3.2.1单调性与最大（小）值教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1函数的单调性(第1课时) 【教学目标】 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性. 2.理解函数单调性的作用和实际意义. 3.在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用. 【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明． 【教学难点】 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学过程】 探究引入:通过观察和分析图象的特征，可以得到函数的一些性质.观察下图中的各个函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些性质吗? 探究一：函数单调性的探究 研究二次函数的单调性.画出它的函数图象，可以看到： 图象在y轴右侧部分从左到右是上升的，也就是说，当x0时，y随x的增大而增大.用符号语言描述，就是任意取，得到，那么当时，有.这时我们就说函数在区间上是单调递增的. 探究二：函数单调性的定义 定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间： 如果，当时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 【思考】，当时，都有，我们能说函数f(x)在区间D上单调递增吗?你能举例说明吗? 探究三：单调性的应用 例1 根据定义，研究函数的单调性. 分析:根据函数单调性的定义，需要考察当时，还是.根据实数大小关系的基本事实，只要考察f()f()与0的大小关系 解:函数的定义域是R. R，且，则 f()f()=((=k(-) 由，得-<0.所以 ①当>0时，k(-)<0 于是f()f()<0,即 这时，是增函数 ②当<0 时，k(-)>0 于是 f()f()>0,即 这时，是减函数. 定义法判断函数单调性的一般步骤： ①取值：在指定区间内任取，且； ②作差变形：作差，利用因式分解、配方等方法进行变形； ③判号：判断的符号； ④定论：确定函数的单调性。 例2 物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试对此用函数的单调性证明. 分析：根据题意，只要证明函数（）是减函数即可. 证明：，，且，则. 由，，得； 由，得. 又，于是， 即. 所以，根据函数单调性的定义，函数，是减函数.也就是说，当体积V减小时，压强p将增大. 例3 根据定义证明函数在区间上单调递增. 证明：，，且，有 . 由，，得，. 所以，. 又由，得. 于是， 即. 所以，函数在区间上单调递增. 【课堂练习】 练习2. 根据定义证明函数是增函数. 练习3. 证明函数在区间上单调递增. 【小结作业】 小结： 1.本节课我们主要学习了哪些内容？ 2.单调性的定义 3.单调性的应用 作业： 【板书设计】 3.2.1函数的单调性(第1课时) 1.单调性的定义 2.单调性的应用 3.定义法判断单调性的解题步骤 学科网（北京）股份有限公司 $