专题5.1 二次函数（知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共34题）-2025-2026学年苏科版数学九年级下册同步培优精编讲练

专题5.1 二次函数 （知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共34题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：二次函数的定义及一般形式 1 知识点梳理02：根据实际问题列二次函数关系式 2 优选题型 考点讲练 2 题型1：列二次函数关系式 2 题型2：二次函数的识别 3 题型3：根据二次函数的定义求参数 4 中考真题 实战演练 5 难度分层 拔尖冲刺 9 基础夯实 9 培优拔高 13 知识点梳理01：二次函数的定义及一般形式 1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2、二次函数的结构特征 （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 3、二次函数的一般形式 y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【易错点拨】必须化为一般式，才可确定a、b、c，二次项的系数a≠0，b、c没有条件限制. 4、二次函数的取值范围 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点梳理02：根据实际问题列二次函数关系式 一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 一元二次方程的解（根）满足的条件： （1） 未知数的值；（2）使方程左右两边相等. 题型1：列二次函数关系式 【典例精讲】（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可． 【规范解答】解：由题意得， ， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为，即可求解． 【规范解答】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为， ∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为， 故选：C． 【变式训练2】（24-25九年级下·天津河西·期末）一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数的实际应用问题．根据题意列出y与x的关系式可得答案． 【规范解答】解：由题意得，， 故选：B． 题型2：二次函数的识别 【典例精讲】（2025九年级上·全国·专题练习）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查二次函数定义，解题关键是掌握二次函数的形式：一般地，形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断即可． 【规范解答】解：A、是一次函数，不符合题意； B、是一次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、是一次函数，不符合题意； 故选：C． 【变式训练1】（24-25九年级下·重庆江北·期末）下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查二次函数的判断，根据形如，这样的函数叫做二次函数进行判断即可． 【规范解答】解：A、最高次数为3，不是二次函数，不符合题意； B、是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、原函数化简为：是一次函数，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 【变式训练2】（24-25九年级下·上海青浦·期中）下列函数中属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据形如的函数叫作二次函数可得答案． 【规范解答】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 题型3：根据二次函数的定义求参数 【典例精讲】（25-26九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若函数是二次函数，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的二次项系数不为，最高次数为次，得出，即可求解． 【规范解答】解：由二次函数定义得， 解得． 故选：B． 【变式训练1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，掌握二次函数的定义是解题关键． 根据二次函数的定义得到，，即可求出m的值． 【规范解答】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得或， ∵二次项系数不为0， ∴， ∴， 综上所述：m的值为4． 故答案为：4． 【变式训练2】（24-25九年级下·湖南长沙·期末）关于x的函数是二次函数，则a应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，是解题的关键．根据二次函数的定义：形如，进行求解即可． 【规范解答】解：根据二次函数的定义，得：． 故选：C． 1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在四边形中，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了与三角形中位线有关的三角形面积问题，根据题意列二次函数求最值，先根据中位线问题得到三角形面积的关系，然后根据四边形面积列出二次函数，即可求得最值，准确找到三角形面积与四边形面积之间的关系是解题的关键． 【规范解答】解：连接，如图所示： ， ∵点M是的中点， ∴， ∴， 又点M是的中点， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴ ， 设，边长， ∵， 则， ∵， ∴， 则， 当时，取得最大值为， 故答案为：． 2．（2024·江苏扬州·中考真题）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查二次函数的识别，解题的关键是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．根据二次函数的定义逐项判断即可． 【规范解答】解：A、最高次为1次，不是二次函数，不符合题意； B、中为分式，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、中为分式，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 3．（2024·江苏泰州·中考真题）如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0的条件不能漏． 根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程组，求出m的值即可． 【规范解答】解：由题意得：， 解得． 故选：C． 4．（2024·江苏无锡·中考真题）若是的二次函数，则 ． 【答案】3 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解，解题的关键是注意二次项的系数不能为0． 【规范解答】解：是关于的二次函数， ， 解得或（舍去）， 故答案为：3． 5．（2024·江苏常州·中考真题）若函数． (1)当m为何值时，该函数为二次函数？ (2)该函数可能为反比例函数吗？为什么？ 【答案】(1) (2)不可能为反比例函数，理由见解析 【思路点拨】此题主要考查了反比例函数以及二次函数的定义． （1）直接利用二次函数的定义分析得到且，解方程得出答案； （2）直接利用反比例函数的定义得到，且，解方程得出答案． 【规范解答】（1）解：∵函数， 且时，该函数为二次函数， 解得：， 时，该函数为二次函数； （2）该函数不可能为反比例函数．理由如下： 当该函数为反比例函数，则，且， 整理得， 此时，方程无实数根， 故该函数不可能为反比例函数． 基础夯实 1．（2025·上海普陀·一模）下列函数中，关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，形如（其中）的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断即可． 【规范解答】解：A．，分母有未知数，不是二次函数； B． ，最高次项次数不为2，不是二次函数； C． ，时最高次项次数不为2，不是二次函数； D． ，符合二次函数的定义，是二次函数； 故选：D． 2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，正确理解二次函数的定义是解题的关． 【规范解答】解：、，等式右边含分式，不是二次函数，原选项不符合题意； 、，是二次函数，原选项符合题意； 、，不是二次函数，原选项不符合题意； 、在中，因为没有限定，所以不一定是二次函数，原选项不符合题意； 故选：． 3．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列表达式中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了二次函数，熟练掌握形如，其中c为常数，且的函数是二次函数是解题的关键．根据二次函数的定义，逐项判断即可求解． 【规范解答】解：．自变量的次数不是2，是一次函数，不是二次函数，故该选项不符合题意； ．，关系式不是整式，故不是二次函数，故该选项不符合题意； ． ，关系式不是整式，故不是二次函数，故该选项不符合题意； ．，是二次函数，故该选项符合题意； 故选：D． 4．（2025·河南·模拟预测）已知是关于的函数，且当时，随的增大而减小，则这个函数的解析式可以是 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了二次函数的图像和性质．根据函数的增减性写出答案即可． 【规范解答】解：∵当x＜0时，y随x的增大而减小， ∴这个函数的解析式可以是， 故答案为： 5．（25-26九年级上·广东广州·开学考试）已知函数 是关于x 的二次函数，则m= ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（，，为常数且）可得：且，然后进行计算即可解答． 【规范解答】解：由题意得：， 解得：或， 又∵， ∴， 综上所述：， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）函数的图象是抛物线，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查二次函数的定义，要注意二次项的系数不等于0．根据二次函数的定义列方程求解即可． 【规范解答】解：根据二次函数的定义，且， 解得且， 所以． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知是二次函数，则实数 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义可得且，即可求解． 【规范解答】解：∵是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·全国·随堂练习）若是关于x的二次函数． (1)求m的值及函数表达式． (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1)，函数的表达式是 (2)二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0 【思路点拨】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义，二次函数一般式是关键． （1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【规范解答】（1）解：根据二次函数的定义得， 由①得，，由②得， ∴，函数的表达式是． （2）解：二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0． 9．（24-25九年级下·全国·假期作业）已知正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 (1)分别写出与、与之间的函数表达式； (2)这两个函数中，哪一个是关于的二次函数？ 【答案】(1)， (2)是关于的二次函数 【思路点拨】此题主要考查了正方体的表面积和体积公式以及二次函数的定义，正确记忆二次函数的定义是解题关键． （1）直接利用正方体的表面积和体积公式分别求出即可； （2）利用二次函数的定义得出答案． 【规范解答】（1）解：正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 ，； （2）解：依题意，是关于的二次函数． 10．（24-25九年级下·全国·假期作业）设圆柱的高为，底面半径为，底面周长为，圆柱的体积为． (1)分别写出关于、关于、关于的函数关系式； (2)这三个函数中，哪些是二次函数？ 【答案】(1)、、 (2)关于的关系式是二次函数，关于的关系式是二次函数． 【思路点拨】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是熟悉圆的面积公式、周长公式以及圆柱的体积公式． （1）根据圆的周长公式和圆柱的体积公式来列函数关系式； （2）根据二次函数的定义进行解答． 【规范解答】（1）解： 圆柱的底面半径为，底面周长为， ； 又圆柱的高为，底面半径为，圆柱的体积为， ． 设圆柱的高为，底面周长为，圆柱的体积为， ． 综上所述，关于、关于、关于的函数关系式分别是：、、． （2）解：根据二次函数的定义知，关于的关系式是二次函数，关于的关系式是二次函数． 培优拔高 11．（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列命题中正确的有（   ）个． ①二元二次方程有无数组解． ②某四边形面积等于两对角线乘积的一半，则这个四边形是菱形． ③“任意作一条直线，并作出它的中点”是必然事件． ④形如的函数为二次函数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路点拨】依次对每个命题，依据相关数学定义、性质判断正误，统计正确命题个数．本题主要考查二元二次方程的解、四边形面积与对角线的关系、必然事件与不可能事件的判定、二次函数的定义，熟练掌握这些概念和性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴或，即时可取任意实数，时可取任意实数 方程有无数组解，故①正确，符合题意； 对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半，菱形是对角线互相垂直的平行四边形，但仅面积满足此条件的四边形，对角线不一定互相平分，不一定是菱形（如对角线互相垂直的梯形），故②错误，不符合题意． 直线无限延伸，无长度，不存在中点，“任意作一条直线，并作出它的中点”是不可能事件，故③错误，不符合题意． 形如（）的函数才是二次函数，当时是一次函数，故④错误，不符合题意． 综上，只有①正确，共个， 故选：． 12．（24-25九年级上·全国·期末）若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般式为是解本题的关键是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可． 【规范解答】解：∵是关于x的二次函数， ∴， 解得：， 故选B． 13．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）若函数 是二次函数，则a=（　　） A． B．4 C．4或 D．4或3 【答案】C 【思路点拨】此题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义得到且，即可求出答案． 【规范解答】解：∵函数 是二次函数， ∴且， 解得或， 故选：C 14．（2025·福建泉州·模拟预测）数学实验课，小明用4张面积相等的直角三角形纸片（任意两张均不能完全重合）做如下探究：如图，，将每张直角三角形纸片的一个锐角顶点与重合，一直角边在射线上，且另一个锐角顶点位于内部，得到4个位于内部的锐角顶点，探究这4个顶点的分布规律．关于这4个顶点，下列说法正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①它们中的任意三点都不在同一直线上；②它们可以在同一直线上； ③它们在双曲线的同一分支上；④它们可以在同一条抛物线上． 【答案】①③ 【思路点拨】本题考查了反比例的应用，二次函数的应用，一次函数的应用．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求得四个点的坐标分别为，，，，求得它们在双曲线上，据此求解即可判断． 【规范解答】解：如图，，，，是四个面积相等的直角三角形， 设，，，，它们的面积都是， ∴，，，， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图， ∴，，，， ∵， ∴它们在双曲线上，即它们在双曲线的同一分支上，说法③正确； 它们中的任意三点都不在同一直线上， ∴说法①正确，说法②错误； 它们不可能在同一条抛物线上， ∴说法④错误， 综上①③正确， 故答案为：①③． 15．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． （1）若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； （2）若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； （3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 【答案】 一次 反比例 二次 【思路点拨】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1 ）根据题意可得，化简即可得出答案； （2 ）根据题意可得，化简即可得出答案； （3 ）根据题意可得，即可得出，即可得出答案； 【规范解答】（1 ）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数． 故答案为：，一次 （2 ）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数． 故答案为：，反比例 （3 ）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴S是的二次函数． 故答案为：，二次 16．（2025九年级下·全国·专题练习）若函数是二次函数，则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数的定义、一元二次方程的解法．首先根据二次函数的定义可得：、，首先解方程可以得到或，再根据，可得． 【规范解答】解：函数是二次函数， ， 解一元二次方程， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 又， ， ． 故答案为： ． 17．（2025九年级下·全国·专题练习）若二次函数有最小值，则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质．首先根据二次函数有最小值可得抛物线开口向上，可以得到且，由可得，再根据可得． 【规范解答】解：二次函数有最小值， 抛物线开口向上，二次项系数为正数， ， 解得：， 故答案为： ． 18．（2025·广东佛山·三模）随着“双减”政策落地，同学们参加体育运动的时间比以往更加充裕．运动需要有一个合适的心率，既能达到较好的运动效果，又能保障运动安全．某综合实践小组准备研究心率与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系．在九年级随机抽取了20位男生，测试了跳绳持续时间与心率，通过计算得到跳绳持续时间与平均相对心率的数据如下： 跳绳持续时间（单位：秒） 0 30 60 90 140 … 平均相对心率 40 60 70 76 82 … (1)判断初中所学函数是否能很好地表示随变化的规律，说明理由； (2)经探究是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式； (3)从运动健康着想，平均相对心率不宜长时间超过．结合以上内容，问跳绳运动持续时间多少秒需要休息？ 【答案】(1)不能，理由见解答 (2) (3)300秒 【思路点拨】本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和二次函数的变量变化特征和待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． （1）分别根据一次函数、反比例函数和二次函数的变量变化特征判断即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）根据题意列关于的不等式并求其解集即可． 【规范解答】（1）解：初中所学函数不能很好地表示随变化的规律． 理由如下： ∵当自变量的增加值相同时，的增加值不同， ∴不是的一次函数， ∵与的积不是一个定值， ∴不是的反比例函数， ∵当自变量的增加值相同时，相邻值的增加值的差不相同， ∴不是的二次函数， ∴初中所学函数不能很好地表示随变化的规律． （2）解：设，即（为常数，且）， 将和分别代入， 得， 解得， ∴ y与之间的函数表达式为， （3）解：根据题意，得， 解得：， ∴跳绳运动持续时间300秒需要休息． 19．（24-25九年级下·吉林·期中）如图, 在矩形中，．点从点 出发，沿射线方向运动，在运动过程中，以线段为斜边作等腰直角三角形．当经过点时，点停止运动：设点的运动距离为，与矩形重合部分的面积为 ． (1)当点落在边上时， ； (2)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)设的中点为 ，直接写出在整个运动过程中，点 移动的距离． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【思路点拨】当点在上时，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，从而可得，所以可得； 根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质可知，当时，重叠部分的面积为的面积；当时，重叠部分的面积为 等腰梯形的面积；当时，重叠部分的面积为 五边形的面积．分情况求出与之间的函数关系式即可； 根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质可知：的中点运动的路径为线段，利用勾股定理求出矩形的对角线的长度即可． 【规范解答】（1）解：如下图所示，当点在上时， 是等腰直角三角形， ，， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 故答案为； （2）解：当时， 如下图所示， 重叠部分的面积为的面积， 是等腰直角三角形， 点到边上的高为， ； 当时， 如下图所示， 重叠部分的面积为 等腰梯形的面积， 是等腰直角三角形，， ， 在中，， ， ， ， 整理得：； 当时， 如下图所示， 重叠部分的面积为 五边形的面积， 此时， ， ， 整理得：； 综上所述，与之间的函数关系式是； （3）解：如下图所示， 当点在上时，， ， ， ， 点是的中点， 的中点运动的路径为线段， ， 点 移动的距离． 20．（2025·湖北孝感·一模）某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 【答案】(1) (2)售价的取值范围是 (3)能，60元 【思路点拨】本题主要考查求函数解析式、不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据日销售利润、售价、进价、销售量的关系列出函数关系式为即可； （2）由题意，，则，解得：，再结合要保证盈利即可解答； （3）根据（1）所得的关系式，列一元二次方程求解并结合（2）的条件即可解答． 【规范解答】（1）解：由题意可得： 日销售利润与的函数关系式为． （2）解：由题意，， 则，解得：， 要保证盈利 售价的取值范围是． （3）解：由， 则，解得：（舍去）或． 答：当定价为60元时，日销售利润为1600元． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 二次函数 （知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共34题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：二次函数的定义及一般形式 1 知识点梳理02：根据实际问题列二次函数关系式 2 优选题型 考点讲练 2 题型1：列二次函数关系式 2 题型2：二次函数的识别 2 题型3：根据二次函数的定义求参数 3 中考真题 实战演练 3 难度分层 拔尖冲刺 4 基础夯实 4 培优拔高 5 知识点梳理01：二次函数的定义及一般形式 1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2、二次函数的结构特征 （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 3、二次函数的一般形式 y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【易错点拨】必须化为一般式，才可确定a、b、c，二次项的系数a≠0，b、c没有条件限制. 4、二次函数的取值范围 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点梳理02：根据实际问题列二次函数关系式 一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 一元二次方程的解（根）满足的条件： （1） 未知数的值；（2）使方程左右两边相等. 题型1：列二次函数关系式 【典例精讲】（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ． 【变式训练1】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级下·天津河西·期末）一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 题型2：二次函数的识别 【典例精讲】（2025九年级上·全国·专题练习）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级下·重庆江北·期末）下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级下·上海青浦·期中）下列函数中属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 题型3：根据二次函数的定义求参数 【典例精讲】（25-26九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若函数是二次函数，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 【变式训练2】（24-25九年级下·湖南长沙·期末）关于x的函数是二次函数，则a应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在四边形中，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于 ． 2．（2024·江苏扬州·中考真题）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏泰州·中考真题）如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 4．（2024·江苏无锡·中考真题）若是的二次函数，则 ． 5．（2024·江苏常州·中考真题）若函数． (1)当m为何值时，该函数为二次函数？ (2)该函数可能为反比例函数吗？为什么？ 基础夯实 1．（2025·上海普陀·一模）下列函数中，关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列表达式中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南·模拟预测）已知是关于的函数，且当时，随的增大而减小，则这个函数的解析式可以是 ． 5．（25-26九年级上·广东广州·开学考试）已知函数 是关于x 的二次函数，则m= ． 6．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）函数的图象是抛物线，则 ． 7．（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知是二次函数，则实数 ． 8．（24-25九年级下·全国·随堂练习）若是关于x的二次函数． (1)求m的值及函数表达式． (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 9．（24-25九年级下·全国·假期作业）已知正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 (1)分别写出与、与之间的函数表达式； (2)这两个函数中，哪一个是关于的二次函数？ 10．（24-25九年级下·全国·假期作业）设圆柱的高为，底面半径为，底面周长为，圆柱的体积为． (1)分别写出关于、关于、关于的函数关系式； (2)这三个函数中，哪些是二次函数？ 培优拔高 11．（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列命题中正确的有（   ）个． ①二元二次方程有无数组解． ②某四边形面积等于两对角线乘积的一半，则这个四边形是菱形． ③“任意作一条直线，并作出它的中点”是必然事件． ④形如的函数为二次函数． A．0 B．1 C．2 D．3 12．（24-25九年级上·全国·期末）若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）若函数 是二次函数，则a=（　　） A． B．4 C．4或 D．4或3 14．（2025·福建泉州·模拟预测）数学实验课，小明用4张面积相等的直角三角形纸片（任意两张均不能完全重合）做如下探究：如图，，将每张直角三角形纸片的一个锐角顶点与重合，一直角边在射线上，且另一个锐角顶点位于内部，得到4个位于内部的锐角顶点，探究这4个顶点的分布规律．关于这4个顶点，下列说法正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①它们中的任意三点都不在同一直线上；②它们可以在同一直线上； ③它们在双曲线的同一分支上；④它们可以在同一条抛物线上． 15．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． （1）若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； （2）若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； （3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 16．（2025九年级下·全国·专题练习）若函数是二次函数，则的值是 ． 17．（2025九年级下·全国·专题练习）若二次函数有最小值，则的值是 ． 18．（2025·广东佛山·三模）随着“双减”政策落地，同学们参加体育运动的时间比以往更加充裕．运动需要有一个合适的心率，既能达到较好的运动效果，又能保障运动安全．某综合实践小组准备研究心率与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系．在九年级随机抽取了20位男生，测试了跳绳持续时间与心率，通过计算得到跳绳持续时间与平均相对心率的数据如下： 跳绳持续时间（单位：秒） 0 30 60 90 140 … 平均相对心率 40 60 70 76 82 … (1)判断初中所学函数是否能很好地表示随变化的规律，说明理由； (2)经探究是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式； (3)从运动健康着想，平均相对心率不宜长时间超过．结合以上内容，问跳绳运动持续时间多少秒需要休息？ 19．（24-25九年级下·吉林·期中）如图, 在矩形中，．点从点 出发，沿射线方向运动，在运动过程中，以线段为斜边作等腰直角三角形．当经过点时，点停止运动：设点的运动距离为，与矩形重合部分的面积为 ． (1)当点落在边上时， ； (2)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)设的中点为 ，直接写出在整个运动过程中，点 移动的距离． 20．（2025·湖北孝感·一模）某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $