第3章 第8节 第2课时-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（教师课件）

第三章 函数及其应用 第八节　函数的应用 第二课时　函数模型及其应用 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 01 基础知识必备 02 考点知识突破 03 高考预测练 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 增函数 增函数 增函数 越来越快 越来越快 y轴 x轴 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 　 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 D 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 　 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 120 80 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 　 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 10 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 “课下练习”见“高考预测练（十三）” (单击进入电子文档) 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 谢 谢 观 看 按ESC键退出全屏播放 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 1．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 2.三种函数模型性质比较 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性 __________ __________ __________ 增长速度 _________ _________ 相对平稳 图象的变化 随x值增大，图象与_______接近平行 随x值增大，图象与_______接近平行 随n值变化而不同 “对勾”函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a>0)的性质 (1)该函数在(－∞，－eq \r(a)]和[eq \r(a)，＋∞)上单调递增，在[－eq \r(a)，0)和(0，eq \r(a) ]上单调递减． (2)当x>0时，x＝eq \r(a)时取最小值2eq \r(a)； 当x<0时，x＝－eq \r(a)时取最大值－2eq \r(a). 利用函数图象刻画实际问题 (2024·广东广州市综合检测(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T. 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　) 【解析】　水位由高变低，排除C、D.半缸前水位下降速度先快后慢，半缸后水位下降速度先慢后快，故选B. 【答案】　B 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案． [针对训练] 1．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　) A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多 C．甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油 解析：根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对． 已知函数模型求解实际问题 大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R(元)与门面经营天数x的关系是R(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80 000，x>400，))则当总利润最大时，该门面经营的天数是________． 【解析】　由题意，总利润y＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2－100x－20 000，0≤x≤400，,60 000－100x，x>400，)) 当0≤x≤400时，y＝－eq \f(1,2)(x－300)2＋25 000，所以当x＝300时，ymax＝25 000； 当x>400时，y＝60 000－100x<20 000. 综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元． 【答案】　300 求解已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 2．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿的种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表： 时间t 60 100 180 种植成本Q 116 84 116 根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt. 利用你选取的函数，求： (1)西红柿种植成本最低时的上市天数是__________； (2)最低种植成本是________元/100 kg. 解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a60－1202＋m＝116，,a100－1202＋m＝84，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝0.01，,m＝80，)) 所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg. 建立函数模型解决实际问题 角度一　构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝eq \f(1,3)x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋eq \f(100,x)－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】　(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，当0<x<8时， L(x)＝5x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2＋x))－3＝－eq \f(1,3)x2＋4x－3； 当x≥8时，L(x)＝5x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x＋\f(100,x)－38))－3＝35－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x))). 所以L(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋4x－3，0<x<8，,35－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))，x≥8.)) (2)当0<x<8时，L(x)＝－eq \f(1,3)(x－6)2＋9. 此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9万元．当x≥8时，L(x)＝35－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))≤35－2 eq \r(x·\f(100,x))＝35－20＝15，当且仅当x＝eq \f(100,x)时等号成立，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． 建模解决实际问题的三个步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型． (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解． (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解． 即： [提醒]　(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域． (2)利用模型f(x)＝ax＋eq \f(b,x)求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件． 角度二　构建指数、对数函数模型 (1)(2025·广西桂林一模)一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有eq \f(3,4)的质量发生衰变．若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是(　　) A．6 B．5 　 C．4 D．3 (2)里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍． 【解析】　(1)设这种放射性物质最初的质量为1，经过x(x∈N)年后，剩余量是y，则有y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x.依题意得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x≤eq \f(1,100)，整理得22x≥100，解得x≥4，所以至少需要的年数是4，故选C.(2)M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg eq \f(A1,A0)，则eq \f(A1,A0)＝109；5＝lg A2－lg A0＝lg eq \f(A2,A0)，则eq \f(A2,A0)＝105，所以eq \f(A1,A2)＝104.故9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍． 【答案】　(1)C　(2)6　10 000 指数型、对数型函数模型 (1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解． (2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义． [针对训练] 3．某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元，该养殖场________天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少． 解析：设该养殖场x(x∈N*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元． 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．从而有y＝eq \f(1,x)(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝eq \f(300,x)＋3x＋357≥417，当且仅当eq \f(300,x)＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少． $