第3章 第5节-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（教师课件）

第三章 函数及其应用 第五节　指数、指数函数 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 01 基础知识必备 02 考点知识突破 03 高考预测练 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 根式 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 没有意义 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 上方 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 (0，＋∞) 单调递增 单调递减 y＝1 0<y<1 y>1 y>1 0<y<1 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 　 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 　 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 D 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 　 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 C 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 {x|x>4或x<0} 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 “课下练习”见“高考预测练（九）” (单击进入电子文档) 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 谢 谢 观 看 按ESC键退出全屏播放 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 1．根式的概念及性质 (1)概念：式子eq \r(n,a)叫做　　　，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质：(eq \r(n,a))n＝a(a使eq \r(n,a)有意义)；当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.)) 2．分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝_______ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是＝_______ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂______________ eq \r(n,am) eq \f(1,\r(n,am)) (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝__________ (a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝__________ (a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝__________ (a>0，b>0，r∈Q)． ①ar＋s ars arbr 3．指数函数的定义、图象与性质 (1)定义：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图象与性质 函数 y＝ax(a>0，且a≠1) 图象 a>1 0<a<1 图象特征 在x轴________，过定点(0,1) 当x逐渐增大时，图象逐渐上升 当x逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 R 值域 ____________ 单调性 ____________ ____________ 函数值变化规律 当x＝0时，_______ 当x<0时，___________； 当x>0时，_______ 当x<0时，_______； 当x>0时，___________ 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1(两种情况)来研究． 指数幂的化简与求值 (1)计算：－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－2＋＋＝________. (2)化简的结果为________． (3)计算：－3π0＋eq \f(37,48)＝________. (4)已知，则x2＋x－2＋3＝________. 【解析】　(1)原式＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋＋＝－eq \f(4,9)＋eq \f(4,9)＋10eq \r(5)＝10eq \r(5). (2)原式＝＝－6ab－1＝－eq \f(6a,b). (3)原式＝－3＋eq \f(37,48) ＝eq \f(5,3)＋100＋eq \f(9,16)－3＋eq \f(37,48)＝100. (4)由得x＋x－1＋2＝9， 所以x＋x－1＝7，所以x2＋x－2＋2＝49， 所以x2＋x－2＝47，所以x2＋x－2＋3＝50. 【答案】　(1)10eq \r(5)　(2)－eq \f(6a,b)　(3)100　(4)50 [针对训练] 1．化简下列各式： 指数函数的图象及应用 (1)函数f(x)＝21－x的大致图象为(　　) (2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________． 【解析】　(1)函数f(x)＝21－x＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，单调递减且过点(0,2)，选项A中的图象符合要求． (2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示． 由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0]． 【答案】　(1)A　(2)(－∞，0] 应用指数函数图象的3个技巧 (1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))). (2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除． (3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． [针对训练] 2．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 解析：由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.故选D. 指数函数的性质及应用 角度一　比较指数幂的大小 已知则下列关系式中正确的是(　　) A．c<a<b B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c 【解析】　把b化简为b＝，而函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上为减函数，又eq \f(4,3)>eq \f(2,3)>eq \f(1,3)，所以，即b<a<c. 【答案】　B 比较指数幂大小的常用方法 一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底． 二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0,1)比较大小，然后得出大小关系． 三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小． 角度二　解简单的指数方程或不等式 不等式＋ax<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2x＋a－2恒成立，则a的取值范围是________． 【解析】　由题意，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x是减函数， 因为<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2x＋a－2恒成立， 所以x2＋ax>2x＋a－2恒成立， 所以x2＋(a－2)x－a＋2>0恒成立， 所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)<0， 即(a－2)(a－2＋4)<0， 即(a－2)(a＋2)<0， 解得－2<a<2，即a的取值范围是(－2,2)． 【答案】　(－2,2) 解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解．要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论． 角度三　研究指数型函数的性质 (1)函数f(x)＝的单调递减区间为________． (2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________． 【解析】　(1)设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))u在R上为减函数，所以函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]， 所以函数f(x)的减区间为(－∞，1]． (2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，＋∞))上单调递增，在区间eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(m,2)))上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有eq \f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]． 【答案】　(1)(－∞，1]　(2)(－∞，4] 求指数型复合函数的单调区间和值域的方法 (1)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令u＝f(x)，先求出u＝f(x)的值域，再利用y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域． (2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：当a>1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)⊆D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同；当0<a<1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)⊆D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相反． [针对训练] 3．函数y＝的值域是(　　) A．(－∞，4) B．(0，＋∞) C．(0,4] D．[4，＋∞) 解析：设t＝x2＋2x－1，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t.因为0<eq \f(1,2)<1，所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t为关于t的减函数．因为t＝(x＋1)2－2≥－2，所以0<y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＝4，故所求函数的值域为(0,4]．故选C. 4．已知a，b∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x>0时，1<bx<ax，则(　　) A．0<b<a<1 B．0<a<b<1 C．1<b<a D．1<a<b 解析：因为x>0时，1<bx，所以b>1.因为x>0时，bx<ax，所以x>0时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))x>1，所以eq \f(a,b)>1，所以a>b.所以1<b<a.故选C. 5．若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为_______________ 解析：因为f(x)为偶函数， 当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4. 所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－4，x≥0，,2－x－4，x<0.)) 当f(x－2)>0时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2≥0，,2x－2－4>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2<0，,2－x＋2－4>0，)) 解得x>4或x<0. 所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}． $