5.4用一次函数解决问题（1） 导学案 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学导学案围绕“用一次函数解决问题”展开，通过纸杯叠放情境导入，引导学生观察不同个数纸杯的总高度，分析变量关系，建立一次函数模型，连接一次函数概念与实际应用，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以生活化情境（如出租车计费、工厂生产等）设计问题，层层递进，帮助学生从实际中抽象函数关系，培养抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）和模型观念（数学语言），习题覆盖多场景，强化应用意识，提升用数学解决实际问题的能力。

2025年秋八年级数学上册导学案(5-9) 主备人：张二平 班级 学生姓名： 课题：5.4用一次函数解决问题（1） 学习目标： 1、能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式. 2、能将简单的实际问题转化为数学问题（建立一次函数），从而解决实际问题. 3、在解题过程中，进一步发展学生的形象思维能力，增强运用数学解决问题的意识. 学习重点：运用函数观点探索实际问题的数量关系。 学习难点：强化数学建模思想，培养运用已有知识灵活处理问题的能力。 自学要求：认真阅读教材P163-164，回答下列问题： 1、 新知体验： 1、 情境引入： 问题：为了方便运输和销售，生产企业常把相同的纸杯叠放成一摞进行包装， 当一摞纸杯的个数分别是5，10，15，20，25时，每纸杯的总高度分别是多少? 2、 探索新知： 思考： 一摞纸杯的高度和哪些量有关系? 每增加一个纸杯总高度的增加值相同. 如果一个纸杯的高度是7.5cm，每叠放1个纸杯， 纸杯的总高度增加0.5cm，那么当纸杯的个数确定时， 纸杯的总高度随之确定，纸杯的总高度是纸杯个数的 函数，函数表达式为：y= ,其中自变量x取正整数, 只要把函数表达式中x的取值分别用5，10，15，20，25代人，就可以得到各摞纸杯的总高度， 分别是9.5cm，12cm，14.5cm，17cm, 19.5cm .建立一次函数的模型，可以帮助我们解决一类 实际问题。 小结： 根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式，将简单的实际问题转化为数学问题 （建立一次函数），从而解决实际问题. 试一试： 某市出租车的收费标准：不超过3km计费为7.0元，3km后按2.4元/km计费，写出车费y（元） 与路程x（km）之间的函数关系式。小亮乘出租车出行，付费12.3元，小亮乘车的路程约为 多少千米（精确到0.1km）？ 二、例题讲解 例1、某工厂生产一种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为12000元/天，该种产品的原料及加工成本为900元/件，每天生产的产品以1200元/件全部售出:(成本包括固定成本、原料及加工成本)(1)说明利润y(元/天)是生产数量x(件/天)的函数，并写出函数表达式(2)如果某天生产了50件产品，那么这天的利润是多少元? 三、基础强化： 1、通过进水管给蓄水池匀速注水，注水时间为1h时，蓄水池中水量达到400m;注水时间为2.5h时， 蓄水池中水量达到 850 m3. (1)说明蓄水池的水量Q(m°)是注水时间t(h)的函数，并写出函数表达式； (2)注水前，蓄水池里有水吗?如果有，有多少立方米? (3)当注水时间为多少时，蓄水池中水量可达到1000m'? 2、书店管理员将一批每本厚度为2.4cm的书整理堆放在高度 为50cm的柜子上，考虑安全因素，最上面一本书的上表面 距地面的高度不能高于 1.4m。 (1)说明最上面那本书上表面距地面的高度y(cm)是书的数量 x(本)的函数，并写出函数表达式及自变量的取值范围； (2)每摞最多可以摆放多少本书? 3、小明用软件制作演示文稿，设置每张幻灯片停留5s，切换到下一张需要1s. (1)说明总播放时间t(s)是幻灯片数量x(张)的函数，并写出函数表达式； (2)如果总播放时间不能超过3min，那么最多可放置多少张幻灯片? 4、 拓展提高： 如图，公路上有A，B，C三个汽车站，一辆汽车8:00从离A站10km的P地出发， 向C站匀速行驶，15min后离A站30km。 (1)设出发xh后，汽车离A站ykm，说明y是x的函数，并写出函数表达式. (2)当汽车行驶到离A站250km的B站时，接到通知要在12:00前赶到离B站60km的C站， 汽车按原速度行驶，能否在规定时间前到达?如果能，那么汽车何时到达C站? 五、总结反思： 1、用函数观点解决实际问题的关键是根据实际问题中数量关系，从而建立数学模型（一次函数模型）。 2、解题时，要紧扣一次函数的定义，图像、性质等相关知识，从而确定表达式. 六、达标检测： 小丁每天从某报社以每份0.5元买进报纸200份，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天 可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元。 （1）求y与x之间的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）； （2）如果每月以30天计算，小丁每天至少要卖多少份报纸才能保证每月收入不低于2000元？ 学科网（北京）股份有限公司 $