第4章 第1节-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（教师课件）

第四章 导数及其应用 第一节　导数的概念及运算 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 01 基础知识必备 02 考点知识突破 03 高考预测练 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 常数A 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 A 切线斜率 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 0 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 　 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 ABC 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 　 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 A 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 2ex－y＝0 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 4 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 “课下练习”见“高考预测练（十四）” (单击进入电子文档) 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 谢 谢 观 看 按ESC键退出全屏播放 第四章 导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 定义 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值eq \f(Δy,Δx)＝_______________无限趋近于一个_______，则称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx) eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)　 记法 当Δx→0时，_______________→______ 几何 意义 是曲线y＝f(x)在点_____________处的____________，相应的切线方程为______________________________. 2.函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝___________________为f(x)的导函数． eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx) (x0，f(x0)) y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 3．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝______ f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝______ f(x)＝sin x f′(x)＝______ f(x)＝cos x f′(x)＝______ nxn－1 cos x －sin x eq \f(1,x) f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝______ f(x)＝ex f′(x)＝_____ f(x)＝loga x(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝_____ f(x)＝ln x(x>0) f′(x)＝_____ axln a ex eq \f(1,xln a) 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数；周期函数的导数还是周期函数． 4．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[cf(x)]′＝cf′(x)． (3)[f(x)·g(x)]′＝________________________ (4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝____________________________. f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx2])(g(x)≠0) 5．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝_____________ y′u·u′x 导数的计算 (2023·山东泰安高三月考)(多选)下列结论中不正确的是(　　) A．若y＝coseq \f(1,x)，则y′＝－eq \f(1,x)sineq \f(1,x) B．若y＝sin x2，则y′＝2xcos x2 C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x D．若y＝eq \f(1,2)xsin 2x，则y′＝xsin 2x 【解析】　对于A，y＝coseq \f(1,x)，则y′＝eq \f(1,x2)sineq \f(1,x)，故错误；对于B，y＝sin x2，则y′＝2xcos x2，故正确；对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误，对于D，y＝eq \f(1,2)xsin 2x，则y′＝eq \f(1,2)sin 2x＋xcos 2x，故错误． 【答案】　ACD 函数求导应遵循的原则 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． (2)进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混． (3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导． [提醒]　当函数解析式中含有待定系数(例如f′(x0)，a，b)等)，求导时把待定系数看成常数，再根据题意求解即可． 1．(多选)下列求导运算不正确的是(　 　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ln x)))′＝x B．(x2ex)′＝2x＋ex C．(xcos x)′＝－sin x D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2) 解析：对于A：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ln x)))′＝－eq \f(1,ln2 x)·(ln x)′＝－eq \f(1,xln2 x)， 对于B：(x2ex)′＝(x2＋2x)ex， 对于C：(xcos x)′＝cos x－xsin x， 对于D：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2).故选ABC. 导数的几何意义 角度一　求切线方程 (1)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________． (2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________． 【解析】　(1)因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为y＝3x. (2)因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，所以设切点为(x0，y0)． 又因为f′(x)＝1＋ln x，所以直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x. 所以由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y0＝x0ln x0，,y0＋1＝1＋ln x0x0，)) 解得x0＝1，y0＝0. 所以直线l的方程为y＝x－1， 即x－y－1＝0. 【答案】　(1)y＝3x　(2)x－y－1＝0 求曲线切线方程的步骤 (1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率． (2)由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． [注意]　“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点． 角度二　求切点坐标 若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________． 【解析】　设切点P的坐标为(x0，y0)， 因为y′＝ln x＋1， 所以切线的斜率k＝ln x0＋1， 由题意知k＝2，得x0＝e， 代入曲线方程得y0＝e. 故点P的坐标是(e，e)． 【答案】　(e，e) 求切点坐标的思路 (1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标。 (2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标，列出切线方程，将切点代入曲线方程，已知点代入切线方程联立方程求出切点坐标． 角度三　已知切线方程求参数 (2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0,1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________. 【解析】　由题，令f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，所以f′(0)＝2，所以曲线y＝ex＋x在点(0,1)处的切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln(x＋1)＋a，则g′(x)＝eq \f(1,x＋1)，设直线y＝2x＋1与曲线y＝g(x)相切于点(x0，y0)，则eq \f(1,x0＋1)＝2，得x0＝－eq \f(1,2)，则y0＝2x0＋1＝0，所以0＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋1))＋a，所以a＝ln 2. 【答案】　ln 2 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 提醒　(1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上． [针对训练] 2．已知函数y＝x2与y＝ln x＋a的图象在交点处有公共的切线，则a＝(　　) A.eq \f(1＋ln 2,2) B.eq \f(1－ln 2,2) C．1＋eq \f(ln 2,2) D．1－eq \f(ln 2,2) 解析：函数y＝x2与y＝ln x＋a的导函数分别为y′＝2x，y′＝eq \f(1,x).设切点的横坐标为t(t>0)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(t2＝ln t＋a，,2t＝\f(1,t).))解得a＝eq \f(1＋ln 2,2).故选A. 3．已知函数f(x)＝e2x，则过原点且与曲线y＝f(x)相切的直线方程为_____________________. 解析：设切点坐标为(t，e2t)， 因为f(x)＝e2x，所以f′(x)＝2e2x，f′(t)＝2e2t，则曲线y＝f(x)在点(t，e2t)处的切线方程为y－e2t＝2e2t(x－t)． 由于该直线过原点，故－e2t＝－2te2t，得t＝eq \f(1,2)，则过原点且与曲线y＝f(x)相切的直线方程为y＝2ex，即2ex－y＝0. 4．(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝_________． 解析：设直线y＝2x＋5与曲线y＝ex＋x＋a的切点坐标为(x0，ex0＋x0＋a)，由y＝ex＋x＋a得y′＝ex＋1，所以y′|x＝x0＝ex0＋1＝2，解得x0＝0，所以切点坐标为(0，1＋a)，又切点(0，1＋a)在切线y＝2x＋5上，所以1＋a＝5，解得a＝4. $