专题5.6 二次函数（章节复习）知识梳理+26个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共67题-2025-2026学年苏科版数学九年级下册同步培优精编讲练

专题5.6 二次函数（章节复习） （知识梳理+26个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共67题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：二次函数有关概念 2 知识点梳理02：二次函数的解析式 2 知识点梳理03：二次函数的图象与性质 3 知识点梳理04：二次函数的图象与各项系数之间的关系 3 知识点梳理05：二次函数图象的变换 4 知识点梳理06：二次函数与一元二次方程 4 知识点梳理07：二次函数与不等式 5 知识点梳理08：二次函数的应用 5 优选题型 考点讲练 5 题型1：根据二次函数的定义求参数 5 题型2：y=ax²+bx+c的图象与性质 5 题型3：一次函数、二次函数图象综合判断 5 题型4：反比例函数、二次函数图象综合判断 6 题型5：根据二次函数的图象判断式子符号 7 题型6：已知抛物线上对称的两点求对称轴 8 题型7：y=ax²+bx+c的最值 8 题型8：利用二次函数对称性求最短路径 8 题型9：待定系数法求二次函数解析式 9 题型10：抛物线与x轴的交点问题 10 题型11：求x轴与抛物线的截线长 10 题型12：图象法确定一元二次方程的近似根 11 题型13：根据交点确定不等式的解集 11 题型14：图形问题(实际问题与二次函数) 12 题型15：图形运动问题(实际问题与二次函数) 12 题型16：拱桥问题(实际问题与二次函数) 13 题型17：销售问题(实际问题与二次函数) 14 题型18：投球问题(实际问题与二次函数) 15 题型19：喷水问题(实际问题与二次函数) 16 题型20：增长率问题(实际问题与二次函数) 18 题型21：线段周长问题(二次函数综合) 18 题型22：面积问题(二次函数综合) 19 题型23：角度问题(二次函数综合) 21 题型24：特殊三角形问题(二次函数综合) 22 题型25：特殊四边形(二次函数综合) 23 题型26：相似三角形问题(二次函数综合) 24 中考真题 实战演练 25 难度分层 拔尖冲刺 27 基础夯实 27 培优拔高 28 知识点梳理01：二次函数有关概念 (1)定义：一般的，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数. (2)、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数. 知识点梳理02：二次函数的解析式 (1)三类解析式 一般式：(a、b、c是常数，)； 顶点式：()，二次函数的顶点坐标是(h，k)； 交点式：()，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． (2)待定系数法求解析式 ①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）； ②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 知识点梳理03：二次函数的图象与性质 开口 方向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 与 最值 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或)； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或). 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 对称性 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 知识点梳理04：二次函数的图象与各项系数之间的关系 (1)的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下. 的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大. (2)、b的符号共同决定对称轴的位置 当时，，对称轴为y轴；当a、b同号时，，对称轴在y轴左边；当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”） (3)c决定抛物线与轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 知识点梳理05：二次函数图象的变换 (1)图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下： (2)图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式. 知识点梳理06：二次函数与一元二次方程 二次函数()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根. (1)当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；(2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； (3)当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 知识点梳理07：二次函数与不等式 (1)抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集； (2)抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集. 知识点梳理08：二次函数的应用 (1)最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内. (2)面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积. (3)类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题. (4)与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题 题型1：根据二次函数的定义求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）若函数是二次函数，则的值是 ． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（   ） A．1 B． C．2 D．2或 题型2：y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例精讲】（24-25九年级下·四川自贡·阶段练习）已知二次函数，其中，则有最大值为 【变式训练】（2023·陕西咸阳·三模）已知抛物线（为常数，且），当时，随的增大而减小，当时，的最大值为4，则的值为（   ） A． B． C．4 D．或4 题型3：一次函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（24-25九年级下·福建福州·期末）已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·辽宁沈阳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型4：反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（2025·湖北·二模）著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”比如方程的实根可看成函数与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断方程的实数根有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（24-25九年级下·山东潍坊·阶段练习）下列各图中有可能是函数和的图象是（　　） A． B． C． D． 题型5：根据二次函数的图象判断式子符号 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北襄阳·期中）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断；①且；②；③；④设直线与抛物线的两个交点横坐标分别为，则．其中结论正确的是 ． 题型6：已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例精讲】（2025·湖北·一模）已知二次函数的图象经过点．当时，x的取值范围为或．下列四个数中可能为k的值是（   ） A． B．0 C．3 D．5 【变式训练】（24-25九年级下·安徽六安·期中）已知抛物线，点，是抛物线上两点，且． （1）抛物线的对称轴为 （用含有的式子表示）； （2）当时，始终满足，则的取值范围是 ． 题型7：y=ax²+bx+c的最值 【典例精讲】（22-23九年级下·广东深圳·自主招生）已知正方形的边长为，，分别为、上的点，且满足，则面积的最小值为 ． 【变式训练】（2024·浙江杭州·二模）如图1，正方形纸片的边长为2，翻折，使两个直角的顶点重合于对角线上一点，、分别是折痕（如图2）．设，则六边形面积的最大值是 ． 题型8：利用二次函数对称性求最短路径 【典例精讲】（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    【变式训练】（22-23九年级下·广西百色·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 题型9：待定系数法求二次函数解析式 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线经过边长为2的菱形的三个顶点O，A，C，，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2024·山东青岛·一模）已知如图，反比例函数图象上有两点A、B，坐标如图所示，直线经过A、B两点． (1)求出直线的函数关系式； (2)有一个二次函数顶点在A，经过B点，求这个二次函数的函数关系式． 题型10：抛物线与x轴的交点问题 【典例精讲】（2024·贵州遵义·一模）已知二次函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值是3 B．图象的对称轴是直线 C．图象开口向下 D．图象与x轴有两个交点 【变式训练】（2025·河南郑州·一模）抛物线与轴有两个交点，的取值范围是 ． 题型11：求x轴与抛物线的截线长 【典例精讲】（2025·浙江宁波·模拟预测）设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则 的值是（    ） A．6 B．8 C． D．7 【变式训练】（22-23九年级下·江苏·期末）如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A，点B，则的长度为 ． 题型12：图象法确定一元二次方程的近似根 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏南通·期末）下表给出了二次函数中的部分对应值，可以估计方程的一个解的取值范围是（   ） … … … … A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·广东珠海·期中）如表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么最接近方程的一个根是（   ） x 1 y A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4 题型13：根据交点确定不等式的解集 【典例精讲】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，直线和抛物线交于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)求不等式的解集（直接写出答案）． 【变式训练】（2024·浙江·三模）二次函数的部分对应值如下表所示： x 3 4 y m 0 m 则当时，x的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 题型14：图形问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，在一块空地上有一段长为米的旧墙，现在利用旧墙一部分（不超过）和100米长的木栏围成一个矩形菜园． (1)若，求矩形菜园面积的最大值； (2)若木栏增加米，矩形菜园面积的最大值为2800米，则的值为_____． 【变式训练】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图是一个长、宽的矩形花园，现要将它的长缩短，宽增加，则修改后花园的最大面积为（   ） A． B． C． D． 题型15：图形运动问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图1，在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿的方向匀速运动；到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为ts，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为 ． 【变式训练】（2025·青海西宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴和轴的正半轴上，，，以，为邻边作矩形.点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动。过点作交于点，连接.设运动时间为秒，记的面积为，求与的函数解析式 题型16：拱桥问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025九年级上·浙江·专题练习）位于我市平远中行镇的秉虹桥，始建于明朝嘉靖年间，是赣粤盐米古道上一颗璀璨的明珠，它是形状大小相同的双孔石拱桥，每个孔内侧呈抛物线型，如图1，当一个孔的水面宽度为10米时，则拱顶离水面的高度为5米，若以一个孔的拱顶为坐标原点，桥面为x轴（不考虑拱部顶端的厚度），竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系如图2，可计算出当一个孔的水面宽度为12米时，则拱顶离水面的高度为（    ）米． A．7.2 B．6.5 C．5.6 D．6 【变式训练】（2025·陕西西安·模拟预测）如图所示，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，抛物线的最高点C离路面的距离是． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式； (2)有一辆大型货运汽车装载某大型设备后高为，宽为．该隧道内设双向车道，那么这辆大型货运汽车能否安全通过？请说明理由． 题型17：销售问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2024·四川成都·模拟预测）立定跳远是体育测试项目之一，立定跳远要求穿轻便、跟脚、防滑、鞋底不太厚的运动鞋．在体育考试前，某商店购进了甲、乙两种运动鞋，已知甲、乙两种运动鞋每双的进价之和为64元，甲种运动鞋每双获利8元，乙种运动鞋每双获利10元，店主第一批购买甲种运动鞋50双、乙种运动鞋60双，一共花费3540元． (1)甲、乙两种运动鞋的进价分别是每双多少元？ (2)由于需求量特别大，第一批运动鞋很快售完，店主第二批购进甲、乙两种运动鞋若干，当甲、乙两种运动鞋保持原有利润时，甲、乙两种运动鞋每天分别可以卖出120双和90双．后来店主决定将甲、乙两种运动鞋的售价同时提高相同的钱数，已知甲、乙两种运动鞋每提高1元每天均少卖出5双，为了每天获取更多利润，店主将两种运动鞋同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？最大利润为多少？ 【变式训练】（2024·湖北·模拟预测）某网店销售一款市场上畅销的健身器材壶铃，进价为每个20元，在销售过程中发现，这款壶铃销售单价为30元时，每天卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每天少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． (1)请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价是多少元时，该网店每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 题型18：投球问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·湖北十堰·三模）郑钦文是我国网球运动员．她在一次击球过程中，在点处发球，将网球从点正上方的点发出，球的运行轨迹是一条抛物线，网球运行的水平距离为时，网球达到最大高度，以点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立如图平面直角坐标系，已知球网与原点的水平距离约为，球网高度为，球场的边界距原点的水平距离约为．设网球运行的高度与运行的水平距离． (1)若时； 求与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）． 判断球能否过网，若能过网，求它的落点离边界的距离；若不能过网，说明理由． (2)若球一定能越过球网（不接触球网），又不出边界（可压边界），直接写出的取值范围． 【变式训练】（2025·陕西汉中·二模）掷实心球是高中阶段学校招生体育考试的选考项目，实心球行进路线是一条抛物线．在体育课上，刘欣同学在练习投实心球时，某次实心球行进高度与水平距离之间的函数关系图象如图所示，掷出时起点处的高度，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)若刘欣投实心球时正前方的点处是一个沙坑距离刘欣最近的边缘，请你判断她此次投出的实心球能否进入沙坑，并说明理由． 题型19：喷水问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·山西临汾·三模）综合与实践 如图，这是一个直角三角形斜坡截面，，，，坡面上有一根标杆（标杆粗细忽略不计，点M在斜坡上且与点B不重合，），现在斜坡点A处安装一个喷水管（高度忽略不计），喷水管喷出的水流呈抛物线形状，建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水流的水平距离x（单位：m）与水流的高度y（单位：m）的变化规律如表： x 0 1 2 3 4 … y 3 3 … (1)求该抛物线的解析式，并写出其顶点坐标． (2)若喷水管喷出的水流恰好经过标杆的顶部点N． ①求标杆的最大高度； ②若点A到M，N两点的距离相等，求点N的坐标． 【变式训练】（2025·湖北武汉·模拟预测）一个可移动的喷灌架喷射出的水流可以看成抛物线，如图是喷灌架给坡地草坪喷水的平面示意图，喷灌架置于坡地草坪底部点处，喷水头的竖直高度为，当喷射出的水流与点的水平距离为时，达到最高，此时其与水平地面的竖直高度为．在直线坡地草坪上，点与点的水平距离为，与水平地面的竖直高度为． (1)求水流抛物线的解析式； (2)求水流抛物线与直线坡地草坪之间的竖直距离的最大值； (3)已知在点处有一棵竖直高度为的小树．若将喷灌架沿直线坡地草坪向右移动，设其向右水平移动（其中），使其喷射出的水流不被小树遮挡，直接写出的取值范围． 题型20：增长率问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·天津河西·期中）某种商品的价格是200元，准备进行两次降价，若每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y（元）随每次降价的百分率的变化而变化，则y与x之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是50元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 题型21：线段周长问题(二次函数综合) 【典例精讲】（2024·河北·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C且，点为抛物线L的对称轴右侧图象上的一点（不含顶点）． (1)a的值为 ，抛物线的顶点坐标为 ； (2)设抛物线L在点C和点P之间的部分（含点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为h，求h关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围； (3)若点的坐标满足时，连接．将直线与抛物线L围成的封闭图形记为G． ①求点P的坐标； ②直接写出封闭图形G的边界上的整点（横、纵坐标都是整数）的个数． 【变式训练】（23-24九年级下·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，点P为x轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当点P的横坐标为2时，D为直线上一点，的周长为7是否成立，若成立，请求出D点坐标，若不成立，请说明理由； (3)若直线与y轴交于点M，直线与抛物线交于点Q，连接与y轴交于点H，求的值． 题型22：面积问题(二次函数综合) 【典例精讲】（24-25九年级下·海南海口·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为该抛物线对称轴上一点，求周长的最小值； (3)连接，，求的面积； 在该抛物线上是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标，说明理由． 【变式训练】（2025·广东中山·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图1，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作于点F，轴交直线于点G，求面积的最大值； (3)如图2，点M在线段上（点M不与点O重合），点M、N关于原点对称，射线分别与抛物线交于P、Q两点，连接，若的面积为，四边形的面积为，求的值． 题型23：角度问题(二次函数综合) 【典例精讲】（2025·青海西宁·三模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是抛物线上一点，连接使得，求出点P坐标； (3)如图3，连接与交于点D，是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】（2025·山东·二模）二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数的表达式； (2)若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； (3)若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接，若，求点的坐标． 题型24：特殊三角形问题(二次函数综合) 【典例精讲】（24-25九年级下·江西南昌·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在下方运动时，求面积的最大值； (3)若点F为直线上一点，作点A关于y轴的对称点，连接，，当是直角三角形时，直接写出点F的坐标． 【变式训练】（2024·吉林长春·一模）已知抛物线（，）分别交x轴于点A，点B，交y轴于点C，则称为抛物线L的内接三角形，抛物线L称为的外接抛物线． (1)若抛物线L的内接三角形的面积等于6，且，，．求c的值． (2)若抛物线L的内接三角形是等腰三角形，且，，．求L所表示的函数解析式． (3)如图，若抛物线上有一点P（点P可与点C重合），且．请探究c，n满足什么关系时，使得这样的点P的个数为3． (4)抛物线的内接三角形为钝角三角形．直接写出a的取值范围．（提示：如果抛物线与x轴存在两个交点，则两个交点的横坐标之积为） 题型25：特殊四边形(二次函数综合) 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图，抛物线交x轴于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，交y轴正半轴于点C，且，点P是抛物线对称轴上一动点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P的纵坐标为1，请判断的形状，并说明理由； (3)已知点D在抛物线上，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】（2025·上海·模拟预测）我们称抛物线为的“轮换抛物线”．已知在平面直角坐标系中，抛物线N是抛物线M的“轮换抛物线”． (1)假设M的解析式是（p为常数），抛物线N过点，求抛物线M的顶点坐标． (2)假设M、N和y轴正半轴分别交于点P和，点是线段的一个三等分点（），若M、N都关于同一条直线对称，求该直线的表达式． (3)假设M、N均过和B．以A为起点，向右作和x轴平行的射线，从左到右依次交N、M于点C、D．平面中有一点E，如果四边形是菱形，求点E的坐标． 题型26：相似三角形问题(二次函数综合) 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点． (1)求直线的表达式； (2)若点P在第一象限，连接，交直线于点D，且，求点P的坐标． 【变式训练】（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）如图，抛物线经过点，，连接，点是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作轴的垂线，交于点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，请求出点的坐标； (3)点与点关于轴对称，连接，，，当点运动到什么位置时，的面积最大？求面积的最大值及此时点的坐标． 1．（2024·江苏泰州·中考真题）设一次函数的图象为，二次函数图象的对称轴为l，则关于l对称的图形对应的函数关系式为 ． 2．（2024·江苏扬州·中考真题）若抛物线的顶点坐标为，且形状与相同，开口方向相反，则其表达式为 ． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）抛物线的图像如图所示，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏常州·中考真题）如图所示，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点坐标，过点且垂直轴的直线交抛物线于点．若，则（　　） A． B． C． D． 5．（2024·江苏苏州·中考真题）如图．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)如图1，点是线段上一动点（不与点，重合），连接，将沿翻折，得到四边形，若四边形为菱形，求点的坐标； (3)如图2，点是位于第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值，以及此时点的坐标． 基础夯实 1．（24-25八年级下·重庆·期末）已知抛物线的顶点在第四象限，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·湖北·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，顶点为，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏苏州·二模）当二次函数（且）与有且只有一个交点时，m的取值范围是 ． 4．（2025·江苏徐州·模拟预测）将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的表达式为 ． 5．（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）某网店销售某种文具，每个售价10元，每天可卖30个，为了增加利润，该网店采取了薄利多销的方式，决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每天可多卖10个．已知该种文具每个成本价5元，设该种文具每个降价x元，每天的销售量为y个． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当每个文具降价多少元时，每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 培优拔高 6．（24-25九年级下·上海·自主招生）已知实数x、y满足．记的最大值、最小值分别为．则（  ） A． B．0 C．1 D． 7．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线 分别与二次函数 在直线 左侧的图象和二次函数 6 在直线 左侧的图象交于 两点，若平移直线 长度保持不变，则 的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 8．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知，是抛物线上两点，为线段的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，且设，两点的横坐标分别为， （1）若是抛物线的顶点，则点的坐标是 ； （2）的值为 ． 9．（2025·安徽·模拟预测）已知为二次函数． ①若此二次函数图像开口向下，则a值为 ②在①条件下，若时，满足，则m的值为 10．（2025·浙江丽水·二模）已知二次函数（a是常数且） (1)求二次函数的对称轴； (2)当时，y有最小值，求该二次函数的表达式； (3)已知点为二次函数图象上的两点，设，当，恒有，求t的取值范围． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.6 二次函数（章节复习） （知识梳理+26个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共67题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：二次函数有关概念 2 知识点梳理02：二次函数的解析式 2 知识点梳理03：二次函数的图象与性质 2 知识点梳理04：二次函数的图象与各项系数之间的关系 3 知识点梳理05：二次函数图象的变换 4 知识点梳理06：二次函数与一元二次方程 4 知识点梳理07：二次函数与不等式 4 知识点梳理08：二次函数的应用 5 优选题型 考点讲练 5 题型1：根据二次函数的定义求参数 5 题型2：y=ax²+bx+c的图象与性质 6 题型3：一次函数、二次函数图象综合判断 7 题型4：反比例函数、二次函数图象综合判断 8 题型5：根据二次函数的图象判断式子符号 10 题型6：已知抛物线上对称的两点求对称轴 12 题型7：y=ax²+bx+c的最值 14 题型8：利用二次函数对称性求最短路径 16 题型9：待定系数法求二次函数解析式 19 题型10：抛物线与x轴的交点问题 21 题型11：求x轴与抛物线的截线长 22 题型12：图象法确定一元二次方程的近似根 23 题型13：根据交点确定不等式的解集 24 题型14：图形问题(实际问题与二次函数) 25 题型15：图形运动问题(实际问题与二次函数) 27 题型16：拱桥问题(实际问题与二次函数) 29 题型17：销售问题(实际问题与二次函数) 31 题型18：投球问题(实际问题与二次函数) 32 题型19：喷水问题(实际问题与二次函数) 35 题型20：增长率问题(实际问题与二次函数) 38 题型21：线段周长问题(二次函数综合) 39 题型22：面积问题(二次函数综合) 44 题型23：角度问题(二次函数综合) 50 题型24：特殊三角形问题(二次函数综合) 58 题型25：特殊四边形(二次函数综合) 64 题型26：相似三角形问题(二次函数综合) 69 中考真题 实战演练 74 难度分层 拔尖冲刺 79 基础夯实 79 培优拔高 82 知识点梳理01：二次函数有关概念 (1)定义：一般的，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数. (2)、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数. 知识点梳理02：二次函数的解析式 (1)三类解析式 一般式：(a、b、c是常数，)； 顶点式：()，二次函数的顶点坐标是(h，k)； 交点式：()，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． (2)待定系数法求解析式 ①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）； ②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 知识点梳理03：二次函数的图象与性质 开口 方向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 与 最值 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或)； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或). 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 对称性 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 知识点梳理04：二次函数的图象与各项系数之间的关系 (1)的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下. 的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大. (2)、b的符号共同决定对称轴的位置 当时，，对称轴为y轴；当a、b同号时，，对称轴在y轴左边；当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”） (3)c决定抛物线与轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 知识点梳理05：二次函数图象的变换 (1)图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下： (2)图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式. 知识点梳理06：二次函数与一元二次方程 二次函数()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根. (1)当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；(2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； (3)当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 知识点梳理07：二次函数与不等式 (1)抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集； (2)抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集. 知识点梳理08：二次函数的应用 (1)最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内. (2)面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积. (3)类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题. (4)与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题 题型1：根据二次函数的定义求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）若函数是二次函数，则的值是 ． 【答案】4 【思路点拨】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如的函数称为二次函数”进行求解即可． 【规范解答】解：由题意得： ， 解得：； 故答案为4． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（   ） A．1 B． C．2 D．2或 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【规范解答】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故选：D． 题型2：y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例精讲】（24-25九年级下·四川自贡·阶段练习）已知二次函数，其中，则有最大值为 【答案】 【思路点拨】本题考查二次函数的图象性质及最值的求法，解题的关键是熟练应用二次函数的图象及性质． 根据二次函数的解析式可知图象开口向下，对称轴为直线，根据二次函数的增减性，求出当时，的值即可得到结论． 【规范解答】解：∵，， ∴图象开口向下，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， 即当时，． 故答案为：． 【变式训练】（2023·陕西咸阳·三模）已知抛物线（为常数，且），当时，随的增大而减小，当时，的最大值为4，则的值为（   ） A． B． C．4 D．或4 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得出抛物线的对称轴为直线，再根据当时，随的增大而减小，得，再根据抛物线的增减性得当时，，代入抛物线解析式求值即可． 【规范解答】解：， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∵当时，的最大值是，在对称轴的左边，此时随的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去）， 即的值为． 故选：B． 题型3：一次函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（24-25九年级下·福建福州·期末）已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，由二次函数图象得出a，b，c的大小是解题的关键． 先求出，，再判断一次函数图象即可． 【规范解答】∵二次函数图象开口向上， ∴； ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴； ∵与轴交点在负半轴， ∴．   对于一次函数，，，，故， ∴一次函数图象过二、三、四象限． 故选：D． 【变式训练】（2025·辽宁沈阳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【规范解答】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 题型4：反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（2025·湖北·二模）著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”比如方程的实根可看成函数与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断方程的实数根有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，根据题意可得方程的实根可以看做是函数与函数的图象交点的横坐标，画出两个函数的函数图象，根据函数经过，函数经过，即可确定两个函数的交点个数，进而可得答案． 【规范解答】解：由题意得，方程的实根可以看做是函数与函数的图象交点的横坐标， ∵函数经过，函数经过， ∴由函数图象可知，两个函数在第三象限一定有2个交点，在第一象限有1个交点， ∴两个函数一共有3个交点， ∴方程的实数根有3个， 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级下·山东潍坊·阶段练习）下列各图中有可能是函数和的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【思路点拨】主要考查二次函数和反比例函数图象的有关性质，熟记且灵活掌握是解题的关键．按照a、c的符号分类讨论，逐一排除． 【规范解答】解：当时，函数的图象开口向上，顶点在x轴的上方，函数的图象在一、三象限， 当时，函数的图象开口向上，顶点在x轴的下方，函数的图象在二、四象限， 当时，函数的图象开口向下，顶点在x轴的上方，函数的图象在二、四象限， 当时，函数的图象开口向下，顶点在x轴的下方，函数的图象在一、三象限， 结合图象，四个选项中正确的是AD， 故选：AD． 题型5：根据二次函数的图象判断式子符号 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北襄阳·期中）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路点拨】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴的交点位置可判断①②，由时及与的数量关系可判断③，由时函数取最小值可判断④；根据一元二次方程根与系数的关系，结合与的数量关系可判断⑤． 【规范解答】解：①对称轴在轴右侧， 、异号， ， ， ，故①正确； ②对称轴为直线， ，故②正确； ③ ， ， 当时，， ， ，故③正确； ④根据图象知，当时，有最小值； 当为实数时，有 ， （为任意实数），故④正确； ⑤方程可转化为， 方程的两个之和为， ， 方程的两根之和为，故⑤错误； 故正确的由①有②③④，共个， 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断；①且；②；③；④设直线与抛物线的两个交点横坐标分别为，则．其中结论正确的是 ． 【答案】②④/④② 【思路点拨】本题考查二次函数图象和性质的综合运用，有一定难度，解题的关键是根据图像判断a、b、c的符号，再根据题意表示出a、b、c的关系，最后结合函数与方程，不等式的知识进行解答．根据题意得到a、b、c的关系式，可以用a表示出b、c，进而得到含a的二次函数关系式，结合图像确定符号，对选项逐一判断即可． 【规范解答】抛物线的对称轴为直线，经过点， ∴，， ， ， ， 且，故①错误； 抛物线的对称轴为直线，又经过点， ∴和关于对称轴对称， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线与轴的另一个交点为， 时，， ∴， ∵， ∴， 即，故③错误； 直线与抛物线的两个交点横坐标分别为， 方程0的两个根分别为， ， ，故④正确． 综上分析可知：正确的有②④． 故答案为：②④． 题型6：已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例精讲】（2025·湖北·一模）已知二次函数的图象经过点．当时，x的取值范围为或．下列四个数中可能为k的值是（   ） A． B．0 C．3 D．5 【答案】D 【思路点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征． 由当时，的取值范围为或可得抛物线的对称轴为直线，从而可得与的关系，将代入解析式，用含代数式表示，进而求解． 【规范解答】解：当时，x的取值范围为或． 为抛物线上的点，， ∴ ∴抛物线的对称轴为直线， ， ， ∴， ， 根据题意可得， 解得：， 将代入解析式得， ， ， ∴ ， 四个值中有可能为的是5， 故选：D． 【变式训练】（24-25九年级下·安徽六安·期中）已知抛物线，点，是抛物线上两点，且． （1）抛物线的对称轴为 （用含有的式子表示）； （2）当时，始终满足，则的取值范围是 ． 【答案】 直线 或 【思路点拨】本题考查了抛物线的对称性质，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）令，可求得抛物线与x轴的两个交点坐标，即可求得对称轴； （2）分与两种情况考虑，利用二次函数的图象与性质即可求解． 【规范解答】解：（1）令，则； ∵， ∴； 即抛物线与x轴交于点， ∴抛物线的对称轴为直线； 故答案为：直线； （2）当时，， 抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小， ∵当，且时，始终满足， ∴， 解得：； ∴； 当时，， 抛物线开口向下，抛物线对称轴的右侧，函数值y随自变量的增大而减小； ∵当，且时，始终满足， ∴， 即， ∴； 综上，或； 故答案为：或． 题型7：y=ax²+bx+c的最值 【典例精讲】（22-23九年级下·广东深圳·自主招生）已知正方形的边长为，，分别为、上的点，且满足，则面积的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查正方形的性质、三角形的面积，二次函数等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．设，则．由题意可得构建二次函数的性质即可解决问题． 【规范解答】解：设，则． ， ∵， ∴当时，的面积有最小值，最小值为， 故答案为：． 【变式训练】（2024·浙江杭州·二模）如图1，正方形纸片的边长为2，翻折，使两个直角的顶点重合于对角线上一点，、分别是折痕（如图2）．设，则六边形面积的最大值是 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），二次函数最值问题，本题关键是设出未知数表示六边形面积，把图形问题转化为函数问题，有一定的难度． 由六边形面积正方形的面积的面积的面积．得出函数关系式，进而求出最大值． 【规范解答】解：六边形面积正方形的面积的面积的面积． 由折叠可知，， 又翻折，使两个直角的顶点重合于对角线上一点， 、均为等腰直角三角形 四边形为正方形， 同理，四边形也为正方形， ， 四边形为矩形， 设，，， 则六边形面积 六边形面积的最大值是3． 故答案为：3． 题型8：利用二次函数对称性求最短路径 【典例精讲】（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 【变式训练】（22-23九年级下·广西百色·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解． 【规范解答】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 题型9：待定系数法求二次函数解析式 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线经过边长为2的菱形的三个顶点O，A，C，，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查求二次函数解析式，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，作轴于点H，求出和的长，进而求出点C的坐标，将点A和点C的坐标代入，即可求解． 【规范解答】解：如图，作轴于点H， 菱形边长为2， ， ， ， ， ，， ， 将和代入，得： ， 解得， a的值为． 故选：B． 【变式训练】（2024·山东青岛·一模）已知如图，反比例函数图象上有两点A、B，坐标如图所示，直线经过A、B两点． (1)求出直线的函数关系式； (2)有一个二次函数顶点在A，经过B点，求这个二次函数的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】此题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的综合题，熟练掌握待定系数法是关键． （1）根据反比例函数图象经过A、B两点得到，求出，得到B点的坐标为，再利用待定系数法求出直线的函数关系式； （2）设二次函数的函数关系式为，把B点的坐标代入得到求出，即可得到二次函数的函数关系式． 【规范解答】（1）解：由题意可知，A、B两点的坐标分别为，， ∵反比例函数图象经过A、B两点， ∴， 解得， ∴B点的坐标为， 设直线的函数关系式为，把A、B两点的坐标，代入得到 ， 解得， ∴直线的函数关系式为； （2）∵二次函数顶点在A， ∴可设这个二次函数的函数关系式为， 把B点的坐标代入得到， ， 解得， 解得， ∴二次函数的函数关系式为． 题型10：抛物线与x轴的交点问题 【典例精讲】（2024·贵州遵义·一模）已知二次函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值是3 B．图象的对称轴是直线 C．图象开口向下 D．图象与x轴有两个交点 【答案】A 【思路点拨】本题考查二次函数图象及其性质，涉及抛物线与x轴交点，对称轴，开口方向，二次函数的最值.先将二次函数解析式化为顶点式，即可判断A、B、C，然后计算的值即可判断D． 【规范解答】解：∵， ∴该抛物线开口向上，故C不符合题意； 该函数有最小值3，故A符合题意； 该抛物线对称轴是直线，故B不符合题意； ，则该抛物线与x轴没有交点，故D不符合题意． 故选：A． 【变式训练】（2025·河南郑州·一模）抛物线与轴有两个交点，的取值范围是 ． 【答案】且 【思路点拨】本题主要考查二次函数图象与轴的交点情况与判别式的值之间的关系，根据抛物线与轴有两个交点，得判别式的值大于零，进而即可得到答案． 【规范解答】∵抛物线与轴有两个交点， ∴，解得：， 又∵， ∴且． 故答案是：且． 题型11：求x轴与抛物线的截线长 【典例精讲】（2025·浙江宁波·模拟预测）设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则 的值是（    ） A．6 B．8 C． D．7 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数与轴的交点为，． 首先根据一次函数 的图像交于点 ，可得，然后根据函数的图象与轴仅有一个交点，可得函数与轴的交点为，进而可得，再结合求解即可． 【规范解答】解：一次函数的图象经过点， ，解得：， 当时，，， 当时，， ∵函数 的图像与 轴仅有一个交点， 的图象与轴的交点为， ∴ 又∵， ∴ ， ∴，解得： ∴， 故选：A． 【变式训练】（22-23九年级下·江苏·期末）如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A，点B，则的长度为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，根据对称轴求得的值，解方程，即可求解． 【规范解答】解：∵抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线， ∴ 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，即， 解得：， ∴, ∴， ∴, 故答案为：． 题型12：图象法确定一元二次方程的近似根 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏南通·期末）下表给出了二次函数中的部分对应值，可以估计方程的一个解的取值范围是（   ） … … … … A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了利用二次函数求一元二次方程的解，根据表中的数据可知当时，，当时，，可知当时，对应的值的取值范围是． 【规范解答】解：从表中可以看出： 当时，， 当时，， 当时，对应的值的取值范围是． 故选：C ． 【变式训练】（24-25九年级下·广东珠海·期中）如表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么最接近方程的一个根是（   ） x 1 y A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程的解；由题意知，函数值的绝对值越小，则自变量越接近对应一元二次方程的解，比较函数值的绝对值即可判断． 【规范解答】解：由表知，函数值的绝对值最小，对应的自变量值最接近一元二次方程的一个根， 故选：B． 题型13：根据交点确定不等式的解集 【典例精讲】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，直线和抛物线交于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)求不等式的解集（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)或 【思路点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、图象法求不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入，到，利用待定系数法即可求解； （2）观察二次函数的图象在直线上方时对应的范围即可． 【规范解答】（1）解：代入，到，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由图象得，当或时，， ∴不等式的解集为或． 【变式训练】（2024·浙江·三模）二次函数的部分对应值如下表所示： x 3 4 y m 0 m 则当时，x的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，由表格给出的信息可知，对称轴为直线，利用二次函数的对称性得到当时，或，进而可得二次函数的开口方向以及与x轴的交点坐标，当时，函数图象在x轴下方，据此求出x的取值范围． 【规范解答】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线， 则当时，或， ，在对称轴左侧，y随x的增大而增大， 二次函数的图象开口向下，且与x轴的交点为， 当时，x的取值范围为或， 故选：C． 题型14：图形问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，在一块空地上有一段长为米的旧墙，现在利用旧墙一部分（不超过）和100米长的木栏围成一个矩形菜园． (1)若，求矩形菜园面积的最大值； (2)若木栏增加米，矩形菜园面积的最大值为2800米，则的值为_____． 【答案】(1)矩形菜园面积的最大值为1050平方米 (2) 【思路点拨】本题考查二次函数的实际应用，根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质求最值是解题的关键． （1）设米，根据矩形的面积公式建立二次函数，利用二次函数的性质求最大值； （2）设米，根据矩形的面积公式建立二次函数，利用二次函数的最大值求解即可． 【规范解答】（1）解：设米，，根据题意，得： 矩形菜园面积， ，图像开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为1050平方米． 答：矩形菜园面积的最大值为1050平方米； （2）解：当木栏增加米时，木栏总长为米， 设米，，根据题意，得： 矩形菜园面积， ，图像开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， ∵矩形菜园面积的最大值为2800米， ∴， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图是一个长、宽的矩形花园，现要将它的长缩短，宽增加，则修改后花园的最大面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出修改后的花园面积与x之间的关系式． 先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【规范解答】解：由题意得修改后的花园面积 ， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大，为． 故选：D． 题型15：图形运动问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图1，在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿的方向匀速运动；到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为ts，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查二次函数的图象和性质，由图2可得：当点P运动到点A处时，，由此可得的长，进而可得的长．理解题意，结合图象，运用数形结合的思想是解题的关键． 【规范解答】解：由图2可得：当点P运动到点A处时，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（2025·青海西宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴和轴的正半轴上，，，以，为邻边作矩形.点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动。过点作交于点，连接.设运动时间为秒，记的面积为，求与的函数解析式 【答案】 【思路点拨】此题考查了矩形的性质，求一次函数，二次函数的解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.由四边形是矩形得，，则点的坐标为，求出直线的函数解析式为，然后利用面积公式即可求解； 【规范解答】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为， 延长交轴于点， ∴由图可得，点的横坐标，， ∴，点， 即 ∴， ∴， 故答案为： 题型16：拱桥问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025九年级上·浙江·专题练习）位于我市平远中行镇的秉虹桥，始建于明朝嘉靖年间，是赣粤盐米古道上一颗璀璨的明珠，它是形状大小相同的双孔石拱桥，每个孔内侧呈抛物线型，如图1，当一个孔的水面宽度为10米时，则拱顶离水面的高度为5米，若以一个孔的拱顶为坐标原点，桥面为x轴（不考虑拱部顶端的厚度），竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系如图2，可计算出当一个孔的水面宽度为12米时，则拱顶离水面的高度为（    ）米． A．7.2 B．6.5 C．5.6 D．6 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意，设抛物线的解析式为，又由题意，抛物线过点，从而求出，可得抛物线的解析式为，再由一个孔的水面宽度为12时，可令，求出y即可得解． 【规范解答】解：设抛物线的解析式为， 又由题意，抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当一个孔的水面宽度为12时，令， ∴． 故拱顶离水面的高度为7.2米． 故选：A． 【变式训练】（2025·陕西西安·模拟预测）如图所示，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，抛物线的最高点C离路面的距离是． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式； (2)有一辆大型货运汽车装载某大型设备后高为，宽为．该隧道内设双向车道，那么这辆大型货运汽车能否安全通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过，见解析 【思路点拨】（1）根据函数图象经过顶点和点可以求得该函数的解析式以及确定自变量x的取值范围； （2）根据题意将代入（1）中求得函数值，然后与5比较，即可解答本题． 本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【规范解答】（1）解：设抛物线的解析式为， 函数经过点， ， 解得， 即该抛物线的解析式为； （2）解：该隧道内设双向行车道， 该货车只能走一个车道， 当时，， ， 这辆货车能安全通过． 题型17：销售问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2024·四川成都·模拟预测）立定跳远是体育测试项目之一，立定跳远要求穿轻便、跟脚、防滑、鞋底不太厚的运动鞋．在体育考试前，某商店购进了甲、乙两种运动鞋，已知甲、乙两种运动鞋每双的进价之和为64元，甲种运动鞋每双获利8元，乙种运动鞋每双获利10元，店主第一批购买甲种运动鞋50双、乙种运动鞋60双，一共花费3540元． (1)甲、乙两种运动鞋的进价分别是每双多少元？ (2)由于需求量特别大，第一批运动鞋很快售完，店主第二批购进甲、乙两种运动鞋若干，当甲、乙两种运动鞋保持原有利润时，甲、乙两种运动鞋每天分别可以卖出120双和90双．后来店主决定将甲、乙两种运动鞋的售价同时提高相同的钱数，已知甲、乙两种运动鞋每提高1元每天均少卖出5双，为了每天获取更多利润，店主将两种运动鞋同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)甲运动鞋的进价为30元、乙运动鞋的进价为每双34元 (2)店主将两种运动鞋同时提高6元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润为2220元 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键． （1）根据“店主第一批购买甲种运动鞋50双、乙种运动鞋60双，一共花费3540元”列方程求解； （2）根据“总利润单利润销售数量”列函数关系式，再根据二次函数的性质求解． 【规范解答】（1）解：设甲运动鞋的进价为元， 则：， 解得：， ， 答：甲运动鞋的进价为30元、乙运动鞋的进价为每双34元； （2）解：设店主将两种运动鞋同时提高元时，商店的利润为元， 则：， 当时，有最大值，为2220元， 为了每天获取更多利润，店主将两种运动鞋同时提高6元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润为2220元． 【变式训练】（2024·湖北·模拟预测）某网店销售一款市场上畅销的健身器材壶铃，进价为每个20元，在销售过程中发现，这款壶铃销售单价为30元时，每天卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每天少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． (1)请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价是多少元时，该网店每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价是50元时，该网店每天的销售利润最大，最大利润是1800元 【思路点拨】本题主要考查了列一次函数和二次函数解决销售问题和盈利问题，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质． （1）设销售单价为x元，每天销售量为y个，根据题意列出一次函数解析式即可； （2）假设销售利润为，根据题意列出二次函数解析式，根据二次函数的性质进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设销售单价为x元，每天销售量为y个，根据题意得， ； （2）解：假设销售利润为，根据题意得， ， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下，顶点为最高点，顶点横坐标处取最大值， 此时，， 则（元）， 所以，当销售单价是50元时，该网店每天的销售利润最大，最大利润是1800元． 题型18：投球问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·湖北十堰·三模）郑钦文是我国网球运动员．她在一次击球过程中，在点处发球，将网球从点正上方的点发出，球的运行轨迹是一条抛物线，网球运行的水平距离为时，网球达到最大高度，以点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立如图平面直角坐标系，已知球网与原点的水平距离约为，球网高度为，球场的边界距原点的水平距离约为．设网球运行的高度与运行的水平距离． (1)若时； 求与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）． 判断球能否过网，若能过网，求它的落点离边界的距离；若不能过网，说明理由． (2)若球一定能越过球网（不接触球网），又不出边界（可压边界），直接写出的取值范围． 【答案】(1) 与的关系式为；球能过网，它的落点离边界的距离为米； (2)的取值范围为． 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的应用、解一元一次不等式，掌握待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数解决实际问题是解题关键． （）利用待定系数即可解答； 令二次函数解析式函数值，求出的值，即可得出结论； （）根据球一定能越过球网（不接触球网），又不出边界（可压边界），列出不等式组即可求出结论． 【规范解答】（1）解：由题意得，当时，可得顶点坐标为， 设， ∵在抛物线上， ∴，解得：， ∴与的关系式为； 当时，， ∴球能过网； 当时，， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴它的落点离边界的距离为（米）； （2）解：∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 由于球能越过球网， ∴当时，， 则， 由于不出边界（可压边界）， ∴当时，， 则， ∴的取值范围为． 【变式训练】（2025·陕西汉中·二模）掷实心球是高中阶段学校招生体育考试的选考项目，实心球行进路线是一条抛物线．在体育课上，刘欣同学在练习投实心球时，某次实心球行进高度与水平距离之间的函数关系图象如图所示，掷出时起点处的高度，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)若刘欣投实心球时正前方的点处是一个沙坑距离刘欣最近的边缘，请你判断她此次投出的实心球能否进入沙坑，并说明理由． 【答案】(1) (2)她此次投出的实心球能进入沙坑 【思路点拨】本题考查二次函数的应用．用顶点式求得二次函数的解析式是解决本题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标和点A的坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点A的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式； （2）令，求得合适的的值，与5比较即可得到实心球能否进入沙坑． 【规范解答】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，点A坐标为， 设抛物线的解析式为：， 经过点， ， 解得：， 关于x的函数表达式为：； （2）解：她此次投出的实心球能进入沙坑． 理由：当时，， ， 解得：，不合题意，舍去， ， 她此次投出的实心球能进入沙坑． 题型19：喷水问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·山西临汾·三模）综合与实践 如图，这是一个直角三角形斜坡截面，，，，坡面上有一根标杆（标杆粗细忽略不计，点M在斜坡上且与点B不重合，），现在斜坡点A处安装一个喷水管（高度忽略不计），喷水管喷出的水流呈抛物线形状，建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水流的水平距离x（单位：m）与水流的高度y（单位：m）的变化规律如表： x 0 1 2 3 4 … y 3 3 … (1)求该抛物线的解析式，并写出其顶点坐标． (2)若喷水管喷出的水流恰好经过标杆的顶部点N． ①求标杆的最大高度； ②若点A到M，N两点的距离相等，求点N的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为 (2)①的最大值为；②点的坐标为 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，结合表格数据可得，抛物线的对称轴是直线，则该抛物线的顶点坐标为，故可设该抛物线的解析式为，再将点代入得，解得，进而可以判断得解； （2）①依据题意，设直线的解析式为，又将，代入得，可得直线的解析式为，又设点的坐标为，则的坐标为，故，进而可以判断得解； ②依据题意，过点作于点，连接，又设，则点的坐标为，由得为中点，即，又，则，可得，然后将点的坐标代入抛物线的解析式得，求出后即可判断得解． 【规范解答】（1）解：由题意可得该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的解析式为． 将点代入得，解得， 该抛物线的解析式为，顶点坐标为． （2）解：①设直线的解析式为． 将，代入得解得 即直线的解析式为． 设，则， ， 当时，的最大值为． ②如图，过点作于点，连接，设，则． 由得为中点，即． ， ，即． 将点坐标代入抛物线解析式得， 整理方程得， 解得（舍去），， 故点的坐标为． 【变式训练】（2025·湖北武汉·模拟预测）一个可移动的喷灌架喷射出的水流可以看成抛物线，如图是喷灌架给坡地草坪喷水的平面示意图，喷灌架置于坡地草坪底部点处，喷水头的竖直高度为，当喷射出的水流与点的水平距离为时，达到最高，此时其与水平地面的竖直高度为．在直线坡地草坪上，点与点的水平距离为，与水平地面的竖直高度为． (1)求水流抛物线的解析式； (2)求水流抛物线与直线坡地草坪之间的竖直距离的最大值； (3)已知在点处有一棵竖直高度为的小树．若将喷灌架沿直线坡地草坪向右移动，设其向右水平移动（其中），使其喷射出的水流不被小树遮挡，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用． （1）由顶点设抛物线的解析式为，将点代入求解即可； （2）先求得直线的解析式为，计算，利用二次函数的性质求解即可； （3）由题意得平移后的抛物线可表示为，将点代入，计算即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意可知，水流抛物线的顶点坐标为， 设水流形成的抛物线的解析式为， 将点代入得，， 解得， 水流抛物线的解析式为； （2）解：由题意可知点坐标为， 设直线的解析式为，把代入得， ∴， ∴直线的解析式为， ∴ ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解： 设喷灌架沿直线坡地草坪向右水平移动，则向上移动， 则平移后的抛物线可表示为， 将点代入得，， 解得或． ∴结合图象可得，的取值范围为． 题型20：增长率问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·天津河西·期中）某种商品的价格是200元，准备进行两次降价，若每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y（元）随每次降价的百分率的变化而变化，则y与x之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了列二次函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．根据每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格，列出函数关系式即可求解． 【规范解答】解：若每次降价的百分率都是x，由题意得 ， 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是50元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用．根据题意，得出第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元，再根据两次降价后的价格为元，即可得出与的函数关系式． 【规范解答】解：∵该药品的原价是元，平均每次降价的百分率为， ∴第一次降价后的价格为元， ∴第二次降价后的价格为元， 又∵两次降价后的价格为元， ∴与的函数关系式为：． 故选：D． 题型21：线段周长问题(二次函数综合) 【典例精讲】（2024·河北·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C且，点为抛物线L的对称轴右侧图象上的一点（不含顶点）． (1)a的值为 ，抛物线的顶点坐标为 ； (2)设抛物线L在点C和点P之间的部分（含点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为h，求h关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围； (3)若点的坐标满足时，连接．将直线与抛物线L围成的封闭图形记为G． ①求点P的坐标； ②直接写出封闭图形G的边界上的整点（横、纵坐标都是整数）的个数． 【答案】(1)， (2) (3)①； ②个 【思路点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）令，求出、两点的坐标，再根据求出点的坐标，将点的坐标代入抛物线解析式即可求出，从而确定函数的解析式，可得到抛物线的顶点坐标； （2）当时，；当时，，； （3）①联立方程组，即可求解；②求出直线的解析式为，即可求解． 【规范解答】（1）解：当时，， 解得：或， ，， ， ， ， 将点代入， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点为， 故答案为：，； （2）解：当时，， 解得：或， 点为抛物线的对称轴右侧图像上的一点， ， 当时，； 当时，， ； （3）解：①联立方程组， 解得：或（舍）； 点坐标为； ②设直线的解析式为，将代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 封闭图形的边界上的整点为，，，，，，，，，，共有个． 【变式训练】（23-24九年级下·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，点P为x轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当点P的横坐标为2时，D为直线上一点，的周长为7是否成立，若成立，请求出D点坐标，若不成立，请说明理由； (3)若直线与y轴交于点M，直线与抛物线交于点Q，连接与y轴交于点H，求的值． 【答案】(1) (2)不成立，理由见解析 (3)3 【思路点拨】（1）将，两点代入解析式即可求解； （2）过P作轴,作O关于直线的对称点，连接与交于D，连接，可推出此时，最小．由翻折可得：，进而得在中， ，最小值为， 最小值为 ，据此即可判断； （3）过P作轴交于F，过P作轴交于N，过Q作轴交于E，过Q作轴交于K，设，可推出得，；再证得，；进而得；最后证，即可求解； 【规范解答】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：不成立．理由如下： 过P作轴， 由题意得：当时，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， 作O关于直线的对称点，连接与交于D，连接， 此时最小． 由翻折可得：， ∴， ∴， 当时，， 解得， ∴． ∴， ∴， 在中， ， ∴最小值为， ∴最小值为 ， ∵， ∴的周长不可能为7； （3）解：过P作轴交于F，过P作轴交于N，过Q作轴交于E，过Q作轴交于K， 设， ∴， ∵轴，． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型22：面积问题(二次函数综合) 【典例精讲】（24-25九年级下·海南海口·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为该抛物线对称轴上一点，求周长的最小值； (3)连接，，求的面积； 在该抛物线上是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3) ；点的坐标为或，理由见解析． 【思路点拨】先由题意得出，的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； 交直线于点，利用两点之间线段最短可得出此时的周长最小，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，求出的长则可得出答案； 根据可得出答案； 过点作交抛物线于点，设直线的解析式为，得出，联立直线和抛物线的解析式得，可求出点的坐标；同理求出，即可得出答案， 【规范解答】（1）解：， 点的坐标是， 又对称轴为直线， 设点的坐标是， 则有， 解得：， 点的坐标是， 将点、的坐标代入解析式， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示，当交直线于点P时，的周长最小， 由知，抛物线的对称轴直线是， 当时，， 点的坐标为， ， 又点的坐标是， ， 在中，， 在中，， 周长； （3）解：如下图所示，连接、、， 当时，， 点的坐标是， 点的坐标是，点的坐标是， ，， ， ； 设直线的解析式为， 把点，代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 如下图所示，过点作交抛物线于点， 设直线的解析式为， 把点代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 联立直线和抛物线的解析式可得：， 解得：(与点重合，舍去)或， 点的坐标是 ， ； 如下图所示，过点作直线交抛物线于点， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入解析式，可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 解得：(与点重合，舍去)或， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【变式训练】（2025·广东中山·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)求A，B，C三点的坐标； (2)如图1，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作于点F，轴交直线于点G，求面积的最大值； (3)如图2，点M在线段上（点M不与点O重合），点M、N关于原点对称，射线分别与抛物线交于P、Q两点，连接，若的面积为，四边形的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（1）分别令，，即可求解； （2）由题意得可推出是等腰直角三角形，，求出直线的解析式；设，则，可得，根据 即可求解； （3）设，则，分别求出直线和的解析式，与抛物线方程联立可得，；据此即可求解； 【规范解答】（1）解：令，则； 令，则，解得； ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为 ∴， 解得， ∴， 设，则， ∴， ∴ ， ∴当最大时，的面积最大； 当时，有最大值，的面积有最大值； （3）解：设，则， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴， 同理可求直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； ∵， ∴，， ∴． 题型23：角度问题(二次函数综合) 【典例精讲】（2025·青海西宁·三模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是抛物线上一点，连接使得，求出点P坐标； (3)如图3，连接与交于点D，是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【思路点拨】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，熟练掌握数形结合与分类讨论思想，以及方程建模是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）过P作轴于H，证明是等腰直角三角形，得到，设，分P在x轴上方时和P在x轴下方时，利用坐标与图形性质列方程求解m值即可解答； （3）先利用待定系数法求得直线的函数表达式为，设，分当点D在线段上时，当点D在延长线上、当点D在延长线上，三种情况，过P作轴于H，交于Q，则轴，，证明得到，则，利用坐标与图形性质列方程求得m值即可解答． 【规范解答】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过P作轴于H，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是， ∴， 当P在x轴上方时，有， 解得或（与B重合，舍去）， ， ∴； 当P在x轴下方时，有， 解得或（与B重合，舍去）， ， ∴， 综上，点P的坐标为或； （3）解：存在． 设直线的函数表达式为 ∵，， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 设， 如图，当点D在线段上时，过P作轴于H，交于Q，则轴，， ∴， ∴，则， ∴， 解得或， ∴或， ∴或； 当点D在延长线上，如图， 同理可证， ∴，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴． 当点D在延长线上，如图， 同理可证， ∴，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴或， ∴． 综上，点P坐标为或或或． 【变式训练】（2025·山东·二模）二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数的表达式； (2)若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； (3)若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【思路点拨】（1）利用待定系数法解答即可； （2）分两种情况：若点B恰好落在轴上；若点C恰好落在轴上，利用平移的性质解答即可； （3）分三种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵二次函数的图象过点，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：若点B恰好落在轴上， ∵， ∴线段向下平移个单位， ∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，， 解得：（不符合题意）， 此时点C的坐标为； 若点C恰好落在轴上， ∵， ∴线段向下平移4个单位， ∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，， 解得：， 此时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或； （3）解：∵， ∴可设，则， ∴点F的坐标为或 设直线的解析式为， ∴，或 解得：或 ∴直线的解析式为或， ∴， 由旋转的性质得：， 如图，过点E作，交直线于点P，过点A，P作分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，则，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴此时点C的坐标为； 如图，过点E作，交直线于点P，作轴，过点A，P作分别作x轴的平行线，交于点M，N，则，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P到y轴的距离为， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点E的坐标为， 同理直线的解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴此时点C的坐标为； 如图，过点E作，交直线于点P，作轴，过点A，P作分别作x轴的平行线，交于点M，N，则，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P到y轴的距离为， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点E的坐标为， 同理直线的解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴此时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或． 题型24：特殊三角形问题(二次函数综合) 【典例精讲】（24-25九年级下·江西南昌·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在下方运动时，求面积的最大值； (3)若点F为直线上一点，作点A关于y轴的对称点，连接，，当是直角三角形时，直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】（1）先求出B，C两点坐标，再代入抛物线解析式中，即可求出解析式； （2）过点P作轴交于点G，设，则，表示长，进而表示面积求最大值； （3）先求得，根据勾股定理分别表示出，，，根据是直角三角形时，分类讨论，即可求解． 【规范解答】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点， 在中，当时，得：， 解得：； 当时，得：， ∴，， 将点B，C的坐标分别代入抛物线，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：过点P作轴交于点G，如图1， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，最大值为； （3）解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边）， 当时，得：， 解得：，， ∴， ∵是关于y轴的对称点， ∴， 如图2， 设， ∵，， ∴，，， 当时，由勾股定理得：， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 当时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，当是直角三角形时，或． 【变式训练】（2024·吉林长春·一模）已知抛物线（，）分别交x轴于点A，点B，交y轴于点C，则称为抛物线L的内接三角形，抛物线L称为的外接抛物线． (1)若抛物线L的内接三角形的面积等于6，且，，．求c的值． (2)若抛物线L的内接三角形是等腰三角形，且，，．求L所表示的函数解析式． (3)如图，若抛物线上有一点P（点P可与点C重合），且．请探究c，n满足什么关系时，使得这样的点P的个数为3． (4)抛物线的内接三角形为钝角三角形．直接写出a的取值范围．（提示：如果抛物线与x轴存在两个交点，则两个交点的横坐标之积为） 【答案】(1)或； (2)或或或． (3)； (4)． 【思路点拨】（1）根据、坐标求出长度，结合三角形面积公式求． （2）分三种等腰情况（、、），用勾股定理求，进而得抛物线解析式． （3）先求、面积，根据面积关系得点纵坐标绝对值，结合抛物线顶点纵坐标，分析点个数为时与的关系． （4）先求、横坐标之积，确定、位置，再根据钝角三角形性质分情况求的范围． 【规范解答】（1）解：，， ， ， ， ， 或； （2）解：，，， ， ， ， 当时，，方程无解． 当时，， 或． 当时，设抛物线解析式为，把代入得， ， ∴解析式为； 当时，设抛物线解析式为，把代入得， ， ∴解析式为． 当时，，解得或． 当时，设抛物线解析式为， 把代入得， ， ∴解析式为． 当时，设抛物线解析式为， 把代入得， ， ∴解析式为． 综上，L所表示的函数解析式为或或或． （3）解：， ∴顶点坐标为， 、是抛物线与轴交点，令，即， ， 设两根为，，则， ， ， ， ， ， 当时，方程，即， ， 当时，方程，即， ， 要使点个数为，则时方程有一个解，时方程有两个解，即，且 ∵， ∴， 由得，即， ∴； （4）解：对于抛物线， 令，则， 设两根为，，则， 抛物线与轴有两个交点， ，即， 又为钝角三角形，且， 当时，，、在轴同侧， 此时为钝角，根据勾股定理，， ， 展开得，即， ，无解； 当时，，、在轴两侧， 此时为钝角，根据勾股定理，， 同理可得， ， ， ∵， ∴， ， 综上，． 题型25：特殊四边形(二次函数综合) 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图，抛物线交x轴于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，交y轴正半轴于点C，且，点P是抛物线对称轴上一动点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P的纵坐标为1，请判断的形状，并说明理由； (3)已知点D在抛物线上，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形．理由见解析 (3)存在，点Q的坐标为或或． 【思路点拨】（1）先求得，推出，，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得，过点C作直线的垂线，垂足为M，设直线与x轴的交点为N，证明，即可推出是等腰直角三角形； （3）设点P的坐标为，点Q的坐标为，根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式分三种情况讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：在中， 令，得． ∴， ∴． 又， ∴，． ∴，， 将，代入， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为； （2）解：是等腰直角三角形． 理由如下： 抛物线的对称轴为直线． ∴， 如图，过点C作直线的垂线，垂足为M，设直线与x轴的交点为N，    ∴． ∵，，， ∴，，，． 在和中，， ∴， ∴，． 又， ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形； （3）解：设点P的坐标为，点Q的坐标为， ∵，对称轴为直线，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式可得： ①当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； ②当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； ③当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； 综上，点Q的坐标为或或． 【变式训练】（2025·上海·模拟预测）我们称抛物线为的“轮换抛物线”．已知在平面直角坐标系中，抛物线N是抛物线M的“轮换抛物线”． (1)假设M的解析式是（p为常数），抛物线N过点，求抛物线M的顶点坐标． (2)假设M、N和y轴正半轴分别交于点P和，点是线段的一个三等分点（），若M、N都关于同一条直线对称，求该直线的表达式． (3)假设M、N均过和B．以A为起点，向右作和x轴平行的射线，从左到右依次交N、M于点C、D．平面中有一点E，如果四边形是菱形，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数与几何综合，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法即可解答； （2）根据题意得到，然后利用，可得，代入即可解答； （3）利用菱形的性质分别表示出点的坐标，再列方程求出的值即可解答． 【规范解答】（1）解：M的解析式是， 的解析式是 把点代入， 得， M的解析式是， 则顶点坐标为； （2）解：对称轴相同 ， 由题可得：与轴交于点，与轴交于点， 点是线段的一个三等分点（）， ， ， 即 ∴对称轴的表达式为 （3）解：∵M，N过， ， 则， （舍去），， ∴， 当，即时， 则M过A，B，D，开口朝下，与不符合，故舍去； 当，则则，两函数是同一函数，此时重合，无法组成菱形，故舍去； 当，即时， 把代入，可得， 解得（舍去）或， ∴ 为菱形， ，， ∴，， ∴，即， 解得（舍去）， ∴ ∴． 题型26：相似三角形问题(二次函数综合) 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点． (1)求直线的表达式； (2)若点P在第一象限，连接，交直线于点D，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【思路点拨】（1）根据题意，得，解得，得到，利用待定系数法解答即可； （2）过点P作轴，交于点E， 得，列比例式为，设，则，继而确定，结合已知，转化为方程解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，解方程，三角形相似的判定和性质，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据题意，得， 解得， 故， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：； （2）解：如图，过点P作轴，交于点E， ∴， ∴， 点P是抛物线上第一象限内图象上一点， 设， ∵直线的解析式为， ∴， 解得 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理，得， 解得， 故或． 【变式训练】（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）如图，抛物线经过点，，连接，点是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作轴的垂线，交于点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，请求出点的坐标； (3)点与点关于轴对称，连接，，，当点运动到什么位置时，的面积最大？求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或 (3)面积的最大值是8，点P的坐标是． 【思路点拨】（1）把点，，代入解析式，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，当时，即可求解； （3）设的延长线交与点N，求出直线的表达式为：，然后设点，则），得，再根据二次函数的性质，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过点，， 把点，代入解析式得： ， 解得， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：设， 当时，则有轴，如图， ∴点P的纵坐标为2， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 当时，过点P作轴，垂足为M，如图， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴=， 即， 解得：（舍）或， ∴， 综上所述，当以为顶点的三角形是直角三角形时，点P的坐标为或； （3）解：设的延长线交与点N， ∵，点C与点B关于x轴对称， ∴， 设直线的表达式为：， 把A，C代入得： ， 解得， ∴直线的表达式为：， 设点，则）， ∴ ∴， ∵， ∴有最大值，且， ∴当时，的面积最大，最大面积是8， 此时，， 综上所述，面积的最大值是8，点P的坐标是． 1．（2024·江苏泰州·中考真题）设一次函数的图象为，二次函数图象的对称轴为l，则关于l对称的图形对应的函数关系式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、坐标与图形变化—轴对称，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据一次函数的性质可得经过点和，根据二次函数的性质得到l为直线，求出点和关于l对称的点坐标分别为和，由对称性可得是一次函数，再利用待定系数法即可求出对应的函数关系式． 【规范解答】解：对于， 当时，；当时，则，解得； ∴经过点和， ∵二次函数图象的对称轴为l， ∴l为直线， ∴点和关于l对称的点坐标分别为和， ∵是关于l对称的图形， ∴是一次函数，且经过点和， 设的函数关系式为， 代入点和，得， 解得， ∴的函数关系式为， 故答案为：． 2．（2024·江苏扬州·中考真题）若抛物线的顶点坐标为，且形状与相同，开口方向相反，则其表达式为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，掌握关系式中系数的含义是解题的关键． 首先思考二次函数图像与系数之间的关系，知影响图像开口方向和大小，可确定值；其顶点坐标为，可得的值，即可求出了该函数解析式． 【规范解答】解：因为抛物线的形状与相同，开口方向相反， 所以， 所以， 因为顶点坐标为， 所以把，代入中，得， 所以抛物线得表达式为． 故答案为：． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）抛物线的图像如图所示，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查抛物线图像的识别问题，熟悉二次函数图像的相关性质是解题的关键． 根据图像可知与轴的交点坐标为，得到，根据开口及对称轴可确定，，由此可判断A、B，再根据对称轴可判断C；最后由图知时，可确定D． 【规范解答】由图知，抛物线开口向上，， 对称轴，， 又抛物线与轴的交点坐标为，，故A错误； ，故B错误； 又对称轴，，即，故C错误； 由图可知时，，故D正确． 故选：D． 4．（2024·江苏常州·中考真题）如图所示，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点坐标，过点且垂直轴的直线交抛物线于点．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用三角形的面积求参数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 连接，假设，根据二次函数图象和性质表示出相关点的坐标，利用等面积法，列出方程求解即可． 【规范解答】解：如图所示，连接， 由点坐标，得， 当时，，即， 假设， ∴， ， ， ∴ 即， 整理得， 将代入得， ， 解得或， ∵点位于正半轴， ∴， 解得， ∴符合题意， 故选：A． 5．（2024·江苏苏州·中考真题）如图．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)如图1，点是线段上一动点（不与点，重合），连接，将沿翻折，得到四边形，若四边形为菱形，求点的坐标； (3)如图2，点是位于第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值，以及此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)最大值4，点的坐标为 【思路点拨】（1）将，代入，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；设直线，代入即可求解； （2）由题意得，设点坐标为，则，求解即可； （3）设点，则点的坐标为，得，即可求解. 【规范解答】（1）解：将点，代入，得， ， ； 设直线．将点，代入可得． ， ； （2）如图1，将沿翻折，得到四边形． ，，四边形为菱形， ， 点在直线上， 可设点坐标为． ， ，解得或（舍去）， 点； （3）如图2， 点在抛物线上， 可设点， 点的坐标为， ， ， 抛物线开口向下， 当时，线段有最大值，最大值为4，此时点的坐标为． 基础夯实 1．（24-25八年级下·重庆·期末）已知抛物线的顶点在第四象限，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，点的坐标特征，由题意可得抛物线的顶点坐标为，再根据点的坐标特征即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在第四象限， ∴，， 故选：B． 2．（2025·湖北·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，顶点为，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象以及顶点坐标找出、、之间的关系是解题的关键．根据二次函数的图象以及顶点坐标，分别找出 、、 之间的关系， 对照 4 条结论判断其正确与否， 由此即可得出结论． 【规范解答】解：抛物线开口向上， ， 对称轴在轴左边， ， 抛物线与轴的交点在轴的上方， ， ， 结论不正确； 二次函数的图象与轴只有一个交点， ， 即， 结论正确； 对称轴， ， ， ， ， 根据函数图象可知， ， 结论正确； 对称轴是，而且时，， 时，， ， 结论正确． 综上分析，正确结论的个数是个． 故选：C． 3．（2025·江苏苏州·二模）当二次函数（且）与有且只有一个交点时，m的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，正比例函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，画出函数图象，数形结合是解题的关键．根据题意画出函数图象，求出当二次函数经过点时，m的值，再结合函数图象，即可得出答案． 【规范解答】解：画出函数的图象，如图所示： 把代入得：， 解得：， ∵（且）与有且只有一个交点， ∴m的取值范围是． 故答案为：． 4．（2025·江苏徐州·模拟预测）将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的表达式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了函数图象的平移，根据图象的平移规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式即可． 【规范解答】解：将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的解析式为． 故答案为：． 5．（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）某网店销售某种文具，每个售价10元，每天可卖30个，为了增加利润，该网店采取了薄利多销的方式，决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每天可多卖10个．已知该种文具每个成本价5元，设该种文具每个降价x元，每天的销售量为y个． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当每个文具降价多少元时，每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)每盒降1元时，每星期的销售利润最大，最大利润160元 【思路点拨】本题考查二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数解决最值问题． （1）根据每降价1元，每天可多卖10个，列出函数关系式即可； （2）设每天利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题． 【规范解答】（1）解：根据题意得：， ∵该种文具每个成本价5元，每个售价10元， ∴； 即y与x之间的函数关系式为； （2）解：设每天利润为W元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，W取得最大值，最大值为160， 答：每盒文具降1元时，每天的销售利润最大，最大利润160元． 培优拔高 6．（24-25九年级下·上海·自主招生）已知实数x、y满足．记的最大值、最小值分别为．则（  ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式的变形及应用，利用二次函数解决最值问题，解题的关键是掌握完全平方公式的巧妙变形及换元思想． 根据完全平方公式得出，，令，，则，利用二次函数的性质进行求解即可． 【规范解答】解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， 令，，则， 可令，看作是二次函数， ∵， ∴抛物线顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， 此时，，符合题意， ∴最大值为； 当时，； 当时，； ∴的最小值为0， ∴， 故选：D． 7．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线 分别与二次函数 在直线 左侧的图象和二次函数 6 在直线 左侧的图象交于 两点，若平移直线 长度保持不变，则 的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数的综合运用，平移的性质以及函数图象交点的问题，由条件向上平移直线时，交点位置随之变化，交点间的距离始终不变，即直线与经过顶点的直线平行时，满足条件，由此可求出的值． 【规范解答】解：， ∴与的交点坐标由 求出，与的交点坐标由  求出， 又∵向上平移直线时，交点位置随之变化，交点间的距离始终不变， ∵抛物线的顶点坐标分别为，，设经过这两个顶点的直线的表达式为， 则 ，解得 ， 则该直线的表达式为， 当直线与直线平行时，满足条件， ， 故选： B． 8．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知，是抛物线上两点，为线段的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，且设，两点的横坐标分别为， （1）若是抛物线的顶点，则点的坐标是 ； （2）的值为 ． 【答案】 【思路点拨】若是抛物线的顶点，则点，则，即可求解； 将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，即可求解． 本题考查的是二次函数图象上点的特性，确定点、的坐标是解题的关键． 【规范解答】解：若是抛物线的顶点，则点， 为线段的中点， 则， 解得：， 则点， 故答案为：； 由题意得，点、的坐标分别为：、，则点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， ， 则的值为， 故答案为：． 9．（2025·安徽·模拟预测）已知为二次函数． ①若此二次函数图像开口向下，则a值为 ②在①条件下，若时，满足，则m的值为 【答案】 3 【思路点拨】该题考查了二次函数的定义、解一元二次方程、二次函数的最值． ①根据题意得出且，求解即可． ②根据题意得出当时，，当时，，求解即可． 【规范解答】解：∵为二次函数， ∴， ∴， 解得：或， ①若此二次函数图像开口向下，则， ∴． 故答案为：． ②根据①知， ∴当时，， 当时，， ∵当时，满足， ∴当时，， ∴， 解得：或（舍去）， 故答案为：3． 10．（2025·浙江丽水·二模）已知二次函数（a是常数且） (1)求二次函数的对称轴； (2)当时，y有最小值，求该二次函数的表达式； (3)已知点为二次函数图象上的两点，设，当，恒有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了二次函数解析式的求解，还考查了函数性质的综合应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）利用二次函数对称轴公式求解即可； （2）由最小值条件解出a的值，得到函数表达式； （3）根据二次函数性质推导出的解集，求出t的范围即可． 【规范解答】（1）解：∵二次函数 ∴抛物线顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； （2）解：∵二次函数，，对称轴， ∴在内离对称轴越远的点，函数值越小： ∵， ∴当时，取值最小值， ∴ 解得：， 此时函数为． （3）解：∵二次函数，，对称轴， ∴ 当时，函数y随x的增大而减小，的最大值为：当时，最大值为． 恒有，则有， ∴， ∵， ， 解得， ∵， ∴且， ∴． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $