第7章 第2节-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（教师课件）

第七章 数列 第二节　等差数列 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 01 基础知识必备 02 考点知识突破 03 高考预测练 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 一次函数 孤立 递增 递减 常数列 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 二次函数 孤立的点 大 小 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 2d md 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 　 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 B 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 　 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 C 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 C 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 “课下练习”见“高考预测练（二十八）” (单击进入电子文档) 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 谢 谢 观 看 按ESC键退出全屏播放 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 an＋an＋2 an＋m＋an－m 1．等差数列与等差中项 (1)等差数列的定义式：___________＝d(常数)(n∈N*)． (2)等差中项： ①定义：a，A，b成等差数列，A叫a，b的等差中项． ②公式：a，A，b成等差数列⇔_____________. ③性质：{an}是等差数列⇒2an＋1＝_________或2an＝__________. an＋1－an A＝eq \f(a＋b,2) na1＋eq \f(nn－1,2)d eq \f(na1＋an,2) (3)通项公式及其推广式 ①通项公式：an＝_____________. ②推广式：an＝am＋_____________， 推广式的变形d＝________， ③an＝pn＋q(p，q是常数)(即an是n的一次函数) (4)前n项和公式 Sn＝__________________或Sn＝_________. a1＋(n－1)d (n－m)d eq \f(an－am,n－m) 2．等差数列与函数的关系 (1)等差数列{an}的通项公式可写成an＝_______________，当d≠0时，它是关于n的____________，它的图象是直线y＝dx＋(a1－d)上横坐标为正整数的均匀分布的一系列________的点． 注：当d>0时，{an}是________数列； 当d<0时，{an}是________数列； 当d＝0时，{an}是____________ dn＋(a1－d) (2)前n项和公式可变形为Sn＝_____________，当d≠0时，它是关于n的常数项为0的____________，它的图象是抛物线y＝eq \f(d,2)x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x上横坐标为正整数的均匀分布的一系列___________ 注：若a1>0，d<0，则Sn存在最______值；若a1<0，d>0，则Sn存在最______值． eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n 3．等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__________________. (2)若{an}是等差数列，则{a2n}也是等差数列，公差为____. (3)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (4)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为________的等差数列． ak＋al＝am＋an (5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (6)S2n－1＝(2n－1)an. (7)若n为偶数，则S偶－S奇＝eq \f(nd,2)； 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． (8)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为eq \f(an,bn)＝eq \f(S2n－1,T2n－1). 等差数列的基本运算 (2024·全国甲卷(理))设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(　　) A.eq \f(7,2)　　　　　　　　 B.eq \f(7,3) C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(7,11) 【解析】　由S5＝S10，得eq \f(5a1＋a5,2)＝eq \f(10a1＋a10,2)，所以5a3＝5(a3＋a8)，所以a8＝0，公差d＝eq \f(a8－a5,8－5)＝－eq \f(1,3)，所以a1＝a5－4d＝1－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq \f(7,3)，故选B. 【答案】　B 等差数列基本量运算的常见类型及解题策略 (1)求公差d或项数n：在求解时，一般要运用方程思想． (2)求通项：a1和d是等差数列的两个基本元素． (3)求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解． (4)求前n项和：利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． [针对训练] 1．(2025·全国二卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S3＝6，S5＝－5，则S6＝(　 　) A．－20 B．－15 C．－10 D．－5 解析：根据S3＝3a2＝6得a2＝2，根据S5＝5a3＝－5得a3＝－1，所以{an}的公差d＝a3－a2＝－3，所以a6＝a3＋3d＝－10，所以S6＝S5＋a6＝－5－10＝－15. 等差数列的判定与证明 (1)已知数列{an}满足a1＝－eq \f(2,3)，an＋1＝eq \f(－2an－3,3an＋4)(n∈N*)． ①证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))是等差数列； ②求{an}的通项公式． (2)已知数列{an}中，a1＝eq \f(1,4)，其前n项和为Sn，且满足an＝eq \f(2S\o\al(2,n),2Sn－1)(n≥2)，求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差数列． 【解】　(1)①因为an＋1＋1＝eq \f(－2an－3,3an＋4)＋1＝eq \f(an＋1,3an＋4)， 所以eq \f(1,an＋1＋1)＝eq \f(3an＋4,an＋1)＝3＋eq \f(1,an＋1)，所以eq \f(1,an＋1＋1)－eq \f(1,an＋1)＝3， 所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))是首项为eq \f(1,a1＋1)＝3， 公差为3的等差数列． ②由①得eq \f(1,an＋1)＝3n，所以an＝eq \f(1,3n)－1. (2)由题意得当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq \f(2S\o\al(2,n),2Sn－1)， 整理得Sn－1－Sn＝2SnSn－1， 所以eq \f(1,Sn)－eq \f(1,Sn－1)＝2， 又因为eq \f(1,S1)＝eq \f(1,a1)＝4， 所以数列{eq \f(1,Sn)}是以4为首项，2为公差的等差数列． 等差数列的判定与证明方法 方法 解读 适合题型 定义法 对于数列{an}，an－an－1＝(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列 解答题中的证明问题 等差中项法 对于数列{an},2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列 通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列 选择、填空题中的判断问题 前n项和公式法 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，Sn为数列{an}的前n项和)⇔{an}是等差数列 [针对训练] 2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq \f(an,an＋1)，且bn＝eq \f(1,an)，n∈N*.求证：数列{bn}为等差数列． 证明：因为bn＝eq \f(1,an)，且an＋1＝eq \f(an,an＋1)，所以bn＋1＝eq \f(1,an＋1)＝eq \f(an＋1,an)＝1＋eq \f(1,an)＝1＋bn，故bn＋1－bn＝1.又b1＝eq \f(1,a1)＝1， 所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列． 等差数列的性质及应用 角度一　等差数列项性质的应用 (1)(一题多解)在公差不为0的等差数列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，则eq \f(1,5)a4＝(　　) A．－1　　 B．0　　　C．1　　　 D．2 (2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d＝________. 【解析】　(1)通解：设数列{an}的公差为d(d≠0)，由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a1＋2d)＋(a1＋10d)－3(a1＋4d)＝10，即2a1＋6d＝10，即a1＋3d＝5，故a4＝5，所以eq \f(1,5)a4＝1，故选C. 优解一：设数列{an}的公差为d(d≠0)，因为an＝am＋(n－m)d，所以由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a4－d)＋(a4＋7d)－3(a4＋d)＝10，整理得a4＝5，所以eq \f(1,5)a4＝1，故选C. 优解二：由等差数列的性质，得2a7＋3a3－3a5＝10，得4a5＋a3－3a5＝10，即a5＋a3＝10，则2a4＝10，即a4＝5，所以eq \f(1,5)a4＝1，故选C. (2)设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，公差为d. 由已知条件，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S奇＋S偶＝354，,S偶∶S奇＝32∶27，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S偶＝192，,S奇＝162.))又S偶－S奇＝6d， 所以d＝eq \f(192－162,6)＝5. 【答案】　(1)C　(2)5 角度二　等差数列前n项和性质的应用 (1)已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为(　　) A．100 B．120 C．390 D．540 (2)在等差数列{an}中，a1＝－2 023，其前n项和为Sn，若eq \f(S12,12)－eq \f(S10,10)＝2，则S2 023的值等于(　　) A．－2 018 B．－2 016 C．－2 019 D．－2 017 【解析】　(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，则S10，S20－S10，S30－S20成等差数列， 所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)， 又等差数列{an}的前10项和为30，前30项和为210，所以2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.故选A. (2)由题意知，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，其公差为1，所以eq \f(S2 023,2 023)＝eq \f(S1,1)＋(2 023－1)×1＝－2 023＋2 022＝－1. 所以S2 018＝－2 023.故选A. 【答案】　(1)A　(2)A 角度三　等差数列的前n项和的最值 (一题多解)(2025·广东省七校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，则Sn取得最大值时n的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 【解析】　法一：设数列{an}的公差为d，则由题意得， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋5d＋a1＋7d＝6，,a1＋6d＋a1＋7d＋a1＋8d＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝15，,d＝－2.)) 所以an＝－2n＋17，由于a8＞0，a9＜0，所以Sn取得最大值时n的值是8，故选D. 法二：设数列{an}的公差为d，则由题意得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋5d＋a1＋7d＝6，,a1＋6d＋a1＋7d＋a1＋8d＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝15，,d＝－2，)) 则Sn＝15n＋eq \f(nn－1,2)×(－2)＝－(n－8)2＋64，所以当n＝8时，Sn取得最大值，故选D. 【答案】　D 1．等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔eq \f(am－an,m－n)＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差． (2)和的性质：在等差数列{an}中，已知Sn为其前n项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an. 2．求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法 (1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助函数图象求二次函数的最值的方法求解． (2)邻项变号法： ①当a1>0，d<0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值Sm； ②当a1<0，d>0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值Sm. [针对训练] 3．(一题多解)(2025·福建省质量检查)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a8－a5＝9，S8－S5＝66，则a33＝(　　) A．82 B．97 C．100 D．115 解析：通解：设等差数列{an}的公差为d，则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a8－a5＝9，,S8－S5＝66，)) 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋7d－a1＋4d＝9，,8a1＋28d－5a1＋10d＝66，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(d＝3，,a1＝4，))所以a33＝a1＋32d＝4＋32×3＝100，故选C. 优解：设等差数列{an}的公差为d，由a8－a5＝9，得3d＝9，即d＝3.由S8－S5＝66，得a6＋a7＋a8＝66，结合等差数列的性质知3a7＝66，即a7＝22，所以a33＝a7＋(33－7)×d＝22＋26×3＝100，故选C. 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15>0，S16<0，则Sn的最大值是(　　) A．S1 B．S7 C．S8 D．S15 解析：由等差数列的前n项和公式可得S15＝15a8>0，S16＝8(a8＋a9)<0，所以a8>0，a9<0，则d＝a9－a8<0，所以在数列{an}中，当n<9时，an>0，当n≥9时，an<0，所以当n＝8时，Sn最大，故选C. 5．两等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(7n＋2,n＋3)，则eq \f(a2＋a20,b7＋b15)＝__________. 解析：因为数列{an}和{bn}均为等差数列，所以eq \f(a2＋a20,b7＋b15)＝eq \f(a1＋a21,b1＋b21)＝eq \f(\f(a1＋a21×21,2),\f(b1＋b21×21,2))＝eq \f(S21,T21)＝eq \f(7×21＋2,21＋3)＝eq \f(149,24). eq \f(149,24) $