第8章 第1节-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（教师课件）

第八章 立体几何 第一节　基本立体图形 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 01 基础知识必备 02 考点知识突破 03 高考预测练 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 平行且相等 平行 一点 三角形 梯形 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 垂直 一点 一点 圆 矩形 扇形 扇环 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 斜二测 45°或135° 一半 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 2πrl πrl π(r＋r′)l 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 　 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 B 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 　 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 D 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 　 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 A 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 2 600π 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 　 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 A 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 “课下练习”见“高考预测练（三十一）” (单击进入电子文档) 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 谢 谢 观 看 按ESC键退出全屏播放 第八章 立体几何 返回导航 下一页 上一页 1．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相________ 侧棱 ______________ 相交于________但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 __________ ________ 2.旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 平行、相等且_______于底面 相交于________ 延长线交于________ 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 ______ 侧面展开图 ________ ________ ________ 3.空间几何体的直观图常用__________画法来画，其规则是： (1)“斜”：直观图中，x′轴，y′轴的夹角为______________. (2)“二”：原图形中平行于y轴的线段长度在直观图中长度为原来的__________ 4．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝___________ S圆锥侧＝___________ S圆台侧＝_____________ 5.空间几何体的表面积与体积公式 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝________ 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝________ S底h eq \f(1,3)S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h 球 S＝________ V＝________ 4πR2 eq \f(4,3)πR3 空间几何体的结构特征 给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等． 其中正确命题的个数是 (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】　①不一定，只有当这两点的连线垂直于底面时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且对应边互相平行．棱台的各侧棱延长线交于一点，但是这些侧棱的长不一定相等． 【答案】　A 有关空间几何体结构特征的解题策略 (1)关于空间几何体的结构特征辨析的关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需单一个反例． (2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系． (3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略． [针对训练] 1．给出以下命题： ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：由圆台的定义可知①错误．②正确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确． 空间几何体的直观图 一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′C′⊥x′，A′B′⊥x′，B′C′∥y′，则四边形OABC的面积为　　(　　) A.eq \f(3\r(2),2) B．3eq \r(2) C．3 D.eq \f(3,2) 【解析】　平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′是直角梯形，其面积为eq \f(1,2)×(1＋2)×1＝eq \f(3,2)；根据平面图形与它的直观图面积比为1∶eq \f(\r(2),4)， 计算四边形OABC的面积为eq \f(\f(3,2),\f(\r(2),4))＝3eq \r(2).故选B. 【答案】　B [针对训练] 2．已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　) A.eq \f(\r(3),4)a2 B.eq \f(\r(3),8)a2 C.eq \f(\r(6),8)a2 D.eq \f(\r(6),16)a2 解析：如图①②所示的实际图形和直观图， 由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq \f(1,2)OC＝eq \f(\r(3),4)a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝eq \f(\r(2),2)O′C′＝eq \f(\r(6),8)a.所以S△A′B′C′＝eq \f(1,2)A′B′·C′D′＝eq \f(1,2)×a×eq \f(\r(6),8)a＝eq \f(\r(6),16)a2.故选D. 原图形与直观图中的“三变”与“三不变” (1)“三变”eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(坐标轴的夹角改变,与y轴平行的线段的长度改变减半,图形改变)) (2)“三不变”eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(平行性不变,与x轴、z轴平行的线段长度不变,相对位置不变)) A．4＋4eq \r(2) B．4＋4eq \r(3) C．12 D．8＋4eq \r(2) 空间几何体的表面积与体积 角度一　空间几何体的表面积 (1)(2025·河南周口模拟)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为(　　) (2)(2025·四川泸州一诊)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为(　　) A．(5＋eq \r(2))π B．(4＋eq \r(2))π C．(5＋2eq \r(2))π D．(3＋eq \r(2))π 【解析】　(1)连接A1B.因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2eq \r(2)，BC＝eq \r(2).又AB⊥BC，则AB＝eq \r(2)，则该三棱柱的侧面积为2eq \r(2)×2＋2×2＝4＋4eq \r(2)，故选A. (2)因为在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，所以将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥，所以该几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×eq \r(12＋12)＝(5＋eq \r(2))π.故选A. 【答案】　(1)A　(2)A 三类几何体表面积的求法 求多面体的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积． 求旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系． 求不规则几何体的表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积. 角度二　空间几何体的体积 (2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为eq \r(3)，则圆锥的体积为(　　) A．2eq \r(3)π B．3eq \r(3)π C．6eq \r(3)π D．9eq \r(3)π 【解析】　设圆柱和圆锥的底面半径均为r，因为它们的高均为eq \r(3)，且侧面积相等，所以2πr×eq \r(3)＝πreq \r(\r(3)2＋r2)，得r2＝9，所以圆锥的体积V＝eq \f(1,3)πr2×eq \r(3)＝3eq \r(3)π，故选B. 【答案】　B 1．处理体积问题的思路 (1)“转”：指的是转换底面与高，将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面，或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解的高． (2)“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算． (3)“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原成一个四棱柱，这些都是拼补的方法． 2．求空间几何体的体积的常用方法 (1)公式法：对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解． (2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积． (3)等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．当一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是求三棱锥的体积． [针对训练] 3．如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为(　　) A.eq \f(\r(3),12) B.eq \f(\r(3),4) C.eq \f(\r(6),12) D.eq \f(\r(6),4) 解析：三棱锥B1­ABC1的体积等于三棱锥A­B1BC1 的体积，三棱锥A­B1BC1的高为eq \f(\r(3),2)，底面积为eq \f(1,2)，故其体积为eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),12).故选A. 4．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝_______________cm2. 解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝eq \f(1,2)×(50＋80)×(π×40)＝2 600π(cm2)． 与球有关的相接、相切问题 (2025·海南模拟)四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则四面体ABCD的体积为________，球O的表面积为________． 【解析】　因为AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，所以四面体ABCD的体积＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×2×3＝1；把此四面体补形为长方体，球的直径即为长方体的体对角线. 设球O的半径为r，则(2r)2＝12＋22＋32＝14.其表面积＝4πr2＝14π. 【答案】　1　14π 解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是： [针对训练] 5．正四棱锥P­ABCD的侧棱和底面边长都等于2eq \r(2)，则它的外接球的表面积是(　　) A．16π B．12π C．8π D．4π 解析：设正四棱锥的外接球半径为R，顶点P在底面上的射影为O，因为OA＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2) eq \r(AB2＋BC2)＝eq \f(1,2) eq \r(2\r(2)2＋2\r(2)2)＝2，所以PO＝eq \r(PA2－OA2)＝eq \r(2\r(2)2－22)＝2.又OA＝OB＝OC＝OD＝2，由此可知R＝2，于是S球＝4πR2＝16π.故选A. $