学结论还原为实际问题的意义 考点一 函数的定义域 1. 核心限制：分式分母≠0，根式被开方数≥0，对数真数＞0. 2. 复合函数定义域：先求内层函数值域，以此确定外层函数定义域. 3. 含参问题：结合单调性、恒成立条件，利用二次函数性质或导数分析参数临界值. 4. 集合与充分条件：转化为区间包含关系，通过定义域范围推导参数取值. 总结：逐类突破限制，分层处理复合函数，含参抓临界与恒成立，集合关系转区间包含，高效解决函数定义域问题. 例1（2025·上海·三模）已知集合，，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、具体函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】先分别求出集合与集合，再根据交集的定义求出. 【详解】因为集合，根据对数函数的单调性求解不等式. ，即集合. 又集合，要使根式有意义，则根号下的数须大于等于，即，可得； 又因为，所以集合. 结合集合（）和集合，可得. 故答案为：. 例2已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【知识点】抽象函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据的取值范围，求出的取值范围，即可得到，再根据对数函数的单调性计算可得； 【详解】解：因为函数的定义域是，即，所以，所以，即，即，所以，即函数的定义域为 故答案为： 例3若函数在区间上严格增，则实数的取值范围 ． 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、对数型复合函数的单调性、复合函数的定义域 【分析】由复合函数的单调性和定义域，有函数在区间上严格减，在区间上恒成立，利用导数和二次函数的性质求实数的取值范围. 【详解】函数，令，则， 函数在区间上严格增， 由函数在定义域上严格减，则函数在区间上严格减， 有在区间上恒成立，即在上恒成立，得， 又在区间上恒成立，则在上恒成立， 令，则在上恒成立， 由二次函数的性质可得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式1】（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、根据函数的单调性解不等式、具体函数的定义域 【分析】通过构造函数，利用的单调性解不等式，再由题意将是的充分条件转化为包含关系，进而求得参数范围. 【详解】设， 则在单调递增，又， 所以，即，故. 则. 由题意是的充分条件，则， 所以有，故实数m的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、已知函数的定义域求参数 【分析】根据对数函数的真数大于0，得出ax＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a的取值范围． 【详解】解：函数f（x）＝lg（ax）的定义域为R， ∴ax＞0恒成立， ∴ax恒成立， 设y，x∈R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y＝±x； 令y＝﹣ax，x∈R；它表示过原点的直线； 由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在y的下方，画出图形如图所示； ∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a<0， 解得﹣1≤a≤1； ∴实数a的取值范围是[﹣1，1]． 故答案为[﹣1，1]． 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题． 【变式3】如图，某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点A、及的中点 处．km，km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、等距的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，，．记铺设管道的总长度为ykm． (1)设（弧度），将表示成的函数并求函数的定义域； (2)假设铺设的污水管道总长度是km，请确定污水处理厂的位置． 【答案】(1) (2)位置是在线段的中垂线上且离的距离是 km 【知识点】已知三角函数值求角、三角函数定义的其他应用、三角函数在生活中的应用、实际问题中的定义域 【分析】（1）依据题给条件，先分别求得的表达式，进而得到管道总长度y的表达式，再去求其定义域即可解决； （2）先解方程，求得，再去确定污水处理厂的位置. 【详解】（1）矩形中，km，km， ，， 则， 则 （2）令 则 又，即，则，则 此时 所以确定污水处理厂的位置是在线段的中垂线上且离的距离是 km 考点二 函数的值域 解题策略 说明 直接法（基本函数值域） 利用指数、幂、对数、三角函数等基本函数的单调性或图像，直接确定值域。如指数函数的值域为。 分段函数值域法 对分段函数的各区间分别分析单调性、最值，求出各段值域后取并集。如分段函数需分别研究和两段的取值范围，再合并。 换元法+经典函数（对勾、二次函数等） 通过换元将复合函数转化为对勾函数、二次函数等熟悉的函数，结合单调性、基本不等式求值域。如令，将函数转化为，利用对勾函数性质求解。 例1下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求cosx(型)函数的值域、求指数函数在区间内的值域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、求对数函数在区间上的值域 【分析】由指数函数，幂函数，对数函数及余弦函数的性质直接得解． 【详解】解：选项A.的值域为，选项B. 的值域为，选项C. 的值域为R，选项D. 的值域为． 故选：A． 【点睛】本题考查常见函数的值域，属于简单题． 例2（2025·上海松江·三模）已知函数，则的值域为 . 【答案】 【知识点】分段函数的值域或最值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】根据二次函数性质求出时的值域，再根据对勾函数的单调性求出时的值域，然后利用分段函数的性质即可求解． 【详解】因为， 当时，， 当时，函数单调递减，故， 综上，函数的值域为． 故答案为：． 例3若函数的值域是，则函数的值域是 . 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、抽象函数的值域、对勾函数求最值 【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解. 【详解】因函数的值域是，从而得函数值域为， 函数变为，，由对勾函数的性质知在上递减，在上递增， 时，，而时，，时，，即， 所以原函数值域是. 故答案为： 【变式1】（2024·上海黄浦·二模）设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数不等式恒成立问题、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】分和两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可. 【详解】当时，恒成立，即恒成立， 当时，上式成立； 当，，明显函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，恒成立，即恒成立， 令，则在上恒成立， 又开口向下，对称轴为， 所以的最大值为， 所以， 综上：实数a的取值范围是. 故选：D. 【变式2】设函数满足，定义域为，值域为A，若集合可取得A中所有值，则参数a的取值范围为 . 【答案】，， 【知识点】根据值域求参数的值或者范围 【分析】由可得，可判断当时，；当时，；从而可得，，时，参数的最小值为，从而求得． 【详解】令得，或（舍去）； 当时，，故对任意， 都存在，，，故， 故，，，而当时，， 故当，，时，参数的最小值为， 故参数的取值范围为，， 故答案为：，． 【变式3】已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围. 【详解】当时，，此时， 当且时，， 此时，且，所以不满足； 当且时，， 由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时， 若要满足的值域为，只需要，解得； 当且时，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，且时，，时，， 所以此时，此时显然能满足的值域为； 综上可知，的取值范围是， 故答案为：. 【变式4】已知函数为偶函数，则函数的值域为 . 【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用、由奇偶性求参数、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求指数型复合函数的值域 【分析】利用偶函数的定义求出，则，设，利用基本不等式，即可求出结果． 【详解】函数（）是偶函数， ， ，易得， 设， 则， 当且仅当即时，等号成立， 所以， 所以函数的值域为． 故答案为：． 考点三 分段函数 一、分段求值：先判区间，再代公式 遇到分段函数求值问题，第一步严格判断自变量所属的定义域区间，第二步代入对应区间的解析式计算。例如例1中，，属于的区间，因此；例2中，，属于的区间，故。关键是避免因区间判断失误导致解析式代错。 二、分段解不等式/方程：分区间拆解，解集取并集 解分段函数的不等式（或方程）时，需对每个定义域区间分别拆解：将不等式按照该区间的解析式转化，逐一求解后，把各区间的解集取并集。若函数含奇偶性（如例4中是偶函数，），可利用对称性简化区间的求解，转化为区间的已知形式，减少计算量。例如解，需分（解）和（转化为，即）两段分析，最终合并解集。 三、图像与参数问题：数形结合，抓临界分析 解决含参数的分段函数问题（如例3），需先绘制各段函数的图像，再分析参数的几何意义（如例3中是直线的斜率）。通过观察图像在不同象限的交点、单调性，确定参数的临界值（如直线与分段函数各段的相切点、交点位置），进而推导参数的取值范围。过程中要关注各段图像的衔接点，以及参数变化时图像的动态趋势，确保覆盖“经过四个象限”等条件。 例1（2025·上海金山·三模）已知函数，其中，则 ． 【答案】 【知识点】求分段函数值 【分析】根据自变量的取值代入求值即可. 【详解】因为时，， 所以， 故答案为： 例2（2025·上海崇明·三模）已知函数，则 . 【答案】3 【知识点】对数函数的概念判断与求值、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】利用分段函数解析式，可得答案. 【详解】由，则. 故答案为：. 例3（2023·上海松江·一模）已知函数，，若函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】画出具体函数图象、分段函数的性质及应用、函数图象的应用 【分析】在平面直角坐标系中作出函数的图像，作出直线，由图像知只要时，的函数值有正有负，时，的函数值有正有负，求得直线的斜率，再求得直线与相切的切线斜率（注意取舍）即可得结论． 【详解】作出函数的图像，如图， 作出直线，它过定点，由图可得，只要时，的函数值有正有负，时，的函数值有正有负，则的图像就经过四个象限 时，与轴的公共点为，， 时，， 由得， ，解得或，由图像知，切线的斜率为， 所以时满足题意． 故选：A． 例4（2024·上海虹口·一模）已知，则的解集是 ． 【答案】 【知识点】解分段函数不等式 【分析】首先求出当时的解析式，再根据解析式分段得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 设，则，所以， 所以， 不等式，即或，解得或， 综上可得的解集. 故答案为： 例5（2024·上海·三模）若，，则满足的m的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据分段函数的单调性求参数、判断指数函数的单调性 【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到的最大值. 【详解】当时，，即， 当时，，即， 于是，在上，都成立，即为偶函数. 由指数函数的单调性可知，在上单调递增， 因此，不等式等价于， 即，解得. 故m的最大值为. 故答案为：. 【变式1】（2024·上海·高考真题）已知则 ． 【答案】 【知识点】求分段函数值 【分析】利用分段函数的形式可求. 【详解】因为故， 故答案为：. 【变式2】（2025·上海宝山·二模）已知函数则= . 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】由分段函数的解析式，代入已知值，可得答案. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 【变式3】（2024·上海嘉定·一模）已知，则的解集为 . 【答案】 【知识点】解分段函数不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据分段函数的性质，分情况整理不等式，当时，整理不等式，构造函数，利用导数研究新函数的单调性，当时，利用中间值法，可得答案. 【详解】当时，可得，整理可得， 令，令，求导可得， 所以函数在单调递减，令，解得，则， 此时不等式的解集为； 当时，可得，由，则， 易知，此时不等式的解集为. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 【变式4】（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、分段函数的值域或最值、根据分段函数的值域（最值）求参数、求指数函数在区间内的值域 【分析】令，，，，分类讨论的取值范围，判断，的单调性，结合存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案． 【详解】由题意，令，，，， 当时，在上单调递减，在上单调递减，则在上的值域为， 因为存在最小值，故需，解得， 结合，此时； 当时，在上单调递减，在上单调递增，则在上的值域为， 因为存在最小值，故需，即，解得， 这与矛盾； 当时，在上单调递减，且在上的值域为，，此时存在最小值2； 则实数的取值范围为或． 故答案为：或． 考点四 函数的单调性 一、定义判断：抓“任意性” 严格遵循增函数（任意，都有）、减函数（任意，都有）的定义，注意“任意”的普遍性，避免以偏概全。如例1命题，若仅部分满足时，不满足“任意性”则不是增函数。 二、基本函数单调性：抓“类型记忆” 熟练掌握幂函数、指数函数、对数函数、分式函数等基本函数的单调性： - 幂函数：如在上严格增，在上严格增； - 指数函数：在上严格增； - 对数函数：在上严格增； - 分式函数：如在上严格减。 通过对基本函数单调性的直接记忆，可快速解决例3、例4这类识别题。 三、复合与奇偶性结合：抓“性质联动” 若函数含奇偶性，先判断奇偶性，再结合对称性分析单调性。如例2，先判断函数的奇偶性，再分析其单调性，进而结合的区间、平方或立方关系推导结论；例4中既是奇函数又在上严格增，通过“奇偶性+单调性”的双重性质联动解题。 例1（2024·上海崇明·二模）已知函数的定义域为． 命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数． 命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数． 下列说法正确的是（    ） A．p、q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p、q都是假命题 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性、判断命题的真假 【分析】根据题意，结合函数奇偶性与单调性的定义及判定方法，即可求解. 【详解】对于命题，令函数， 则，此时，当函数不是奇函数， 所以命题为假命题， 对于命题，当时，都有，即时，不可能， 满足增函数的定义，所以命题为真命题. 故选：C. 例2关于函数和实数的下列结论中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用、判断指数型复合函数的单调性 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，即可得到此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，从而一一判断即可； 【详解】解：因为， 所以函数是一个偶函数， 又时，与是增函数，且函数值为正数， 故函数在上是一个增函数 由偶函数的性质得函数在上是一个减函数， 此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小， 函数值就小，反之也成立， 考察四个选项，A选项，由，无法判断，离原点的远近，故A错误； B选项，，则的绝对值大，故其函数值也大，故B不对； C选项是正确的，由，一定得出； D选项由，可得出，但不能得出，不成立， 故选：C． 例3（2024·上海闵行·一模）下列函数中，在区间上是严格减函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】研究对数函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、判断指数函数的单调性 【分析】利用解析式直接判断各选项中函数在上的单调性即可. 【详解】对于A，函数在上是严格增函数，A不是； 对于B，函数在上是严格减函数，B是； 对于C，函数在上是严格增函数，C不是； 对于D，当时，在上是严格增函数，D不是. 故选：B. 例4（2025·上海金山·三模）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】由函数奇偶性和单调性的定义依次判断各选项即可. 【详解】对于A，是偶函数，不是奇函数，故A错误； 对于B，是奇函数，且是增函数，故B正确； 对于C，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，是非奇非偶函数，故D错误. 故选：B. 【变式1】（2024·上海崇明·一模）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、求sinx的函数的单调性 【分析】利用奇偶性的定义及基本函数的性质逐个判断即可. 【详解】对于A，的定义域为R，且，所以为奇函数， 又是严格增函数，正确； 对于B，的定义域为R，且，所以不为奇函数，错误； 对于C，的定义域为，不关于原点对称， 所以不具有奇偶性，是严格增函数，错误； 对于D，的定义域为R，且，所以为奇函数， 但为周期函数，不是定义域R上的严格增函数，错误. 故选：A 【变式2】（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 【答案】(1) (2)在区间上为严格增函数，证明见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，求出的值，结合函数的解析式求出的值，计算可得答案； （2）根据题意，根据单调性的定义，结合作差法证明可得答案． 【详解】（1）根据题意，是定义在上的奇函数， 则有，解得， 又由，解得， 所以，定义域为， 且，所以； （2）在区间上为严格增函数． 证明如下：设任意，则， 由，得， 即，，， 所以，即， 故在区间上为严格增函数． 【变式3】（2025·上海浦东新·三模）已知（且）． (1)若，解方程，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】对数的运算性质的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）将代入函数，再代入方程中，结合对数函数的运算化简即可得关于的方程,解方程即可求解. （2）根据对数函数的性质，分和两种情况讨论，由单调性解不等式即可求得的取值范围; 【详解】（1）当时，则，因为， 所以，化简可得， 即，化简得， 所以，所以， 解得或，即或； （2）当时，函数在上单调递减，若， 则，解得； 当，函数在上单调递增，若， 则，解得， 综上所述：的取值范围为． 【变式4】（2025·上海杨浦·二模）已知函数是定义在上的偶函数. (1)当时，，求时，的表达式； (2)当时，，若实数满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、解不含参数的一元一次不等式 【分析】（1）利用偶函数的性质直接求解即可； （2）先判断函数的单调性，再结合偶函数的性质解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，即 当时，， 所以， 所以. （2）当时，， 由幂函数和指数函数的单调性可得为递增函数. 又函数为偶函数， 所以， 两边平方后展开可得，即， 解得. 考点五 函数的最值 一、对勾函数型（形如，如例1） - 若： - 优先用基本不等式：（时），需验证等号是否在定义域内。 - 若等号取不到，分析单调性：在递增，在递减，结合定义域区间求最值。 - 若：函数在定义域内单调（时递增），直接用单调性求最值。 二、三角函数型（含复合二次函数，如例2） - 利用三角函数有界性（如值域），将问题转化为二次函数在闭区间上的最值/零点问题。 - 步骤：令（），则原函数转化为（或类似二次结构）。 - 分析：结合二次函数的开口方向、对称轴（），研究其在上的最值或零点，进而推导参数范围。 三、通用关键：定义域与函数性质的联动 无论哪种类型，都需先明确定义域限制，再结合函数的单调性、有界性、不等式性质等工具，层层拆解最值问题。核心逻辑是“抓函数结构特征，选对应方法突破”——对勾函数抓“基本不等式/单调性”，三角函数抓“有界性+复合二次函数”，确保每一步都紧扣函数的取值范围和性质。 例1已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据函数的最值求参数 【分析】根据讨论函数单调性，再根据单调性确定函数最值，最后根据最值确定的取值范围. 【详解】①当时，在上单调递增， 所以，因此满足题意； ②当时，在上单调递增，在上单调递减 （i）当时，在上单调递增， 所以，则， ， 所以，，， ，， ， 或或 ； （ii）当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以 ，即， ； 综上，的取值范围为. 故答案为： 例2（2024·上海金山·二模）已知函数，记，，，. (1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值； (2)若，，函数有零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、求正弦（型）函数的最小正周期、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】（1）利用三角函数的周期公式求得，再利用三角函数的值域与周期性求得，从而得解； （2）根据题意，利用换元法将问题转化为在有解，从而利用参变分离法或二次函数根的布分即可得解. 【详解】（1）因为函数的最小正周期，所以， 则当时，， 所以，得， 因为，所以取得， （2）解法一： 当，时，，， 设， 由题意得，在有解，化简得， 又在上单调递减， 所以，则. 解法二： 当，时，，， 设， 由题意得，在有解， 记，对称轴为， 则由根的分布可得，即，解得， 所以. 【变式1】（2025·上海松江·三模）若不等式对恒成立，则 . 【答案】 【知识点】函数不等式恒成立问题、利用cosx（型）函数的对称性求参数、二次函数的图象分析与判断 【分析】先分析当时，函数的对称轴，零点及函数值的变化情况，再分析二次函数的单调性与对称轴，结合不等式恒成立可得关于，的方程，求解即可． 【详解】当时，函数的对称轴为，零点为，， 且当时，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且对称轴为， 所以要使不等式恒成立， 于是，，，解得，，故. 故答案为：． 【变式2】（2025·上海奉贤·二模）函数，其中． (1)若函数是偶函数，当时，求的值； (2)求函数的值域并证明对任意的正实数和实数，不等式恒成立． 【答案】(1) (2)值域为，证明见解析 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）由偶函数的定义可求得，进而利用指数函数的单调性可求得； （2）由题意可得，由基本不等式可得，可证结论. 【详解】（1）由已知，函数的定义域为 函数是偶函数，对任意的，都有， ， ， ，，， 是上的严格增函数，， ，； （2）  又是上的严格增函数，， ，当且仅当时等号成立，的最小值为2， ，对任意的正实数和实数，恒成立. 考点六 函数的奇偶性 利用函数奇偶性解不等式的步骤 步骤1：判断函数的奇偶性 通过定义法（验证或）或图像法（图像关于轴对称→偶函数，关于原点对称→奇函数），确定函数的奇偶性。 步骤2：分析函数的单调性 明确函数在单调区间（如、）内的增减性（可通过导数、基本函数性质或定义法判断）。 步骤3：利用奇偶性转化不等式 - 若为偶函数，则，可将不等式转化为； - 若为奇函数，则，可结合单调性将不等式转化为“同一单调区间”的形式（如转化为或，需根据单调性和奇偶性的对称性分析）。 步骤4：结合单调性与定义域求解不等式 根据函数在对应单调区间的单调性，解转化后的不等式；同时验证自变量是否在定义域内，最终确定解集。例1（2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求正弦（型）函数的奇偶性、对数的运算、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】利用奇函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，，即取时的函数值不互为相反数，A不是； 对于B，，即取时的函数值不互为相反数，B不是； 对于C，是偶函数，且，即不恒为0，C不是； 对于D，函数的定义域为，而， 函数是奇函数，D是. 故选：D 例2（2025·上海·三模）设且，已知函数． (1)判断是否为偶函数，并说明理由； (2)令函数，解关于的不等式． 【答案】(1)偶函数，理由见解析. (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由偶函数的性质证明即可； （2）由偶函数的性质，换元令，再分和结合对数函数的单调性解抽象函数不等式即可. 【详解】（1）是偶函数. 理由如下： 因为， 且，即定义域为，定义域关于原点对称. ， 是偶函数. （2）为偶函数， 令. 当时，在上单调递增，在区间上单调递减， 由，得且，解得. 当时，在上单调递减，在区间上单调递增， 由，得且，解得. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 例3（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、指数函数最值与不等式的综合问题、判断指数型复合函数的单调性 【分析】（1）根据奇函数的定义，即可求解答案； （2）根据分离参数转化为利用单调性求函数的最值，即可求解答案. 【详解】（1）因为函数是奇函数， 的定义域关于原点对称， 由，则， 所以. （2）对任意实数，不等式恒成立，即恒成立， 设， 对任意实数且， ， 因为，所以，所以 所以函数在上单调递减； ，所以 . 例4（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，a，b为实常数且． (1)若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； (2)若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、由奇偶性求参数、基本不等式求和的最小值、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）应用偶函数的性质得到恒成立，即，根据已知及基本不等式求得，即可得参数值； （2）问题化为在R上恒成立，应用导数求右侧的最大值，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设， 所以恒成立，则，又， 所以的最小值为4，显然， 又，当且仅当时取等号，则，即， 所以，经检验满足题设，故； （2）由题设，即在R上恒成立， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，故. 【变式1】（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【知识点】函数奇偶性的应用、求对数型复合函数的值域 【分析】（1）根据函数的奇偶性求解即可； （2）计算表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以； （2）， 令，问题等价于求的值域， 函数图象开口向上，对称轴为直线， ， 函数的值域为． 【变式2】（2025·上海黄浦·二模）已知． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在实数，使函数是奇函数. 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数、指数函数y=2x和y=(1/2)x的图像和性质 【分析】（1）利用换元法将含有指数的方程转化为一元二次方程，再根据指数函数的性质求解. （2）利用奇函数在处的特殊性质求出的可能值，再将的值代回函数，根据奇函数的定义证明即可. 【详解】（1）由题意，， 令，则有，即，得，解得或（舍去）， 所以，则. （2）假设存在实数，使函数是奇函数， 则时，，解得. 当时，函数，定义域为. 设函数. 对任意，，故函数为奇函数. 综上，存在实数，使函数是奇函数. 考点七 函数的周期性 函数周期性的解题策略 1. 直接周期型（如例1） 若题目直接给出（或等价形式，如，此时周期为），则周期为。 - 解题关键：利用周期将未知自变量转化到已知解析式的区间。 - 步骤：确定周期→将目标自变量表示为（，在已知区间）→代入的解析式计算。 2. 递推式推导周期（如例2） 对于含递推关系的函数（如），通过迭代法计算，判断是否满足，从而确定周期。 - 步骤：计算、、，观察是否存在使得→确定周期后，将问题转化到一个周期内求解。 3. 结合奇偶性/对称性推导周期（如例4） 若函数同时具有奇偶性、对称性，可结合定义推导周期。 - 核心逻辑：利用奇偶性（如）或对称性（如）的等式，通过代换（如令替换为）推导。 例1函数满足，当时，，则 . 【答案】1 【知识点】由函数的周期性求函数值、对数的运算 【分析】由得函数的周期，然后通过周期性和对数的运算性质即可求出的值. 【详解】由得函数的最小正周期为2. 由周期性可得，， 当时，，则. 所以. 故答案为：1. 例2已知定义在实数集上的函数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断证明抽象函数的周期性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】对给定函数方程分析，探讨出f(x)的周期，再对所求值利用周期性变形，构造函数，转化为函数最大值求解而得. 【详解】依题意，， 所以f(x)是周期为2的周期函数， ，令， 则，， ，由，解得， ，， 即g(t)在上是递增的，在上是递减的， 从而在时， . 故选：D. 【点睛】涉及抽象函数等式的问题，利用推理方法探讨函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性等)是解决问题的关键. 例3已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数． 那么（    ）． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、导数的运算法则、函数的周期性的定义与求解 【分析】取特殊函数，判断①、②的真假即可得解. 【详解】对①，取非奇函数，则为偶函数，故①为假命题； 对②，取函数，则函数不是周期函数，但是周期函数，故②为假命题. 故选：D 例4已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（    ） A． B． C．函数的周期为2 D． 【答案】D 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】根据题意，由函数奇偶性与周期性的定义即可判断AC，再由函数的周期为4，代入计算，即可判断BD 【详解】为奇函数，， 又为偶函数，，故A项错误. 即函数的周期为4， 即C项错误. 由，令，得， 即B项错误. 又， 所以D项正确. 故选：D 【变式1】已知函数定义域为，下列论断： ①若对任意实数，存在实数，使得，且，则是偶函数． ②若对任意实数，存在实数，使得，且，则是增函数． ③常数，若对任意实数，存在实数，使得，且，则是周期函数． 其中正确的论断的个数是（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性、函数的周期性的定义与求解 【分析】根据函数的奇偶性，单调性和周期性逐一分判断即可. 【详解】解：对于①，由题意对任意实数，存在实数，使得， 即对于任意实数，都有， 所以函数为偶函数，故①正确； 对于②，对任意实数，存在实数，使得，且， 无法判断出函数的单调性，如函数，故②错误； 对于③，常数，且，则，， 因为对任意实数，存在实数，使得， 则，即或， 这两种情况有一个成立即可， 所以函数不是周期函数，如，故③错误. 故选：B. 【变式2】已知函数为上的奇函数；且，当时，，则 ． 【答案】/ 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】首先证明得，则根据其周期性得，再求出，最后相加即可. 【详解】因为，为上的奇函数， 所以，所以为周期为2的周期函数， 因为当时,, 则， 令,得,,又因为为奇函数，则， 所以，则，则， 所以，所以， 故答案为：. 【变式3】已知函数是定义在上的以为周期的奇函数，且，则方程在区间内零点的个数的最小值是 ． 【答案】； 【知识点】由抽象函数的周期性求函数值、求函数零点或方程根的个数、函数奇偶性的应用 【分析】根据周期性和奇偶性，对的可能的零点，逐个分析判断，即可得解. 【详解】根据是定义在上的以为周期的奇函数， 所以，故， 又，， 所以， 所以， 而，所以， 所以， 所以内零点有共个， 故答案为：. 【变式4】（2024·上海奉贤·二模）已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数. (1)求函数在点的切线方程； (2)已知，当与满足什么条件时，存在非零实数，对任意的实数使得恒成立？ (3)若函数是奇函数，且满足.试判断对任意的实数是否恒成立，请说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)恒成立，理由见解析 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）先求导，再根据列出方程组，进而可得出结论； （3）由函数是奇函数，可得是偶函数，再进一步求出导函数的周期性，再整理即可得出结论. 【详解】（1）由题可知，， 所以切线的斜率为， 且， 所以函数在点的切线方程为，即； （2）由题可知， 又因为定义域上对任意的实数满足， 所以，即， 当且时，， 当时，， 当时，； （3）因为函数在定义域上是奇函数，所以， 所以，所以，所以是偶函数， 因为，所以， 即，即， 因为，所以，即， 所以是周期为的函数， 所以， 所以. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数在其上一点处的切线方程的基本步骤如下： （1）对函数求导得； （2）计算切线的斜率； （3）利用点斜式写出切线方程. 考点八 函数的对称性 几种常见对称类型 1. 轴对称 - 定义：若对任意成立，则函数图像关于直线轴对称。 - 应用：通过解析式变形（如例1中函数结构）或特殊值代入验证，明确对称轴后可利用“”简化计算。 2. 中心对称 - 定义：若对任意成立，则函数图像关于点中心对称；若，则为奇函数（关于原点对称）。 - 应用：结合奇偶性（如例2中奇函数性质）或递推式（如的递推关系）推导，利用“”转化求和或最值问题。 3. 结合奇偶性、周期性推导 若函数同时具有奇偶性和对称性，可推导周期性。如例2中，奇函数且，则（周期为4），进而将问题范围缩小到一个周期内求解。 例1已知函数，正项等比数列满足，则 【答案】 【知识点】函数对称性的应用、等比中项的应用、倒序相加法求和、对数的运算 【分析】利用倒序相加法，结合函数的对称性以及等比数列的性质即可求得正确答案. 【详解】函数，可看成向左平移1个单位，向上平移1个单位得到, 因为的对称中心为，所以的对称中心为， 所以， 因为正项等比数列满足，所以， 所以， 所以， ①， ②， 则①②相加得： 即， 所以. 故答案为：. 例2已知函数是定义在上的奇函数，且满足， ，则 . 【答案】 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数对称性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】推导出函数为周期函数，且周期为，求出、、、，结合周期性可求得的值. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则， 因为，即， 所以，函数为周期函数，且周期为，则， 在等式中，令，可得，所以，， 因为，则， 因为， 所以， . 故答案为：. 【变式1】若函数 的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由函数对称性求函数值或参数 【分析】根据题意，求得的图形过点，得到的图象过点，结合，，联立方程组，求得的值，得出，再根据题意，得到必为函数的一个零点，结合，求得的值，即可求解. 【详解】由函数， 则函数的图形过点， 因为函数的图象关于对称，则函数的图象过点， 可得，且，可得， 又由，且，可得， 联立方程组，解得， 所以， 因为函数图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点， 则必为函数的一个零点，即， 可得，解得， 所以. 故答案为：. 【变式2】（2024·上海静安·二模）已知，记（且）． (1)当（是自然对数的底）时，试讨论函数的单调性和最值； (2)试讨论函数的奇偶性； (3)拓展与探究： ① 当在什么范围取值时，函数的图象在轴上存在对称中心？请说明理由； ②请提出函数的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明） 【答案】(1)详见解析； (2)详见解析； (3)①当时，函数有对称中心，理由见解析；②答案见解析. 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、利用导数求函数（含参）的单调区间、判断或证明函数的对称性、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）当时，求得，分和，两种情况讨论，分别求得函数的单调性，进而求得函数的最值； （2）根据题意，分别结合和，列出方程求得的值，即可得到结论； （3）根据题意，得到当时，函数有对称中心，且时，对于任意的，都有，并且． 【详解】（1）解：当时，函数 ，可得， 若时，，故函数在上单调递增，函数在上无最值； 若时，令，可得， 当时，，函数在上为严格减函数； 当时，，函数在上为严格增函数， 所以，当时，函数取得最小值，最小值为，无最大值． 综上：当时，函数在上无最值；当时，最小值为，无最大值． （2）解：因为“为偶函数”“对于任意的，都有” 即对于任意的，都有，并且； 即对于任意的，，可得， 所以是为偶函数的充要条件． 因为“为奇函数”“对于任意的，都有”， 即对于任意的，都有，并且， 即对于任意的，，可得， 所以是为奇函数的充要条件， 当时，是非奇非偶函数. （3）解：①当时，函数有对称中心， 当时，对于任意的，都有，并且． 证明：当时，令，解得为函数的零点， 由， 可得； ② 答案1：当时，函数有对称轴． 即当时，对于任意的，都有，并且， 参考证明：当时，由， 可得， 答案2：当时，的图象关于y轴对称， 即对于任意的，都有， 答案3：当时，函数的零点为，即 【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略： 1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小； 2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论； 3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 考点九 函数的图像 例1函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图像的识别、求正弦（型）函数的奇偶性、函数奇偶性的应用、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】通过函数奇偶性的定义对选项逐个进行判断，再取图象上的特殊点进行排除即可. 【详解】由图可知，在上的图象关于轴对称，所以在上为偶函数，故应先判断各选项中函数的奇偶性. 对A，，为偶函数，故A选项的函数为其定义域内的偶函数. 同理： 对C、D选项的均为其定义域内的偶函数，只有选项的为其定义域内的奇函数，从而排除选项B. 又，对A选项：，所以排除A. 而由图可知，对C选项：，，故排除C. 故选：D. 例2函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图像的识别 【分析】根据函数的解析式，利用，分别排除A、B、D项，即可求解. 【详解】由题意，函数， 因为，即函数的图象过点，可排除A、B项； 又因为，可排除D项， 故选：C. 例3函数图象的大致形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图像的识别、正弦函数图象的应用 【解析】分析函数的奇偶性以及在上的函数值符号，可得出合适的选项. 【详解】，该函数的定义域为， ，函数为偶函数， 当时，，，，此时. 因此，函数图象的大致形状是C选项中的函数图象. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 【变式1】（2024·上海奉贤·二模）已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断、函数图象的应用 【分析】根据函数图象和的奇偶性判断. 【详解】易知是偶函数， 是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数， A. ，定义域为R， 又，所以是奇函数，符合题意，故正确； B. ，，不符合图象，故错误； C. ，定义域为R， 但，故函数是非奇非偶函数，故错误； D. ，定义域为R， 但，故函数是非奇非偶函数，故错误， 故选：A 【变式2】心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数图象选择解析式 【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数， 不符合题意，故B错误； C选项：记，则， 故为偶函数， 当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C. 【变式3】已知函数，，若函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】画出具体函数图象、分段函数的性质及应用、函数图象的应用 【分析】在平面直角坐标系中作出函数的图像，作出直线，由图像知只要时，的函数值有正有负，时，的函数值有正有负，求得直线的斜率，再求得直线与相切的切线斜率（注意取舍）即可得结论． 【详解】作出函数的图像，如图， 作出直线，它过定点，由图可得，只要时，的函数值有正有负，时，的函数值有正有负，则的图像就经过四个象限 时，与轴的公共点为，， 时，， 由得， ，解得或，由图像知，切线的斜率为， 所以时满足题意． 故选：A． 考点十 一次函数与二次函数 例1（2025·上海松江·三模）若不等式对恒成立，则 . 【答案】 【知识点】二次函数的图象分析与判断、利用cosx（型）函数的对称性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】先分析当时，函数的对称轴，零点及函数值的变化情况，再分析二次函数的单调性与对称轴，结合不等式恒成立可得关于，的方程，求解即可． 【详解】当时，函数的对称轴为，零点为，， 且当时，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且对称轴为， 所以要使不等式恒成立， 于是，，，解得，，故. 故答案为：． 例2已知二次函数的值域为，则函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】求指数函数在区间内的值域、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】由二次函数的值域为，分析求出参数，然后代入中求出值域即可 【详解】由二次函数的值域为得： 解得：或（舍去） 所以 因为 所以函数的值域为： 故答案为：. 【变式1】若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是 【答案】 【知识点】二次函数的图象分析与判断、根据集合中元素的个数求参数、一次函数的图像和性质 【分析】把不等式转化为，转化为，结合二次函数与一次函数的图象，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，不等式且，即， 令， 所以， 所以是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线， 而一次函数，图象是过一定点的动直线， 作出函数和的图象，如图所示， 其中， 又因为，结合图象， 要使得集合中有且只有一个元素， 可得，即，解得. 即正实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】已知函数在区间，上的最大值为5，最小值为1． （1）求，的值及的解析式； （2）设，若不等式在，上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1），，；（2）. 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、求指数函数在区间内的值域、求二次函数的解析式 【解析】（1）解关于，的方程组，求出，的值从而求出函数的解析式即可； （2）问题转化为在，上有解，通过换元法求出的范围即可． 【详解】解：（1）由及条件，可得， 解得，．故 （2）由（1）可得， 于是题设条件得在，上有解， 即在，上有解， 令，，，， 则在，上有解 当，时，，，于是， 因此，实数的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数恒成立问题，考查换元思想，属于中档题． 【变式3】（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点． (1)当时，判断点是否为平衡点； (2)当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点； (3)求所有实数a和b，使得点是平衡点． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3)答案见解析. 【知识点】函数新定义、判断二次函数的单调性和求解单调区间、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）根据平衡点的定义判断即可； （2）根据平衡点定义有、，即可得参数范围； （3）由题设，都有，结合二次函数的性质，讨论对称轴与区间位置研究最值，列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，而， 当，则，即，故， 所以点是平衡点； （2）由题设，若是平衡点，则，即， 此时恒成立，则； （3）由题意，对于，都有， 当，即时，在上单调递增，则， 所以，易知，显然不满足前提； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； 当，即时，在上单调递减，则， 所以，易知，显然不满足前提； 综上，时，；时，. 考点十一 指数与指数函数 例1（2024·上海宝山·二模）将（其中）化为有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可 【详解】 故答案为： 例2若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、根据函数是指数函数求参数、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 【分析】根据指数函数的性质以及单调性，即可得到关于的不等式，求解不等式即可得到结果. 【详解】由已知可得，且. 又时，， 即 ， 所以有，即， 解得或. 故答案为：或. 例3（2024·上海·三模）若，，则满足的m的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】由函数奇偶性解不等式、判断指数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到的最大值. 【详解】当时，，即， 当时，，即， 于是，在上，都成立，即为偶函数. 由指数函数的单调性可知，在上单调递增， 因此，不等式等价于， 即，解得. 故m的最大值为. 故答案为：. 例4（2024·上海黄浦·二模）设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数 【分析】（1）由奇函数的性质可得，代入解方程即可得出答案； （2）由，可得，则，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案. 【详解】（1）由为奇函数，可知， 即，解得， 当时，对一切非零实数恒成立， 故时，为奇函数. （2）由，可得，解得， 所以 解得：，所以满足的实数的取值范围是. 【变式1】（2024·上海静安·一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】B 【知识点】指数函数模型的应用（1）、指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算 【分析】分析可知，小时后，处理池中的残留物为，根据题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】设处理池中的残留物初始时为，则小时后，处理池中的残留物为， 根据题意可得，即，解得. 因此，要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为小时. 故选：B. 【变式2】已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是 【答案】 【知识点】求指数型复合函数的值域、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【分析】由函数奇偶性可得函数在上的解析式，做出图像即可求得值域. 【详解】因为是定义域为的奇函数， 当时，，则时，， 所以， 作出函数图像如下图所示： 由图像可知：函数值域为. 故答案为： 【变式3】（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【知识点】求指数函数在区间内的值域、根据分段函数的值域（最值）求参数、利用函数单调性求最值或值域、分段函数的值域或最值 【分析】令，，，，分类讨论的取值范围，判断，的单调性，结合存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案． 【详解】由题意，令，，，， 当时，在上单调递减，在上单调递减，则在上的值域为， 因为存在最小值，故需，解得， 结合，此时； 当时，在上单调递减，在上单调递增，则在上的值域为， 因为存在最小值，故需，即，解得， 这与矛盾； 当时，在上单调递减，且在上的值域为，，此时存在最小值2； 则实数的取值范围为或． 故答案为：或． 【变式4】（2024·上海奉贤·一模）已知函数，其中（常数且）． (1)若函数的图象过点，求关于的不等式的解集； (2)若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据函数的单调性解不等式、求指数函数解析式、等比中项的应用 【分析】（1）点代入函数解析式求出，再解指数不等式可得答案； （2）根据数列是等比数列可得，令，利用导数判断出在上的单调性，求出的值域可得答案. 【详解】（1）若函数的图象过点，则， 解得，舍去，所以， 由得， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）， 若存在，使得数列是等比数列， 则，可得， 由可得， 令，， 当时，，所以， 可得在上单调递减，所以， 则实数的取值范围. 考点十二 对数与对数函数 例1（2024·上海·三模）已知函数恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】令，即可求解恒过定点，进而求解. 【详解】令，解得，此时， 所以恒过定点，则， 所以. 故选：C 例2（2024·上海·三模）若正实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】对数的运算、基本不等式求和的最小值 【分析】根据对数的运算公式，求出实数、满足的等量关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由题意得，可得， 由对数性质可知，根据基本不等式可知，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4. 故答案为：4. 例3（2025·上海崇明·二模）已知． (1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； (2)若且，解关于x的不等式． 【答案】(1)存在实数，使得函数是偶函数 (2)答案见解析 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）根据偶函数的定义可求解. （2）先根据对数函数的单调性和定义域列出不等式组；再结合且，分类讨论即可求解. 【详解】（1）存在实数，使得函数是偶函数. 要使函数有意义，须满足，即， 显然，即，函数的定义域. 当时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在且，此时函数不是偶函数. 当时，， 函数的定义域为，对于任意的，都有， 并且 因此函数是一个偶函数 综上所述，存在实数，使得函数是偶函数 （2）由，得 所以且①． 由①得，. 因为且， 所以当时，， 当时，. 综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【变式1】（2025·上海崇明·三模）已知，则 ． 【答案】1 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】先把指数式化为对数式求出的值，再利用对数的运算性质即可求解. 【详解】由已知，则， 所以. 故答案为：1. 【变式2】（2025·上海宝山·二模）已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题、对数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质求解即可. 【详解】令，可得. 所以定点的坐标为. 故答案为：. 【变式3】函数的最小值为 . 【答案】 【知识点】求对数函数的最值、求对数型复合函数的值域 【分析】根据对数的运算性质将函数化简为，再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为 ， 当，即时，取到最小值，且. 故答案为： 【变式4】（2024·上海静安·一模）已知是从大到小连续的正整数，且，则的最小值为 . 【答案】100000 【知识点】由对数函数的单调性解不等式 【分析】令，根据给定信息列出不等式，求出的范围即可得解. 【详解】设，依题意，，， 由，得，解得，因此， 则，，所以的最小值为100000. 故答案为：100000 考点十三 幂函数 例1函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】求幂函数的定义域 【解析】将函数解析式变形为，即可求得原函数的定义域. 【详解】，所以，. 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 例2（2025·上海浦东新·三模）已知幂函数在上严格增，则实数 【答案】 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的性质有，即可求. 【详解】由题设，可得. 故答案为：2 例3（2024·上海长宁·一模）已知函数的大致图像如图所示，则 ． 【答案】 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】根据图像的对称性，可得到函数的奇偶性；再由图像与坐标轴的关系，即可判断的取值. 【详解】因为图像关于轴对称，所以函数是偶函数； 又因为图像与坐标轴无交点，所以指数为负数.综上所述，. 故答案为：. 例4（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【答案】 【知识点】求幂函数的解析式、求幂函数的值域 【分析】根据幂函数定义代入点可得，即可得函数值域. 【详解】设幂函数， 代入点可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 【变式1】已知集合，，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、求幂函数的值域 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得结果. 【详解】因为，因此，. 故答案为：. 【变式2】（2024·上海青浦·二模）对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、幂函数图象的判断及应用 【分析】将方程有两个不同的根，转化为函数图象有两个不同的交点，观察图象可得答案. 【详解】将函数向右平移1个单位得到， 作出函数的图象如下： 要关于的方程有两个不同的根， 则函数和函数有两个不同的交点， 当过点时，， 所以当函数和函数有两个不同的交点时，. 故答案为：. 【变式3】（2024·上海杨浦·一模）已知，其中实数.若函数有且仅有2个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、研究对数函数的单调性、由幂函数的单调性求参数 【分析】由题意可知有两根，通过方程求解即可. 【详解】由题意可知：有两根，结合在和都是单调递增， 所以有一解，解得：， 有一解，解得：， 所以， 故答案为：. 【变式4】（2025·上海金山·三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． (1)已知，求的取值范围； (2)若方程存在实数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由幂函数的单调性解不等式 【分析】（1）将点的坐标分别代入函数、的解析式，求出、的值，可得出函数的解析式，然后利用函数的定义域、单调性结合可得出关于的不等式组，由此可求得实数的取值范围； （2）分析可知的取值范围即为函数的值域，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，解得，故. 因为函数在上严格减， 由可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）因为方程存在实数解，即方程存在实数解， 则的取值范围即为函数的值域， 由题图可知，函数的值域为，故函数的值域为， 所以，即，解得或， 因此，实数的取值范围是. 考点十四 函数的应用 例1（2024·上海杨浦·一模）小李研究数学建模“雨中行”问题，在作出“降雨强度保持不变”､“行走速度保持不变”､“将人体视作一个长方体”等合理假设的前提下，他设了变量： 人的身高 人体宽度 人体厚度 降雨速度 雨滴密度 行走距离 风速 行走速度 并构建模型如下： 当人迎风行走时，人体总的淋雨量为. 根据模型，小李对“雨中行”作出如下解释： ①若两人结伴迎风行走，则体型较高大魁梧的人淋雨是较大； ②若某人迎风行走，则走得越快淋雨量越小，若背风行走，则走得越慢淋雨量越小； ③若某人迎风行走了秒，则行走距离越长淋雨量越大. 这些解释合理的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】利用作差法可以比较两人淋雨量判断①，结合函数的单调性可判断②③. 【详解】①若两人结伴迎风行走，设体型较高大魁梧的人身高为，宽度为，厚度为，另一人身高为，宽度为，厚度为， 则， 又，，， 则，， 即， 即体型较高大魁梧的人淋雨是较大，①正确； ②若某人迎风行走，则， 则随的增大而减小，即走得越快淋雨量越小； 若某人逆风行走，则， 当时，随的增大而减小，即走得越快淋雨量越小， 当时，，随的增大而减小，即走得越慢淋雨量越小， 当时，淋雨量与无关，②错误； ③若某人迎风行走了秒，则为定值，且 ， 则， 所以随的增大而增大，即行走距离越长淋雨量越大，③正确； 综上所述合理的解释有个， 故选：C. 例2（2025·上海·三模）已知函数， (1)当时，解不等式； (2)已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【知识点】根据函数的单调性解不等式、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据函数单调性的性质判断的单调性，根据单调性列出不等式即可求出原不等式解集； 根据是偶函数求出，令，求出的取值范围，令，将原题转化为方程有解问题即可求解. 【详解】（1）当时，函数， 函数是和都是R上的减函数，所以为减函数， 所以不等式等价于， 解得或， 即原不等式解集为． （2）由于是偶函数，则， 代入化简得，解得， 令，，则， 所以在上有解，， 因为函数在上严格增，所以， 解得，故的取值范围为． 例3（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，. (2) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、数量积的坐标表示、根据函数零点的个数求参数范围、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由数量积的坐标形式结合三角变换公式可得，由整体法可求函数的单调减区间； （2）函数在给定区间上的零点问题可转化为与的图象在上有两个不同的交点，利用正弦函数的性质可求参数的取值范围. 【详解】（1）， 令，则，其中， 故函数的单调递减区间为，. （2）由题设有在有两个不同的零点， 而，故在有两个不同的解， 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数， 且，故， 故. 【变式1】（2025·上海·三模）已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：． (1)若，求出函数的极值点，并判断的符号； (2)若，，讨论方程解的个数； (3)若，当，，记与中较大者为．证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【知识点】求函数零点或方程根的个数、求已知函数的极值、利用导数证明不等式 【分析】（1）令 ，解得 或 ，再求，分别代入求解即可； （2）求出，令 ，利用导数研究函数的单调性与极值，分类讨论即可得到答案. （3）假设 在 上的最大值在某个内点 处取得，可得，结合导出矛盾，则假设不成立，进而可得结论. 【详解】（1），令，解得或， 由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以是函数的极大值点；是函数的极小值点. 又，当时，； 当 时，. （2）因为 ，所以 ，， 则 ， 令 ，，， 令 ，即 ，因为 ，所以 ， 当 时，，所以 在上严格递增， 当 时，，所以 在上严格递减， 所以函数在 处取得最大值 ； 当 时，；当 时，， 时， 的图象无交点；当 时，的图象有 1 个交点；当 时，的图象有 2 个交点， 所以当 时，方程 无解；当 时，方程 有 1 个解；当 时，方程 有 2 个解； （3）假设 在 上的最大值在某个内点 处取得， 即时 ， 由最大值的定义且 可导，且，， 因为当，，所以 ， 所以 ，由于 ，所以 ，所以 ， 但 ，而 ，这与 矛盾， 因此，函数 在 上的最大值只能在端点 或 处取得， 即 【变式2】（2025·上海松江·三模）已知函数的图像相邻两个零点之间的距离为. (1)求的值及的解集； (2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 【答案】(1)2； (2) 【知识点】求函数的零点、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）根据题设有，即可得解析式，再由正弦函数的性质求解方程即可； （2）根据已知可得，应用余弦定理、三角形面积公式得、，进而可得，即可得周长. 【详解】（1）由题设，则， 令或，， 所以或，，故解集为． （2）由题设，即，， 所以，，又是三角形内角，故， 由，即， 由，则，所以， 易得，所以周长为． 【变式3】（2025·上海杨浦·二模）已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”. (1)判断是否为“超导函数”，并说明理由； (2)若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有，，记，求证：函数是“超导函数”； (3)已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围. 【答案】(1)是，理由见解析； (2)证明见解析； (3)或. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、导数的运算法则、函数新定义、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）求出导数，再利用“超导函数”定义判断即可. （2）求出的导数，作差变形，利用“超导函数”定义推理判断符号即得. （3）构造函数，利用“超导函数”定义确定单调性可得，再构造函数，利用导数求出函数值集合，结合已知求出范围. 【详解】（1）函数，求导得，则， 所以是“超导函数”. （2）函数，求导得， 则， 由函数与都是“超导函数”，得， 由对任意，都有，，得， 因此，即， 所以函数是“超导函数”. （3）由函数是“超导函数”，得对任意，， 令，求导得，函数在上单调递减，且， 由，得，即， 因此，即，令， 由有且仅有一个实数满足，得直线与函数的图象有且只有1个交点， ，当时，；当时，， 函数在上单调递增，函数值的集合为，在上单调递减，函数值的集合为， 因此当或时，直线与函数的图象有且只有1个交点， 所以的取值范围或. 一、单选题 1．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求点到直线的距离 【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解. 【详解】设曲线上一点为，则，则， ，方程为：，即， 根据点到直线的距离公式，到的距离为：， 设， 由于，显然关于单调递减，，无最小值， 即中，边上的高有最大值，无最小值， 又一定，故面积有最大值，无最小值. 故选：A 2．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【知识点】由指数函数的单调性解不等式 【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项. 【详解】∵，∴， 当时，定义域上严格单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误. 故选：D 3．（2025·上海青浦·模拟预测）若正数均不为1，则下列不等式中与“”等价的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、对数的运算性质的应用、对数函数单调性的应用、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性可逐一排除A，B项，通过举反例排除D项，利用幂函数的单调性可推理C项正确. 【详解】对于A，当时，函数单调递减，由可得，故A错误； 对于B，当时，函数在单调递减，由可得，故B错误； 对于C，因，，函数在上单调递增，由，可得，由，也可得，故C正确； 对于D，若取，显然满足正数均不为1，且， 但，即与不等价，故D错误. 故选：C. 4．（2025·上海金山·二模）已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（    ） ①；②；③函数有最小值. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】求函数值、求已知指数型函数的最值 【分析】通过赋值法判断①②，举反例判断③. 【详解】由任意，都有， 令，可得，因为，解得，故①正确； 令，，可得， 整理得，又，得，故②正确； 对于③举反例，如， 满足条件（1），又，， 则，满足条件（2）， 而没有最小值，故③错误. 所以正确的有2个. 故选：C. 二、填空题 5．（2025·上海宝山·三模）已知，函数的定义域是，且满足.记函数的值域为，若存在，使得对于任意符合要求的函数，均满足：，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数新定义 【分析】设，得到方程，解出，再转化为不动点问题，再结合蛛网图即可得到范围. 【详解】设， ，对求导得， 则 这是一个“吸引不动点”. 由蛛网图可知 ，，，使得， 故，有 因此.① 另一方面，当时，， 又， 所以.② 结合①②可知， 故. 当时，取满足题意. 当时，任取的实数，满足题意. 故的取值范围为 故答案为：. 6．（2025·上海·三模）函数的定义域为 . 【答案】 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据被开根数非负及分母不为零列不等式组求解. 【详解】，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 7．（2025·上海长宁·二模）已知函数和，其中，且是定义在上的函数，其图像关于原点对称，当时，．若对任意的，存在，使得，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、求对数函数在区间上的值域、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】根据题意可知的值域是值域的子集，先求出的值域，再对分类讨论求值域，从而求得的取值范围. 【详解】对任意的，存在，使得， 的值域是值域的子集， 当时，的值域为， 是定义在上的函数，其图像关于原点对称， 是奇函数，且， 当时，，的对称轴方程为， 当时，在上单调递增， 在时的范围是，，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 在时的范围是，，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 在时的范围是，，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 当，即时，在上单调递减， 在时的范围是， 若，则，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 若，则，， ，或解得，或，； 若，则，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 综上，的取值范围是. 故答案为：. 8．（2025·上海·三模）函数的定义域为 . 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数真数大于零以及二次根式有意义的条件列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 9．（2025·上海·三模）函数，的零点是 ． 【答案】， 【知识点】求函数的零点、余弦函数图象的应用 【分析】令即可求出函数的零点. 【详解】令，则，， 当时，；当时，. 函数，的零点是，. 故答案为： 10．（2025·上海·三模）函数的零点个数为 【答案】3 【知识点】求函数的零点、正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据的零点转化为与的图象的交点，由图即可得出答案. 【详解】根据的零点个数转化为与的图象的交点个数，   时，函数取最大值， 时函数的值为， 又因为，结合图象可知，两函数图象具有个交点. 所以的零点个数为个. 故答案为：. 三、解答题 11．（2025·上海·三模）已知定义在上的函数的图像上存在，两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（，为切点），且对上的任意的，均有，则称函数为“切线支撑”函数. (1)试判断函数是否为“切线支撑”函数.若是，写出一组点，；否则，请说明理由； (2)证明：函数为“切线支撑”函数； (3)已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、辅助角公式、函数新定义 【分析】（1）先由降幂公式和辅助角公式得到，再结合函数新定义和正弦函数的取值可得； （2）由函数新定义结合导数的意义得到，点处的切线方程，再结合余弦函数的取值证明； （3）先由导数分析单调性得到切点，必在轴的两侧，再利用导数的意义得到切线方程，然后结合函数新定义构造函数，分析单调性得到极值． 【详解】（1）， 显然， 令，得，，即， 所以，是的极小值点，且为曲线的一条切线， 所以函数是“切线支撑”函数， 可取，． （2）证明：因为，设，， 所以，点处的切线方程为和， 所以， 所以，， 不妨取，，则，即，， 所以，不妨取．则切线的方程为， 又，所以函数为“切线支撑”函数． （3）当时，，所以在上为增函数，所以切点，不可能都在轴的右侧； 当时，，所以在上为增函数，所以切点，不可能都在轴的左侧； 所以切点，必在轴的两侧． 不妨设，，， 当时，，所以点处的切线方程为， 即； 当时，，所以点处的切线方程为， 即， 因为，两点处的切线重合，所以， 设，，则， 所以在上单调递增， 又当时，，所以，即， 设点处的切线方程为， 设， 则， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，所以， 设点处的切线方程为， 则，即， 所以为“切线支撑”函数， 综上可得，实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 12．（24-25高三下·上海虹口·期中）已知函数的表达式为，. (1)解不等式：； (2)若存在实数，使得，，成等比数列，求实数的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】函数与方程的综合应用、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、分类讨论解绝对值不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】(1)利用对数函数和指数函数的单调性解不等式即可； (2)利用复合函数思想，由内到外分别求正弦型函数和对钩函数的值域，从而可求最小值. 【详解】（1）由已知代入可得不等式：， 根据对数函数的单调性可得：且， 则且， 解得： （2）由已知可得： 则 令， 因为，所以，即， 则， 此时在上单调递增，则， 要使得等式，则， 故的最小值为. 试卷第1页，共3页 1 / 84 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数及其性质 目 录 一、考情分析与命题趋势 二、知识体系构建 知识点1 函数及其表示 4 知识点2 函数的奇偶性与周期性 4 知识点3 函数的单调性、值域与最值 6 知识点4 函数的图像 8 知识点5 幂函数与二次函数 10 知识点6 指数与指数函数 12 知识点7 对数与对数函数 12 知识点8 函数的综合应用 13 知识点9 函数应用题 14 三、考点精析与突破 考点一 函数的定义域 15 考点二 函数的值域 16 考点三 分段函数 17 考点四 函数的单调性 18 考点五 函数的最值 20 考点六 函数的奇偶性 21 考点七 函数的周期性 23 考点八 函数的对称性 25 考点九 函数的图像 26 考点十 一次函数与二次函数 28 考点十一 指数与指数函数 29 考点十二 对数与对数函数 30 考点十三 幂函数 30 考点十四 函数的应用 31 四、实战精练与提升 一、单选题 34 二、填空题 34 三、解答题 35 一、考试要求 知识点 新课程标准 重点 函数及其表示 1. 理解函数的有关概念； 2. 掌握函数的表示法（解析法、图像法、列表法）； 3. 理解分段函数的定义及应用； 4. 掌握求函数定义域的类型及方法 1. 函数概念的准确理解； 2. 分段函数的求值与图像分析； 3. 各类函数定义域的求解方法 函数的奇偶性与周期性 1. 掌握函数奇偶性的判断方法（定义法、图像法）； 2. 能运用函数奇偶性解决求值、对称性等问题； 3. 理解关于奇偶性的常用结论； 4. 明确函数奇偶性与对称性的关系； 5. 理解函数周期性的定义及应用 1. 函数奇偶性的判定与证明； 2. 利用奇偶性和周期性求解函数值、图像问题； 3. 奇偶性与对称性、周期性的综合应用 函数的单调性、值域与最值 1. 理解函数单调性的定义，掌握单调性的判断与证明方法； 2. 掌握函数值域的求解方法，能分析函数的最值 1. 函数单调性的证明与应用（比较大小、解不等式等）； 2. 各类函数值域与最值的求解策略 函数的图像 1. 掌握作函数图像的方法（描点法、变换法等）； 2. 能运用函数图像解决零点、不等式、最值等问题； 3. 理解函数图像的对称性 1. 函数图像的变换（平移、伸缩、对称）； 2. 利用函数图像解决综合问题（零点个数、不等式解集等） 幂函数与二次函数 1. 掌握五种常见幂函数的图像与性质； 2. 理解有关幂函数的结论； 3. 掌握二次函数的图像和性质； 4. 能解决二次函数最值问题的三种类型 1. 幂函数性质的应用； 2. 二次函数的图像分析、单调性与最值问题； 3. 二次函数的实际应用 指数与指数函数 1. 掌握根式与指数幂的运算； 2. 理解指数幂的运算性质； 3. 掌握指数函数的图像与性质 1. 指数幂的化简与求值； 2. 指数函数的单调性及图像应用； 3. 指数函数相关的方程、不等式问题 对数与对数函数 1. 掌握对数的运算性质； 2. 掌握对数函数的图像与性质； 3. 理解反函数的概念（指数与对数函数的反函数关系） 1. 对数的运算（换底公式、对数方程）； 2. 对数函数的单调性、定义域及图像应用； 3. 指数与对数函数的反函数关系应用 函数的综合应用 1. 能运用函数图像解决综合问题； 2. 掌握函数范围与最值的综合求解方法； 3. 能解决与函数相关的方程与不等式问题 1. 函数性质的综合应用（图像、单调性、奇偶性等）； 2. 函数与方程、不等式的转化（零点、恒成立问题等）； 3. 含参函数的范围与最值分析 函数应用题 1. 理解几种常见的函数模型（一次、二次、指数、对数、幂函数等）； 2. 掌握三种函数模型性质的比较； 3. 掌握解答函数应用问题的步骤（审题、建模、求解、检验） 1. 函数模型的选择与应用； 2. 函数应用题的建模与实际意义检验； 3. 函数性质在实际最值、范围问题中的应用 二、命题分析 函数考点考查情况表（2021~2025年春考数据） 考频 考查内容 命题趋势 2025年第8题、2023年第9题 函数的零点与方程根的关系 高频考点，多以小题形式呈现，结合函数图像、方程求解考查函数与方程思想，难度中等，注重对函数零点概念的理解及方程根的转化能力 2024年第1题、2022年第13题、2021年第20题 函数的定义域及其求法 高频基础考点，多在小题中考查，涉及对数、分式、根式等定义域类型，难度较低，注重对函数基本概念的扎实掌握 2024年第9题 分段函数的应用 中频考点，以小题形式考查分段函数的求值或图像分析，难度中等，强调对分段函数定义的理解与分段讨论思想的应用 2024年第16题、2022年第21题 函数与方程的综合运用（不含导数） 高频难点考点，多在解答题中综合考查，结合函数性质、方程求解、不等式等知识，分值高、难度大，注重知识整合与数学思想（如分类讨论、数形结合）的渗透 2024年第1题、2022年第5题、2021年第13题 反函数 中频考点，以小题形式考查反函数的概念及求法（多涉及指数与对数函数），难度较低，注重对反函数定义的理解 2023年第13题 函数的奇偶性 中频考点，以小题形式考查奇偶性的判断或性质应用，难度中等，强调对奇偶性定义的掌握及函数对称性的理解 知识点1 函数及其表示 1．函数的有关概念 （1）函数的定义域、值域： 在函数 中， 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域；与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域．显然， 为非空数集； （2）函数的两要素：定义域和对应关系； （3）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据．由此有些数学书上称定义域和对应关系，为函数的两要素． 2．函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法． 3．分段函数 （1）若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数； （2）分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 4．求函数定义域的类型及方法 （1）已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式（组）求解； （2）对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解； （3）若已知 的定义域为 [a, b] ，则 的定义域可由 求出；若已知 的定义域为 [a, b] ，则 的定义域为 在 时的值域． 知识点2 函数的奇偶性与周期性 1.函数奇偶性的判断 奇偶性 定义 图像特点 偶函数 如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么函数 是偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么函数 是奇函数 关于原点对称 (1)定义法 确定定义域→定义域不是关于原点对称→既不是奇函数也不是偶函数 确定定义域→定义域关于原点对称→→→若 ，则奇（偶）函数定义的等价形式如下： 时 为偶函数； 时 为奇函数→得出结论 (2)图像法 的图像→关于原点对称→ 的图像→关于轴对称→ 2．函数奇偶性的应用 （1）已知函数的奇偶性求函数的表达式 利用奇偶性关于 的方程，从而可得函数 的表达式； （2）已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性，求参数 常采用待定系数法：利用 产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值； （3）奇偶性与单调性综合时，要注意奇函数的图像在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数的图像关于原点对称的区间上的单调性相反（可结合图像理解并记忆之）； （4）抽象函数的奇偶性就是要判断 对应的函数值与 对应的函数值之间的关系，从而得到函数图像关于原点或 轴对称，结合函数的图像作出进一步的判断． 3．关于奇偶性的几个常用结论 （1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件； （2）如果函数 是奇函数且在 处有定义，则一定有 ；如果函数 是偶函数，那么 ； 4．函数的奇偶性与对称性的关系 、 （1）若函数 是偶函数，即 ，则函数 的图像关于直线 对称； （2）若对于 上的任意 都有 或 ，则 的图像关于直线 对称； （3）若函数 是奇函数，即 ，则函数 的图像关于点 中心对称． 5．函数的周期性 （1）周期函数 对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周期； （2）最小正周期 如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期． 知识点3 函数的单调性、值域与最值 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量的值 、 当时，都有，那么就说函数在区间上是严格增函数 当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是严格减函数 图像描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 （2）单调区间的定义 如果函数 在区间 上是增函数或减函数，那么就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，区间 叫做函数 的单调区间． （3）几个常用结论 若函数 、 在区间 上具有单调性，则在区间 上具有以下性质： ①当 、 都是增（减）函数时， 是增（减）函数； ②若 ，则 与 单调性相同；若 ，则 与 单调性相反； ③函数 在公共定义域内与 、 的单调性相反； ④复合函数 的单调性与 和 的单调性有关．简记：＂同增异减＂； （4）增函数与减函数形式的等价变形 任意 且 ，则 在 $[a, b]$ 上是严格增函数； 在 $[a, b]$ 上是严格减函数 （5）有关单调区间的两个注意事项 ①单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示； ②有多个单调区间应分别写，不能用符号＂＂连接，也不能用＂或＂连接，只能用＂逗号＂或 ＂和＂连接． 2．函数的值域 函数值域的求法： （1）利用函数的单调性：若 是[a, b]上的增（减）函数，则 、 分别是 在区间[a, b]上取得最小（大）值、最大（小）值； （2）利用配方法：形如 型，用此方法应注意自变量 的范围； （3）利用三角函数的有界性，如 ； （4）利用＂分离常数＂法：形如 或 、 至少有一个不为零）的函数，可用此法； （5）利用换元法：形如 型，可用此法； （6）利用基本不等式． 知识点4 函数的图像 1.作函数的图像 利用图像变换法作函数的图像: （1）平移变换 水平平移： 向右平移 个单位得 ；向左平移 个单位得 （＂左加右减＂原则） 垂直平移： 向上平移 个单位得 ；向下平移 个单位得 （＂上加下减＂原则） （2）伸缩变换 水平伸缩： 横坐标伸长 为原来的 倍，或缩短 为原来的 倍，得 垂直伸缩： 纵坐标伸长 为原来的 倍，或缩短 为原来的 倍，得 （3）对称变换 关于 轴对称： 变换为 关于 轴对称： 变换为 关于原点对称： 变换为 （4）翻折变换 ：保留 在 轴右侧的图像，再将右侧图像翻折到左侧（使图像关于 轴对称） ：保留 在 轴上方的图像，将 轴下方的图像翻折到上方（使图像在 轴上方及 轴上） 2.函数图像的应用 图像应用常见的命题角度有: ① 确定方程根的个数;② 求参数的取值范围;③ 求不等式的解集, 3．函数图像的对称性 （1）函数图像自身的轴对称性 （1） 函数 的图像关于 轴对称； （2）函数 的图像关于 对称 ; （3）若函数 的定义域为 ，且有 ，则函数 的图像关于直线 对称； （2）函数图像自身的中心对称 （1） 函数 的图像关于原点对称； （2）函数 的图像关于 对称 ; （3）函数 的图像关于点 成中心对称 （3）函数 的图像关于点 成中心对称 （3）两个函数图像之间的对称关系 （1）函数 与 的图像关于直线 对称（由 得对称轴方程）； （2）函数 与 的图像关于直线 对称； （3）函数 与 的图像关于点 对称； （4）函数 与 的图像关于点 对称． 知识点5 幂函数与二次函数 1．幂函数的概念 当指数 固定，等式 确定了变量 随变量 变化的规律，称为指数为 的幂函数． 幂函数表达式的特征： （1）自变量 处在幂底数的位置，幂指数 为常数； （2） 的系数为 1 ； （3）只有一项 2．五种常见幂函数的图像与性质 图像 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 严格增 严格减， 严格增 严格增 严格增 和 严格减 公共点 （1,1） 3．有关幂函数的几个结论 对于形如 （其中 且 与 互质）的幂函数： （1）当 为偶数时， 为偶函数，图像关于 轴对称； （2）当 、 都为奇数时， 为奇函数，图像关于原点对称； （3）当 为偶数时，（或 是非奇非偶函数，图像只在第一象限（或第一象限及原点处） 4．二次函数的图像和性质 图橡 定义域 R 值域 单调性 在 上严格减，在 上严格增 在 上严格增，在 上严格减 奇偶性 b=0时为偶函数,b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 图像特点 （1）对称轴方程： ； （2）顶点坐标： 5．二次函数最值问题的三种类型及解题思路 （1）类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动； （2）思路：抓＂三点一轴＂，三点——区间两个端点和中点，一轴——对称轴 6．由不等式恒成立求参数取值范围的两大思路及一个关键 （1）思路：一是分离参数；二是不分离参数； （2）关键：两种思路都是将问题归结为求函数的值域或最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离在函数 能取到最值的情况下，其依据是： ， . 知识点6 指数与指数函数 1、根式与指数幂的运算 （1） 且 ； （2）当 为奇数时，（因为奇数幂的根与底数符号一致）； 当 为偶数时， ，进一步根据 的符号细分： 若 ，则 ； 若 ，则 2、指数幂的运算性质 （1） ； （2） ； （3） ． 3、指数函数的图像与性质 图像 定义域 R 值域 性质 过定点(0,1) 在区间(一∞,十∞)上是严格增函数 在区间(一∞,十∞)上是严格减函数 知识点7 对数与对数函数 1．对数的概念及运算性质 一般地，如果 ，且 的 次幂等于 ，即 ，那么，数 叫做以 为底 的对数，记作： ． 概念 如果 ，且 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数， 叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化: 运算法则 换底公式 2.对数函数的图像与性质 图像 性质 定义域为(0,十∞) 值域为R 过定点(1,0) 在区间(0,十∞)上是严格增函数 在区间(0,十∞)上是严格减函数 说正数 、 均不为 1 时，当 时， ；当 时， ． 3．反函数 指数函数 且 与对数函数 且 互为反函数，它们的图像关于直线 对称． 知识点8 函数的综合应用 1.图像及应用 (1)幂函数的图像记忆,可记住(或描绘)第一象限图像,并结合定义域与奇偶性确定第二或第三象限上的图像特征; (2)指数函数的图像,可以联合对数函数图像以反函数对称性进行成对记忆; (3)图像的应用,建议从五大部分人手;定义域、值域(最值、有界性)、特殊的点线(坐标轴上的点恒过定点、最值点、零点及渐近线、对称轴等)、性质(奇偶性、单调性、对称性、周期性)、方程与不等式 2.范围与最值 以图像为依托考查幂、指、对函数有关的最值问题或值域问题,考题或以复合函数通过换元来分析,或以分段函数通过两个图像综合考虑来分析,要求掌握图像,不能混淆 3.方程与不等式 以图像为依托考查幂、指、对函数有关的方程与不等式问题,考题或以复合函数通过换元来分析,或以分段函数通过两个图像综合考虑来分析,要求能通过方程与不等式的等价变形来发现并转化: 知识点9 函数应用题 1.几种常见的函数模型 函数模型 函数表达式 一次函数模型 、 二次函数模型 、、 指数函数模型 、、 对数函数模型 、、 幂函数模型 、、 2.三种函数模型性质比较 在（0,﹢∞）上的单调性 严格增函数 严格增函数 严格增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随值增大,图像与轴接近平行 随值增大,图像与轴接近平行 随n值变化而不同 3.解答应用问题的步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型; (2)建模:把自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模(求模):求解数学模型,得出数学结论; (4)释模(还原):将数学结论还原为实际问题的意义 考点一 函数的定义域 1. 核心限制：分式分母≠0，根式被开方数≥0，对数真数＞0. 2. 复合函数定义域：先求内层函数值域，以此确定外层函数定义域. 3. 含参问题：结合单调性、恒成立条件，利用二次函数性质或导数分析参数临界值. 4. 集合与充分条件：转化为区间包含关系，通过定义域范围推导参数取值. 总结：逐类突破限制，分层处理复合函数，含参抓临界与恒成立，集合关系转区间包含，高效解决函数定义域问题. 例1（2025·上海·三模）已知集合，，则 . 例2已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 例3若函数在区间上严格增，则实数的取值范围 ． 【变式1】（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【变式2】已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【变式3】如图，某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点A、及的中点 处．km，km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、等距的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，，．记铺设管道的总长度为ykm． (1)设（弧度），将表示成的函数并求函数的定义域； (2)假设铺设的污水管道总长度是km，请确定污水处理厂的位置． 考点二 函数的值域 解题策略 说明 直接法（基本函数值域） 利用指数、幂、对数、三角函数等基本函数的单调性或图像，直接确定值域。如指数函数的值域为。 分段函数值域法 对分段函数的各区间分别分析单调性、最值，求出各段值域后取并集。如分段函数需分别研究和两段的取值范围，再合并。 换元法+经典函数（对勾、二次函数等） 通过换元将复合函数转化为对勾函数、二次函数等熟悉的函数，结合单调性、基本不等式求值域。如令，将函数转化为，利用对勾函数性质求解。 例1下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 例2（2025·上海松江·三模）已知函数，则的值域为 . 例3若函数的值域是，则函数的值域是 . 【变式1】（2024·上海黄浦·二模）设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】设函数满足，定义域为，值域为A，若集合可取得A中所有值，则参数a的取值范围为 . 【变式3】已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【变式4】已知函数为偶函数，则函数的值域为 . 考点三 分段函数 一、分段求值：先判区间，再代公式 遇到分段函数求值问题，第一步严格判断自变量所属的定义域区间，第二步代入对应区间的解析式计算。例如例1中，，属于的区间，因此；例2中，，属于的区间，故。关键是避免因区间判断失误导致解析式代错。 二、分段解不等式/方程：分区间拆解，解集取并集 解分段函数的不等式（或方程）时，需对每个定义域区间分别拆解：将不等式按照该区间的解析式转化，逐一求解后，把各区间的解集取并集。若函数含奇偶性（如例4中是偶函数，），可利用对称性简化区间的求解，转化为区间的已知形式，减少计算量。例如解，需分（解）和（转化为，即）两段分析，最终合并解集。 三、图像与参数问题：数形结合，抓临界分析 解决含参数的分段函数问题（如例3），需先绘制各段函数的图像，再分析参数的几何意义（如例3中是直线的斜率）。通过观察图像在不同象限的交点、单调性，确定参数的临界值（如直线与分段函数各段的相切点、交点位置），进而推导参数的取值范围。过程中要关注各段图像的衔接点，以及参数变化时图像的动态趋势，确保覆盖“经过四个象限”等条件。 例1（2025·上海金山·三模）已知函数，其中，则 ． 例2（2025·上海崇明·三模）已知函数，则 . 例3（2023·上海松江·一模）已知函数，，若函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例4（2024·上海虹口·一模）已知，则的解集是 ． 例5（2024·上海·三模）若，，则满足的m的最大值为 ． 【变式1】（2024·上海·高考真题）已知则 ． 【变式2】（2025·上海宝山·二模）已知函数则= . 【变式3】（2024·上海嘉定·一模）已知，则的解集为 . 【变式4】（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 . 考点四 函数的单调性 一、定义判断：抓“任意性” 严格遵循增函数（任意，都有）、减函数（任意，都有）的定义，注意“任意”的普遍性，避免以偏概全。如例1命题，若仅部分满足时，不满足“任意性”则不是增函数。 二、基本函数单调性：抓“类型记忆” 熟练掌握幂函数、指数函数、对数函数、分式函数等基本函数的单调性： - 幂函数：如在上严格增，在上严格增； - 指数函数：在上严格增； - 对数函数：在上严格增； - 分式函数：如在上严格减。 通过对基本函数单调性的直接记忆，可快速解决例3、例4这类识别题。 三、复合与奇偶性结合：抓“性质联动” 若函数含奇偶性，先判断奇偶性，再结合对称性分析单调性。如例2，先判断函数的奇偶性，再分析其单调性，进而结合的区间、平方或立方关系推导结论；例4中既是奇函数又在上严格增，通过“奇偶性+单调性”的双重性质联动解题。 例1（2024·上海崇明·二模）已知函数的定义域为． 命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数． 命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数． 下列说法正确的是（    ） A．p、q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p、q都是假命题 例2关于函数和实数的下列结论中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例3（2024·上海闵行·一模）下列函数中，在区间上是严格减函数的为（    ） A． B． C． D． 例4（2025·上海金山·三模）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·上海崇明·一模）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 【变式3】（2025·上海浦东新·三模）已知（且）． (1)若，解方程，求的值； (2)若，求的取值范围． 【变式4】（2025·上海杨浦·二模）已知函数是定义在上的偶函数. (1)当时，，求时，的表达式； (2)当时，，若实数满足，求的取值范围. 考点五 函数的最值 一、对勾函数型（形如，如例1） - 若： - 优先用基本不等式：（时），需验证等号是否在定义域内。 - 若等号取不到，分析单调性：在递增，在递减，结合定义域区间求最值。 - 若：函数在定义域内单调（时递增），直接用单调性求最值。 二、三角函数型（含复合二次函数，如例2） - 利用三角函数有界性（如值域），将问题转化为二次函数在闭区间上的最值/零点问题。 - 步骤：令（），则原函数转化为（或类似二次结构）。 - 分析：结合二次函数的开口方向、对称轴（），研究其在上的最值或零点，进而推导参数范围。 三、通用关键：定义域与函数性质的联动 无论哪种类型，都需先明确定义域限制，再结合函数的单调性、有界性、不等式性质等工具，层层拆解最值问题。核心逻辑是“抓函数结构特征，选对应方法突破”——对勾函数抓“基本不等式/单调性”，三角函数抓“有界性+复合二次函数”，确保每一步都紧扣函数的取值范围和性质。 例1已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是 . 例2（2024·上海金山·二模）已知函数，记，，，. (1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值； (2)若，，函数有零点，求实数的取值范围. 【变式1】（2025·上海松江·三模）若不等式对恒成立，则 . 【变式2】（2025·上海奉贤·二模）函数，其中． (1)若函数是偶函数，当时，求的值； (2)求函数的值域并证明对任意的正实数和实数，不等式恒成立． 考点六 函数的奇偶性 利用函数奇偶性解不等式的步骤 步骤1：判断函数的奇偶性 通过定义法（验证或）或图像法（图像关于轴对称→偶函数，关于原点对称→奇函数），确定函数的奇偶性。 步骤2：分析函数的单调性 明确函数在单调区间（如、）内的增减性（可通过导数、基本函数性质或定义法判断）。 步骤3：利用奇偶性转化不等式 - 若为偶函数，则，可将不等式转化为； - 若为奇函数，则，可结合单调性将不等式转化为“同一单调区间”的形式（如转化为或，需根据单调性和奇偶性的对称性分析）。 步骤4：结合单调性与定义域求解不等式 根据函数在对应单调区间的单调性，解转化后的不等式；同时验证自变量是否在定义域内，最终确定解集。 例1（2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（   ） A． B． C． D． 例2（2025·上海·三模）设且，已知函数． (1)判断是否为偶函数，并说明理由； (2)令函数，解关于的不等式． 例3（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 例4（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，a，b为实常数且． (1)若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； (2)若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围． 【变式1】（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【变式2】（2025·上海黄浦·二模）已知． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 考点七 函数的周期性 函数周期性的解题策略 1. 直接周期型（如例1） 若题目直接给出（或等价形式，如，此时周期为），则周期为。 - 解题关键：利用周期将未知自变量转化到已知解析式的区间。 - 步骤：确定周期→将目标自变量表示为（，在已知区间）→代入的解析式计算。 2. 递推式推导周期（如例2） 对于含递推关系的函数（如），通过迭代法计算，判断是否满足，从而确定周期。 - 步骤：计算、、，观察是否存在使得→确定周期后，将问题转化到一个周期内求解。 3. 结合奇偶性/对称性推导周期（如例4） 若函数同时具有奇偶性、对称性，可结合定义推导周期。 - 核心逻辑：利用奇偶性（如）或对称性（如）的等式，通过代换（如令替换为）推导。 例1函数满足，当时，，则 . 例2已知定义在实数集上的函数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例3已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数． 那么（    ）． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 例4已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（    ） A． B． C．函数的周期为2 D． 【变式1】已知函数定义域为，下列论断： ①若对任意实数，存在实数，使得，且，则是偶函数． ②若对任意实数，存在实数，使得，且，则是增函数． ③常数，若对任意实数，存在实数，使得，且，则是周期函数． 其中正确的论断的个数是（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】已知函数为上的奇函数；且，当时，，则 ． 【变式3】已知函数是定义在上的以为周期的奇函数，且，则方程在区间内零点的个数的最小值是 ． 【变式4】（2024·上海奉贤·二模）已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数. (1)求函数在点的切线方程； (2)已知，当与满足什么条件时，存在非零实数，对任意的实数使得恒成立？ (3)若函数是奇函数，且满足.试判断对任意的实数是否恒成立，请说明理由. 考点八 函数的对称性 几种常见对称类型 1. 轴对称 - 定义：若对任意成立，则函数图像关于直线轴对称。 - 应用：通过解析式变形（如例1中函数结构）或特殊值代入验证，明确对称轴后可利用“”简化计算。 2. 中心对称 - 定义：若对任意成立，则函数图像关于点中心对称；若，则为奇函数（关于原点对称）。 - 应用：结合奇偶性（如例2中奇函数性质）或递推式（如的递推关系）推导，利用“”转化求和或最值问题。 3. 结合奇偶性、周期性推导 若函数同时具有奇偶性和对称性，可推导周期性。如例2中，奇函数且，则（周期为4），进而将问题范围缩小到一个周期内求解。 例1已知函数，正项等比数列满足，则 例2已知函数是定义在上的奇函数，且满足， ，则 . 【变式1】若函数 的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为 ． 【变式2】（2024·上海静安·二模）已知，记（且）． (1)当（是自然对数的底）时，试讨论函数的单调性和最值； (2)试讨论函数的奇偶性； (3)拓展与探究： ① 当在什么范围取值时，函数的图象在轴上存在对称中心？请说明理由； ②请提出函数的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明） 考点九 函数的图像 例1函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 例2函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 例3函数图象的大致形状是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·上海奉贤·二模）已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数，，若函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点十 一次函数与二次函数 例1（2025·上海松江·三模）若不等式对恒成立，则 . 例2已知二次函数的值域为，则函数的值域为 ． 【变式1】若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是 【变式2】已知函数在区间，上的最大值为5，最小值为1． （1）求，的值及的解析式； （2）设，若不等式在，上有解，求实数的取值范围． 【变式3】（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点． (1)当时，判断点是否为平衡点； (2)当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点； (3)求所有实数a和b，使得点是平衡点． 考点十一 指数与指数函数 例1（2024·上海宝山·二模）将（其中）化为有理数指数幂的形式为 . 例2若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 . 例3（2024·上海·三模）若，，则满足的m的最大值为 ． 例4（2024·上海黄浦·二模）设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 【变式1】（2024·上海静安·一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【变式2】已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是 【变式3】（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 . 【变式4】（2024·上海奉贤·一模）已知函数，其中（常数且）． (1)若函数的图象过点，求关于的不等式的解集； (2)若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围. 考点十二 对数与对数函数 例1（2024·上海·三模）已知函数恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2（2024·上海·三模）若正实数、满足，则的最小值为 ． 例3（2025·上海崇明·二模）已知． (1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； (2)若且，解关于x的不等式． 【变式1】（2025·上海崇明·三模）已知，则 ． 【变式2】（2025·上海宝山·二模）已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为 【变式3】函数的最小值为 . 【变式4】（2024·上海静安·一模）已知是从大到小连续的正整数，且，则的最小值为 . 考点十三 幂函数 例1函数的定义域为 ． 例2（2025·上海浦东新·三模）已知幂函数在上严格增，则实数 例3（2024·上海长宁·一模）已知函数的大致图像如图所示，则 ． 例4（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【变式1】已知集合，，则 . 【变式2】（2024·上海青浦·二模）对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的根，则实数的取值范围是 ． 【变式3】（2024·上海杨浦·一模）已知，其中实数.若函数有且仅有2个零点，则的取值范围为 . 【变式4】（2025·上海金山·三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． (1)已知，求的取值范围； (2)若方程存在实数解，求的取值范围． 考点十四 函数的应用 例1（2024·上海杨浦·一模）小李研究数学建模“雨中行”问题，在作出“降雨强度保持不变”､“行走速度保持不变”､“将人体视作一个长方体”等合理假设的前提下，他设了变量： 人的身高 人体宽度 人体厚度 降雨速度 雨滴密度 行走距离 风速 行走速度 并构建模型如下： 当人迎风行走时，人体总的淋雨量为. 根据模型，小李对“雨中行”作出如下解释： ①若两人结伴迎风行走，则体型较高大魁梧的人淋雨是较大； ②若某人迎风行走，则走得越快淋雨量越小，若背风行走，则走得越慢淋雨量越小； ③若某人迎风行走了秒，则行走距离越长淋雨量越大. 这些解释合理的个数为（    ） A． B． C． D． 例2（2025·上海·三模）已知函数， (1)当时，解不等式； (2)已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． 例3（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【变式1】（2025·上海·三模）已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：． (1)若，求出函数的极值点，并判断的符号； (2)若，，讨论方程解的个数； (3)若，当，，记与中较大者为．证明：． 【变式2】（2025·上海松江·三模）已知函数的图像相邻两个零点之间的距离为. (1)求的值及的解集； (2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 【变式3】（2025·上海杨浦·二模）已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”. (1)判断是否为“超导函数”，并说明理由； (2)若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有，，记，求证：函数是“超导函数”； (3)已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围. 一、单选题 1．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 2．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 3．（2025·上海青浦·模拟预测）若正数均不为1，则下列不等式中与“”等价的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·上海金山·二模）已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（    ） ①；②；③函数有最小值. A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 5．（2025·上海宝山·三模）已知，函数的定义域是，且满足.记函数的值域为，若存在，使得对于任意符合要求的函数，均满足：，则实数的取值范围是 . 6．（2025·上海·三模）函数的定义域为 . 7．（2025·上海长宁·二模）已知函数和，其中，且是定义在上的函数，其图像关于原点对称，当时，．若对任意的，存在，使得，则的取值范围是 ． 8．（2025·上海·三模）函数的定义域为 . 9．（2025·上海·三模）函数，的零点是 ． 10．（2025·上海·三模）函数的零点个数为 三、解答题 11．（2025·上海·三模）已知定义在上的函数的图像上存在，两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（，为切点），且对上的任意的，均有，则称函数为“切线支撑”函数. (1)试判断函数是否为“切线支撑”函数.若是，写出一组点，；否则，请说明理由； (2)证明：函数为“切线支撑”函数； (3)已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围 12．（24-25高三下·上海虹口·期中）已知函数的表达式为，. (1)解不等式：； (2)若存在实数，使得，，成等比数列，求实数的最小值. 试卷第1页，共3页 1 / 84 学科网（北京）股份有限公司 $