第3章 第1节-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（教师课件）

第三章 函数及其应用 第一节　函数的概念及其表示 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 01 基础知识必备 02 考点知识突破 03 高考预测练 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 实数集 任意一个数x 唯一确定 A→B 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 y＝f(x) 取值范围A 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 解析法 对应关系 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 B 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 A 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 D 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 8 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 “课下练习”见“高考预测练（五）” (单击进入电子文档) 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 谢 谢 观 看 按ESC键退出全屏播放 第三章 函数及其应用 返回导航 下一页 上一页 1．函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的______，如果对于集合A中_____________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__________的数y和它对应，那么就称f：_________为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 _________，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的___________叫做函数的定义域 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域 2.同一个函数的概念 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 判断两个函数是否相同，要抓住以下两点：①定义域是否相同；②对应关系是否相同，当解析式可以化简时，要注意化简过程的等价性． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有__________、图象法和列表法． 4．分段函数 在函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的____________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 一个分段函数的解析式要把每一段都写在同一个大括号内，各段函数的定义区间端点应不重不漏． 1．常见的函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R. (5)y＝loga x(a>0且a≠1)的定义域为{|x|x>0}． (6)y＝tan x的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))). (7)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}． 2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，当a<0时，值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))). (3)y＝eq \f(k,x)(k≠0)的值域是{y|y≠0}． (4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R. 　 求函数的定义域 (1)(2025·安徽宣城八校联考)函数y＝eq \f(\r(－x2＋2x＋3),lgx＋1)的定义域为(　　) A．(－1,3] B．(－1,0)∪(0,3] C. [－1,3] D．[－1,0)∪(0,3] (2)(2025·华南师范大学附属中学月考)已知函数f(x)的定义域是[－1,1]，则函数g(x)＝eq \f(f2x－1,ln1－x)的定义域是(　　) A．[0,1] B．(0,1) C．[0,1) D．(0,1] 【解析】　(1)要使函数有意义，x需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3≥0，,x＋1>0，,x＋1≠1，))解得－1<x<0或0<x≤3，所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,3]．故选B. (2)由函数f(x)的定义域为[－1,1]，得－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1；又由1－x>0且1－x≠1，解得x<1且x≠0.所以函数g(x)的定义域为(0,1)，故选B. 【答案】　(1)B　(2)B 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解．对于实际问题，定义域应使实际问题有意义． 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． [针对训练] 1．函数f(x)＝eq \f(3x,\r(x－1))＋ln(2x－x2)的定义域为(　　) A．(2，＋∞) B．(1,2) C．(0,2) D．[1,2] 解析：要使函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1>0，,2x－x2>0，))解得1<x<2.所以函数f(x)＝eq \f(3x,\r(x－1))＋ln(2x－x2)的定义域为(1,2)．故选B. 　 函数的解析式 (1)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋1))＝lg x，则f(x)的解析式为________． (2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________． (3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，则f(x)的解析式为________． 【解析】　(1)(换元法)令eq \f(2,x)＋1＝t， 得x＝eq \f(2,t－1)，因为x＞0，所以t＞1， 所以f(t)＝lgeq \f(2,t－1)， 即f(x)的解析式是f(x)＝lgeq \f(2,x－1)(x>1)． (2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 又f(0)＝c＝3，所以f(x)＝ax2＋bx＋3. 所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4a＝4，,4a＋2b＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1.)) 所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3. (3)(解方程组法)因为2f(x)＋f(－x)＝2x，① 将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，② 由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x， 所以f(x)＝2x. 【答案】　(1)f(x)＝lgeq \f(2,x－1)(x＞1) (2)f(x)＝x2－x＋3　(3)f(x)＝2x 求函数解析式的常用方法 配凑法 由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式 待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法 换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围 解方程组法 已知关于f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x) [针对训练] 2．(2025·广东濠江金山中学高三月考)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))＝eq \f(1－x2,1＋x2)，则f(x)＝(　　) A.eq \f(2x,1＋x2) B．－eq \f(2x,1＋x2) C.eq \f(x,1＋x2) D．－eq \f(x,1＋x2) 解析：令t＝eq \f(1－x,1＋x)，得x＝eq \f(1－t,1＋t)， 所以f(t)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t,1＋t)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t,1＋t)))2)＝eq \f(2t,1＋t2)，所以f(x)＝eq \f(2x,1＋x2)，故选A. 　 分段函数及其应用 角度一　分段函数求值 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x，x≤0，))则feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))))的值是(　　) A．9 B．－9 C.eq \f(1,9) D．－eq \f(1,9) 【解析】　因为eq \f(1,4)>0，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝log2eq \f(1,4)＝－2，又因为－2<0，所以feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))))＝f(－2)＝3－2＝eq \f(1,9). 【答案】　C 角度二　根据分段函数求参数的值 已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－2，x≥0，,－x2＋3，x<0，))若f(a)＝2，则a的取值为(　　) A．－1或2 B．±1或2 C．－1 D．2 【解析】　因为f(a)＝2，所以当a≥0时，2a－2＝2，解得a＝2；当a<0时，－a2＋3＝2，解得a＝－1.综上，a的取值为－1或2.故选A. 【答案】　A 角度三　根据分段函数解不等式 (2025·甘肃武威第六中学高三模拟)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log2x＋1，x≥0，,\r(－x)，x<0，))则满足f(x＋1)<2的x的取值范围是(　　) A．(－4,3)　　 B．(－5,2) C．(－3,4) D．(－∞，－3)∪(4，＋∞) 【解析】　因为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log2x＋1，x≥0，,\r(－x)，x<0，)) 所以f(x＋1)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log2x＋2，x≥－1，,\r(－x＋1)，x<－1.)) 当x≥－1时，f(x＋1)<2即log2(x＋2)<2，解得x<2，所以－1≤x<2；当x<－1时，f(x＋1)<2即eq \r(－x＋1)<2，解得x>－5，所以－5<x<－1.综上，当f(x＋1)<2时，x的取值范围是(－5,2)．故选B. 【答案】　B 1．分段函数的求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值； (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 2．分段函数与方程、不等式问题的求解思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果综合起来． [针对训练] 3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋x，x≥0，,－3x，x<0，))若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为(　　) A．(1，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析：当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2.当a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为－a2－2a<0，解得a<－2.综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 4．(2024·安徽安庆二模)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r(x＋1)，－1<x<0，,2x，x≥0.))若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝______. 解析：由题意得a>0. 当0<a<1时，由f(a)＝f(a－1)，得2a＝eq \r(a)， 解得a＝eq \f(1,4)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝f(4)＝8； 当a≥1时，由f(a)＝f(a－1)，得2a＝2(a－1)，无解． $