5.5 函数y＝A sin (ωx＋φ)及三角函数的应用-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

第五节　函数y＝Asin(ωx＋φ)及三角函数的应用 1．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的五个关键点 x － － － － － ωx＋φ __0__ 　　 __π__ 　　 __2π__ y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 答案：|φ|　 (1)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标． 　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及图象变换 (2025·湖南长沙雅礼中学模拟)要得到函数y＝cos的图象，可以把函数y＝sin的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【解析】　函数y＝cos ＝sin ＝sin ＝sin， 所以只需将y＝sin的图象向左平移个单位长度就可以得到y＝cos的图象．故选D. 【答案】　D 1．由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度． 2．如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数， ω为负时应先变成正值． [针对训练] 1．(2025·广州市调研测试)由y＝2sin的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数解析式为(　A　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 解析：由y＝2sin的图象向左平移个单位长度，可得y＝2sin＝2sin＝2sin的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin的图象，故所得图象对应的函数解析式为y＝2sin，故选A. 　由图象求解析式 (2025·四川蓉城名校第一次联考)若将函数g(x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin C．g(x)＝sin 2x D．g(x)＝sin 【解析】　根据题图有A＝1，T＝－＝⇒T＝π＝⇒ω＝2(T为f(x)的最小正周期)，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，由f＝sin＝1⇒sin＝1⇒＋φ＝＋2kπ，k∈Z⇒φ＝＋2kπ，k∈Z. 因为|φ|＜，所以φ＝， 所以f(x)＝sin，将f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝f＝sin＝sin 2x.故选C. 【答案】　C 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m， 则A＝，b＝. (2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝. (3)求φ，常用的方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)； ②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下： “最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝＋2kπ(k∈Z)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)． [针对训练] 2.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为f(x)＝sin. 解析：由题图知A＝，＝－＝，所以T＝π，ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，又对应五点法作图中的第三个点，所以2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ (k∈Z)，又|φ|<π，所以φ＝，所以f(x)＝sin. 　函数y＝sin(ωx＋φ)的综合应用 角度一　图象与性质的综合 (2025·内蒙古通辽蒙古族中学模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象中相邻的两条对称轴之间的距离为，将函数y＝(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则(　　) A．函数f(x)的周期为2π B．函数f(x)的图象关于点(，0)对称 C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 D．函数f(x)在上单调 【解析】　因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0, |φ|<)的图象中相邻的两条对称轴之间的距离为，所以周期T＝π，所以A错误； ω＝＝2， 所以函数f(x)＝sin(2x＋φ)， 将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象的解析式为 y＝sin. 因为其图象关于y轴对称， 所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 即φ＝－＋2kπ，k∈Z. 因为|φ|<，所以φ＝－， 即f(x)＝sin， 其图象的对称中心满足2x－＝kπ，k∈Z， 解得x＝＋，k∈Z，所以B错误； 其图象的对称轴满足2x－＝＋kπ，k∈Z， 解得x＝＋，k∈Z，所以C错误； 其单调增区间满足－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以D正确． 【答案】　D 解决三角函数图象与性质的综合问题的关键 首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念． 角度二　三角函数与数形结合的综合 已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在(，π)上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________． 【解析】　方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈. 设2x＋＝t，则t∈. 所以题目条件可转化为＝sin t， t∈有两个不同的实数根．所以直线y＝和函数y＝sin t，t∈的图象有两个不同的交点，如图： 由图象知，的取值范围是(－1，－)， 故m的取值范围是(－2，－1)． 【答案】　(－2，－1) 巧用图象解决三角函数中的零点(方程根)问题 解决三角函数中的零点(方程根)问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决． [针对训练] 3．若将本例中的“有两个不同的实数根”变为“有一个实数根”，则m的取值范围是__－1≤m<1或m＝－2__. 角度三　三角函数的实际应用 　如图，某公园摩天轮的半径为40 m，圆心距离地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处． (1)已知时刻t(min)与距离地面的高度y(m)的关系式为y＝Asin(ωt＋φ)＋h(其中A>0，ω>0，|φ|<π)，求2 024 min 时P距离地面的高度； (2)当人距离地面(50＋20)m以上时，可以看到公园的全貌，求人坐在摩天轮上转一圈有多少时间可以看到公园的全貌． 【解】　(1)令f(t)＝y＝Asin(ωt＋φ)＋h. 依题意，A＝40，h＝50，T＝3，则ω＝， 且f(0)＝10，故φ＝－， 所以f(t)＝40sin＋50(t≥0)， 所以f(2 024)＝40sin＋50＝70. 故2 024 min时P距离地面的高度为70 m. (2)由(1)知y＝40 sin(t－)＋50＝50－40cos(t)(t≥0)， 令y>50＋20， 得－40cos(t)>20， 即cos(t)<－， 所以2kπ＋<t<2kπ＋，k∈N， 所以3k＋<t<3k＋，k∈N， 因为3k＋－＝＝0. 5，所以人坐在摩天轮上转一圈有0.5 min可以看到公园的全貌． 三角函数模型的应用策略 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题． (2)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． [针对训练] 4．(2025·山东师范大学附中高三开学考)(多选)将曲线C1：y＝sin x上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2：y＝f(x)，则下列正确的是(　BCD　) A．f(x)＝sin(2x＋) B．f(－x)＝f(x) C．f(x)在[0，π]上有2个零点 D．f(x)在上单调递增 解析：将曲线C1：y＝sin x上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线y＝sin 2x，再把得到的曲线y＝sin 2x向左平移个单位长度，得到曲线C2：y＝f(x)＝sin(2x＋)，故A错误；对于B：f(－x)＝sin＝sin(－2x)，因为(2x＋)＋(－2x)＝π，所以sin(－2x)＝sin(2x＋)，即f(－x)＝f(x)，故B正确；令f(x)＝sin(2x＋)＝0，解得x＝－，k∈Z，当x∈[0，π]时，得x＝或x＝，即f(x)在[0，π]上有2个零点，故C正确；当x∈时，(2x＋)∈(－，)，所以f(x)在(－，)上单调递增，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $