第4章 第3节-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（教师课件）

第四章 导数及其应用 第三节　导数与函数的极值、最值 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 01 基础知识必备 02 考点知识突破 03 高考预测练 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 极大值f(x0) 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 极小值f(x0) 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 极值 端点处的函数值f(a)，f(b) 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 　 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 ABD 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 -4 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 　 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 A 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 　 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 “课下练习”见“高考预测练（十六）” (单击进入电子文档) 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 谢 谢 观 看 按ESC键退出全屏播放 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 1．函数的极值与导数 (1)极大值与导数 x x0左侧 x0 x0右侧 f′ (x) f′(x)>0 f′(x0)＝0 f′(x)<0 f(x) 增 ____________ 减 (2)极小值与导数 x x0左侧 x0 x0右侧 f′(x) f′(x)<0 f′(x0)＝0 f′(x)>0 f(x) 减 __________ 增 (1)f′(x0)＝0与x0是f(x)极值点的关系． 函数f(x)可导，则f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． (2)极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值． (3)函数的极值点一定出现在区间内部，区间的端点不能成为极值点． 2．函数的最值与导数 求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤： 第一步求函数y＝f(x)在(a，b)内的________； 第二步将第一步求得的极值与______________________________比较，得到f(x)在[a，b]的最大值与最小值． (1)极值是一个局部性概念，反映的是函数在某个点附近的大小情况，并不意味它在函数的整个定义域内最大或最小；最值是一个整体性的概念，函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得出的． (2)连续函数在某一个闭区间上的最值必在极值点或区间端点处取得；定义在开区间(a，b)内的函数不一定存在最大(小)值． (3)连续函数的极值个数不确定，而函数在某一闭区间上的最大值和最小值是唯一的． 用导数解决函数的极值问题 (多选)已知函数f(x)的定义域为[－1, 5]，部分对应值如表， x －1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．函数f(x)的极大值点有2个 B．函数f(x)在[0, 2]上是减函数 C．当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，则t的最大值为4 D．当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点 【解析】　由f′(x)的图象可知，当x＝0时，函数f(x)取得极大值；当x＝4时，函数f(x)取得极大值，即函数f(x)有两个极大值点，故A中结论正确； 易知函数f(x)在[0, 2]上是减函数，故B中结论正确； 当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，则t满足0≤t≤5，即t的最大值是5， 故C中结论错误； 令y＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a， 当f(2)≤1, 1<a<2时， 易知f(x)＝a有四个根； 当1<f(2)<2, 1<a<2时， 易知f(x)＝a不一定有四个根， 故函数y＝f(x)－a有4个零点不一定正确， 故D中结论错误，故选AB. 【答案】　AB 由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点． 角度二　求函数的极值 (2024·新课标Ⅰ卷)(多选)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则(　　) A．x＝3是f(x)的极小值点 B．当0<x<1时，f(x)<f(x2) C．当1<x<2时，－4<f(2x－1)<0 D．当－1<x<0时，f(2－x)>f(x) 【解析】　因为f(x)＝(x－1)2(x－4)，所以f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝3，当x＜1或x＞3时，f′(x)＞0，当1＜x＜3时，f′(x)＜0，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1)，(3，＋∞)，单调递减区间为(1,3)，故x＝1是函数f(x)的极大值点，x＝3是函数f(x)的极小值点，所以A正确． 当0＜x＜1时，x－x2＝x(1－x)＞0，即0＜x2＜x＜1，又函数f(x)在(0,1)上单调递增，所以f(x2)＜f(x)，所以B错误． 当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，函数f(x)在(1,3)上单调递减，所以－4＝f(3)＜f(2x－1)＜f(1)＝0，所以C正确． 当－1＜x＜0时，f(2－x)－f(x)＝(2－x－1)2(2－x－4)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(－x－2)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(－2x＋2)＝－2(x－1)3＞0，所以f(2－x)＞f(x)，所以D正确．综上，选ACD. 【答案】　ACD 1．求函数f(x)的极值的一般解题步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号． 2．根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：求解后验证根的合理性． 角度三　已知函数的极值求参数 (2024·全国甲卷(理))已知函数f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x. (1)当a＝－2时，求f(x)的极值； (2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围． 解：(1)第1步：给出定义域，并求导 当a＝－2时，f(x)＝(1＋2x)ln(1＋x)－x，x∈(－1，＋∞)， f′(x)＝2ln(1＋x)＋eq \f(1＋2x,1＋x)－1＝2ln(1＋x)－eq \f(1,1＋x)＋1. 第2步：判断函数的单调性 易知f′(x)在(－1，＋∞)上单调递增，且f′(0)＝0， 所以当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0， 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0， 所以f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 第3步：根据极值的定义给出结论 所以当x＝0时，f(x)取得极小值，为f(0)＝0，f(x)无极大值． (2)第1步：求导 f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x，x∈(－1，＋∞)， 则f′(x)＝－aln(1＋x)－eq \f(a＋1x,1＋x)，设g(x)＝－aln(1＋x)－eq \f(a＋1x,1＋x)，则g′(x)＝－eq \f(a,1＋x)－eq \f(a＋1,1＋x2). 第2步：找出原不等式成立的一个必要条件 因为当x≥0时，f(x)≥0，且f(0)＝0，f′(0)＝0， 所以g′(0)＝－2a－1≥0，得a≤－eq \f(1,2)， 故a≤－eq \f(1,2)是原不等式成立的一个必要条件． 第3步：证明该必要条件也是充分条件 下面证明其充分性： 当a≤－eq \f(1,2)，x≥0时，g′(x)≥eq \f(1,21＋x)－eq \f(1,21＋x2)＝eq \f(x,21＋x2)≥0， 所以f′(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f′(x)≥f′(0)＝0， 所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(x)≥f(0)＝0. 综上，a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))). [针对训练] 1．(多选)定义在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)， 4))上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　 　) A．函数f(x)在区间[0, 4]上单调递增 B．函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)， 0))上单调递减 C．函数f(x)在x＝1处取得极大值 D．函数f(x)在x＝0处取得极小值 解析：根据导函数f′(x)的图象可知，f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))上单调递减，在区间[0,4]上单调递增，所以f(x)在x＝0处取得极小值，没有极大值．所以选项A、B、D正确，选项C错误． 2．(2025·全国二卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝__________． 解析：f′(x)＝(x－2)′[(x－1)(x－a)]＋(x－2)[(x－1)(x－a)]′＝(x－1)(x－a)＋(x－2)[(x－1)(x－a)]′，因为x＝2是函数f(x)的极值点，所以f′(2)＝0，即(2－1)(2－a)＝0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f(x)＝(x－1)(x－2)2，所以f(0)＝－4. 利用导数求函数的最值 (2025·贵州贵阳市检测)已知函数f(x)＝eq \f(x－1,x)－ln x. (1)求f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)． 【解】　(1)f(x)＝eq \f(x－1,x)－ln x＝1－eq \f(1,x)－ln x，f(x)的定义域为(0，＋∞)． 因为f′(x)＝eq \f(1,x2)－eq \f(1,x)＝eq \f(1－x,x2)， 所以f′(x)＞0⇒0<x<1，f′(x)<0⇒x＞1，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． (2)由(1)得f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上的极大值为f(1)＝1－eq \f(1,1)－ln 1＝0. 又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝1－e－ln eq \f(1,e)＝2－e，f(e)＝1－eq \f(1,e)－ln e＝－eq \f(1,e)，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))<f(e)． 所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上的最大值为0，最小值为2－e. 求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法 (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成． (3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到． 提醒　求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． [针对训练] 3．函数f(x)＝eq \f(x2,2x＋1)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))上的最小值与最大值的和为(　　) A.eq \f(1,3)　　B.eq \f(2,3) C．1　　D．0 解析：f′(x)＝eq \f(2x2x＋1－2x2,2x＋12)＝eq \f(2xx＋1,2x＋12)， x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))，当f′(x)＝0时，x＝0； 当－eq \f(1,3)≤x≤0时，f′(x)<0；当0<x≤1时，f′(x)>0， 所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))上是减函数，在(0,1]上是增函数．所以f(x)min＝f(0)＝0.又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq \f(1,3)，f(1)＝eq \f(1,3).所以f(x)的最大值与最小值的和为eq \f(1,3).故选A. 4．(2025·广东五校联考)已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数． (1)当a＝－1时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值． 解：(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋eq \f(1,x)＝eq \f(1－x,x)，令f′(x)＝0，得x＝1.当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.所以f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．所以f(x)max＝f(1)＝－1.所以当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f′(x)＝a＋eq \f(1,x)，x∈(0，e]，eq \f(1,x)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞)). ①若a≥－eq \f(1,e)，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增函数，所以f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意； ②若a<－eq \f(1,e)，令f′(x)>0得a＋eq \f(1,x)>0，结合x∈(0，e]，解得0<x<－eq \f(1,a)，令f′(x)<0得a＋eq \f(1,x)<0，结合x∈(0，e]，解得－eq \f(1,a)<x≤e.从而f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,a)))上为增函数，在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，e))上为减函数，所以f(x)max＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－1＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a))). 令－1＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－3，得lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－2， 即a＝－e2. 因为－e2<－eq \f(1,e)，所以a＝－e2为所求．故实数a的值为－e2. 用导数解决生活中的优化问题 　某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为eq \f(64π,3)立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y千元． (1)将y表示成r的函数f(r)，并求该函数的定义域． (2)讨论函数f(r)的单调性，并确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用． 【解】　(1)因为容器的体积为eq \f(64π,3)立方米， 所以eq \f(4πr3,3)＋πr2l＝eq \f(64,3)π，解得l＝eq \f(64,3r2)－eq \f(4,3)r， 所以圆柱的侧面积为 2πrl＝2πreq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,3r2)－\f(4,3)r))＝eq \f(128π,3r)－eq \f(8πr2,3)， 两端两个半球的表面积之和为4πr2， 所以y＝f(r)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(128π,3r)－\f(8πr2,3)))×3＋4πr2×4＝eq \f(128π,r)＋8πr2， 又l＝eq \f(64,3r2)－eq \f(4,3)r>0⇒r<2eq \f(4,3)， 所以定义域为(0,2eq \f(4,3))． (2)因为y′＝－eq \f(128π,r2)＋16πr＝eq \f(16πr3－8,r2)，所以令y′>0，得2<r<2eq \f(4,3)； 令y′<0，得0<r<2， 当r∈(2, 2eq \f(4,3))时，f(r)为增函数； 当r∈(0, 2)时，f(r)为减函数， 所以当r＝2，l＝eq \f(8,3)时， 该容器的建造费用最小为96π千元． 利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)． (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0处的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． (4)回归实际问题作答． [针对训练] 5．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是 _______. eq \f(2,27)a3 解析：容积V＝(a－2x)2x,0<x<eq \f(a,2)，则V′＝2(a－2x)×(－2x)＋(a－2x)2＝(a－2x)(a－6x)，由V′＝0得x＝eq \f(a,6)或x＝eq \f(a,2)(舍去)，则x＝eq \f(a,6)为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时Vmax＝eq \f(2,27)a3. $