4.2 平行线分线段成比例（分层练习）2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

4.2 平行线分线段成比例 一．选择题 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（　　） A．3 B．6 C．5 D．4 2．如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在五线谱上．若线段AC＝12，则线段AB的长是（　　） A．6 B．8 C．7 D．9 4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝8，BC＝12，EF＝9，则DE的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 5．如图，△ABC中，DE∥BC，AD：BD＝1：3，则OE：OB＝（　　） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6 6．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．如图所示，已知a∥b∥c，下列比例式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝4，CD＝6，则线段GH长为（　　） A．5 B．3 C．2.5 D．2.4 9．如图，在△APM的边AP上任取两点B，C，过B作AM的平行线交PM于N，过N作MC的平行线交AP于D．若，则的值为（　　） A． B． C．2 D．3 10．AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AEAD，BE的延长线交AC于F，则的值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题 11．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，AE＝6，则AC的长为 　 　 ． 12．已知两条直线被三条平行线所截，截得线段长度如图所示，则x的值为　 　 ． 13．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝5cm，CE＝3cm，BD＝4cm，则DF的长为 　 　 ． 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD为BC上的中线，将△ADC沿直线AD翻折得到△ADC′，C′D与AB交于点F，连接CC′与AB，AD分别交于点E，O，连接BC′，则∠CC′B＝ 　 　 .若，则 　 　 15．如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E在BC上，且EC＝3BE，连接AE，BD相交于点F，则的值为　 　 ． 16．如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，且BE＝2AE，连接ED，点F为ED的中点，连接AF、BF、FC，若∠BFC＝90°，BF＝5，则AF的长为 　 　 ． 三．解答题 17．如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．已知AB＝5，BC＝3，DF＝12． （1）求DE的长； （2）点O是直线l4与l5的交点，如果BE＝2，DA＝3，求CF的长． 18．在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，AD与BE交于点F． （1）如图1，点D是BC中点，点F是AD中点，DG∥BE交AC于点G，求证：； （2）如图2，若BD：DC＝1：4，AF：FD＝3：2，求AE：EC的值． 19．【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容： 我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：．这就是如下的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”） 【问题原型】如图①，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，过E作EF∥AD交边DC于点F，点P、Q分别在矩形的边AD、BC上，连结PQ交EF于点M．求证：PM＝QM． 【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点R在边BC上（不与点Q重合），连结PR交EF于点N． （1）若MN＝4，则线段QR的长为 　 　 ； （2）当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，若BC＝10，且△PMN周长的最小值为12，则边AB的长为 　 　 ． 20．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD与点G和点H，BD＝12，EF＝8．求： （1）的值； （2）线段GH的长． 21．已知，直线MN分别与直线AB、CD交于点G、F，FE平分∠MFD，∠GEF＝∠GFE． （1）如图1，求证：AB∥CD； （2）如图2，点K在直线AB上，过点K作直线KH与直线CD交于点H，与MN交于点P，KQ平分∠BKH交EF于点Q，直接写出∠KPF与∠KQF的数量关系：　 　 ； （3）如图3，在（2）的条件下，过点F作FT平分∠MFH交AB于点T，连接HQ交FT于点L，交MN于点O，交AB于点W，过点H作HI⊥FT于点I，满足2∠EFD﹣∠EWQ＝90°．若，HI+FQ＝12，求线段OF的长度． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B B B A B D B D 二．填空题 11．8． 12．． 13．cm． 14．90． 15．． 16．． 三．解答 17．解：（1）由题意可知，l1∥l2∥l3， ∴， ∵AB＝5，BC＝3，DF＝12． ∴AC＝8， ∴， ∴DE． （2）由题意可知，l1∥l2∥l3， ∴∠OBE＝∠OAD，∠OEB＝∠ODA， ∴， ∴， ∵BE＝2，DA＝3，AB＝5， ∴， ∴OA＝3， ∴OC＝AC﹣OA＝8﹣3＝5， ∵l1∥l2∥l3， ∴，即， ∴CF＝5，即CF的长为5． 18．（1）证明：∵DG∥BE，点D是BC中点， ∴CD＝BD， ∴， ∴CG＝EG， ∵点F是AD中点，DG∥BE， ∴AF＝DF， ∴， ∴AE＝EG， ∴AE＝CG＝EG， ∴； （2）解：过点D作DH∥BE交AC于点H， ∵BD：DC＝1：4，DH∥BE， ∴， ∴CH＝4HE， ∵AF：FD＝3：2，DH∥BE， ∴， ∴， ∵， ∴AE：EC的值为． 19．[问题原型]证明：∵点E为边AB的中点， ∴AE＝BE， 在矩形ABCD中，AD∥BC， ∵EF∥AD， ∴AD∥EF∥BC， ∴， ∴PM＝QM， [结论应用]（1）解：根据题意可得AD∥EF∥BC ∴，， ∴QR＝2MN＝8， 故答案为：8． （2）解：如图所示， 作点C关于AD的对称点，连接PG，BG，DG， ∴PB+PC＝PB+PG≥BG， 当P在BG上时，取得最小值， 又∵PD∥BC，D是CG的中点， ∴PD是BC的中位线， ∴P是AD的中点，则PB＝PG＝PC， 即当P顶点是AD 中点时，三角形PBC的面积取得最小值， ∵根据（1）的结论得出MN是是△PQR的中位线，BC＝10，且△PMN周长的最小值为12， ∴△PBC的周长为24， ∴，PB+PC＝24﹣10＝14， ∴PB＝7， ∴． 故答案为：2． 20．解：（1）∵EF∥BD， ∴， ∵BD＝12，EF＝8， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD， ∴； （2）∵DF∥AB， ∴， ∴， ∵EF∥BD， ∴， ∴， ∴GH＝6． 21．（1）证明：∵FE平分∠MFD， ∴∠GFE＝∠EFD； ∵∠GEF＝∠GFE， ∴∠GEF＝∠EFD， ∴AB∥CD； （2）解：如图2，分别过P、Q作PS∥AB，QX∥AB， ∴∠GKP＝∠KPS，∠KQX＝∠EKQ； ∵AB∥CD， ∴PS∥CD，QX∥CD， ∴∠SPF＝∠PFH，∠XQF＝∠EFD， ∴∠KPF＝∠KPS+∠SPF＝∠GKP+∠PFH，∠KQF＝∠KQX+∠XQF＝∠EKQ+∠EFD， ∴2∠KQF＝2∠EKQ+2∠EFD； ∵KQ、FE分别平分∠BKH、∠GFD， ∴∠EKH＝2∠EKQ，∠GFD＝2∠EFD， ∴2∠KQF＝2∠EKQ+2∠EFD＝∠EKH+∠MFD； ∵∠EKH+∠GKP＝180°，∠MFD+∠PFH＝180°， ∴∠KPF+2∠KQF ＝∠GKP+∠EKH+∠PFH+∠MFD ＝180°+180° ＝360°； 故答案为：∠KPF+2∠KQF＝360°； （3）解：∵FT、FE分别平分∠MFH、∠MFD， ∴， ∴； ∵∠CFD＝180°， ∴， ∴FL⊥FQ； 过O作OO′∥AB，如图3， 设∠EFD＝α，∠EWQ＝β， ∴∠WOO′＝∠EWQ＝β，∠OFD＝2∠EFD＝2α； ∵OO′∥AB，CD∥AB， ∴OO′∥CD， ∴∠FOO′+∠OFD＝180°， ∴∠FOO′＝180°﹣∠OFD＝180°﹣2α， ∴∠WOF＝∠WOO′+∠FOO′＝β+180°﹣2α＝180°﹣（2α﹣β）； ∵2∠EFD﹣∠EWQ＝90°， ∴2α﹣β＝90°， ∴∠WOF＝180°﹣90°＝90°， ∴FO⊥HQ； 在△HFQ中，S△FQH＝S△FLQ+S△FLH， 即； ∵，且HI+FQ＝12， ∴设HQ＝7x，FL＝2x， ∴， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/18 17:19:35；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $