第7章 第1节-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（教师课件）

第七章 数列 第一节　数列的概念及其表示 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 01 基础知识必备 02 考点知识突破 03 高考预测练 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 一定顺序 每一个数 序号n 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 公式 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 　 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 　 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 　 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 　 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 C 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 “课下练习”见“高考预测练（二十七）” (单击进入电子文档) 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 谢 谢 观 看 按ESC键退出全屏播放 第七章 数列 返回导航 下一页 上一页 1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照____________排列的一列数 数列的项 数列中的____________ 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项与______之间的关系式 前n项和 数列{an}中，Sn＝__________________ a1＋a2＋…＋an 2.数列的表示法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用________表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an与an＋1的关系式或a1，a2和an－1，an，an＋1的关系式等表示数列的方法 数列的有关概念及通项公式 数列1,3,6,10，…的一个通项公式是(　　) A．an＝n2－(n－1) B．an＝n2－1 C．an＝eq \f(nn＋1,2) D．an＝eq \f(nn－1,2) 【解析】　观察数列1,3,6,10，…可以发现 eq \a\vs4\al(1＝1，,3＝1＋2，,6＝1＋2＋3，,10＝1＋2＋3＋4，,…) 第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq \f(nn＋1,2). 所以an＝eq \f(nn＋1,2).故选C. 【答案】　C 由数列前几项归纳数列通项公式的方法及策略 (1)常用方法 观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．同时也可以使用添项、还原、分割等方法，转化为一个常见数列，通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式． (2)具体策略 ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征，如递增时可考虑关于n为一次递增或以2n,3n等形式递增； ③拆项后的特征； ④各项的符号特征和绝对值的特征； ⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系； ⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)n或(－1)n＋1，n∈N*来处理． [针对训练] 1．数列eq \r(3)，eq \r(7)，eq \r(11)，eq \r(15)，…的一个通项公式是____________. 解析：因为7－3＝11－7＝15－11＝4，即aeq \o\al(2,n)－aeq \o\al(2,n)－1＝4，所以aeq \o\al(2,n)＝3＋(n－1)×4＝4n－1，所以an＝eq \r(4n－1). an＝eq \r(4n－1) 由an与Sn的关系求an (1)(2025·湖南三市联考)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝eq \f(a14n－1,3)，若a4＝32，则a1的值为(　　) A.eq \f(1,2)　　　B.eq \f(1,4)　　　C.eq \f(1,8)　　　D.eq \f(1,16) (2)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则a1＝________，{an}的通项公式为______________． 【解析】　(1)因为Sn＝eq \f(a14n－1,3)，a4＝32，所以S4－S3＝eq \f(255a1,3)－eq \f(63a1,3)＝32，所以a1＝eq \f(1,2)，故选A. (2)数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)， 所以(2n－1)an＝2，所以an＝eq \f(2,2n－1). 当n＝1时，a1＝2，上式也成立． 所以an＝eq \f(2,2n－1). 【答案】　(1)A　(2)2　an＝eq \f(2,2n－1) 已知Sn求an的3个步骤 已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))转化为关于an的关系式，再求通项公式，主要分成以下3个步骤完成： (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写． [针对训练] 2．若数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(2,3)an＋eq \f(1,3)，则{an}的通项公式an＝___________. 解析：由Sn＝eq \f(2,3)an＋eq \f(1,3)，得当n≥2时，Sn－1＝eq \f(2,3)an－1＋eq \f(1,3)，两式相减，整理得an＝－2an－1，又当n＝1时，S1＝a1＝eq \f(2,3)a1＋eq \f(1,3)，所以a1＝1，所以{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)n－1. (－2)n－1 由数列的递推关系求通项 (1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))，则an＝(　　) A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n (2)若数列{an}满足a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则an＝________. (3)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋3，则an＝________. (4)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，则an＝________. 【解析】　(1)因为an＋1－an＝lneq \f(n＋1,n)＝ln(n＋1)－ln n， 所以a2－a1＝ln 2－ln 1， a3－a2＝ln 3－ln 2， a4－a3＝ln 4－ln 3， …… an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)． 把以上各式分别相加得an－a1＝ln n－ln 1， 则an＝2＋ln n(n≥2)， 因为a1＝2满足此式， 所以an＝2＋ln n(n∈N*)．故选A. (2)由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)， 得eq \f(an,an－1)＝eq \f(n,n＋1)(n≥2)． 所以an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·eq \f(an－2,an－3)·…·eq \f(a3,a2)·eq \f(a2,a1)·a1＝eq \f(n,n＋1)×eq \f(n－1,n)×eq \f(n－2,n－1)×…×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)×1＝eq \f(2,n＋1)， 又a1＝1满足上式，所以an＝eq \f(2,n＋1). (3)由an＋1＝2an＋3， 得an＋1＋3＝2(an＋3)． 令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4， 且eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(an＋1＋3,an＋3)＝2. 所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列． 所以bn＝4·2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3. (4)因为an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，a1＝1，所以an≠0， 所以eq \f(1,an＋1)＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,2)，即eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,2). 又a1＝1，则eq \f(1,a1)＝1， 所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1为首项，eq \f(1,2)为公差的等差数列． 所以eq \f(1,an)＝1＋(n－1)×eq \f(1,2)＝eq \f(n,2)＋eq \f(1,2)＝eq \f(n＋1,2).所以an＝eq \f(2,n＋1). 【答案】　(1)A　(2)eq \f(2,n＋1)　(3)2n＋1－3　(4)eq \f(2,n＋1) 　由数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)已知a1，且an－an－1＝f(n)(n≥2)，可用“累加法”求an. (2)已知a1(a1≠0)，且eq \f(an,an－1)＝f(n)(n≥2)，可用“累乘法”求an. (3)已知a1，且an＋1＝qan＋b(q≠0且q≠1)，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可用待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列． (4)形如an＋1＝eq \f(Aan,Ban＋C)(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解． [针对训练] 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1，则an＝______________. 解析：因为an＋1＝an＋2n－1＋1，所以an＋1－an＝2n－1＋1， 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋a1＋n－1＝eq \f(1－2n－1,1－2)＋2＋n－1＝2n－1＋n. 2n－1＋n 数列的性质 角度一　数列的单调性 已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(3n＋k,2n)，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　) A．(3，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞) 【解析】　因为an＋1－an＝eq \f(3n＋3＋k,2n＋1)－eq \f(3n＋k,2n)＝eq \f(3－3n－k,2n＋1)，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝eq \f(3－3n－k,2n＋1)＜0，所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．故选D. 【答案】　D (1)解决数列单调性问题的三种方法 ①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列． ②用作商比较法，根据eq \f(an＋1,an)(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断． ③结合相应函数的图象直观判断． (2)求数列最大项或最小项的方法 ①可以利用不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an－1≤an，,an≥an＋1))(n≥2)找到数列的最大项． ②利用不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an－1≥an，,an≤an＋1))(n≥2)找到数列的最小项． 角度二　数列的周期性 设数列{an}满足：an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)，a2 024＝3，那么a1＝(　　) A．－2 B．2 C．－3　　D．3 【解析】　设a1＝x，由an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)， 得a2＝eq \f(1＋x,1－x)，a3＝eq \f(1＋a2,1－a2)＝eq \f(1＋\f(1＋x,1－x),1－\f(1＋x,1－x))＝－eq \f(1,x)， a4＝eq \f(1＋a3,1－a3)＝eq \f(1－\f(1,x),1＋\f(1,x))＝eq \f(x－1,x＋1)， a5＝eq \f(1＋a4,1－a4)＝eq \f(1＋\f(x－1,x＋1),1－\f(x－1,x＋1))＝x＝a1， 所以数列{an}是周期为4的周期数列． 所以a2 024＝a506×4＝a4＝eq \f(x－1,x＋1)＝3.解得x＝－2. 【答案】　A 解决数列周期性问题的方法 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和． [针对训练] 4．(2025·辽宁重点中学协作体联考)在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝sineq \f(n＋1π,2)，记Sn为数列{an}的前n项和，则S18＝(　　) A．0　　 B．18　　　C．10　　　D．9 解析：因为an＋1－an＝sineq \f(n＋1π,2)， 所以an＋1＝an＋sineq \f(n＋1π,2).因为a1＝1， 所以a2＝a1＋sin π＝1，a3＝a2＋sineq \f(3π,2)＝0，a4＝a3＋sineq \f(4π,2)＝0，a5＝a4＋sineq \f(5π,2)＝1，a6＝a5＋sineq \f(6π,2)＝1，a7＝a6＋sineq \f(7π,2)＝0，a8＝a7＋sineq \f(8π,2)＝0，…，故数列{an}为周期数列，周期为4. 所以S18＝4(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝10.故选C. 5．已知数列{an}满足an＝(n－λ)2n(n∈N*)，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是___________ 解析：因为数列{an}是递增数列，所以an＋1＞an，所以(n＋1－λ)2n＋1＞(n－λ)2n，化为λ＜n＋2，对∀n∈N*都成立．所以λ＜3. (－∞，3) $