专题01 一元一次方程含参问题（八大题型）（高效培优专项训练）数学浙教版2024七年级上册

专题01 一元一次方程含参问题（八大题型） 【考点1 有一元一次方程的定义求参数】...................................................1 【考点2 由一元一次方程的解求参数】.....................................................3 【考点3 由一元一次方程有解无解问题求参数】.............................................5 【考点4 由一元一次方程有整数解求参数】.................................................6 【考点5 将错就错求参数】...............................................................8 【考点6 由两个一元一次方程的解之间的关系求参数】.......................................11 【考点7 与一元一次方程相关的新定义问题中求参数】.......................................12 【考点8一元一次方程的拓展求参数】......................................................18 题型一 有一元一次方程的定义求参数 1．若是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义，未知数的最高次数为1，得出，解方程求出值即可． 【详解】解：由题意，方程是关于的一元一次方程， 因此的指数必须等于1，即 ， 解得， 所以． 故答案为：0 2．关于x的方程是一元一次方程的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得到且，求解即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， ∴， 故答案为：． 3．是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键； 根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，即可求解． 【详解】解： 是一元一次方程， ， 解得：， 故答案为：． 4．已知是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，本题属于基础题型．根据一元一次方程的定义即可求出答案． 【详解】解：由原方程，得， 解得或， ， ， 解得． 故答案为：． 5．方程是一元一次方程，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，即只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1（次）的方程叫做一元一次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．根据一元一次方程的定义可得，求解即可． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 6．已知方程是关于的一元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是，系数不为，则这个方程是一元一次方程．可根据未知数的系数及未知数的指数列出关于的方程，继而求出的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， 解得：． 故答案为：． 题型二 由一元一次方程的解求参数 1．若是关于的方程的解，则的值为（    ） A．2017 B．2027 C．2045 D．2031 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，求代数式的值．将代入中得，将整体代入中即可得出答案． 【详解】解：将代入，得： ，即， ∴． 故选：D． 2．已知是方程的解，那么a的值是（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．将已知解代入方程，解关于a的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故选：B． 3．若关于的一元一次方程的解为，则的值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及解一元一次方程，解题的关键在于熟练掌握解方程的方法．将代入方程求出k值即可． 【详解】解：将代入方程得：， ∴， 整理得：， 解得：． 故选：B． 4．若是关于x的方程的解，则m的值为 【答案】2 【分析】本题主要考查了已知一元一次方程的解求参数，把代入关于x的方程，解关于m的方程即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， 解得：． 故答案为：2． 5．已知是方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据方程的解求参数，把代入到方程中计算即可求解，掌握方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， 故答案为：． 6．方程■中被盖住的是一个常数，此方程的解是：．这个常数应是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，解题的关键是将已知的方程解代入原方程，构建关于未知常数的新方程并求解． 【详解】解：设被盖住的常数为则原方程为． ∵方程的解是 ∴将代入方程得： 即 化简得， 移项得， 解得． 故答案为：6． 7．已知是关于x的方程的解，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，根据一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程中，求出a的值即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， 故答案为：3 题型三 由一元一次方程有解无解问题求参数 1．如果关于的方程有解，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程有解确定出a的范围即可． 【详解】解：∵关于的方程有解， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，弄清方程有解的条件是解本题的关键． 2．如果关于x的方程有解，那么m的取值范围是（  　  ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程无解的情况， 根据中，当时，方程无解可知当时关于的方程有解． 【详解】解：由题意得：当时，关于的方程有解， 解得， 故选：C． 3．关于的方程有解，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，弄清方程有解的条件是解本题的关键．根据方程有解确定出a的范围即可． 【详解】解：∵关于x的方程有解， ∴， ∴． 故答案为：． 4．如果关于x的方程有解，那么实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元一次方程有意义的条件得，进行计算即可得． 【详解】解：∵(a−4)x=2022有解 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程有意义的条件，解题的关键是掌握一元一次方程有意义的条件． 5．如果关于x的方程有解，那么a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是一元一次方程的解法．移项合并同类项，当x的系数不等于0时，方程有解，据此即可求解． 【详解】解：移项合并同类项得， ∵关于x的方程有解， ∴， 即， 故答案为：． 题型四 由一元一次方程有整数解求参数 1．已知关于的方程 有整数解，则的所有可能的取值的和为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．先根据解方程的一般步骤解方程，再根据整数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 是整数解 ∴ 或，，，，，， 则 故选：C． 2．已知关于的方程有正整数解，则负整数的所有可能的取值的积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的整数解，熟练掌握求含参数的一元一次方程整数解的方法是解题的关键．先解方程，求出，再利用方程有正整数解，得出的范围，结合是负整数，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ∴方程有正整数解， ∴，且为偶数， ∴，且为偶数， ∵为负整数， ∴ ，或， 负整数的所有可能的取值的积为， 故选：D． 3．关于方程有正整数解，则满足条件的正整数的和为（    ）． A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，理解方程有正整数解的含义．根据一元一次方程的解法可得：，因为x为正整数，a为整数，则a取值为：或或或或或，进一步可求出整数a的和． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ∵方程有正整数解， ∴或或或或或， 则满足条件整数k的和为． 故选B 4．已知关于x的方程有整数解，则满足条件的所有整数k之和为 ． 【答案】4 【分析】本题考查解一元一次方程及方程的解，理解并掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题关键．先去分母解得方程的解，再根据方程的解为整数得到整数k值，进而求和即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得， ∵该方程有整数解，k为整数， ∴，， ∴，2，，6， 则满足条件的所有整数k之和为， 故答案为：4． 5．已知关于x的方程，求所有整数解的和 ． 【答案】 【分析】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是掌握绝对值的性质和解一元一次方程的能力． 分、和三种情况分别求解可得． 【详解】解：当时，，解得，不符合条件，舍去； 当时，， 解得，此范围恒成立， 符合条件的整数为、、、0； 当时，， 解得， 方程的所有整数解的和为：， 故答案为：． 6．关于x的方程有整数解，则正整数a所有可能取值为 ． 【答案】1或3或7 【分析】本题考查一元一次方程的解、解一元一次方程，利用一元一次方程的解法求得，进而根据方程的解求得a值即可． 【详解】解：解方程得， ∵方程有整数解， ∴或或或， 解得或或（舍去）或， ∴正整数a所有可能取值为1或3或7， 故答案为：1或3或7． 题型五 将错就错求参数 1．小马虎在解关于x的方程时，出现了一个失误：“在将移到方程的左边时，忘记了变号．”结果他得到方程的解为，求a的值和原方程的解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，根据题意可得是方程的解，据此把代入到中，可求出a的值，再求出原方程的解即可． 【详解】解：由题意，得， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得， ∴a的值为3，原方程的解为． 2．小华解方程，去分母时，方程右边忘记乘10，因而求的方程的解为，试求的值，并正确解方程． 【答案】，解方程见解析 【分析】此题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，同时考查了一元一次方程的解法，正确求出a的值是解题的关键． 根据题意得出方程，将代入求出a的值，然后代入原方程即可求出正确的解． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 把代入， 得． 去分母得，， 去括号得， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，． 3．小马虎在解关于的方程时，出现了一个失误：在将移到方程的左边时，忘记了变号，结果他得到方程的解为，求的值和原方程的解． 【答案】， 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据题意得到是方程的解，代入求值即可． 【详解】解：根据题意，得小马虎移项后所得方程为， 将代入这个方程得，， 解得：． 所以原方程为， 解得：． 综上，，原方程的解为． 4．小亮在解关于x的方程时，在去分母这一步方程右边的“1”忘记乘12，而求得的解为． (1)求出a的值； (2)求原方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的解，关键是掌握一元一次方程的解法． （1）按照题目的条件解方程，由方程的解，即可求出a的值； （2）把代入方程，即可求出方程的解． 【详解】（1）解：根据题意可知，是关于x的方程的解， 则， 解得． （2）解：由（1）知， 所以原方程为． 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 5．在解关于x的方程，小华在去分母的时候忘记将右边乘3，其他步骤都是正确的，巧合的是他求出的结果仍然是原方程的解，求出满足这个条件的m的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是把代入原方程求出的值． 先用表示出，再代入原方程求出的值即可． 【详解】解：∵去分母时忘了将右边乘以 3 ， ， ， ∵求出的结果仍然是原方程的解， ∴把代入原方程， 得， 解得， 故的值为 4 ． 6．在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“-1”这一项乘公分母6，求出方程的解为x=-． （1）求m的值： （2）写出正确的求解过程． 【答案】（1）m=-4   （2）x=-4 【分析】（1）将错就错，把x的值代入小明去分母出错的方程求出m的值即可； （2）把m的值代入方程计算即可求出解． 【详解】解：（1）根据小明去分母得：4x-2=2x+m-1， 把x=-代入方程得：-6-2=-3+m-1， 解得：m=-4； （2）把m=-4代入得：， 去分母得：4x-2=2x-4-6， 移项得：4x-2x=-4-6+2， 合并得：2x=-8， 解得：x=-4． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． 题型六 由两个一元一次方程的解之间的关系求参数】 1．已知方程的解与关于x的方程的解相同，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，能得出关于k的方程及的解是解此题的关键．先根据等式的性质求出第一个方程的解是，求出第二个方程的解是，再根据同解方程求出的解即可． 【详解】解：解方程得：， 解方程得：， 解， 得． 2．已知关于的两个一元一次方程①，②，若方程②的解比方程①的解大．求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，先求出两个方程的解，再根据“方程②的解比方程①的解大”得到关于的方程，求解即可．熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题关键． 【详解】解：解方程①得：， 解方程②得：， ∵方程②的解比方程①的解大， ∴， 解得：， ∴的值为． 3．求当为何值时，关于的方程的解比的解小2． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，先求出两个方程的解，根据已知得出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：解方程得， 解方程得， 由题意可知， 解得． 4．如果关于x的方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据倒数的性质得到新的方程是解题的关键． 分别求出每个方程的解，然后根据倒数的性质得到关于a的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， 因为两个方程的解互为倒数，所以， 解得． 5．已知关于的方程的解比方程的解大，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程解的定义以及解一元一次方程等知识，掌握一元一次方程解的定义以及解一元一次方程等知识是解答本题的关键． 首先由方程，用表示，然后由第二个方程，再用表示，因为两个解的值相差，列出方程求出的值即可． 【详解】解：解关于的方程，得：， 解关于的方程，得：， 因为关于的方程的解比方程的解大， 所以，解得． 题型七 与一元一次方程相关的新定义问题中求参数 1．定义：若关于x的一元一次方程（的常数）的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”．根据题意，解决下面问题： (1)方程_____（填“是”或“不是”）“差解方程”； (2)关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【答案】(1)不是 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解法，理解新定义，是解题的关键． （1）根据差根方程的定义进行求解即可； （2）先求出方程的解为：，然后根据关于x的一元一次方程是“差解方程”，列出关于m的方程，解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：方程的解为：， ， ∴方程不是“差解方程”； （2）解：方程的解为：， ∵关于x的一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解得：． 2．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程以及“美好方程”的定义，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）解出方程的解，根据“美好方程”的定义即可判断； （2）求出关于的方程的解，根据两个一元一次方程的解之和为1求出答案即可． 【详解】（1）解：的解为：， 的解为：， ， ∴方程与方程不是“美好方程”． （2）解：的解为， 的解为， 根据题意可得：， 解得． 3．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称为这两个方程为“致真方程”．如方程和为“致真方程”． (1)若关于的方程与方程是“致真方程”，求的值； (2)若关于的方程和是“致真方程”，求这两个方程的解． 【答案】(1) (2)方程的解为，方程的解为 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，解题的关键是掌握“致真方程”的定义． （1）根据解一元一次方程的步骤，可用表示出方程的解，再解出方程的解，最后结合“致真方程”的定义和相反数的定义，可得出关于的方程，解出的值即可； （2）根据解一元一次方程的步骤，可用表示出两个方程的解，结合“致真方程”的定义和相反数的定义，可得出关于的方程，解出的值即可． 【详解】（1）解： ； ； ∵方程与方程是“致真方程”， ∴， 解得． （2）解： ； ； ∵方程和是“致真方程”， ∴， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 则， ， 故方程的解为，方程的解为． 4．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”． 例如：方程和为“互逆方程”． (1)下列方程中与方程为“互逆方程”的是_____（填写序号）； ①，②，③． (2)若关于x的方程和为“互逆方程”，求m的值． 【答案】(1)①，③ (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，根据方程的解求参数，掌握新定义，是解题的关键： （1）分别求出每个方程的解，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，根据互逆方程的定义，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：解，得：； 解得：； 解得：； 解得： ∴与方程为“互逆方程”的是①③； （2）解方程，得． 解方程，得． ∵两个方程为“互逆方程”， ∴． 解方程，得． 5.定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程 “和谐方程”（填“是”或“否”）； (2)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，求代数式的值，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，判断即可； （2）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，列出方程，解方程求出的值即可； （3）先解出方程的解，再根据“和谐方程”的定义得出方程的解为：，代入方程，结合题意，即可得出，，求出与的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 解得：， ∵与互为相反数， ∴方程与方程是“和谐方程”． 故答案为：是． （2）解：， 解得：， ， 解得：， ∵与方程是“和谐方程”， ∴， 解得：． （3）解：， 解得：， ∵关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”， ∴方程的解为：， 将代入方程，得， 整理，得， ∵无论取任何有理数，上式都成立， 故，， 解得：，， ． 6．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”． (1)若方程与关于x的方程互为“归一方程”，求m的值． (2)若关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”，求a的值． (3)若关于x的两个方程与互为“归一方程”，求出所有满足条件的正整数m、n值． 【答案】(1) (2) (3)，或， 【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，已知方程的解求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先解得，因为方程与关于x的方程互为“归一方程”，得中的，则，即可作答． （2）先分别把方程与方程表示出的代数式，再结合新定义进行列式得，再解方程，即可作答． （3）与（2）同理得，，再结合新定义进行列式得，再解方程，根据m、n为正整数，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵方程与关于x的方程互为“归一方程”， ∴中的 即 ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”， ∴ ∴ ∴． （3）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵关于x的两个方程与互为“归一方程” ∴ ∴ ∴ 则 ∴ ∴ ∵m、n为正整数 那么，此时，； 或，此时，； 综上：，或， 题型八 一元一次方程的拓展求参数 1．【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则；已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为 ； （2）已知方程，则的值为 ； 【拓展创新】 （3）已知关于x的一元一次方程的解为，求一元一次方程的解． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，将原方程进行正确的变形是解题的关键， （1）将方程两边同除以3即可求得答案； （2）将方程两边同除以3即可求得答案； （3）将程两边同除以2024可得，再根据题意可得，解得的值即可． 【详解】（1）解：方程 ， 故答案为：6； （2）解：方程， ， 故答案为：6； （3）解：已知关于的一元一次方程， 两边同除以2024变形得：， 关于的一元一次方程的解为， ，解得：， 关于的一元一次方程(的解为． 2．阅读与理解：数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为___________与___________在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：的最小值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【答案】（1）x，4 （2）6 （3）或5 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离与绝对值，涉及绝对值的几何意义，正确掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）依题意，可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离，即可作答； （2）对的取值范围进行分类讨论，根据绝对值的几何意义，即可作答； （3）分类讨论，解方程即可． 【详解】解：（1）依题意， ∵表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离 ∴可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：x，4； （2）表示为在数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和， 当时，则， 当时，则， 当时，则， 综上，的最小值是6； （3）当时，则，即； 当时，则，即； 当时，，方程无解； 所以，则或5． 3【问题背景】 如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 【问题发现】 （1）若数轴上数x到原点的距离为2，且x在原点左边，则x的值为 ； 【探索求知】 （2）若数轴上表示a和2的两点之间的距离为6，求a表示的数； 【拓展延伸】 （3）若点A表示的数是，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发都沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒5个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，则运动几秒时，点P与点Q之间的距离为1？（请写出求解过程） 【答案】（1）；（2）a表示的数为8或；（3）运动或2秒时，点P与点Q之间的距离为1 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）由数轴上数x到原点的距离为2，可列出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出x的值，再结合x在原点左边，即可确定x的值； （2）根据数轴上表示a和2的两点之间的距离为6，可列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由点A，B之间的距离结合点A表示的数，可找出点B表示的数，当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）根据题意得：， 解得：或， 又∵x在原点左边， ∴x的值为． 故答案为：； （2）根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：a表示的数为8或； （3）∵点A表示的数是，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧， ∴点B表示的数是， 当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：运动或2秒时． 4．【问题背景】 如图，数轴上有四个点，其中点被不小心擦掉了，点对应的数分别为、1，已知点是数轴的原点，点到点的距离相等． 【问题探究】 (1)点表示的数是___________，点表示的数是___________，并在数轴上标出点、； (2)若在数轴上另取一点，点到点的距离为4，求点与点之间的距离； 【拓展延伸】 (3)已知点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点到点的距离为2，点到点与点到点的距离相等，求的值． 【答案】(1)0；；图见解析 (2)点与点之间的距离为7或1 (3)的值为或 【分析】本题考查了数轴的应用，解决本题的关键是数轴上两点之间的距离公式． （1）根据点是数轴的原点，点到点的距离相等进行求解即可； （2）根据点到点的距离为4，分情况讨论即可； （3）先根据点到点的距离为2，求出点P的两种情况即可，再根据点到点与点到点的距离相等，表达出点Q的式子，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点是数轴的原点， ∴点表示的数是0， ∵点到点的距离相等， ∴点是点的中点， ∴点B表示的数是， 故答案为：0，； （2）解：∵点到点的距离为4， ∴当点E在点A左侧时，点为； 当点E在点A右侧时，点为， ∴当点E在点A左侧时，点与点之间的距离为， 当点E在点A右侧时，点与点之间的距离为， ∴点与点之间的距离为7或1； （3）解：点到的距离为2， ∴当点P在D右侧时，； 若P在D左侧时，， 又∵点到点与点到点的距离相等， ∴Q是P、A的中点， ∴， 当点P为3时，此时， 代入得， ； 当点P为时，此时， 代入得， ， 综上所述，的值为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次方程含参问题（八大题型） 【考点1 有一元一次方程的定义求参数】...................................................1 【考点2 由一元一次方程的解求参数】.....................................................1 【考点3 由一元一次方程有解无解问题求参数】.............................................2 【考点4 由一元一次方程有整数解求参数】.................................................2 【考点5 将错就错求参数】...............................................................2 【考点6 由两个一元一次方程的解之间的关系求参数】.......................................3 【考点7 与一元一次方程相关的新定义问题中求参数】.......................................4 【考点8一元一次方程的拓展求参数】......................................................6 题型一 有一元一次方程的定义求参数 1．若是关于的一元一次方程，则 ． 2．关于x的方程是一元一次方程的条件是 ． 3．是一元一次方程，则 ． 4．已知是关于的一元一次方程，则 ． 5．方程是一元一次方程，则m的值是 ． 6．已知方程是关于的一元一次方程，则的值是 ． 题型二 由一元一次方程的解求参数 1．若是关于的方程的解，则的值为（    ） A．2017 B．2027 C．2045 D．2031 2．已知是方程的解，那么a的值是（    ） A．5 B．1 C． D． 3．若关于的一元一次方程的解为，则的值为（   ） A． B． C． D．0 4．若是关于x的方程的解，则m的值为 5．已知是方程的一个解，则 ． 6．方程■中被盖住的是一个常数，此方程的解是：．这个常数应是 ． 7．已知是关于x的方程的解，则 ． 题型三 由一元一次方程有解无解问题求参数 1．如果关于的方程有解，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如果关于x的方程有解，那么m的取值范围是（  　  ） A． B． C． D．任意实数 3．关于的方程有解，那么实数的取值范围是 ． 4．如果关于x的方程有解，那么实数a的取值范围是 ． 5．如果关于x的方程有解，那么a的取值范围为 ． 题型四 由一元一次方程有整数解求参数 1．已知关于的方程 有整数解，则的所有可能的取值的和为(    ) A． B． C． D． 2．已知关于的方程有正整数解，则负整数的所有可能的取值的积为（    ） A． B． C． D． 3．关于方程有正整数解，则满足条件的正整数的和为（    ）． A．15 B．16 C．17 D．18 4．已知关于x的方程有整数解，则满足条件的所有整数k之和为 ． 5．已知关于x的方程，求所有整数解的和 ． 6．关于x的方程有整数解，则正整数a所有可能取值为 ． 题型五 将错就错求参数 1．小马虎在解关于x的方程时，出现了一个失误：“在将移到方程的左边时，忘记了变号．”结果他得到方程的解为，求a的值和原方程的解． 2．小华解方程，去分母时，方程右边忘记乘10，因而求的方程的解为，试求的值，并正确解方程． 3．小马虎在解关于的方程时，出现了一个失误：在将移到方程的左边时，忘记了变号，结果他得到方程的解为，求的值和原方程的解． 4．小亮在解关于x的方程时，在去分母这一步方程右边的“1”忘记乘12，而求得的解为． (1)求出a的值； (2)求原方程的解． 5．在解关于x的方程，小华在去分母的时候忘记将右边乘3，其他步骤都是正确的，巧合的是他求出的结果仍然是原方程的解，求出满足这个条件的m的值． 6．在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“-1”这一项乘公分母6，求出方程的解为x=-． （1）求m的值： （2）写出正确的求解过程． 题型六 由两个一元一次方程的解之间的关系求参数】 1．已知方程的解与关于x的方程的解相同，求k的值． 2．已知关于的两个一元一次方程①，②，若方程②的解比方程①的解大．求的值． 3．求当为何值时，关于的方程的解比的解小2． 4．如果关于x的方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求a的值． 5．已知关于的方程的解比方程的解大，求的值． 题型七 与一元一次方程相关的新定义问题中求参数 1．定义：若关于x的一元一次方程（的常数）的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”．根据题意，解决下面问题： (1)方程_____（填“是”或“不是”）“差解方程”； (2)关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 2．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； 3．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称为这两个方程为“致真方程”．如方程和为“致真方程”． (1)若关于的方程与方程是“致真方程”，求的值； (2)若关于的方程和是“致真方程”，求这两个方程的解． 4．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”． 例如：方程和为“互逆方程”． (1)下列方程中与方程为“互逆方程”的是_____（填写序号）； ①，②，③． (2)若关于x的方程和为“互逆方程”，求m的值． 5.定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程 “和谐方程”（填“是”或“否”）； (2)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 6．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”． (1)若方程与关于x的方程互为“归一方程”，求m的值． (2)若关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”，求a的值． (3)若关于x的两个方程与互为“归一方程”，求出所有满足条件的正整数m、n值． 题型八 一元一次方程的拓展求参数 1．【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则；已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为 ； （2）已知方程，则的值为 ； 【拓展创新】 （3）已知关于x的一元一次方程的解为，求一元一次方程的解． 2．阅读与理解：数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为___________与___________在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：的最小值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 3【问题背景】 如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 【问题发现】 （1）若数轴上数x到原点的距离为2，且x在原点左边，则x的值为 ； 【探索求知】 （2）若数轴上表示a和2的两点之间的距离为6，求a表示的数； 【拓展延伸】 （3）若点A表示的数是，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发都沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒5个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，则运动几秒时，点P与点Q之间的距离为1？（请写出求解过程） 4．【问题背景】 如图，数轴上有四个点，其中点被不小心擦掉了，点对应的数分别为、1，已知点是数轴的原点，点到点的距离相等． 【问题探究】 (1)点表示的数是___________，点表示的数是___________，并在数轴上标出点、； (2)若在数轴上另取一点，点到点的距离为4，求点与点之间的距离； 【拓展延伸】 (3)已知点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点到点的距离为2，点到点与点到点的距离相等，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $