7.1 数列的概念及其表示-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

第一节　数列的概念及其表示 1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照__一定顺序__排列的一列数 数列的项 数列中的__每一个数__ 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项与__序号n__之间的关系式 前n项和 数列{an}中，Sn＝__a1＋a2＋…＋an__ 2.数列的表示法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用__公式__表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an与an＋1的关系式或a1，a2和an－1，an，an＋1的关系式等表示数列的方法 　数列的有关概念及通项公式 数列1,3,6,10，…的一个通项公式是(　　) A．an＝n2－(n－1) B．an＝n2－1 C．an＝ D．an＝ 【解析】　观察数列1,3,6,10，…可以发现 第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝. 所以an＝.故选C. 【答案】　C 由数列前几项归纳数列通项公式的方法及策略 (1)常用方法 观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．同时也可以使用添项、还原、分割等方法，转化为一个常见数列，通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式． (2)具体策略 ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征，如递增时可考虑关于n为一次递增或以2n,3n等形式递增； ③拆项后的特征； ④各项的符号特征和绝对值的特征； ⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系； ⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)n或(－1)n＋1，n∈N*来处理． [针对训练] 1．数列，，，，…的一个通项公式是　an＝　. 解析：因为7－3＝11－7＝15－11＝4，即a－a－1＝4，所以a＝3＋(n－1)×4＝4n－1，所以an＝. 　由an与Sn的关系求an (1)( 2025·湖南三市联考)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1的值为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. (2)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则a1＝________，{an}的通项公式为______________． 【解析】　(1)因为Sn＝，a4＝32，所以S4－S3＝－＝32，所以a1＝，故选A. (2)数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)， 所以(2n－1)an＝2，所以an＝. 当n＝1时，a1＝2，上式也成立． 所以an＝. 【答案】　(1)A　(2)2　an＝ 已知Sn求an的3个步骤 已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式，主要分成以下3个步骤完成： (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写． [针对训练] 2．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝__(－2)n－1__. 解析：由Sn＝an＋，得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，两式相减，整理得an＝－2an－1，又当n＝1时，S1＝a1＝a1＋，所以a1＝1，所以{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)n－1. 　由数列的递推关系求通项 (1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝(　　) A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n (2)若数列{an}满足a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则an＝________. (3)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋3，则an＝________. (4)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则an＝________. 【解析】　(1)因为an＋1－an＝ln＝ln(n＋1)－ln n， 所以a2－a1＝ln 2－ln 1， a3－a2＝ln 3－ln 2， a4－a3＝ln 4－ln 3， …… an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)． 把以上各式分别相加得an－a1＝ln n－ln 1， 则an＝2＋ln n(n≥2)， 因为a1＝2满足此式， 所以an＝2＋ln n(n∈N*)．故选A. (2)由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)， 得＝(n≥2)． 所以an＝···…···a1＝×××…×××1＝， 又a1＝1满足上式，所以an＝. (3)由an＋1＝2an＋3， 得an＋1＋3＝2(an＋3)． 令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4， 且＝＝2. 所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列． 所以bn＝4·2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3. (4)因为an＋1＝，a1＝1，所以an≠0， 所以＝＋，即－＝. 又a1＝1，则＝1， 所以是以1为首项，为公差的等差数列． 所以＝1＋(n－1)×＝＋＝. 所以an＝. 【答案】　(1)A　(2)　(3)2n＋1－3　(4) 　由数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)已知a1，且an－an－1＝f(n)(n≥2)，可用“累加法”求an. (2)已知a1(a1≠0)，且＝f(n)(n≥2)，可用“累乘法”求an. (3)已知a1，且an＋1＝qan＋b(q≠0且q≠1)，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可用待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列． (4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解． [针对训练] 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1，则an＝__2n－1＋n__. 解析：因为an＋1＝an＋2n－1＋1，所以an＋1－an＝2n－1＋1， 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋a1＋n－1＝＋2＋n－1＝2n－1＋n. 　数列的性质 角度一　数列的单调性 已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　) A．(3，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞) 【解析】　因为an＋1－an＝－＝，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝＜0，所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．故选D. 【答案】　D (1)解决数列单调性问题的三种方法 ①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列． ②用作商比较法，根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断． ③结合相应函数的图象直观判断． (2)求数列最大项或最小项的方法 ①可以利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项． ②利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项． 角度二　数列的周期性 设数列{an}满足：an＋1＝，a2 024＝3，那么a1＝(　　) A．－2　 B．2 C．－3　　D．3 【解析】　设a1＝x，由an＋1＝， 得a2＝，a3＝＝＝－， a4＝＝＝， a5＝＝＝x＝a1， 所以数列{an}是周期为4的周期数列． 所以a2 024＝a506×4＝a4＝＝3.解得x＝－2. 【答案】　A 解决数列周期性问题的方法 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和． [针对训练] 4．(2025·辽宁重点中学协作体联考)在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝sin，记Sn为数列{an}的前n项和，则S18＝(　C　) A．0　　 B．18　　　C．10　　　D．9 解析：因为an＋1－an＝sin， 所以an＋1＝an＋sin.因为a1＝1， 所以a2＝a1＋sin π＝1，a3＝a2＋sin＝0，a4＝a3＋sin＝0，a5＝a4＋sin＝1，a6＝a5＋sin＝1，a7＝a6＋sin＝0，a8＝a7＋sin＝0，…，故数列{an}为周期数列，周期为4. 所以S18＝4(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝10.故选C. 5．已知数列{an}满足an＝(n－λ)2n(n∈N*)，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是__(－∞，3)__． 解析：因为数列{an}是递增数列，所以an＋1＞an，所以(n＋1－λ)2n＋1＞(n－λ)2n，化为λ＜n＋2，对∀n∈N*都成立．所以λ＜3. 学科网（北京）股份有限公司 $