专题5.2 二次函数的图形和性质（知识梳理+17个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题）-2025-2026学年苏科版数学九年级下册同步培优精编讲练

专题5.2 二次函数的图形和性质 （知识梳理+17个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与y=a（x-h)²+k之间的相互关系: 2 知识点梳理02：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的画法 2 知识点梳理04：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的平移 3 知识点梳理05：二次函数y=ax2+bx+c图象和性质 4 优选题型 考点讲练 5 题型1：y=ax²的图象和性质 5 题型2：y=ax²+k的图象和性质 5 题型3：y=a(x-h)²的图象和性质 5 题型4：y=a(x-h)²+k的图象和性质 5 题型5：把y=ax²+bx+c化成顶点式 6 题型6：画y=ax²+bx+c的图象 6 题型7：y=ax²+bx+c的图象与性质 7 题型8：二次函数图象与各项系数符号 7 题型9：一次函数、二次函数图象综合判断 8 题型10：反比例函数、二次函数图象综合判断 8 题型11：两个二次函数图象综合判断 9 题型12：根据二次函数的图象判断式子符号 10 题型13：已知抛物线上对称的两点求对称轴 10 题型14：根据二次函数的对称性求函数值 11 题型15：y=ax²+bx+c的最值 12 题型16：利用二次函数对称性求最短路径 12 题型17：二次函数图象的平移 12 中考真题 实战演练 13 难度分层 拔尖冲刺 14 基础夯实 14 培优拔高 15 知识点梳理01：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与y=a（x-h)²+k之间的相互关系: 1. 顶点式化成一般式 2. 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 3. 一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 知识点梳理02：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 注意：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 知识点梳理03：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象和性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 知识点梳理04：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的平移 （1）上下平移 若原函数为 注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。 （2）左右平移 若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。 知识点梳理05：二次函数y=ax2+bx+c图象和性质 a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 题型1：y=ax²的图象和性质 【典例精讲】（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中、、，抛物线经过区域（包括边界），则a的取值范围是（   ） A．或a≥2 B．或 C．或 D． 【变式训练】（24-25九年级下·重庆·开学考试）对于二次函数，已知当x由1增加到2时，函数值减少6，则常数a的值是 ． 题型2：y=ax²+k的图象和性质 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）若二次函数的图象上有两个点，则 （填“”或“”或“”）． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·期末）已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 题型3：y=a(x-h)²的图象和性质 【典例精讲】（2025·上海·模拟预测）若二次函数的顶点在轴上，则的值为 ． 【变式训练】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 题型 4：y=a(x-h)²+k的图象和性质 【典例精讲】（23-24九年级上·重庆江津·期中）二次函数图象的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·甘肃武威·模拟预测）抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 题型 5：把y=ax²+bx+c化成顶点式 【典例精讲】（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）已知二次函数，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．函数的最大值为 C．当时，y随x的增大而减小 D．若，则 【变式训练】（2022·广东佛山·模拟预测）抛物线的顶点坐标是 ． 题型6：画y=ax²+bx+c的图象 【典例精讲】（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）已知二次函数的y与x的部分对应值如表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，；④方程有两个相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知二次函数 (1)用配方法将化为的形式；并写出对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)直接写出当取何值时，随的增大而减小？ 题型7：y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例精讲】（2023·上海普陀·一模）已知抛物线的对称轴是直线，那么的值等于 ． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知点，，在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型8：二次函数图象与各项系数符号 【典例精讲】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，抛物线与某一直线交于，两点，其中抛物线的对称轴为直线，设点坐标为，点坐标为，则对于过平面直角坐标系上的两点、的直线一定不过（   ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练】（2025·山东青岛·模拟预测）已知抛物线的对称轴为，与x轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，有下列结论：①；②； ③若，，是抛物线上的三点，则；④对于抛物线上任意一点，不等式恒成立．其中正确结论的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 题型9：一次函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．    B．   C．   D．   【变式训练】（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）对于三个数，用表示这三个数中最大的数．例如：， ，那么的最小值为 ． 题型10：反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·安徽滁州·三模）已知一次函数与反比例函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型11：两个二次函数图象综合判断 【典例精讲】（2022·四川绵阳·三模）抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 【变式训练】（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 题型12：根据二次函数的图象判断式子符号 【典例精讲】（2025·陕西·模拟预测）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，以下结论：①；②；③；④若是抛物线上两点，则．其中说法正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【变式训练】（2025·湖北·一模）已知抛物线与轴交于点，对称轴为直线，与轴的交点在，之间(包含端点)，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 题型13：已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例精讲】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，对称轴为直线 (1)若求的值； (2)已知点，在该抛物线上，且比较的大小，并说明理由． 【变式训练】（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，是抛物线 上任意两点．设抛物线的对称轴为． （1）若对于，有，则 ； （2）若对于，都有，则t的取值范围为 ． 题型14：根据二次函数的对称性求函数值 【典例精讲】（2025·甘肃酒泉·一模）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表： 从表可知，下列说法中正确的是 填写序号 ①抛物线与轴的一个交点为； ②函数的最大值为； ③抛物线的对称轴是直线； ④在对称轴左侧，随增大而增大． 【变式训练】（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线．点在抛物线上，点在抛物线上． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)若对于，都有，求的取值范围． 题型15：y=ax²+bx+c的最值 【典例精讲】（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）二次函数，其中，则y的取值范围是 ． 【变式训练】（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于 题型16：利用二次函数对称性求最短路径 【典例精讲】（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则的最小值是 ．    【变式训练】（23-24九年级下·浙江温州·自主招生）如图，矩形中，，，为的平分线，F为上一动点，点M为的中点，连接，则的最小值是 ． 题型17：二次函数图象的平移 【典例精讲】（25-26九年级下·山东菏泽·阶段练习）将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线解析式为 ． 【变式训练】（2025·青海西宁·三模）将的函数图象向左平移个单位长度后，得到的函数解析式是（ ） A． B． C． D． 1．（2024·江苏扬州·中考真题）已知二次函数，当时，的最大值为3，则的值为 ． 2．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，正确的有 ．（填写序号） 3．（2024·江苏宿迁·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏连云港·中考真题）已知二次函数(m为常数)，函数值y的最大值为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏徐州·中考真题）已知抛物线 (1)当时，有求的值； (2)当时，有且求m的值． 基础夯实 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）抛物线的开口向 ．（填“上”或“下”） 5．（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”表示）． 6．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后得到的抛物线的解析式是 ． 7．（25-26九年级上·山西忻州·阶段练习）已知点，在二次函数的图象上，则y1，y2的大小关系是： （填“”，“”或“”）． 8．（24-25九年级下·四川巴中·阶段练习）把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线的顶点为M，求 (1)a，h的值； (2)的值． 9．（24-25九年级下·江苏连云港·期末）已知二次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)若三点，，且，则，，的大小关系为 ． (3)把所画的图象如何平移，可以得到函数 的图象?请写出一种平移方案． 10．（24-25九年级下·浙江金华·开学考试）已知二次函数的图象经过点． (1)求和的关系式； (2)当时，函数有最小值，求的值； (3)若时，将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（点在轴的左侧）．当时，求的值． 培优拔高 11．（2025·浙江丽水·二模）已知二次函数（a，m，k为常数，），若该函数过点和点，则实数k，s，t的大小关系可能是（   ） A．时时 B．时时 C．时时 D．时时 12．（2025·甘肃酒泉·三模）已知，，为非负实数，且，则代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级下·山东日照·阶段练习）已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论：①点B的坐标为；②；③；④点在抛物线上，当时，则，其中正确的序号为 15．（2025·安徽淮南·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点C，点C的纵坐标为4，直线与x轴交于点，与y轴交于点M，B为直线上一点，横坐标为，过点B作轴于点D，交反比例函数的图象于点H，G为反比例函数图象上一动点，过点G作于点E，作交y轴于点F． （1） ； （2）若点G在点C，H之间（不与点C，H重合）运动，当面积取得最大值时，的长为 ． 16．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心作：．若抛物线与⊙O有且只有两个交点，且抛物线不从内部穿过，则的取值范围（用表示）为 ． 17．（2025·安徽·模拟预测）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为． （1）函数的图象上的“倍值点”是 ． （2）若关于的函数的图象上有两个“倍值点”，则的取值范围是 ． 18．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，抛物线L：（为常数），当抛物线L经过点，时． （1）抛物线L的顶点坐标为 ． （2）若时，函数的最大值与最小值的差总为，n的取值范围 ． 19．（2025·湖南湘西·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，我们给出一个“积值”的定义： 点是函数图象上任意一点，横坐标与纵坐标的乘积称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)已知点是函数图象上一点，则点在该函数图象上的“积值”为______； (2)求点在函数图象上的“积值”； (3)已知点在函数（为常数，且）的图象上，当时，点在函数图象上的“积值”的最小值为，求的值． 20．（2024·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”，例如都是“黎点”．如果一个点的横坐标是纵坐标的两倍，则称该点为“横倍点”，例如都是“横倍点”． (1)求双曲线上的“黎点”； (2)函数，过（1）中函数的“黎点”和“横倍点”，且与坐标轴构成的三角形的面积为18，求“横倍点”P的坐标． (3)若抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，求c的取值范围． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 二次函数的图形和性质 （知识梳理+17个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与y=a（x-h)²+k之间的相互关系: 2 知识点梳理02：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的画法 2 知识点梳理04：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的平移 4 知识点梳理05：二次函数y=ax2+bx+c图象和性质 4 优选题型 考点讲练 5 题型1：y=ax²的图象和性质 5 题型2：y=ax²+k的图象和性质 6 题型3：y=a(x-h)²的图象和性质 7 题型4：y=a(x-h)²+k的图象和性质 8 题型5：把y=ax²+bx+c化成顶点式 9 题型6：画y=ax²+bx+c的图象 9 题型7：y=ax²+bx+c的图象与性质 11 题型8：二次函数图象与各项系数符号 12 题型9：一次函数、二次函数图象综合判断 15 题型10：反比例函数、二次函数图象综合判断 17 题型11：两个二次函数图象综合判断 19 题型12：根据二次函数的图象判断式子符号 22 题型13：已知抛物线上对称的两点求对称轴 24 题型14：根据二次函数的对称性求函数值 26 题型15：y=ax²+bx+c的最值 28 题型16：利用二次函数对称性求最短路径 30 题型17：二次函数图象的平移 33 中考真题 实战演练 34 难度分层 拔尖冲刺 38 基础夯实 38 培优拔高 44 知识点梳理01：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与y=a（x-h)²+k之间的相互关系: 1. 顶点式化成一般式 2. 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 3. 一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 知识点梳理02：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 注意：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 知识点梳理03：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象和性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 知识点梳理04：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的平移 （1）上下平移 若原函数为 注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。 （2）左右平移 若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。 知识点梳理05：二次函数y=ax2+bx+c图象和性质 a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 题型1：y=ax²的图象和性质 【典例精讲】（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中、、，抛物线经过区域（包括边界），则a的取值范围是（   ） A．或a≥2 B．或 C．或 D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．二次函数的二次项系数决定了抛物线开口的方向和开口的大小，，开口向上，，开口向下，越大，开口越小，据此分两种情况讨论即可． 【规范解答】解：如图所示： 分两种情况进行讨论： 当时， 抛物线经过点时，，抛物线的开口最小，取得最大值， 抛物线经过区域（包括边界）， 的取值范围是：； 当时， 抛物线经过点时，，抛物线的开口最小，取得最小值， 抛物线经过区域（包括边界）， 的取值范围是：； 综上，抛物线经过区域（包括边界），则a的取值范围是或， 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级下·重庆·开学考试）对于二次函数，已知当x由1增加到2时，函数值减少6，则常数a的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，分别代入的值，再相减是解题的关键．分别计算出自变量为1和2时的函数值，再利用函数值减少6，列方程，然后解此一元一次方程即可． 【规范解答】解：当时，； 当时，， 所以，解得． 故答案为：． 题型2：y=ax²+k的图象和性质 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）若二次函数的图象上有两个点，则 （填“”或“”或“”）． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查二次函数的性质．对于开口向上的函数，距离对称轴越近，值越小． 根据二次函数图象的增减性即可解答． 【规范解答】解：的对称轴为直线，开口方向向上，顶点为． ∵对于开口向上的函数，距离对称轴越近，值越小，比离对称轴的距离近， ∴． 故答案为． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·期末）已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查二次函数求最值，根据二次函数的增减性进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，有最小值为； 故答案为： 题型3：y=a(x-h)²的图象和性质 【典例精讲】（2025·上海·模拟预测）若二次函数的顶点在轴上，则的值为 ． 【答案】13 【思路点拨】本题考查了二次函数的顶点坐标，轴上点的坐标特征，先把二次函数的解析式转化为顶点式，求出顶点坐标，再根据轴上点的坐标特征即可求解，利用配方法把二次函数的解析式转化为顶点式求出顶点坐标是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵二次函数的顶点在x轴上， ∴， ∴． 故答案为：13． 【变式训练】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【思路点拨】此题考查了二次函数的性质．把点的坐标代入函数解析式求出，，即可得到答案． 【规范解答】解；∵点和点在二次函数的图象上， ∴，， ∴， 故选：C 题型 4：y=a(x-h)²+k的图象和性质 【典例精讲】（23-24九年级上·重庆江津·期中）二次函数图象的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确的顶点坐标为． 根据顶点式的意义直接解答即可． 【规范解答】解：二次函数的图象的顶点坐标为． 故选：C． 【变式训练】（2025·甘肃武威·模拟预测）抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质．根据抛物线的顶点坐标为进行求解即可． 【规范解答】解：由题意得，抛物线的顶点坐标为． 故选：C． 题型 5：把y=ax²+bx+c化成顶点式 【典例精讲】（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）已知二次函数，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．函数的最大值为 C．当时，y随x的增大而减小 D．若，则 【答案】D 【思路点拨】本题考查二次函数的图象和性质，先将二次函数一般式化为顶点式，得出开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，即可得出正确答案． 【规范解答】解： ， 顶点坐标为，函数图象开口向上，对称轴为直线，函数的最小值为， 当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 若，则， 综上可知，选项D结论正确，选项A，B，C结论错误， 故选：D． 【变式训练】（2022·广东佛山·模拟预测）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的一般式与顶点式之间的转换是解题的关键，利用配方法将二次函数的一般式转换成顶点式，根据顶点式的特点即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 题型6：画y=ax²+bx+c的图象 【典例精讲】（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）已知二次函数的y与x的部分对应值如表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，；④方程有两个相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据图表在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，根据图象进行判断即可． 【规范解答】解：由图表可知，该二次函数的图象如图， ∴抛物线的开口向下，故①正确； ∵与关于抛物线的对称轴对称 ∴对称轴为直线，故②错误； 由函数图像可知，当时，，故③正确； 二次函数与有两个交点， ∴方程有两个不相等的根，故④错误； 综上所述：①③正确，共2个． 故选B． 【变式训练】（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知二次函数 (1)用配方法将化为的形式；并写出对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)直接写出当取何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)画图见解析 (3)当时，随的增大而减小 【思路点拨】（）利用配方法求出二次函数的顶点式，进而得到对称轴和顶点坐标； （）利用五点法画图即可； （）根据二次函数的性质解答即可； 本题考查了二次函数的顶点式，画二次函数图象，二次函数的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】（1）解：， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：当时，，即点，对称点为； 当时，，即点，对称点为； 画函数图象如下： （3）解：当时，随的增大而减小． 题型7：y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例精讲】（2023·上海普陀·一模）已知抛物线的对称轴是直线，那么的值等于 ． 【答案】2 【思路点拨】根据二次函数对称轴公式 求解．本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【规范解答】由抛物线 得二次项系数 ，一次项系数 ， ∵对称轴公式为 ，且对称轴 ， ∴， 化简得：， ∴， 解得． 故答案为：2． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知点，，在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查二次函数比较函数值大小，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键． 由二次函数图象与性质得到二次函数的开口向上，对称轴为，从而得到抛物线上的点到对称轴距离越近值越小，求出点，，到抛物线对称轴的距离，比较距离大小即可得到答案． 【规范解答】解：二次函数的开口向上，对称轴为， 由二次函数图象与性质可知，抛物线上的点到对称轴距离越近值越小， 点，，到对称轴的距离为、、， ， ， 故选：A． 题型8：二次函数图象与各项系数符号 【典例精讲】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，抛物线与某一直线交于，两点，其中抛物线的对称轴为直线，设点坐标为，点坐标为，则对于过平面直角坐标系上的两点、的直线一定不过（   ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查一次、二次函数图像问题，熟悉图像与各系数间的关系是解题的关键． 先由二次函数图像可得，，，再根据点，坐标得到，最后确定点的位置即可． 【规范解答】由图可知，，对称轴，即， 又抛物线与轴无交点，所以， 时，，综上，，，； 又，，， ， 即点在轴的负半轴， ， 在第一象限， 则直线大致图像如下： 所以直线一定不过第二象限， 故选：B． 【变式训练】（2025·山东青岛·模拟预测）已知抛物线的对称轴为，与x轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，有下列结论：①；②； ③若，，是抛物线上的三点，则；④对于抛物线上任意一点，不等式恒成立．其中正确结论的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据抛物线的开口方向可得，由对称轴可得，即得，再根据抛物线与轴的交点位置可得，得到据此可判断①；把代入二次函数解析式可得，进而得，代入代数式计算可判断②；根据函数图象可知，当抛物线上的点距离对称轴的距离越远，函数值越大，由可判断③；结合函数图象得，开口方向向上，当时，二次函数有最小值，且为，则对于抛物线上任意一点，不等式恒成立，即可作答． 【规范解答】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①符合题意；； ∵抛物线经过， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②不符合题意；； 由函数图象可知，当抛物线上的点距离对称轴的距离越远，函数值越大， 依题意，， ∴，故③符合题意；； 结合函数图象得，开口方向向上，当时，二次函数有最小值，且为， ∴对于抛物线上任意一点，不等式恒成立． 故④不符合题意； ∴正确的结论有①③， 故选：B． 题型9：一次函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．    B．   C．   D．   【答案】A 【思路点拨】本题是关于一次函数和二次函数的图象，根据各选项一次函数的图象和二次函数的图象得到，的正负，然后相比较解答即可． 【规范解答】解：A、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相吻合； B、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相矛盾； C、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相矛盾. D、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相矛盾； 故选：A． 【变式训练】（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）对于三个数，用表示这三个数中最大的数．例如：， ，那么的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一次函数，反比例函数和二次函数的综合，解题的关键是利用函数图象求出交点坐标． 令，根据解析式求出交点坐标，通过分区间表示出最大值，最后进行比较即可． 【规范解答】解：如图所示，令， 联立， 解得或或； 联立， 解得或； 联立， 解得或； 结合图象交点进行分析如下： 当时，； 当时，； 当时，，； 当时，无意义； 当时，； 当时，，； 当时，； 综上，当时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 题型10：反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质．根据一次函数的性质得到，，得到抛物线开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C，再根据反比例函数与二次函数的图象性质判断即可； 【规范解答】解：对于一次函数，由图象知，， ∴，，对于二次函数， ∵，， ∴开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C； ∵选项A和D中，二次函数的图象与轴的交点都在原点下方， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过一、三象限， ∴选项A符合题意， 故选：A． 【变式训练】（2025·安徽滁州·三模）已知一次函数与反比例函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象综合，根据一次函数和反比例函数图象经过的象限可得到，，则，则可得到二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，据此可得答案． 【规范解答】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧， ∴只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 题型11：两个二次函数图象综合判断 【典例精讲】（2022·四川绵阳·三模）抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 【答案】A 【思路点拨】根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，根据BC=10，可得MN=5，从而得到h=2，可得得到，进而得到点A（1，3），继而得到，故①错误；根据点（，P）关于对称轴x=2的对称点为，且，可得P＜n＜m，故②正确；根据y1≥y2，可得或，故③错误；分别求出点，可得，故④正确；即可求解． 【规范解答】解∶ 根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和， 如图，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3， ∴AM=BM，AN=CN， ∴， ∵BC=10， ∴MN=5， ∴h+3=5， ∴h=2， ∵点B（3，3）， ∴3＝（3-2）2＋k，解得： ， ∴， ∵BC∥x轴， ∴点A、C的纵坐标为3， 令，则， 解得：， ∴点A（1，3）， 把点A（1，3）代入，得： ，解得： ，故①错误； ∵，且对称轴为直线x=2， ∴当x＞2时，y1随x的增大而增大；当x＜2时，y1随x的增大而减小， ∵， ∴， ∵点（，p）关于对称轴x=2的对称点为， ∴p＜n＜m，故②正确； ∵， ∴， ∵y1≥y2， ∴， 整理得：， 解得：或，故③错误； ∵，， 当x=0时，，， ∴点， ∴，故④正确； ∴正确的有②④． 故选：A 【变式训练】（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【思路点拨】根据二次函数图像的特点进一步求解即可. 【规范解答】∵二次函数的图像为抛物线， ∴两个不同二次函数的图像的交点最多只能有2个， 故选：B. 题型12：根据二次函数的图象判断式子符号 【典例精讲】（2025·陕西·模拟预测）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，以下结论：①；②；③；④若是抛物线上两点，则．其中说法正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象及对称轴可得，，，即可判定①；由对称轴可判定②；由对称性可得抛物线与轴的另一个交点的坐标是， 即得到当时，，即可判定③；根据二次函数的性质可判定④，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【规范解答】解：①∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵二次函数的图象与轴的交点在轴的负半轴上， ∴， ∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ②由①知，， ∴，故②正确； ③∵二次函数图象的对称轴为直线，且过点， ∴抛物线与轴的另一个交点的坐标是， ∴当时，，即，故③错误； ④∵二次函数开口向上， ∴二次函数图象上的点离对称轴的距离越大函数值越大， ∵， ∴，故④正确； 综上，说法正确的是②④， 故选：． 【变式训练】（2025·湖北·一模）已知抛物线与轴交于点，对称轴为直线，与轴的交点在，之间(包含端点)，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据对称轴可以得到和的关系，抛物线与轴的交点在，之间可以判断的正负以及与的关系，根据抛物线与轴交于点，结合对称轴可以得到另一个交点坐标，进而解题． 【规范解答】解：A：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在，之间， ∴， ∴，故选项A的结论正确，该选项不合题意； C：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵， ∴，故选项C的结论正确，该选项不合题意； B：∵， ∴， ∴， ∴，故选项B的结论错误，该选项符合题意； D：∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一交点为， ∴当时，，故选项D的结论正确，该选项不合题意． 故选：B． 题型13：已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例精讲】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，对称轴为直线 (1)若求的值； (2)已知点，在该抛物线上，且比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据对称性求出对称轴，即可得出结果； （2）根据对称性确定对称轴的范围，根据二次函数的增减性，比较的大小即可． 【规范解答】（1）解：∵点在抛物线上，且 ∴关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线； 故； （2），理由如下： ∵， ∴当时，， ∴抛物线过点， 又∵抛物线过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，在抛物线上， ∴三点到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，是抛物线 上任意两点．设抛物线的对称轴为． （1）若对于，有，则 ； （2）若对于，都有，则t的取值范围为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查二次函数的性质，运用并熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据二次函数的图象和性质，即可求解； （2）分两种情况讨论，再根据对称性即可解答． 【规范解答】解：（1）∵，有， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为， ∴； 故答案为： （2）∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 当点M，N均在对称轴的右侧时，， 此时满足，符合题意； 当点M在对称轴的左侧，N在对称轴的右侧时， ∵， ∴， ∵， ∴点M距离对称轴更近， ∵， ∴，即； 综上所述，t的取值范围为． 故答案为： 题型14：根据二次函数的对称性求函数值 【典例精讲】（2025·甘肃酒泉·一模）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表： 从表可知，下列说法中正确的是 填写序号 ①抛物线与轴的一个交点为； ②函数的最大值为； ③抛物线的对称轴是直线； ④在对称轴左侧，随增大而增大． 【答案】①③④ 【思路点拨】本题考查了抛物线的性质：抛物线是轴对称图形，它与轴的两个交点是对称点，对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点；时，函数有最大值，在对称轴左侧，随增大而增大． 根据表中数据和抛物线的对称性，可得到抛物线的开口向下，对称轴为，当时，，再根据抛物线的性质即可进行判断． 【规范解答】解：根据图表，和时，，则抛物线对称轴为直线， 当，，根据抛物线的对称性，当时，， 即抛物线与轴的交点为和； 根据表中数据得到抛物线的开口向下， 当时，函数有最大值，即最大值大于6， 并且在直线的左侧，随增大而增大． 所以①③④正确，②错． 故答案为：①③④． 【变式训练】（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线．点在抛物线上，点在抛物线上． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【思路点拨】（1）根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为，根据已知，代入计算解答即可； （2）根据题意，得点关于对称轴直线的对称点坐标分别为；故点，分别向右平移2个单位长度后得到点的坐标分别为，，根据函数的增减性解答即可． 本题考查了函数值的计算，抛物线的平移，二次函数的增减性，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为， 当时，点，，此时，， 故，， 故． （2）解：根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为， 故抛物线的对称轴为直线，的对称轴为直线，              根据题意，得点关于对称轴直线的对称点坐标分别为 ； 故点，分别向右平移2个单位长度后得到点的坐标分别为，， 由对于，都有， 故或， 解得或，     故t的取值范围是或． 题型15：y=ax²+bx+c的最值 【典例精讲】（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）二次函数，其中，则y的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，先将二次函数的解析式化为顶点式得出当时，二次函数有最小值为，再分别求出当时，，当时，，由此即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴当时，二次函数有最小值为， 当时，，当时，， ∴y的取值范围是 故答案为：． 【变式训练】（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象性质，与x轴的交点问题，与y轴的交点问题，顶点坐标，根据当时，的值随值的增大而减小，得出，对称轴为直线，故，即，再分析函数图象的顶点，得出，又因为，故该函数图象的顶点位于第二象限或轴上，则该函数的最大值不小于，再分析，得出，即可作答． 【规范解答】解：∵二次函数，当时，的值随值的增大而减小， ∴，对称轴为直线， 则， ∵， 即， ∴， 故A选项不符合题意； 该函数图象的顶点为，即， ∵， ∵ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴该函数图象的顶点位于第二象限或轴上， 故B选项不符合题意； 当该函数图象的顶点位于轴上， 令，则， ∵ ∴该函数的最大值为， 当该函数图象的顶点位于第二象限， 此时该函数的最大值大于， 综上该函数的最大值不小于， 故D选项符合题意； 依题意，中的， ∵， ∴， 即 ∴方程有两个不相等的实数根 故C选项不符合题意； 故选：D 题型16：利用二次函数对称性求最短路径 【典例精讲】（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则的最小值是 ．    【答案】 【思路点拨】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等等，正确作出辅助线是解题的关键． 先求出点的坐标，求出求出点的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点的坐标，取 ，连接，，，可证四边形是平行四边形，得到，则四边形的周长，再由点，关于直线对称，得到，则，故当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小，据此求解即可． 【规范解答】解：点是抛物线与轴交点， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 令，则， 解得或， 点的坐标为， 取 ，连接，，，   ， 又， 四边形是平行四边形， ， 点，关于直线对称， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小， ， 四边形的最小值为． 故答案为：． 【变式训练】（23-24九年级下·浙江温州·自主招生）如图，矩形中，，，为的平分线，F为上一动点，点M为的中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】建立平面直角坐标系，求出的解析式，设点，求点坐标，由两点距离公式和二次函数性质可求的最小值； 【规范解答】解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， ∵，， ∴点，，， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 将点，代入可得， ，解得：， ∴， 设， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最小， ， 故答案为：. 题型17：二次函数图象的平移 【典例精讲】（25-26九年级下·山东菏泽·阶段练习）将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线解析式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握平移方法是解题的关键．根据左加右减，上加下减的方法计算即可． 【规范解答】解：由题意可得， 平移后得到的抛物线解析式为， 故答案为：． 【变式训练】（2025·青海西宁·三模）将的函数图象向左平移个单位长度后，得到的函数解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象的平移，熟记平移规律：左加右减，上加下减，理解函数图象平移的规律是解题的关键．根据图象的平移规律回答即可． 【规范解答】解：将的函数图象向左平移个单位长度， 平移后的解析式为：． 故选：B． 1．（2024·江苏扬州·中考真题）已知二次函数，当时，的最大值为3，则的值为 ． 【答案】或或 【思路点拨】本题考查二次函数的最值问题，二次函数的图象与性质，先求出抛物线的对称轴为直线，分三种情况：当，即时，当，即时，当，即时，结合二次函数的性质，进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向下， 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， ， 整理得：， 解得：； 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， 解得：(舍去)，(舍去)； 当，即时， ∴当时，函数有最大值3， ∴， 整理得：， 解得：，； 综上分析可知：a的值为或或； 故答案为：2或或． 2．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，正确的有 ．（填写序号） 【答案】②④ 【思路点拨】本题考查了二次函数的系数与图象的关系，根据函数图象分别判断a,b,c的符号即可判断结论①；利用图象与x轴交点的个数即可判断结论②；利用对称轴及当时函数值的正负即可判断结论③；利用和时的函数值的正负即可判断结论④． 【规范解答】解：∵抛物线开口方向向上， ∴， ∵对称轴在y轴的左侧， ∴a，b同号，即， ∵函数图象与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ∵抛物线对称轴是直线， ∴， ∴， ∵当时，， ∴，即，故③错误； ∵当时，，当时，， ∴，即，故④正确； 故答案为：②④． 3．（2024·江苏宿迁·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一次函数，二次函数图象的性质，掌握函数图象的性质是解题的关键． 根据一次函数图象，二次函数中的正负与图象的关系是解题的关键． 【规范解答】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意； 当时，一次函数经过第一、三、四象限，二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意； 当时，一次函数经过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，C，D均不符合题意，B选项符合题意； 当时，一次函数经过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意； 故选：B ． 4．（2024·江苏连云港·中考真题）已知二次函数(m为常数)，函数值y的最大值为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了将一般式化成顶点式、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 先将抛物线解析式化成顶点式，然后根据函数值y的最大值为列方程求解即可． 【规范解答】解：∵二次函数，， ∴抛物线开口方向向下， ∴当时，函数值y的最大值， ∵函数值y的最大值为， ∴，解得：． 故选B． 5．（2024·江苏徐州·中考真题）已知抛物线 (1)当时，有求的值； (2)当时，有且求m的值． 【答案】(1)12 (2)或2 【思路点拨】（1）依据题意，由，结合二次函数的性质，可对时，的函数值进行判断、，最后计算得解； （2）依据题意，分四种情况讨论：当时，此时，，求得；当时，此时，，求得；当时，当时，最后进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，， ∴当时，取最小值为3． 又当时，， ∴当时，． 又当时，有， ． ． （2）解：当时，， 当时，， ∵当时，则有， ∴①当时，即，此时，， ∴， 解得； ②当时，此时，， ∴， 解得； ③当时，即，则，， ∴， 解得（舍）或（舍）； ④当时，即时，则，， ∴， 解得（舍）或（舍）； 综上所述：或2． 基础夯实 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平面直角坐标系中抛物线的平移，其规律为“左加右减，上加下减”，据此即可求解． 【规范解答】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数为，即． 故选：A 2．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【规范解答】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式 的顶点坐标为 是解题关键． 根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 ，直接读取函数中的 和 值． 【规范解答】∵ 抛物线为 ，与顶点式 对比， 得 , ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选： A． 4．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）抛物线的开口向 ．（填“上”或“下”） 【答案】下 【思路点拨】本题主要考查二次函数的性质，根据的正负判断函数的开口朝向，如果，开口向上；如果，开口向下． 【规范解答】解：抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的开口向下， 故答案为：下． 5．（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”表示）． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图象及性质．根据二次函数的对称轴及增减性求解即可． 【规范解答】解：二次函数的对称轴为：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后得到的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握变换规律是解题的关键．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 【规范解答】解：由题意得，平移后得到的抛物线的解析式为． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·山西忻州·阶段练习）已知点，在二次函数的图象上，则y1，y2的大小关系是： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别计算和时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【规范解答】解：当时，， 当时，， ∴， 故答案为： 8．（24-25九年级下·四川巴中·阶段练习）把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线的顶点为M，求 (1)a，h的值； (2)的值． 【答案】(1) (2)144 【思路点拨】本题考查抛物线的平移，与轴的交点，求顶点坐标，熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减是解题的关键． （1）根据抛物线的平移规则，求出a,h的值，即可； （2）由（1）求出两条抛物线的顶点坐标和点B的坐标，再利用面积公式进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线， ∴平移后的解析式为， ∴； （2）解：由（1）得：平移前的解析式为，平移后的解析式为 ∴点A的坐标为，点M的坐标为， 对于， 当时，， ∴点B的坐标为， ∴． 9．（24-25九年级下·江苏连云港·期末）已知二次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)若三点，，且，则，，的大小关系为 ． (3)把所画的图象如何平移，可以得到函数 的图象?请写出一种平移方案． 【答案】(1)见解析 (2) (3)先向左平移2个单位，再向上平移1个单位可以得到函数的图象 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，二次函数的平移特点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据列表、描点、连线，画出函数图象即可； （2）根据二次函数的增减性，求出结果即可； （3）根据平移的特点，得出答案即可． 【规范解答】（1）解：列表： x 0 1 2 3 4 3 0 0 3 描点，连线，如图所示： （2）解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴先向左平移2个单位，再向上平移1个单位可以得到函数的图象． 10．（24-25九年级下·浙江金华·开学考试）已知二次函数的图象经过点． (1)求和的关系式； (2)当时，函数有最小值，求的值； (3)若时，将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（点在轴的左侧）．当时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【思路点拨】（1）将点代入函数解析式求解； （2）当时，当时，分两种情况求解； （3）根据平移的性质求出平移后函数解析式，令时解方程求解． 【规范解答】（1）解：将点代入函数解析式，得， ∴； （2）解：由（1） 当时，该函数图像开口向上， 则时，函数有最小值， ∴， ； 当时，该函数图像开口向下，且图像上的点距离对称轴越远，函数值越小， 则时，函数有最小值， ∴， ； 综上所述， 或 ； （3）解：当时， ， 将函数图象向上平移个单位长度，则 ， 令，则 ， 解得 ． ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴． 培优拔高 11．（2025·浙江丽水·二模）已知二次函数（a，m，k为常数，），若该函数过点和点，则实数k，s，t的大小关系可能是（   ） A．时时 B．时时 C．时时 D．时时 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质，通过变量代换简化函数表达式，代入给定点坐标得到s和t关于k和a的表达式，进而比较大小关系． 【规范解答】解：设，则函数化为． ∵点对应， ∴． ∵点对应， ∴． ∴，． 当时，∵，∴； ∵，∴； 故． 当时，∵，∴； ∵，∴； 又，∴， 故． 选项A符合上述关系， 故选A. 12．（2025·甘肃酒泉·三模）已知，，为非负实数，且，则代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了求不等式组的解集，二次函数的性质，先求出k的取值范围，然后根据二次函数的性质求解即可．由条件可得和，根据非负性得出 k 的取值范围为 ，代数式为二次函数，开口向上，故最小值在时取得． 【规范解答】解：∵， ∴，， 又∵， ∴ 且，即， 令代数式， ∵ 二次项系数，对称轴为直线，   ∴当时，随增大而减小， ∴当时，取最小值，最小值为． 故选：D． 13．（25-26九年级下·山东日照·阶段练习）已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象的特征找出的取值范围是解题的关键．根据一元二次函数的顶点式可知，当时，取得最小值，最小值为，由，可得当或时，，最后结合题意即可得解． 【规范解答】， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，有， 解得，，， 当或时，， 当时，的最小值为，最大值为， 结合图象可知，． 故选：C． 14．（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论：①点B的坐标为；②；③；④点在抛物线上，当时，则，其中正确的序号为 【答案】①④ 【思路点拨】本题主要考查了二次函数图象及其性质，掌握二次函数图象的性质成为解题的关键． 根据二次函数图象的对称性确定点B的横坐标，可判断①；将代入并结合图象可判断②；根据抛物线的对称轴为直线可判断③；根据函数的增减性可判断④． 【规范解答】解∶∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点B的横坐标为b，则有∶，解得∶， ∴点B的坐标为，即①正确； ∵点B的坐标为，抛物线开口向上， ∴当时，由函数图象可得函数值大于零，即，即②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即，即③错误； ∵， ∴y随x的增大而减小，即，即④正确． 综上，正确的有①④， 故答案为：①④． 15．（2025·安徽淮南·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点C，点C的纵坐标为4，直线与x轴交于点，与y轴交于点M，B为直线上一点，横坐标为，过点B作轴于点D，交反比例函数的图象于点H，G为反比例函数图象上一动点，过点G作于点E，作交y轴于点F． （1） ； （2）若点G在点C，H之间（不与点C，H重合）运动，当面积取得最大值时，的长为 ． 【答案】 【思路点拨】（1）先求出直线的解析式为，然后求出点C的坐标为，再求出即可； （2）设点，且，求出，设直线的函数表达式为，求出，得出点，延长交y轴于点N，易知轴，求出，求出，再根据二次函数的最值，求出结果即可． 【规范解答】解：（1）将点代入，得， 解得， ， 当时，得， 点， 将点代入，得， 解得． 故答案为：． （2）轴，， 轴， 由题可知点H，E的横坐标为，反比例函数， 设点，且， ， ， 设直线的函数表达式为，将点代入得：， 当时，， 点， 延长交y轴于点N，易知轴， ， ， ， 当时，取得最大值，此时． 故答案为：． 16．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心作：．若抛物线与⊙O有且只有两个交点，且抛物线不从内部穿过，则的取值范围（用表示）为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查圆的性质、二次函数的图像性质．根据圆和抛物线图像的对称性可知，要满足条件，则，联立圆和抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，则该方程有且仅有一个大于且小于的根，据此即可解答． 【规范解答】解：可化为， 它表示动点到定点的距离为定值， 即的几何意义是以原点为圆心，为半径的圆， 抛物线的图象是关于与x轴垂直的直线对称的， 故要使抛物线和圆有且只有两个交点，且抛物线不从内部穿过， 则抛物线对称轴为y轴，即，，图像可能是： ①  或②  ， 由得，代入得， 即（*）， 则，则， 此时方程（*）的根为， ①，解得； ②，解得； 综上，或． 17．（2025·安徽·模拟预测）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为． （1）函数的图象上的“倍值点”是 ． （2）若关于的函数的图象上有两个“倍值点”，则的取值范围是 ． 【答案】 和 且 【思路点拨】本题考查了函数的新定义问题，反比例函数，二次函数，一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据“倍值函数”的定义代入即可求解． （2）根据“倍值函数”的定义代入即可列一元二次方程，再根据题意令即可． 【规范解答】解：（1）函数中，令， 则， 解得：或， 经检验或都是原方程的解， ∴函数的图象上的“倍值点”是和， 故答案为：是和． （2）在中，令， 则， 整理得， ∵关于x的函数的图象上有两个“倍值点”， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 18．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，抛物线L：（为常数），当抛物线L经过点，时． （1）抛物线L的顶点坐标为 ． （2）若时，函数的最大值与最小值的差总为，n的取值范围 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，熟知上述性质是解题的关键． （1）利用点两点关于对称轴对称，可得顶点坐标，且可求得b的值，再解方程即可求得抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标； （2）利用二次函数的性质，进行解答即可． 【规范解答】解：（1）抛物线L经过点， ∴抛物线L的对称轴为直线， ， 的函数表达式为． 当时，． ∴抛物线L的顶点坐标为， 故答案为：； （2）与y轴交于点， 则点关于直线的对称点为， 抛物线L的开口向上， ∴当时，抛物线L上的最低点的纵坐标总是， 最低点总是，两个点的竖直距离总为， 当时，函数的最大值与最小值的差总为． 故答案为：． 19．（2025·湖南湘西·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，我们给出一个“积值”的定义： 点是函数图象上任意一点，横坐标与纵坐标的乘积称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)已知点是函数图象上一点，则点在该函数图象上的“积值”为______； (2)求点在函数图象上的“积值”； (3)已知点在函数（为常数，且）的图象上，当时，点在函数图象上的“积值”的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)6 (3) 【思路点拨】本题考查了新定义，二次函数的图象性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用反比例函数的性质以及积值的定义，得，即可作答． （2）依题意，把代入得，再结合积值的定义，即可作答． （3）先表达出，运用二次函数的性质，得函数开口向上，则对称轴为，再根据当时，随的增大而减小，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵点B是函数图象上任意一点， ∴， ∴点B在该函数图象上的“积值”为； 故答案为：； （2）解：∵点在函数图象上， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 则点在函数图象上的“积值”为； （3）解：已知点在函数（b为常数，且）的图象上， ∴， ∵当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为， ∴， ∵， 函数开口向上，则对称轴为， ∵， ∴对称轴， ∴当时，随的增大而减小， ∴时，有最小值，最小值为， ∴， 即． 20．（2024·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”，例如都是“黎点”．如果一个点的横坐标是纵坐标的两倍，则称该点为“横倍点”，例如都是“横倍点”． (1)求双曲线上的“黎点”； (2)函数，过（1）中函数的“黎点”和“横倍点”，且与坐标轴构成的三角形的面积为18，求“横倍点”P的坐标． (3)若抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，求c的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【思路点拨】此题考查了一次函数和反比例函数的综合题，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是关键． （1）根据新定义求出，即可得到答案； （2）分两种情况：①函数，“黎点”为，②函数，“黎点”为，分别进行解答即可； （3）根据题意得到方程有且只有一个解，求出，根据，即可求出答案． 【规范解答】（1）设双曲线上的“黎点”为， 则有， ∴， 经检验，的分式方程的解， ∴双曲线上的“黎点”为或； （2）①函数，“黎点”为，则，即， 其与x轴，y轴的交点坐标分别为，其与坐标轴构成的三角形的面积为18． ∴， 将代入， 解得． 又∵函数过“横倍点”， ∴， ∴， ∴ ②函数，“黎点”为，则，即 其与x轴，y轴的交点坐标分别为，其与坐标轴构成的三角形的面积为18． ∴，将代入，解得． 又∵函数过“横倍点”， ∴， ∴， ∴． 综上，“横倍点”P的坐标为或 （3）∵抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”， ∴方程有且只有一个解， 即有且只有一个解， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $