专题5.3 实际应用与一元一次方程（高效培优讲义）数学浙教版2024七年级上册

专题5.3 实际应用与一元一次方程 教学目标 1.能识别实际问题的常见类型（如和差倍分、行程、工程、打折销售、浓度、计费问题等），准确提取题目中的关键数量信息。 2.掌握 “列一元一次方程解应用题” 的核心流程：审题→找等量关系→设未知数→列方程→求解→检验→规范作答。 3.能根据实际问题的等量关系，熟练列出一元一次方程，并用已学解法求解，且能检验解的 “数学合理性”（满足方程）和 “实际意义”。 4.能区分 “直接设元”（设问题所求量为未知数）与 “间接设元”（设中间量为未知数）的适用场景，灵活选择设元方式简化解题. 教学重难点 教学重点 (1)核心：找准实际问题中的等量关系。 (2)规范：掌握 “列方程解应用题” 的完整流程，尤其是 “审题→找等量关系→设元→检验→作答” 的步骤规范性。 (3)衔接：熟练运用一元一次方程的解法求解应用题，实现 “列方程” 与 “解方程” 的无缝衔接。 (4)分类：能识别不同类型应用题的核心等量关系. 教学难点 (1)核心难点：抽象实际问题中的等量关系。 (2)设元技巧：灵活选择 “直接设元” 或 “间接设元”。 (3)检验意识：忽略 “实际意义检验”。 (4)文字转化：将实际问题中的 “隐含条件”转化为数学语言，学生易遗漏或误解隐含条件。 (5)类型混淆：不同类型应用题的等量关系辨析。 (6)步骤疏漏：解题过程中漏写 “设元语句”“等量关系表达式”，或答语与问题不对应。 知识点01 一元一次方程的应用 用方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一次方程（组）有关应用题的常见类型： 【即学即练】 1．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（ ） A． B． C． D． 2．我国古代名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？原文意思是：现在有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？如果假设共有人，则可列方程为（    ） A．B． C． D． 3．周末小育和小才相约去登山．小育平均每分钟登高10米，并且先出发40分钟，小才平均每分钟登高15米，两人同时登上山顶．设小育登山用了x分钟． (1)小才登山所用时间为　　　分钟（用x的代数式表示）； (2)试用方程求x的值．由x的值能求出山高吗？如果能，山高多少米？ 4．某车间有66名工人，生产某种由1个螺栓套2个螺母的产品，每人每天生产螺母12个或螺栓5个．分配多少名工人生产螺栓多少名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 题型01和、差、倍、分问题 【典例1】中国结，作为中国传统的民间手工艺品，承载了丰富的文化内涵和美好寓意，同时也体现了中国人民的情致和智慧．编织大、小两种中国结共6个，总计用绳20米．已知编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米．问这两种中国结各编织多少个． 【变式1】某班总人数为88人，其中男生人数比女生人数的3倍少12人，求女生的人数． 【变式2】今年“”期间，某城市因商品质量问题提出投诉的消费者有人，比去年同期投诉人数的倍少人，去年同期投诉的有多少人？（用方程解） 【变式3】甲队原有工人68人，乙队原有工人44人，现又有42名工人调入这两队，为了使乙队人数是甲队人数的，应调往甲、乙两队各多少人？ 题型02行程问题 【典例2】甲、乙两人沿运动场中一条400米长的环形跑道匀速跑步，甲的速度是乙速度的1.5倍，他们从同一起点，朝同一方向同时出发，8分钟后甲第一次追上乙． (1)求甲、乙两人跑步的速度分别为多少？ (2)若甲、乙两人从同一起点，同时背向而行，经过多少时间两人恰好第五次相遇？ 【变式1】小秦和小明在操场练习跑步，两人从同一起点A出发，小秦每分钟跑300米，小明每分钟跑200米，小秦比小明晚出发3分钟，结果两人同时到达终点B，求两地的路程． 【变式2】，两站间的距离为，一辆慢车从站出发，每小时行驶；一辆快车从站出发，每小时行驶． (1)若两车同时开出，相向而行，则出发多少小时后相遇？ (2)若两车同时开出，同向而行，且慢车在前，则出发多少小时后快车能追上慢车？ 【变式3】已知A，B，C三地依次在同一条直线上，A，C两地距离465千米，A，B两地距离330千米． (1)现有甲、乙两车分别从A，B两地相向而行，两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的3倍，若甲车比乙车提前1小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少千米/小时？ (2)如果甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，向C地行驶，两车保持（1）中的速度，求经过多少小时两车相距30千米？ 题型03工程问题 【典例3】整理一批图书，由一个人做要完成，现计划由人先做，然后增加一些人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应增加多少人？ 【变式1】一项工程，甲队单独做40天完成，乙队单独做60天完成，甲乙两队合作几天后，甲队另有任务调走几天，乙继续做，所以从开工到完成任务共用了27天，甲队请假多少天？ 【变式2】某地下管道由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要18天，如果由两个工程队从两端同时相向施工，要多少天可以铺好？ 【变式3】一项工程，若由甲队单独做需要10天完成，若由乙队单独做需要20天完成． (1)若甲乙两队先一起施工5天，然后余下的工程由乙队单独完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程的总报酬为12万元，求甲队和乙队各得报酬多少万元？ 题型04顺水逆水问题 【典例4】一架飞机飞行于甲、乙两城之间，顺风时需要小时，逆风时需要6小时，若风速是每小时24公里，求两城之间的距离． 【变式1】两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是30千米/时，水流速度是a千米/时． (1)甲船顺水的速度是 千米/时；乙船逆水的速度是 千米/时； (2)若3小时后甲船比乙船多航行60千米，求a的值． 【变式2】两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是20千米/时，水流速度是千米/时． (1)甲船顺水的速度是______千米/时；乙船逆水的速度是______千米/时； (2)若每小时甲船比乙船多航行20千米，求的值． 【变式3】一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，每小时可以飞行1500千米；飞回时逆风，每小时可以飞行1200千米．这架飞机最多飞行多少千米就需要往回飞？ 题型05商品利润问题 【典例5】国庆期间，某商场专柜进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照的利润定价，然后又打九折出售．（成本价利润率利润，成本价利润定价，售价成本价利润） (1)商品A成本价是120元，商品A最后售价多少元？ (2)商品B卖出后，赚了68元，商品B的成本价是多少元？ 【变式1】某商品按定价出售，每个可获得利润40元，如果按定价的出售10件与按定价每个减15元出售8件所获得的利润一样多，这种商品每件定价多少元？ 【变式2】某社区超市用元钱从批发商处购进了甲、乙两种商品共千克，已知甲、乙商品的批发价与零售价如下表所示： 商品名 甲 乙 批发价（元/千克） 零售价（元/千克） (1)该社区超市这天批发甲商品和乙商品各多少千克； (2)甲商品和乙商品按零售价售出相同的重量后，剩下的商品都按零售价打八折售出，最终当天甲乙商品全部卖完，共获得元利润，求打折后卖出的甲、乙商品的重量分别为多少？ 【变式3】春节前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，乙种商品的每件进价比甲种商品的每件进价高20元．若购进甲种商品10件，乙种商品2件，需要1000元． (1)求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？ (2)若甲种商品按标价出售，则每件可获利40元，为了促销，现对甲种商品在标价基础上打折出售，若按此促销方案售出6件所能获得的利润，与按标价每件降价35元出售12件所获得利润一样，求甲种商品打了几折出售？ 题型06 比赛积分问题 【典例6】甲、乙两队进行篮球比赛，比赛规则规定每队胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．两队一共比赛了10场，甲队保持不败，且得分为24分．甲队胜了多少场？ 【变式1】某校八年级组织数学竞赛，共有25道题，答对一题得4分，答错或不答扣1分．小明最终得分为75分． (1)求小明答对了多少道题？ (2)若答对一题得5分，答错扣2分，不答不扣分，其他条件不变，求小明得分． 【变式2】某足球协会举办了一次足球比赛，其中得分规则及奖励方案如下表： 规则 胜一场 平一场 负一场 积分/分 3 1 0 人均奖金/元 1500 700 0 当队比赛完12场时，共积20分，并且没有负场． (1)队胜、平各几场？ (2)每赛1场，队每名队员均获得出场费500元，那么比赛完12场后，队的每名队员所得奖金与出场费共多少元？ 【变式3】四初一年级学生参加有理数计算闯关，闯关共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 小于 25 0 100 小王 21 4 76 小李 15 10 40 … … … … (1)根据表格提供的数据，答对1题得 分，答错1题扣 分： (2)参赛者小赵得了64分，求他答对了几道题． 题型07 配套问题 【典例7】某车间为提高生产总量，在原有14名工人的基础上，新调入若干名工人．使得调整后车间的总人数比新调入工人人数的2倍多6人． (1)求新调入多少名工人？ (2)若该车间每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，若1个螺栓需要2个螺母．在新调入工人后，应该安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 【变式1】在手工制作课上，老师组织七年级（）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（）班共有名学生，每名学生每小时可以剪筒身个或剪筒底个，要求个筒身配个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【变式2】制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木料可制作50个桌面或300条桌腿．现有木料，应如何计划使用木料，才能制作出尽可能多的桌子？ 【变式3】在北京冬奥会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽．车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1800条或者脖子的丝巾1200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾．为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？ 题型08 数字与日历问题 【典例8】一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将个位和十位上的两个数字对调后得到的两位数比原来的两位数小36，求原来的两位数． 【变式1】阅读理解：你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法．例题：利用一元一次方程0.7化成分数，设，由于，可知，于是，可解得，即． 请你仿照上述方法完成下列问题： (1)将化成分数形式； (2)将化成分数形式． 【变式2】将连续的偶数0，2，4，6，8，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框5个数（十字框只能平移）． (1)若框住的5个数中，中间数为30，则这5个数的和为______，设中间数为，用含的代数式表示十字框内5个数的和为______． (2)十字框中的五个数之和能等于2026吗？若能，请求出中间数；若不能，请说明理由． 【变式3】如图所示的是2025年1月历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动，设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为 (1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为______； (2)的值可以是90吗？请说明理由； (3)若，求的最大值． 题型09 方案选择问题 【典例9】元旦期间，某火锅店开业大酬宾，推出以下两种优惠方案： 方案一 在美团上可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券． 例：某次消费120元，使用代金券后，实际花费元． (1)若某次消费210元，使用代金券后，实际花费_________元； (2)小明一家元旦期间去该火锅店消费了元， ①若使用代金券，实际花费_________元（用含的代数式表示）； ②选择哪种方案更省钱？ 【变式1】某体育用品店出售某品牌的篮球和羽毛球．已知羽毛球的标价为每个5元，篮球的标价为每个40元．节假日期间，为了让利顾客，该店推出两种优惠方案： 甲方案：篮球和羽毛球都按标价打九折出售． 乙方案：买一个篮球送一个羽毛球． 某顾客现要购买40个篮球和a个羽毛球． (1)当时，分别计算按甲、乙两种方案购买，该顾客需付款多少元？ (2)购买羽毛球多少个时，两种方案的收费相同？ 【变式2】已知公园门票价格规定如下表： 购票张数 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）、（2）两个班共104人去该公园游玩，其中（1）班人数较少，不足50人．经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问： (1)两班各有多少名学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以节省多少钱？ (3)如果七（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？ 【变式3】小麦和父母去某火锅店吃火锅，点了270元的商品，其中包含一份50元的鸳鸯锅底．用餐完毕后，小麦去付款，发现店家有两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受． 优惠方式A 可使用“50元抵100元的全场通用代金券”（即面值100元的代金券实付50元就能获得）．店家规定代金券不兑现、不找零，最多可叠加使用3张． 优惠方式B 除锅底不打折外，其余菜品全部打□折． 小麦选择优惠方式B计算，发现自己需要付款182元． (1)请用一元一次方程的知识计算一下，优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打几折？ (2)小麦如何付款最省钱？ 题型10 分段计费问题 【典例10】为鼓励居民节约用水，某市自来水公司以如表所示的标准收取水费： 月用水量 单价/（元） 不超过 超过的部分 另：每立方米用水加收元的城市污水处理费 (1)如果月份小亮家的用水量为，那么月份应该缴纳水费__________元；如果月份小明家的用水量为，那么月份应该缴纳水费__________元； (2)如果小明家月份共缴纳水费元，那么她家月份用水多少立方米？ (3)若小明家水表月份出现了故障，只有的用水量计入水表中，这样她家在月份只缴纳了元水费，问月份实际应该缴纳水费多少元？ 【变式1】小明在学习了第五章《一元一次方程》的“阅读材料”后，通过手机APP查到了自己家目前的水费收费标准如下： 用水性质和分级 到户价格（元/吨） 其中含污水处理价（元/吨） 居民生活用水 第1级（每户每月用水13吨及以下部分） 第2级（每户每月用水14~25吨部分） 第3级（每户每月用水26吨及以上部分） 每月用水量都以整数吨记录，到户价格包含污水处理价．如小明家9月份用水30吨，则总共支付水费：，其中含污水处理费用：．根据以上信息回答下列问题： (1)小明家10月份总共支付水费，求小明家10月份用水多少吨？支付的水费中包含的污水处理费为多少元？ (2)若7月与8月两个月共用水48吨，且8月份用水量超过26吨，两个月共缴水费213元，则该用户7、8月份各用水多少吨？ 【变式2】为鼓励节约用电，某地用电收费标准规定：如果每月每户用电不超过度，那么每度电元；如果该月用电超过度，那么超过部分每度电元． (1)如果小张家一个月用电度（），那么这个月应缴纳电费多少元？（用含的代数式表示） (2)如果小张家八月份用电度，那么这个月应交电费多少元？ (3)如果小张家九月份用了元的电费，那么他家该月用电多少度？ 【变式3】某出租车公司推出专车和快车两种出租车，它们的收费方式如下： 专车：千米以内收费元，超过千米的部分每千米收费元，不收其他费用； 快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程千米；里程大于千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过千米的，超出的部分每千米加收元． (1)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付费用多少元？ (2)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付的费用多少元（用含的式子表示）？ (3)如果乘车路程是千米时，使用快车出行的费用比使用专车出行省4元，求的值． 题型11 几何图形问题 【典例1】如图，长方形被分成六个大小不一的正方形，已知中间一个小正方形的面积为4，求长方形中最大的正方形与最小的正方形的面积之差． 【变式1】如图，点，在同一数轴上，数轴的单位长度为1，且点，表示的数互为相反数． (1)求的长度； (2)点，为同一数轴上两个动点，两点同时出发．点从点出发，向右以1（单位长度/秒）的匀速移动秒；点从点出发，向左以2（单位长度/秒）的匀速移动． （ⅰ）用含的代数式表示点，表示的数； （ⅱ）若，求的值． 【变式2】为践行劳动教育，学校特意划出一块长方形土地供学生劳作．如图，长方形土地一面靠墙，现将不靠墙的三面向内推进x米修建小路，在小路内侧用篱笆围出一块长方形菜地． (1)当时，篱笆的长度为 米． (2)用x的代数式表示篱笆的长度．（列式并化简） (3)若篱笆长度为36米，求小路的宽度． 【变式3】如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度？ 1．《九章算术》中关于“盈不足”问题：“今有人共买物，人出五，盈三；人出四，不足二．问人数几何？”大意是：现有一些人共同买一个物品，若每人出5元，则还剩3元；若每人出4元，则还差2元．若设买这个物品共有个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．一台仪器由个部件和个部件构成．用立方米钢材可以做40个部件或240个部件．现要用立方米钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做部件，多少立方米钢材做部件，才能制作尽可能多的仪器？设用立方米钢材制作部件，则可列式为（    ）． A． B． C． D． 3．“九宫图”传说是远古时期洛河中的一只神龟背上的图案，故又称“龟背图”．数学上的“九宫图”是一个表格，其每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 4．一家商店某种裤子按成本价提高50%后标价，又以八折优惠卖出，结果每条裤子获利10元，则这条裤子的成本是（    ）元 A．30 B．20 C．25 D．50 5．如图，一条数轴上有，，三点，其中点，表示的数分别是，，现在以为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上，且落点距离点为个单位长度，则点表示的数为 ． 6．如图，将一个长为12，宽为4的长方形等比例缩小得到一个长为，宽为3的小长方形，则 ． 7．合唱队有男生人，比女生人数的2倍多3人，女生有 人． 8．今年植树节，力旺高一九班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．求该班的学生人数． 9． 甲、乙两车同时分别从A、B两地相向而行，甲车速度是，两地相距，后相遇，问乙车的速度是多少？ 10．某工程队计划在天内修路，施工前天修完后，计划发生变化，准备提前天完成修路任务，剩下的工期内平均每天至少要修路多少千米？ 36．某超市进行新年促销活动，调整了某种年货礼包的售价，按原售价的折销售，此时的利润率为．若这种年货礼包的进价为每个元． (1)这种年货礼包的原售价是多少元？ (2)开展促销活动后，实际销量为按原售价销售时的倍，则实际利润和未开展促销活动时相比，是增多，不变，还是减少？请通过计算说明．（利润率 利润 进价） 11．刘洋家住在电影院正西，李明家住在电影院的正东．两人同时从家里出发相向而行，刘洋每分钟步行，李明每分钟步行．从出发到两人相遇用了多长时间？相遇地点距离电影院有多远？（用方程解答） 12．如下图，现有两条乡村公路和长长1600m．一个人骑摩托车从处以的速度沿公路匀速向处行驶；另一个人骑自行车从处以的速度沿公路匀速向处行驶，并且两人同时出发． (1)经过多少分钟摩托车追上自行车？ (2)两人均在行驶途中时，经过多少分钟在行进路线上相距150m？ 13．数轴上两点A，B对应的数分别为a，b，且a，b满足． (1) ________， ________，线段________； (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．请在数轴上找一点C，使，则C点表示的数是多少？ (3)在（2）的条件下，若点C在线段上，动点P从点C出发，以3个单位长度/秒速度由C向B的方向运动；同一时刻，另一动点Q从点B出发，以1个单位长度/秒速度向正方向运动，设动点P的运动时间为t秒 ，当动点P、Q两点相距为8个单位长度时，求此时t的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 实际应用与一元一次方程 教学目标 1.能识别实际问题的常见类型（如和差倍分、行程、工程、打折销售、浓度、计费问题等），准确提取题目中的关键数量信息。 2.掌握 “列一元一次方程解应用题” 的核心流程：审题→找等量关系→设未知数→列方程→求解→检验→规范作答。 3.能根据实际问题的等量关系，熟练列出一元一次方程，并用已学解法求解，且能检验解的 “数学合理性”（满足方程）和 “实际意义”。 4.能区分 “直接设元”（设问题所求量为未知数）与 “间接设元”（设中间量为未知数）的适用场景，灵活选择设元方式简化解题. 教学重难点 教学重点 (1)核心：找准实际问题中的等量关系。 (2)规范：掌握 “列方程解应用题” 的完整流程，尤其是 “审题→找等量关系→设元→检验→作答” 的步骤规范性。 (3)衔接：熟练运用一元一次方程的解法求解应用题，实现 “列方程” 与 “解方程” 的无缝衔接。 (4)分类：能识别不同类型应用题的核心等量关系. 教学难点 (1)核心难点：抽象实际问题中的等量关系。 (2)设元技巧：灵活选择 “直接设元” 或 “间接设元”。 (3)检验意识：忽略 “实际意义检验”。 (4)文字转化：将实际问题中的 “隐含条件”转化为数学语言，学生易遗漏或误解隐含条件。 (5)类型混淆：不同类型应用题的等量关系辨析。 (6)步骤疏漏：解题过程中漏写 “设元语句”“等量关系表达式”，或答语与问题不对应。 知识点01 一元一次方程的应用 用方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一次方程（组）有关应用题的常见类型： 【即学即练】 1．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，根据总人数不变，分别用x表示两种乘车方式下的人数，建立方程即可． 【详解】解：每3人乘一车，剩余2辆车， ∴总人数为 ； 每2人共乘一车，剩余9人无车， ∴人数为 ； ∴， 故选B． 2．我国古代名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？原文意思是：现在有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？如果假设共有人，则可列方程为（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设共有x人，根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”列出方程，即可求解． 【详解】解：设共有x人，则可列方程为 ． 故选：B． 3．周末小育和小才相约去登山．小育平均每分钟登高10米，并且先出发40分钟，小才平均每分钟登高15米，两人同时登上山顶．设小育登山用了x分钟． (1)小才登山所用时间为　　　分钟（用x的代数式表示）； (2)试用方程求x的值．由x的值能求出山高吗？如果能，山高多少米？ 【答案】(1) (2)的值为120；由的值能求出山高，山高为1200米 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据小才登山所用时间等于小育登山所用时间减去小育提前出发的时间即可得； （2）根据两人登上山顶时，两人登的高度相等建立方程，解方程可得的值，再利用的值乘以小育登高的速度即可得山的高度． 【详解】（1）解：∵小育登山用了分钟，且小育先出发40分钟，两人同时登上山顶， ∴小才登山所用时间为分钟， 故答案为：． （2）解：由题意得：， 解得， 则山高为（米）， 答：的值为120；由的值能求出山高，山高为1200米． 4．某车间有66名工人，生产某种由1个螺栓套2个螺母的产品，每人每天生产螺母12个或螺栓5个．分配多少名工人生产螺栓多少名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 【答案】分配36名工人生产螺栓，其他30名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设每天有x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为人，根据题意找出等量关系列出方程并解方程即可． 【详解】解：设生产螺栓的工人为x人，则生产螺母的工人为人， 根据题意得： ， 解得：， ∴ ， 答：分配36名工人生产螺栓，其他30名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套． 题型01和、差、倍、分问题 【典例1】中国结，作为中国传统的民间手工艺品，承载了丰富的文化内涵和美好寓意，同时也体现了中国人民的情致和智慧．编织大、小两种中国结共6个，总计用绳20米．已知编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米．问这两种中国结各编织多少个． 【答案】大号，小号中国结各编织2个，4个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设大号中国结编织x个，根据编织大、小两种中国结共6个，总计用绳20米，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设大号中国结编织x个， 根据题意，得； 解得， ； 答：大号，小号中国结各编织2个，4个 【变式1】某班总人数为88人，其中男生人数比女生人数的3倍少12人，求女生的人数． 【答案】25人 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程． 设女生人数为人，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设女生人数为人，则男生有人， 根据题意得． 解得． 答：女生有25人． 【变式2】今年“”期间，某城市因商品质量问题提出投诉的消费者有人，比去年同期投诉人数的倍少人，去年同期投诉的有多少人？（用方程解） 【答案】人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设去年同期投诉的有人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设去年同期投诉的有人， 由题意得，， 解得， 答：去年同期投诉的有人． 【变式3】甲队原有工人68人，乙队原有工人44人，现又有42名工人调入这两队，为了使乙队人数是甲队人数的，应调往甲、乙两队各多少人？ 【答案】应调往甲队为20人，调往乙队为22人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找到关键描述语，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 乙队的人数是甲队人数的，相应的等量关系为：甲队现人数乙队现人数．依此列出方程求解即可． 【详解】解：设应调往甲队人，则乙队为人， 根据题意得：， 解得：． ∴． 答：应调往甲队为20人，调往乙队为22人． 题型02行程问题 【典例2】甲、乙两人沿运动场中一条400米长的环形跑道匀速跑步，甲的速度是乙速度的1.5倍，他们从同一起点，朝同一方向同时出发，8分钟后甲第一次追上乙． (1)求甲、乙两人跑步的速度分别为多少？ (2)若甲、乙两人从同一起点，同时背向而行，经过多少时间两人恰好第五次相遇？ 【答案】(1)乙的速度为每分钟米，甲的速度为每分钟150米 (2)分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设乙的速度为，则甲的速度为，根据二者速度之差时间环形跑道的长度，列出方程求解即可； （2）设经过分钟两人恰好第五次相遇，根据二者速度之和时间环形跑道长度的倍，列出方程求解即可； 【详解】（1）解：设乙的速度为，则甲的速度为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：乙的速度为每分钟米，甲的速度为每分钟150米． （2）解：设经过分钟两人恰好第五次相遇， 根据题意得：， 解得： 答：经过分钟两人恰好第五次相遇． 【变式1】小秦和小明在操场练习跑步，两人从同一起点A出发，小秦每分钟跑300米，小明每分钟跑200米，小秦比小明晚出发3分钟，结果两人同时到达终点B，求两地的路程． 【答案】A，B两地的路程为1800米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设A，B两地的路程为x米，利用时间路程速度，结合小秦比小明少用3分钟，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设A，B两地的路程为x米， 根据题意得：， 解得：． 答：A，B两地的路程为1800米． 1 【变式2】，两站间的距离为，一辆慢车从站出发，每小时行驶；一辆快车从站出发，每小时行驶． (1)若两车同时开出，相向而行，则出发多少小时后相遇？ (2)若两车同时开出，同向而行，且慢车在前，则出发多少小时后快车能追上慢车？ 【答案】(1)出发小时后相遇． (2)出发小时后快车能追上慢车． 【分析】（1）设出发小时后相遇，则慢车走的距离为千米，快车走的距离为千米，两车走的距离之和为千米，由此列出方程，求出的值即可． （2）设出发小时后快车追上慢车，则慢车走的距离为千米，快车走的距离为千米，快车追上慢车，则快车比慢车多走了千米，由此列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：设出发小时后相遇， 根据题意，得， 解得． 答：若两车同时开出，相向而行，出发后小时相遇． （2）解：设出发小时后快车能追上慢车， 根据题意，得， 解得． 答：若两车同时开出，同向而行，且慢车在前，则出发小时后快车能追上慢车． 【点睛】本题考查了一元一次方程实际问题，解题关键是根据两车行驶距离的关系列出方程． 【变式3】已知A，B，C三地依次在同一条直线上，A，C两地距离465千米，A，B两地距离330千米． (1)现有甲、乙两车分别从A，B两地相向而行，两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的3倍，若甲车比乙车提前1小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少千米/小时？ (2)如果甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，向C地行驶，两车保持（1）中的速度，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)甲、乙两车的速度分别是90千米/小时和30千米/小时 (2)经过5小时两车相距30千米 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设乙车速度为x千米/小时，则甲车的速度是千米/小时，根据题意列出方程求解即可； （2）设经过小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车相遇前，当两车相遇后，分别列出方程求解，再结合实际即可解答． 【详解】（1）解：设乙车速度为x千米/小时，则甲车的速度是千米/小时， 根据题意：， 解得， 千米/小时， 答：甲、乙两车的速度分别是90千米/小时和30千米/小时； （2）解：设经过t小时两车相距30千米， ①两车相遇前： ； ②两车相遇后： ； ， 不合题意，舍去； 答：经过5小时两车相距30千米． 题型03工程问题 【典例3】整理一批图书，由一个人做要完成，现计划由人先做，然后增加一些人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应增加多少人？ 【答案】人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应增加人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应增加人， 由题意得，， 解得， 答：应增加人． 【变式1】一项工程，甲队单独做40天完成，乙队单独做60天完成，甲乙两队合作几天后，甲队另有任务调走几天，乙继续做，所以从开工到完成任务共用了27天，甲队请假多少天？ 【答案】甲队请假5天 【分析】本题考查的是工程问题，等量关系是：工作总量工作效率工作时间.假设工作总量为1，甲乙的工作效率分别为，，乙队没有离开，从工作总量中减去乙的工作量，即得甲的工作量，就可算出甲的工作时间，用总时间减去工作时间就是请假时间. 【详解】解： （天） 答：甲队请假5天． 【变式2】某地下管道由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要18天，如果由两个工程队从两端同时相向施工，要多少天可以铺好？ 【答案】要天可以铺好 【分析】本题考查一元一次方程的工程问题，掌握知识点是解题的关键． 设要x天可以铺好，根据题意列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设要x天可以铺好，依题意，得 解得 答：要天可以铺好． 【变式3】一项工程，若由甲队单独做需要10天完成，若由乙队单独做需要20天完成． (1)若甲乙两队先一起施工5天，然后余下的工程由乙队单独完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程的总报酬为12万元，求甲队和乙队各得报酬多少万元？ 【答案】(1)乙队还需要5天能够完成任务 (2)甲队的报酬为6万元，乙队的报酬为6万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握工程问题的数量关系是解题的关键． （1）设甲乙两队同时施工5天后，余下的工程乙队还需要x天能够完成任务，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意分别算出甲乙两队工作量，由此即可求解． 【详解】（1）解：设甲乙两队同时施工5天后，余下的工程乙队还需要x天能够完成任务． 根据题意，列得方程． 解得． 答：乙队还需要5天能够完成任务． （2）解：甲队的工作量为，乙队的工作量为，（万元）， 答：甲队的报酬为6万元，乙队的报酬为6万元． 题型04顺水逆水问题 【典例4】一架飞机飞行于甲、乙两城之间，顺风时需要小时，逆风时需要6小时，若风速是每小时24公里，求两城之间的距离． 【答案】3168 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（行程问题），涉及顺风速度无风速度风速、逆风速度无风速度风速的关系；解题的关键是设飞机无风时的速度为未知数，利用“甲、乙两城距离不变”这一条件列方程求解． 设飞机无风时的速度为x公里/小时，分别表示出顺风速度和逆风速度；根据“距离速度时间”，结合顺风、逆风飞行距离相等列方程，求出x后再计算两城距离． 【详解】解：设飞机无风时的速度为ⅹ公里/小时 顺风速度：公里/小时，逆风速度：公里/小时 ∵甲、乙两城距离不变，且顺风需小时、逆风需6小时 ∴列方程： 去括号： 移项： 合并： 解得： 两城距离：（公里） 答：两城之间的距离是公里 【变式1】两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是30千米/时，水流速度是a千米/时． (1)甲船顺水的速度是 千米/时；乙船逆水的速度是 千米/时； (2)若3小时后甲船比乙船多航行60千米，求a的值． 【答案】(1)； (2)10 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和列代数式，解题的关键是： （1）甲船顺水的速度船速水流速度；乙船逆水的速度船速水流速度； （2）甲船行驶路程乙船行驶路程千米． 【详解】（1）解：根据题意知， 甲船顺水的速度千米时．乙船逆水的速度千米时． 故答案为：；； （2）根据题意，得． 解得． 答：的值是10． 【变式2】两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是20千米/时，水流速度是千米/时． (1)甲船顺水的速度是______千米/时；乙船逆水的速度是______千米/时； (2)若每小时甲船比乙船多航行20千米，求的值． 【答案】(1)； (2)的值是10 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和列代数式，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程． （1）甲船顺水的速度船速水流速度；乙船逆水的速度船速水流速度； （2）甲船顺水的速度乙船顺水的速度千米． 【详解】（1）根据题意知，甲船顺水的速度千米时．乙船逆水的速度千米时． 故答案为：；； （2）根据题意，得． 解得． 所以的值是10． 【变式3】一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，每小时可以飞行1500千米；飞回时逆风，每小时可以飞行1200千米．这架飞机最多飞行多少千米就需要往回飞？ 【答案】这架飞机最多飞行4000千米就需要往回飞 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先设去时用了小时，回来用了小时．结合飞机去时顺风，每小时可以飞行1500千米；飞回时逆风，每小时可以飞行1200千米，列出方程，再解得，即可作答． 【详解】解：设去时用了小时，回来用了小时． 依题意，得 解得 ∴飞出去路程：（千米） 答：这架飞机最多飞行4000千米就需要往回飞． 题型05商品利润问题 【典例5】国庆期间，某商场专柜进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照的利润定价，然后又打九折出售．（成本价利润率利润，成本价利润定价，售价成本价利润） (1)商品A成本价是120元，商品A最后售价多少元？ (2)商品B卖出后，赚了68元，商品B的成本价是多少元？ 【答案】(1)商品A最后应卖元； (2)商品B的成本是850元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用售价成本价利润率折扣率，即可求出结论； （2）设商品B的成本是x元，利用售价成本价利润，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： （元）， 答：商品A最后应卖元； （2）解：设商品B的成本是x元， 根据题意得：， 解得：， 答：商品B的成本是850元． 【变式1】某商品按定价出售，每个可获得利润40元，如果按定价的出售10件与按定价每个减15元出售8件所获得的利润一样多，这种商品每件定价多少元？ 【答案】100元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．设这种商品每件定价x元，则成本价为元，根据按定价的出售10件，与按定价每个减价15元出售8件所获得的利润一样多，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这种商品每件定价x元，则成本价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：这种商品每件定价100元． 【变式2】某社区超市用元钱从批发商处购进了甲、乙两种商品共千克，已知甲、乙商品的批发价与零售价如下表所示： 商品名 甲 乙 批发价（元/千克） 零售价（元/千克） (1)该社区超市这天批发甲商品和乙商品各多少千克； (2)甲商品和乙商品按零售价售出相同的重量后，剩下的商品都按零售价打八折售出，最终当天甲乙商品全部卖完，共获得元利润，求打折后卖出的甲、乙商品的重量分别为多少？ 【答案】(1)批发甲商品千克，乙商品千克 (2)甲商品千克，乙商品千克 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，能根据题意正确列出一元一次方程是解答本题的关键. （1）设批发甲商品千克，则批发乙商品千克，根据表中的批发价和用了元钱，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设打折前售出相同的重量为千克，根据利润为元，列出一元一次方程，解方程即可； 【详解】（1）解：设批发甲商品千克，则批发乙商品千克， 依题意，得， 解得， (千克)， ∴批发甲商品千克，乙商品千克； （2）解：设打折前售出相同的重量为千克，由题意可得： ， 解得， 甲商品：(千克)；乙商品：(千克)； 打折后卖出的甲商品千克，乙商品千克 【变式3】春节前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，乙种商品的每件进价比甲种商品的每件进价高20元．若购进甲种商品10件，乙种商品2件，需要1000元． (1)求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？ (2)若甲种商品按标价出售，则每件可获利40元，为了促销，现对甲种商品在标价基础上打折出售，若按此促销方案售出6件所能获得的利润，与按标价每件降价35元出售12件所获得利润一样，求甲种商品打了几折出售？ 【答案】(1)甲种商品的进价80元，则乙种商品的进价100元 (2)甲种商品打了七五折出售 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程并求解． （1）设甲种商品的进价x元，则乙种商品的进价元，由“甲种商品的件数甲种商品的单价乙种商品的件数乙种商品的单价总金额”建立方程，再求解即可． （2）设甲种商品打了y折，根据“售出6件商品获得的利润与售出12件商品获得的利润相同”建立方程，求解即可． 【详解】（1）设甲种商品的进价x元，则乙种商品的进价元， 由题意可得，， 解得， ∴元， ∴甲种商品的进价80元，则乙种商品的进价100元． （2）∵甲种商品的进价80元，甲种商品按标价出售，则每件可获利40元， ∴甲种商品在标价元 设甲种商品打了y折， 由题意可得，， 解得， ∴甲种商品打了七五折出售． 题型06 比赛积分问题 【典例6】甲、乙两队进行篮球比赛，比赛规则规定每队胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．两队一共比赛了10场，甲队保持不败，且得分为24分．甲队胜了多少场？ 【答案】7场 【分析】根据题意找出等量关系，设未知数，解方程，即可解答． 【详解】解：设甲队胜了场，则平了场， 根据题意，得， 解得． 答：甲队胜了7场． 【点睛】本题考查了解一元一次方程的实际应用，找出题中的等量关系是解题关键． 【变式1】某校八年级组织数学竞赛，共有25道题，答对一题得4分，答错或不答扣1分．小明最终得分为75分． (1)求小明答对了多少道题？ (2)若答对一题得5分，答错扣2分，不答不扣分，其他条件不变，求小明得分． 【答案】(1)小明答对了20道题 (2)90分或92分或94分或96分或98分或100分 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，列出方程． （1）设答对道题，则答错或不答道题，根据得分法则列出方程求解即可； （2）根据比赛规则列出算式进行求解即可． 【详解】（1）解：设答对道题，则答错或不答道题， 由题意：， ， ， 答：小明答对了20道题； （2）解：答对20题，得分， 当答错0题，不答5题时，扣0分，总分为分； 当答错1题，不答4题时，扣分，总分为分； 当答错2题，不答3题时，扣分，总分为分； 当答错3题，不答2题时，扣分，总分为分； 当答错4题，不答1题时，扣分，总分为分； 当答错5题，不答0题时，扣分，总分为分； 综上，小明得分为90分或92分或94分或96分或98分或100分． 【变式2】某足球协会举办了一次足球比赛，其中得分规则及奖励方案如下表： 规则 胜一场 平一场 负一场 积分/分 3 1 0 人均奖金/元 1500 700 0 当队比赛完12场时，共积20分，并且没有负场． (1)队胜、平各几场？ (2)每赛1场，队每名队员均获得出场费500元，那么比赛完12场后，队的每名队员所得奖金与出场费共多少元？ 【答案】(1)队胜4场，平8场． (2)队的每名队员所得奖金与出场费共17600元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据总场数和总积分不变，设队胜x场，解决问题的关键是列出方程求解． （1）设A队胜x场，则平了场，根据总积分为20分列出方程即可求解； （2）根据（1）中求得胜场数和平场数计算每名队员的奖金和出场费的总和即可解题． 【详解】（1）解：设队胜场，则平场． 根据题意，得， 解得， 则． 故队胜4场，平8场． （2）解：（元）． 故队的每名队员所得奖金与出场费共17600元． 【变式3】四初一年级学生参加有理数计算闯关，闯关共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 小于 25 0 100 小王 21 4 76 小李 15 10 40 … … … … (1)根据表格提供的数据，答对1题得 分，答错1题扣 分： (2)参赛者小赵得了64分，求他答对了几道题． 【答案】(1)4，2 (2)小赵答对了题 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解表格信息，正确列出方程求解是关键． （1）设答对1题得分，根据小于的分数得到答对1题得分，结合小王的分数可得答错1题扣分，由此即可求解； （2）设小赵答对了题，则答错了题，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：设答对1题得分， ∴根据小于的成绩得到，， 解得， ∴答对1题得分， ∴根据小王的分数得到，， ∴答错1题扣分， 故答案为：4，2； （2）解：设小赵答对了题，则答错了题， ∴， 解得，， ∴小赵答对了题． 题型07 配套问题 【典例7】某车间为提高生产总量，在原有14名工人的基础上，新调入若干名工人．使得调整后车间的总人数比新调入工人人数的2倍多6人． (1)求新调入多少名工人？ (2)若该车间每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，若1个螺栓需要2个螺母．在新调入工人后，应该安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 【答案】(1)新调入8名工人 (2)应该安排10名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键． （1）设调入x名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多6人”列方程，解方程即可得到答案； （2）先求出工人总人数，设y名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，再根据“每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母”列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设调入x名工人，由题意可得： ， 解得， 答：新调入8名工人； （2）解：由（1）得工人总人数为（名）， 设y名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， 由题意可得，， 解得：， 答：应该安排10名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 【变式1】在手工制作课上，老师组织七年级（）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（）班共有名学生，每名学生每小时可以剪筒身个或剪筒底个，要求个筒身配个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【答案】, 【分析】本题考查的是一元一次方程的数学知识，在解答此类问题时一定要对相关的知识有一个明确的认识和把握，同时结合题设的已知条件就可以解答出问题的正确结论；通过设未知数，根据筒身和筒底的配套关系(个筒身配个筒底)来列方程求解． 【详解】解：设分配名学生剪筒身，那么剪筒底的学生有名， 由题意得：， ， ， ， 剪筒底的学生人数为(名)， 答：应该分配名学生剪筒身，名学生剪筒底． 【变式2】制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木料可制作50个桌面或300条桌腿．现有木料，应如何计划使用木料，才能制作出尽可能多的桌子？ 【答案】使用木料制作桌面、木料制作桌腿，才能制作出尽可能多的桌子 【分析】本题考查了一元一次方程实际应用问题中的配套问题，解题的关键是找到配套的部分之间的比例关系． 个桌面配套个桌腿，所以生产桌面的数量和桌腿的数量之比为，设使用木料制作桌面，则使用木料制作桌腿，用表示出来生产的桌面与桌腿数，使其比例为，解出方程即是所求． 【详解】解：设使用木料制作桌面，则使用木料制作桌腿． 依题意，得， 解得，所以． 故使用木料制作桌面、木料制作桌腿，才能制作出尽可能多的桌子． 【变式3】在北京冬奥会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽．车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1800条或者脖子的丝巾1200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾．为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？ 【答案】分配30名工人生产脖子上的丝巾，40名工人生产手上的丝巾 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 设应分配x名工人生产脖子上的丝巾，则根据一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾作为等量关系可列出方程求解． 【详解】解：设应分配名工人生产脖子上的丝巾， 则： 解得：       答：应分配30名工人生产脖子上的丝巾，40名工人生产手上的丝巾． 题型08 数字与日历问题 【典例8】一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将个位和十位上的两个数字对调后得到的两位数比原来的两位数小36，求原来的两位数． 【答案】84 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，首先设个位数字为，则十位数字为，则原两位数可表示为，数字对调后所得两位数是，再根据“将两个数对调后得到的两位数比原来的两位数小36”可得方程：，解方程得到个位数，进而可得十位数字． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字为，由题意得： ， 解得：， 则， 答：原两位数是84． 【变式1】阅读理解：你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法．例题：利用一元一次方程0.7化成分数，设，由于，可知，于是，可解得，即． 请你仿照上述方法完成下列问题： (1)将化成分数形式； (2)将化成分数形式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和有理数，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）设，根据例题的解法，列出关于x的一元一次方程，解之即可， （2）设，根据例题的解法，列出关于x的一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）解：设， 则， ， ， 解得：， 即； （2）解：设， 则， ， ， 解得：， 即． 【变式2】将连续的偶数0，2，4，6，8，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框5个数（十字框只能平移）． (1)若框住的5个数中，中间数为30，则这5个数的和为______，设中间数为，用含的代数式表示十字框内5个数的和为______． (2)十字框中的五个数之和能等于2026吗？若能，请求出中间数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)150； (2)不能，理由见解析 【分析】主要考查一元一次方程的应用，规律型：数字的变化类，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律． （1）根据图示进行计算便可得结果，可得这5个数的和；用a表示出其余4个数，再求和即可； （2）根据（1）中的代数式，结合题意列出a的方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，这5个数的和为：， 设正中间的数为a，则其余4个数分别为， ∴十字框内5个数的和为：， 故答案为：150；； （2）解：不能，理由如下： 根据题意得，， 解得，，不是整数， ∴十字框中的五个数之和不能等于2026． 【变式3】如图所示的是2025年1月历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动，设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为 (1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为______； (2)的值可以是90吗？请说明理由； (3)若，求的最大值． 【答案】(1)22； (2)不会是90，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查一元一次方程的应用．观察日历，得到，中的各个数字的联系是解决本题的关键． （1）观察“U型”中最小的数和最大的数相差多少即可得到最大的数是多少； （2）设中正中心的数为a，表示出其余的数，进而根据和为90列出方程求得正中心的数，结合图形看是否在日历中即可； （3）分别表示出和，根据得到a和b关系，进而根据日历中a可取的最大值得到b的最小值，即可得到的最大值． 【详解】（1）“U型”中最小的数为13，“U型”中最小的数和最大的数相差9， 最大的数为22， 故答案为：22； （2）的值不会是90，理由： 设中正中心的数为a，则其余的数为，，，， ， ， 解得：， 观察日历可得：18不会在的正中心， 的值不会是90； （3）设中最小的数为，则其余的数为：中正中心的数为， 则 ， ， ， ， ， ， ， ∵求的最大值，最大可取 24， ∴ b取最小值 8， ∴的最大值． 题型09 方案选择问题 【典例9】元旦期间，某火锅店开业大酬宾，推出以下两种优惠方案： 方案一 在美团上可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券． 例：某次消费120元，使用代金券后，实际花费元． (1)若某次消费210元，使用代金券后，实际花费_________元； (2)小明一家元旦期间去该火锅店消费了元， ①若使用代金券，实际花费_________元（用含的代数式表示）； ②选择哪种方案更省钱？ 【答案】(1)168 (2)①；②当时，，则按方案一更省钱；当时，一样省钱；当时，，按方案二更省钱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意通过所给的优惠方案列出算式和方程求解是解题的关键． （1）根据所给的方案一列式计算即可； （2）①用消费的钱数减去300再加上三张优惠券的钱即可得到答案；②先求出方案二的花费，再列方程求出两种方案花费一样时x的值，即可讨论得到答案． 【详解】（1）解：元， ∴某次消费210元，使用代金券后，实际花费168元， 故答案为：168； （2）解：①由题意得，若使用代金券，实际花费元， 故答案为：； ②使用方案二的实际花费为元， 当时， 解得， ∴当时，，则按方案一更省钱；当时，一样省钱；当时，，按方案二更省钱． 【变式1】某体育用品店出售某品牌的篮球和羽毛球．已知羽毛球的标价为每个5元，篮球的标价为每个40元．节假日期间，为了让利顾客，该店推出两种优惠方案： 甲方案：篮球和羽毛球都按标价打九折出售． 乙方案：买一个篮球送一个羽毛球． 某顾客现要购买40个篮球和a个羽毛球． (1)当时，分别计算按甲、乙两种方案购买，该顾客需付款多少元？ (2)购买羽毛球多少个时，两种方案的收费相同？ 【答案】(1)甲方案1890元，乙方案1900元 (2)购买羽毛球80个时，两种方案的收费相同 【分析】该题考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意． （1）分别根据甲方案和乙方案的优惠解答即可； （2）根据“两种方案的收费相同”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：甲方案需付款：； 乙方案需付款：； （2）解：， 解得：， 答：购买羽毛球80个时，两种方案的收费相同． 【变式2】已知公园门票价格规定如下表： 购票张数 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）、（2）两个班共104人去该公园游玩，其中（1）班人数较少，不足50人．经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问： (1)两班各有多少名学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以节省多少钱？ (3)如果七（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？ 【答案】(1)（1）班有48名学生，（2）班有56名学生 (2)可以节省304元钱 (3)购买51张票比较省钱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用： （1）设（1）班有x名学生，则（2）班有名学生，分两种情况：根据题意，列出方程，即可求解； （2）求出作为一个团体购票，应付的费用，即可求解； （3）求出买48张13元的票以及 买51张11元的票花费的钱数，即可求解． 【详解】（1）解：设（1）班有x名学生，则（2）班有名学生， 若，此时，根据题意得： ， 解得：，不符合题意； 若，此时，根据题意得： ， 解得：， 此时， 答：（1）班有48名学生，（2）班有56名学生； （2）解：∵， ∴作为一个团体购票，应付元， 元， 答：可以节省304元钱； （3）解：若买48张13元的票，则花费的钱数为元， 若买51张11元的票，则花费的钱数为元， 因为， 所以购买51张票比较省钱． 【变式3】小麦和父母去某火锅店吃火锅，点了270元的商品，其中包含一份50元的鸳鸯锅底．用餐完毕后，小麦去付款，发现店家有两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受． 优惠方式A 可使用“50元抵100元的全场通用代金券”（即面值100元的代金券实付50元就能获得）．店家规定代金券不兑现、不找零，最多可叠加使用3张． 优惠方式B 除锅底不打折外，其余菜品全部打□折． 小麦选择优惠方式B计算，发现自己需要付款182元． (1)请用一元一次方程的知识计算一下，优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打几折？ (2)小麦如何付款最省钱？ 【答案】(1)优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打6折 (2)小麦应买3张代金券最省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打x折，根据锅底费用+菜品的费用列方程，解方程即可求解； （2）计算选用优惠方式A的费用，与优惠方式B比较即可求解． 【详解】（1）优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打x折， 由题意得， 解得， 答：优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打6折； （2）优惠方式A：若买1张代金券，需要付款 (元）； 若买2张代金券，需要付款（元）； 若买3张代金券，需要付款（元）； 因为， 所以选择优惠方式A时，买3张代金券最省钱，需要付款150元； 优惠方式B：需付182元， 故小麦应买3张代金券最省钱． 题型10 分段计费问题 【典例10】为鼓励居民节约用水，某市自来水公司以如表所示的标准收取水费： 月用水量 单价/（元） 不超过 超过的部分 另：每立方米用水加收元的城市污水处理费 (1)如果月份小亮家的用水量为，那么月份应该缴纳水费__________元；如果月份小明家的用水量为，那么月份应该缴纳水费__________元； (2)如果小明家月份共缴纳水费元，那么她家月份用水多少立方米？ (3)若小明家水表月份出现了故障，只有的用水量计入水表中，这样她家在月份只缴纳了元水费，问月份实际应该缴纳水费多少元？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键． （1）利用小亮家月份应该缴纳水费小亮家月份的用水量，可求出小亮家月份应该缴纳的水费；利用小明家月份应该缴纳水费超过的部分，即可求出小明家月份应该缴纳的水费； （2）设小明家月份用水立方米，根据小明家月份共缴纳水费元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设小明家月份实际用水立方米，根据小明家月份只缴纳了元水费，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结果． 【详解】（1）解：根据题意得：小亮家月份应该缴纳水费为（元）， 小明家月份应该缴纳水费为（元）， 故答案为：，； （2）解：设小明家月份用水立方米， （元），， ， 根据题意得：， 解得：， 答：小明家月份用水立方米； （3）解：设小明家月份实际用水立方米， （元），， ， 根据题意得：， 解得：， （元）， 答：小明家月份实际应该缴纳水费元． 【变式1】小明在学习了第五章《一元一次方程》的“阅读材料”后，通过手机APP查到了自己家目前的水费收费标准如下： 用水性质和分级 到户价格（元/吨） 其中含污水处理价（元/吨） 居民生活用水 第1级（每户每月用水13吨及以下部分） 第2级（每户每月用水14~25吨部分） 第3级（每户每月用水26吨及以上部分） 每月用水量都以整数吨记录，到户价格包含污水处理价．如小明家9月份用水30吨，则总共支付水费：，其中含污水处理费用：．根据以上信息回答下列问题： (1)小明家10月份总共支付水费，求小明家10月份用水多少吨？支付的水费中包含的污水处理费为多少元？ (2)若7月与8月两个月共用水48吨，且8月份用水量超过26吨，两个月共缴水费213元，则该用户7、8月份各用水多少吨？ 【答案】(1)10月份用水16吨，支付的水费中包含的污水处理费为元 (2)小明家七月份用水15吨，八月份用水33吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设小明家10月份用水x吨，根据小明家10月份总共支付水费60.5元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论； （2）设8月份用水吨，则7月份用水吨，分两种情况考虑，根据两个月共缴水费213元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：当用水量为13吨时，水费为， 当用水量为25吨时，水费为．所以水费为第2级． 设用水量为吨，， 解得， 其中污水处理费元 答：明家10月份用水16吨，支付的水费中包含的污水处理费为元； （2）解：设8月份用水吨，则7月份用水吨， 由题意可得，8月份用水超过26吨， 若7月份用水在13吨及以下，则可得， ， 此时七月份用水14吨超过13吨，所以不符合，舍去， 若7月份用水在14~25吨， 则可得， 符合题意， 所以小明家七月份用水15吨，八月份用水33吨． 【变式2】为鼓励节约用电，某地用电收费标准规定：如果每月每户用电不超过度，那么每度电元；如果该月用电超过度，那么超过部分每度电元． (1)如果小张家一个月用电度（），那么这个月应缴纳电费多少元？（用含的代数式表示） (2)如果小张家八月份用电度，那么这个月应交电费多少元？ (3)如果小张家九月份用了元的电费，那么他家该月用电多少度？ 【答案】(1)这个月应缴纳电费元； (2)这个月应交电费元； (3)他家该月用电度． 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，一元一次方程的实际应用． （1）根据题意列代数式，化简即可； （2）把字母对应的值代入代数式，计算即可； （3）设他家该月用电度，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 元， 答：这个月应缴纳电费元． （2）解：， 当时， （元）， 答：这个月应交电费元． （3）解：（元） ∴用电超过度， 设他家该月用电度，则 根据题意可得，， 解得，， 答：他家该月用电度． 【变式3】某出租车公司推出专车和快车两种出租车，它们的收费方式如下： 专车：千米以内收费元，超过千米的部分每千米收费元，不收其他费用； 快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程千米；里程大于千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过千米的，超出的部分每千米加收元． (1)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付费用多少元？ (2)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付的费用多少元（用含的式子表示）？ (3)如果乘车路程是千米时，使用快车出行的费用比使用专车出行省4元，求的值． 【答案】(1)使用专车、快车出行各需支付费用元、元； (2)使用专车、快车出行各需支付的费用元、元； (3)的值为或 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，根据题意正确列出代数式和一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列代数式即可； （3）分三种情况讨论：当时，不符合题意；当时，得到，求出；当时，得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：使用专车出行需支付费用为（元） 使用快车出行需支付费用为（元）， 答：使用专车、快车出行各需支付费用元、元； （2）解：当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元）， 答：使用专车、快车出行各需支付的费用元、元； （3）解：当时， 使用专车出行需支付的费用为元， 使用快车出行需支付的费用最少为元， 元， 不符合题意； 当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元） ， 解得； 当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元）， ， 解得， 综上所述，的值为或． 题型11 几何图形问题 【典例1】如图，长方形被分成六个大小不一的正方形，已知中间一个小正方形的面积为4，求长方形中最大的正方形与最小的正方形的面积之差． 【答案】192 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，求解最小的正方形边长为2，依次表示，，，可得，，再利用长方形的性质列方程求解即可． 【详解】解：由中间最小的正方形面积为4，得最小的正方形边长为2， 如图其他正方形的边长分别为a，b，c，d， 由图知，，， ，， ∵为长方形， ∴， ∴， 解得， 则，最大的正方形面积为，， 故最大正方形的面积与最小正方形的面积之差为192． 【变式1】如图，点，在同一数轴上，数轴的单位长度为1，且点，表示的数互为相反数． (1)求的长度； (2)点，为同一数轴上两个动点，两点同时出发．点从点出发，向右以1（单位长度/秒）的匀速移动秒；点从点出发，向左以2（单位长度/秒）的匀速移动． （ⅰ）用含的代数式表示点，表示的数； （ⅱ）若，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）表示的数为，表示的数为；（ⅱ） 【分析】本题考查的数轴，相反数的定义，绝对值的含义，一元一次方程的应用； （1）由数轴上的位置可得； （2）（ⅰ）根据向右移动用加法，向左移动用减法表示即可；（ⅱ）结合（ⅰ）得：，，利用，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：（ⅰ）∵，点，表示的数互为相反数． ∴表示，表示， ∵点从点出发，向右以1（单位长度/秒）的匀速移动秒；点从点出发，向左以2（单位长度/秒）的匀速移动． ∴表示的数为，表示的数为； （ⅱ）结合（ⅰ）得：，， ∵， ∴， ∴或， 解得：或（舍去）， 综上：． 【变式2】为践行劳动教育，学校特意划出一块长方形土地供学生劳作．如图，长方形土地一面靠墙，现将不靠墙的三面向内推进x米修建小路，在小路内侧用篱笆围出一块长方形菜地． (1)当时，篱笆的长度为 米． (2)用x的代数式表示篱笆的长度．（列式并化简） (3)若篱笆长度为36米，求小路的宽度． 【答案】(1)32 (2)米 (3)1米 【分析】（1）根据图形列式计算即可； （2）根据图形列出代数式即可； （3）根据篱笆长度为米列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（米）， 答：篱笆的长度为米； （2）解：米， 答：篱笆的长度为米； （3）解：当篱笆长度是米时，根据解析（2）可得： ， 解得：， 答：小路的宽度为米． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，数形结合，利用方程思想解决问题． 【变式3】如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度？ 【答案】(1)； (2)①当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；②当点P运动秒或秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度． 【分析】此题考查的知识点是数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，理解并运用绝对值的几何意义是解题的关键． （1）由已知得，则，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为秒，所以运动的单位长度为，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是； （2）由题意可得点Q表示的数为．①点P与点Q相遇，则点P与点Q表示的数相同，即，解得；②点P与点Q间的距离为3个单位长度，则，根据绝对值的几何意义有，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， ∵A，B两点间的距离为10， ∴， ∴， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； ∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P所表示的数为：； 故答案为：；； （2）解：∵动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴运动t秒时，点Q表示的数为：． ①点P与点Q相遇，则点P与点Q表示的数相同，即 ， 解得：， ∴当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②点P与点Q间的距离为3个单位长度，则， 即， 解得：或， ∴当点P运动秒或秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度． 1．《九章算术》中关于“盈不足”问题：“今有人共买物，人出五，盈三；人出四，不足二．问人数几何？”大意是：现有一些人共同买一个物品，若每人出5元，则还剩3元；若每人出4元，则还差2元．若设买这个物品共有个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 根据物品价格不变，分别用两种出钱方式表示物品价格，然后列方程． 【详解】解：设共有个人，根据题意得， ∵每人出5元，盈3元， ∴物品价格为元； ∵每人出4元，不足2元， ∴物品价格为元； ∵物品价格不变， ∴， 故选：A． 2．一台仪器由个部件和个部件构成．用立方米钢材可以做40个部件或240个部件．现要用立方米钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做部件，多少立方米钢材做部件，才能制作尽可能多的仪器？设用立方米钢材制作部件，则可列式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查配套问题，关键是根据部件比例关系列方程，确保部件数量匹配以制作最多仪器．设用立方米钢材做部件，则做部件的钢材为立方米，根据仪器配套要求（个部件配个部件），部件数量应等于部件数量的倍，由此列方程即可． 【详解】解：用立方米做部件，则用立方米做部件， 由题意可得，． 故选：B． 3．“九宫图”传说是远古时期洛河中的一只神龟背上的图案，故又称“龟背图”．数学上的“九宫图”是一个表格，其每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，有理数乘方运算，解题的关键是根据题意，找到等量关系，正确求出，． 根据幻方的性质，“每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上三个数字之和都相等”，可以得到，，求得，，即可求解． 【详解】解：根据幻方的性质，“每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上三个数字之和都相等”， 得到，第一行与第一列的数字之和相等，即，解得， 第二行与斜向上的对角线上的数字之和相等，即，解得， 将，代入可得，， 故选：B． 4．一家商店某种裤子按成本价提高50%后标价，又以八折优惠卖出，结果每条裤子获利10元，则这条裤子的成本是（    ）元 A．30 B．20 C．25 D．50 【答案】D 【分析】本题为一元一次方程的应用-销售利润问题，设这条裤子的成本是x元，根据“实际售价-销售成本=利润”列方程，解方程即可﹒ 【详解】解：设这条裤子的成本是x元， 由题意得, 解得 答：这条裤子的成本是50元﹒ 故选：D 5．如图，一条数轴上有，，三点，其中点，表示的数分别是，，现在以为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上，且落点距离点为个单位长度，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上的折叠问题，熟练掌握折叠的性质（对应点到折点的距离相等）和数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 先确定点A的落点可能的位置，再根据折叠的性质（折叠后点C到点A的距离等于点C到其落点的距离），设点C表示的数为，列方程求解． 【详解】解：设点C表示的数为，点A的落点为． 当在点B右侧，距离点B为2个单位长度时，表示的数为． 折叠后， ， 解得， 当在点B左侧，距离点B为2个单位长度时，表示的数为． 折叠后 ， 解得， 故答案为：或． 6．如图，将一个长为12，宽为4的长方形等比例缩小得到一个长为，宽为3的小长方形，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次方程的几何应用，根据将一个长为12，宽为4的长方形等比例缩小得到一个长为，宽为3的小长方形，进行列出方程，再解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，将一个长为12，宽为4的长方形等比例缩小得到一个长为，宽为3的小长方形， ∴ ∴ ∴， 故答案为：9 7．合唱队有男生人，比女生人数的2倍多3人，女生有 人． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的表示，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意列方程求解女生人数即可． 【详解】解：设女生人数为，由题意得： ， 解得：． 故答案为：． 8．今年植树节，力旺高一九班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．求该班的学生人数． 【答案】45 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，寻找等量关系是解题的关键； 设该班有学生人，根据题意，列一元一次方程，解方程即可． 【详解】设该班有学生人，由题得， 解得． 答：该班的学生人数为45人． 9．甲、乙两车同时分别从A、B两地相向而行，甲车速度是，两地相距，后相遇，问乙车的速度是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 设乙的速度为x千米小时，根据“甲的路程乙的路程”列出方程求解可得． 【详解】设乙的速度为x千米小时，依题意得： ， ， 答：乙车的速度是． 10．某工程队计划在天内修路，施工前天修完后，计划发生变化，准备提前天完成修路任务，剩下的工期内平均每天至少要修路多少千米？ 【答案】剩下的工期内平均每天至少要修路 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，列不等式． 根据题意列不等式，解不等式即可． 【详解】解：设剩下的工期内平均每天修路， 根据题意得，， 解得， ∴的最小值为， 答：剩下的工期内平均每天至少要修路． 36．某超市进行新年促销活动，调整了某种年货礼包的售价，按原售价的折销售，此时的利润率为．若这种年货礼包的进价为每个元． (1)这种年货礼包的原售价是多少元？ (2)开展促销活动后，实际销量为按原售价销售时的倍，则实际利润和未开展促销活动时相比，是增多，不变，还是减少？请通过计算说明．（利润率 利润 进价） 【答案】(1)元 (2)增多，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键. （1）设这种年货礼包的原售价是元，列出方程求解即可得到答案； （2）设开展促销活动前的销量为个，则开展促销活动后的销量为个，列出方程比较促销前后利润即可. 【详解】（1）解：设这种年货礼包的原售价是元， 由题意得， 解得． 答：这种年货礼包的原售价是元． （2）解：设开展促销活动前的销量为个，则开展促销活动后的销量为个， 由题意得：开展促销活动前的利润为（元）， 开展促销活动后的利润为（元）． 大于， 小于， 实际利润和未开展促销活动时相比增多了． 11．刘洋家住在电影院正西，李明家住在电影院的正东．两人同时从家里出发相向而行，刘洋每分钟步行，李明每分钟步行．从出发到两人相遇用了多长时间？相遇地点距离电影院有多远？（用方程解答） 【答案】10分钟，50米 【分析】设从出发到两人相遇用了x分钟，根据两人走的路程和列出方程，解方程求出x的值，进一步即可得到相遇地点距离电影院的距离． 【详解】解：设从出发到两人相遇用了x分钟， ， 解得， ∴（米）， （米）． 答：从出发到两人相遇用了10分钟，相遇地点距离电影院有50米． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 12．如下图，现有两条乡村公路和长长1600m．一个人骑摩托车从处以的速度沿公路匀速向处行驶；另一个人骑自行车从处以的速度沿公路匀速向处行驶，并且两人同时出发． (1)经过多少分钟摩托车追上自行车？ (2)两人均在行驶途中时，经过多少分钟在行进路线上相距150m？ 【答案】(1)经过4min摩托车追上自行车． (2)两人均在行驶途中时，经过3.5min或4.5min在行进路线上相距150m． 【分析】（1）摩托车从出发需先经过段才能到达点，之后进入段追赶自行车，据此设方程求解； （2）需分阶段分析两者的运动情况，计算追击时间及相距特定距离的时间点． 【详解】（1）解：设经过摩托车追上自行车， 由题意，得， 解得， 由于，故符合题意． 答：经过min摩托车追上自行车． （2）解：设经过两人在行进路线上相距m． 分两种情况讨论： ①当摩托车还差m追上自行车时， ， 解得； ②当摩托车超过自行车m时， ， 解得． 由于，故符合题意． 答：两人均在行驶途中时，经过min或min在行进路线上相距m． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用（行程问题），解题关键是根据路程关系建立方程，注意相距问题要分情况讨论． 13．数轴上两点A，B对应的数分别为a，b，且a，b满足． (1) ________， ________，线段________； (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．请在数轴上找一点C，使，则C点表示的数是多少？ (3)在（2）的条件下，若点C在线段上，动点P从点C出发，以3个单位长度/秒速度由C向B的方向运动；同一时刻，另一动点Q从点B出发，以1个单位长度/秒速度向正方向运动，设动点P的运动时间为t秒 ，当动点P、Q两点相距为8个单位长度时，求此时t的值． 【答案】(1)；15；24 (2)或 (3)13或5 【分析】（1）根据绝对值的非负性分别求出a，b，再根据数轴上两点之间的距离列式计算即可； （2）设点C表示的数为x，分别表示出和，根据，得到方程，解之即可； （3）首先判断点C表示的数，根据题意可得点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据两点之间距离为8个单位长度，列出方程，解之即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵数轴上两点A，B对应的数分别为a，b， ∴ 故答案为：；15；24 （2）解：设C点表示的数是x， 当点C在点A的左侧时，此时， ∵， ∴， 解得：； 当点C在点A，B之间时，此时， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，C点表示的数是或； （3）解：由（2）得：C点表示的数是， 根据题意得：点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵动点P、Q两点相距为8个单位长度， ∴或， 解得：或， 即当动点P、Q两点相距为8个单位长度时，此时t的值为13或5． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，绝对值的非负性，一元一次方程，数轴上两点之间的距离，数形结合． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $