第4章 微专题2-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（教师课件）

该高中数学高考复习课件聚焦“导数的公切线问题”专题，覆盖求公切线方程、与公切线有关的求值、判断公切线条数、求参数取值范围四大高考核心考点。依据高考评价体系，结合2025湘潭、德阳等模拟真题，分析考点权重，归纳构造函数、数形结合等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题实例+规律方法+素养提升”的设计，如以例1中曲线y=e^x-1与y=lnx+1的公切线求解为例，详解设切点、列方程、消元转化的步骤，培养逻辑推理和数学运算素养。规律方法明确区分“在某点”与“过某点”切线差异，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此系统规划复习，助力高考冲刺。

第四章 导数及其应用 微专题(二)　函数的公切线问题 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 　 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 　 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 D 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 　 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 A 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 　 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 D 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 谢 谢 观 看 按ESC键退出全屏播放 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养. 求两函数的公切线 　(2025·湘潭模拟)已知直线l是曲线y＝ex－1与y＝ln x＋1的公切线，则直线l的方程为________． 【答案】　y＝ex－1或y＝x 【解析】　设直线l与曲线y＝ex－1相切于点P(a，ea－1)，与曲线y＝ln x＋1相切于点Q(b，ln b＋1)， 则ea＝eq \f(1,b)＝eq \f(ln b－ea＋2,b－a)， 整理得(a－1)(ea－1)＝0， 解得a＝1或a＝0， 当a＝1时，l的方程为y＝ex－1； 当a＝0时，l的方程为y＝x. 【规律方法】　求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． [跟踪训练] 1．(2025·南平模拟)已知曲线y＝aln x和曲线y＝x2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则直线l的方程为_____________. 2eq \r(e)x－y－e＝0 解析：设曲线g(x)＝aln x和曲线f(x)＝x2在公共点(x0，y0)处的切线相同， 则f′(x)＝2x，g′(x)＝eq \f(a,x)， 由题意知f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(2x0＝\f(a,x0)，,x\o\al(2,0)＝aln x0，)))) 解得a＝2e，x0＝eq \r(e)， 故切点为(eq \r(e)，e)， 切线斜率k＝f′(x0)＝2eq \r(e)， 所以切线方程为y－e＝2eq \r(e)(x－eq \r(e))， 即2eq \r(e)x－y－e＝0. 与公切线有关的求值问题 　(2025·德阳模拟)已知曲线y＝ex在点(x1，y1)处的切线与曲线y＝ln x在点(x2，y2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)等于(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 【解析】　根据常用函数的导数可知 y＝ex⇒y′＝ex， y＝ln x⇒y′＝eq \f(1,x)， 则两函数在点(x1，y1)和(x2，y2)处的切线分别为 y－y1＝ (x－x1)， y－y2＝eq \f(1,x2)(x－x2)， 化简得y＝x＋(1－x1) ， y＝eq \f(1,x2)x＋ln x2－1， 化简得x1x2＋x2－x1＋1＝0⇒(x1＋1)(x2－1)＝－2. 【答案】　B 【规律方法】　利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程． [跟踪训练] 2．已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，若经过点A(0，－1)存在一条直线l与f(x)的图象和g(x)的图象都相切，则a等于(　　) A．0 B．－1 C．3 D．－1或3 解析：设直线l与f(x)＝xln x相切的切点为(m，mln m)， 由f(x)＝xln x得f′(x)＝1＋ln x， 可得切线的斜率为1＋ln m， 则切线方程为y－mln m＝(1＋ln m)(x－m)， 将A(0，－1)代入切线方程可得 －1－mln m＝(1＋ln m)(0－m)， 解得m＝1，则切线l的方程为y＝x－1， 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y＝x2＋ax)) 可得x2＋(a－1)x＋1＝0， 由Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3. 判断公切线条数 　(2025·广州模拟)曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】　设公切线与y＝x2的切点为(x1，xeq \o\al(2,1))， 与y＝ln x的切点为(x2，ln x2)， y＝x2的导数为y′＝2x，y＝ln x的导数为y′＝eq \f(1,x)， 则在切点(x1，xeq \o\al(2,1))处的切线方程为y－xeq \o\al(2,1)＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－xeq \o\al(2,1)， 则在切点(x2，ln x2)处的切线方程为 y－ln x2＝eq \f(1,x2)(x－x2)， 即y＝eq \f(1,x2)x＋ln x2－1， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x1＝\f(1,x2)，,x\o\al(2,1)＝1－ln x2，)) 整理得到xeq \o\al(2,1)－ln x1＝1＋ln 2， 令f(x)＝x2－ln x，x∈(0，＋∞)， 则f′(x)＝2x－eq \f(1,x)＝eq \f(2x2－1,x)， f′(x)>0⇒x>eq \f(\r(2),2)；f′(x)<0⇒0<x<eq \f(\r(2),2)， ∴f(x)在区间(0，eq \f(\r(2),2))上单调递减，在区间(eq \f(\r(2),2)，＋∞)上单调递增， f(x)min＝f (eq \f(\r(2),2))＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)ln 2<1＋ln 2， 即函数f(x)与y＝1＋ln 2的图象如图所示， 由图可知，函数f(x)的图象与直线y＝1＋ln 2有两个交点，则方程xeq \o\al(2,1)－ln x1＝1＋ln 2有两个不相等的正根，即曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是2. 【规律方法】　运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况． 【答案】　C [跟踪训练] 3．已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x－1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点(m，f(m))，(n，g(n))，f′(x)＝2x－4， g′(x)＝－x－2，g′(n)＝f′(m)＝eq \f(gn－fm,n－m)， 解得m＝－eq \f(n－2,2)＋2，代入化简得8n3－8n2＋1＝0， 构造函数h(x)＝8x3－8x2＋1， h′(x)＝8x(3x－2)， 则h(x)在(－∞，0)，(eq \f(2,3)，＋∞)上单调递增， 在(0，eq \f(2,3))上单调递减，极大值h(0)>0，极小值h(eq \f(2,3))<0，故函数h(x)的图象和x轴有3个交点，方程8n3－8n2＋1＝0有三个解，故公切线有3条． 求参数的取值范围 　(2025·保定模拟)若曲线f(x)＝eq \f(k,x)(k<0)与g(x)＝ex有三条公切线，则k的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,e))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,e)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,e))) 【解析】　设公切线为l，P(x1，y1)是l与f(x)的切点，由f(x)＝eq \f(k,x)， 得f′(x)＝eq \f(－k,x2)，设Q(x2，y2)是l与g(x)的切点， 由g(x)＝ex，得g′(x)＝ex， 所以l的方程为y－y1＝eq \f(－k,x\o\al(2,1))(x－x1)， 因为y1＝eq \f(k,x1)， 整理得y＝eq \f(－k,x\o\al(2,1))x＋eq \f(2k,x1)， 由题意此方程有三个不相等的实根， 设h(x)＝－ex(x－1)2， 即直线y＝4k与曲线h(x)有三个不同的交点， 因为h′(x)＝ex(1－x2)， 令h′(x)＝0，则x＝±1， 当x<－1或x>1时，h′(x)<0； 当－1<x<1时，h′(x)>0， 所以h(x)有极小值为h(－1)＝－4e－1， h(x)有极大值为h(1)＝0， 因为h(x)＝－ex(x－1)2，ex>0，(x－1)2≥0，所以h(x)≤0， 当x趋近于－∞时，h(x)趋近于0； 当x趋近于＋∞时，h(x)趋近于－∞， 故h(x)的大致图象如图． 所以当－4e－1<4k<0，即－eq \f(1,e)<k<0时，直线y＝4k与曲线h(x)有三个交点． 【答案】　A 【规律方法】　利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解． [跟踪训练] 4．(2025·桂林模拟)若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝eq \f(ex,a)(a>0)存在公切线，则实数a的取值范围是(　　) A．(0,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e2,4))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(e2,4)，2)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2,4)，＋∞)) 解析：y＝x2在点(m，m2)处的切线斜率为2m， y＝eq \f(ex,a)(a>0)在点(n，eq \f(en,a))处的切线斜率为eq \f(en,a)， 如果两个曲线存在公切线，那么2m＝eq \f(en,a). 又由斜率公式得到2m＝eq \f(m2－\f(en,a),m－n)， 由此得到m＝2n－2， 则4n－4＝eq \f(en,a)有解， 则y＝4x－4，y＝eq \f(ex,a)的图象有公共点． 当直线y＝4x－4与曲线y＝eq \f(ex,a)相切时，设切点为(s，t)，则eq \f(es,a)＝4，且t＝4s－4＝eq \f(es,a)， 可得t＝4，s＝2， 即有切点(2,4)，a＝eq \f(e2,4)， 故a的取值范围是a≥eq \f(e2,4). $