第9章 第2节-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（教师课件）

第九章 平面解析几何 第二节　两条直线的位置关系 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 01 基础知识必备 02 考点知识突破 03 高考预测练 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 相交 重合 平行 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 　 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 　 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 12x＋8y－15＝0 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 　 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 “课下练习”见“高考预测练（三十八）” (单击进入电子文档) 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 谢 谢 观 看 按ESC键退出全屏播放 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 1．两条直线平行与垂直的判定 条件 两直线位置关系 斜率的关系 两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2 平行 _________ k1与k2都不存在 垂直 _________ k1与k2一个为零、另一个不存在 k1＝k2 k1k2＝－1 注意斜率不存在的情形，要分类讨论． 2．两条直线的交点 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 ​_____ ​_____ ​_____ 3.三种距离 类型 条件 距离公式 两点间的距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12) 点到直线的距离 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)) 两平行直线间的距离 l：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离 d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)) 4.线段的中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M 的坐标为(x，y)，则________________为线段P1P2的中点坐标公式． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2))) 5．与对称问题相关的两个结论 (1)点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为_________________________ (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b(k≠0)的对称点为P′(x′，y′)， 则有________________________　，可求出x′，y′. P′(2a－x0,2b－y0) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b)) (1)过已知点P(x0，y0)的直线系y－y0＝k(x－x0)(k为参数)． (2)斜率为k的平行直线系方程y＝kx＋b(b为参数)． (3)与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ为参数)． (4)与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)． (5)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数)(但不包含直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 两直线的位置关系 (一题多解)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)当l1∥l2时，求a的值； (2)当l1⊥l2时，求a的值． 【解】　(1)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0， l2：x＝0，l1不平行于l2； 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0， l1不平行于l2； 当a≠1且a≠0时， 两直线方程可化为l1：y＝－eq \f(a,2)x－3， l2：y＝eq \f(1,1－a)x－(a＋1)， 由l1∥l2可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)＝\f(1,1－a)，,－3≠－a＋1，))解得a＝－1. 综上可知，a＝－1. 法二：由l1∥l2知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(aa－1－1×2＝0，,aa2－1－1×6≠0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－a－2＝0，,aa2－1≠6))⇒ a＝－1. (2)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0， l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合； 当a≠1时，l1：y＝－eq \f(a,2)x－3，l2：y＝eq \f(1,1－a)x－(a＋1)，由l1⊥l2， 得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))·eq \f(1,1－a)＝－1⇒a＝eq \f(2,3). 法二：因为l1⊥l2，所以A1A2＋B1B2＝0， 即a＋2(a－1)＝0，得a＝eq \f(2,3). [针对训练] 1．求满足下列条件的直线方程． (1)过点P(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0； (2)已知A(1,2)，B(3,1)，线段AB的垂直平分线． 解：(1)设直线方程为x－2y＋c＝0，把P(－1,3)代入直线方程得c＝7，所以直线方程为x－2y＋7＝0. (2)AB中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋3,2)，\f(2＋1,2)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))， 直线AB斜率kAB＝eq \f(2－1,1－3)＝－eq \f(1,2)， 故线段AB垂直平分线斜率k＝2， 所以其方程为y－eq \f(3,2)＝2(x－2)，即4x－2y－5＝0. 两直线的交点与距离问题 角度一　两直线的交点与直线过定点 (1)对于任给的实数m，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过一定点，则该定点的坐标为(　　) A．(9，－4)　　　　 B．(－9，－4) C．(9,4) D．(－9,4) (2)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________． 【解析】　(1)(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5即为m(x＋2y－1)＋(－x－y＋5)＝0，故此直线过直线x＋2y－1＝0和－x－y＋5＝0的交点．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y－1＝0，,－x－y＋5＝0))得定点的坐标为(9，－4)．故选A. (2)由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，)) 即P(0,2)．因为l⊥l3，所以直线l的斜率k＝－eq \f(4,3)，所以直线l的方程为y－2＝－eq \f(4,3)x，即4x＋3y－6＝0. 【答案】　(1)A　(2)4x＋3y－6＝0 角度二　三种距离问题 (1)已知点P(－1，－1)，A(1,0)，B(0,1)，则△ABP的面积为________． (2)若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是eq \r(5)，则m＋n＝________. 【解析】　(1)因为A(1,0)，B(0,1)，所以|AB|＝eq \r(2)，直线AB的方程为x＋y－1＝0，则点P(－1，－1)到直线AB的距离d＝eq \f(3,\r(2))，所以△ABP的面积为eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \f(3,\r(2))＝eq \f(3,2). (2)因为l1，l2平行，所以1×n＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m，解得n＝－4，m≠－3，所以直线l2：x－2y－3＝0.又l1，l2之间的距离是eq \r(5)，所以eq \f(|m＋3|,\r(1＋4))＝eq \r(5)，得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝－2. 【答案】　(1)eq \f(3,2)　(2)－2 两种距离的求解思路 (1)点到直线的距离的求法 可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离的求法 ①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离． ②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式)． [针对训练] 2．与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是___________________. 解析：l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－eq \f(3,2)＝0， 所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c＝0， 则|c＋6|＝|c＋eq \f(3,2)|，解得c＝－eq \f(15,4)， 所以l的方程为12x＋8y－15＝0. 对称问题 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程． 【解】　(1)设A′(x，y)，由已知得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))所以A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))). (2)在直线m上取一点，如M(2,0)， 则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上． 设M′(a，b)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1.)) 解得M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))). 设直线m与直线l的交点为N， 则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0.))得N(4,3)． 又因为m′经过点N(4,3)， 所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. 1．关于中心对称问题的处理方法 (1)若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1.)) (2)求直线关于点的对称直线的方程的主要方法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然斜率必须存在． 2．关于轴对称问题的处理方法 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在l上，且直线P1P2垂直于直线l，由方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A·\f(x1＋x2,2)＋B·\f(y1＋y2,2)＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，)) 可得点P1，关于直线l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)． [针对训练] 3．已知点A(1,3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2,1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是_______. eq \f(5,6) 解析：由题意得线段AB的中点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))在直线y＝kx＋b上，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2,3)·k＝－1，,－\f(1,2)k＋b＝2，))解得k＝－eq \f(3,2)，b＝eq \f(5,4)，所以直线方程为y＝－eq \f(3,2)x＋eq \f(5,4).令y＝0，即－eq \f(3,2)x＋eq \f(5,4)＝0，解得x＝eq \f(5,6)，故直线y＝kx＋b在x轴上的截距为eq \f(5,6). $