3.1.1函数的概念课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数概念及三要素，从初中函数定义引入，通过列车运行、工资计算等现实问题链，引导学生从变量对应过渡到集合语言刻画，搭建具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以空气质量指数图表、恩格尔系数表格等现实情境培养数学眼光，通过函数辨析问题发展数学思维，用集合语言精确表述定义体现数学语言严谨性。采用问题驱动教学，小结清晰，助力学生构建知识体系，教师可高效落实核心素养。

3.1函数的概念与性质 3.1.1函数的概念 1 学习目标： 1.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。 2.了解构成函数的要素。 教学重点： 用集合语言和对应关系刻画函数的概念。 教学难点： 对函数概念的理解. 问题引入 :初中学习的函数的概念是什么？ 设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数； 函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具： (1) 正方形的周长 l与边长x的对应关系： 这个函数与正比例函数 相同吗 ？ （2） 与 是同一个函数吗？ （3）你认为如何表述 与 的对应关系才更精确？ 问题1：某“复兴号”高速列车加速到 后保持匀速运行半小时. 思考 （1） 在这半小时内，列车行进的路程S与运行时间t的关系如何表示？这是一个函数吗？为什么？ 对于任意时刻t，都有唯一确定的路程S和它对应 变量与变量对应 对于数集 中的任意时刻t，在数集 中都有唯一确定的路程S和它对应 （2）有人说：“根据对应关系 这趟列车加速到 后 ，运行 就前进了 ,你认为这个说法正确吗 ？ 集合与集合对应 5 自变量的集合 对应关系 函数值的集合 对于———— 中的任意时刻t， 按照——————————————， 在—————中都有唯一确定的路程S和它对应。 （3） 你能仿照问题1，给出这道题中w与d的对应关系的精确表示吗？ 问题2：某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定 的工 资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资。 思考： （1） 你认为该怎样确定一个工人每周的工资？ （2）一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？ （4）问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一 个函数吗？为什么？影响函数的要素有哪些？ 自变量的集合 对应关系 函数值的集合 （2） 你能根据图3.1—1找到中午12时的AQI的值吗？ （3） 你认为这里的I是t的函数吗？ 如果是，你能仿照前面的方法描述I与t的对应关系吗？ 问题3： 图3.1--1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index ,jiancheng AQI)变化图。 思考：（1）如何根据该图确定这一天内任意时刻th的空气质量指数（AQI)的值I？ 问题4： 国际上常用恩格尔系数r( ）反映一个地区人民生活质量的高低， 恩格尔系数越低， 生活质量越高．表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以 看出，该省城镇居民的生活质量越来越高． 你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？ 表3.1-1 我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况 年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57 问题5：上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？ 问题情境 自变量的集合 对应关系 函数值所在的集合 函数值的集合 问题1 问题2 问题3 图3.1---1 问题4 表3.1---1 A f B 函数 定义：一般地，设A , B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域 函数的三个要素： 定义域 对应关系 值域 问题6：如果用函数的定义重新认识一次函数，二次函数，反比例函数该怎样表述这些函数呢？ 函数 定义域 值域 对应关系 一次函数 二次函数 反比例函数 函数的应用 例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律. 例如，正比例函数 可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等。 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式 来描述 解：把 看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是 ，对应关系 f 把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数x(10-x)。 如果对x的取值范围作出限制，例如 ，那么可以构建如下情境： 长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么y=x(10-x)， 其中，x的取值范围是 ， y的取值范围是 ，对应关系f把每一个长方形的边长x，对应到唯一确定的面积x(10-x)， 探究：构建其他可用解析式y=x(10-x)描述其中变量关系的问题情境。 答案：设两个实数的和为10，其中一个数为x，这两个数的积为y，则y=x(10-x)，其中x的取值范围为A=R，y的取值范围为 ，对应关系 f 把A中任一x值对应B中唯一确定的x(10-x). 课堂小结 ——你学到了那些新知识呢？ 1.函数的定义； 2.函数的三要素； 3.函数概念的应用。 作业： 1.课后63--64页 练习 2.习题3.1第8,10,11题 $