第15章 轴对称综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 贵州专版）

∠ADB=∠F, ∴，D=BE:(2):△DAC≌△BAE,∴，∠ADC=∠ABE,,∠ADB=∠ODB+∠ADC= 即为所求：C(1,0):(2)5.5(3)如图，点P即为所求，22.解：1)，∠C=3∠B,∠C ∴.∠F=∠ADB.在△ABD和△ACF中，∠BAD=∠CAF,,△ABD2△ACF(AAS), ∠ODB+∠ABE=60°，∴.∠BC=∠ODB+∠OBD=∠ODB+∠ABD+∠ABE= 7,.∠B=25°，∠BAC=180-∠B-∠C=80°，AD平分∠BAC.∠BAD AB-AC. (∠ODB+∠ABE)+∠ABD-80+60°-120.23.第：(1)如图： :BD=CF,∴BD=2CE.23.解：1)6°122°(2)60°(3)∠B0C=90°+之∠A.证明 ∠BAC=40,∠ADE-∠BAD+∠B=65,”AE L BC.∠AED=O,·∠DAE 90°-∠ADE=90°-65=25°(2)设∠B=a.则∠C=3a,∠BAC=180°-∠B-∠C=180 如下：：OB平分∠ABC,OC分∠ACB,∠OBC=号∠ABC,∠OCB=号∠ACB -a.AD平分∠BAC,∠BAD=2∠BAC-90-2a,“DF⊥AD.六∠ADF-90. ·∠OIC+∠CKB=7∠ABC'+7∠ACB=7(∠ABC+∠ACB)=7(I80°-∠A)=90 .∠AFD-g0°-∠B.AD=2a.∠AFD-∠B+∠BDF,∴∠BDF=a=∠B.∴BF-DF 23.解：(1)等援三角形三线合一角平分线上的点到角网边的距离相等(2)有.证明如下： -之∠A.∴∠B0C-180°-（∠0BC+∠0CB=180-(90-2∠A)=90+立∠A. C4=CB.∠ACB-90.∠A=∠B=4.OF⊥AC,OE⊥BC.∠M-∠BN)=90 24.解：：得只二150解得二0∠AEM=180-∠2=18 (2)如图，△A'B'C母为所求3)点的坐标为(2,1)：(4)如图，点P即为所求.24.证明 ∠AM=∠BN. :O为AB的中点·.AO=O在△AM)和△BNO中∠A=∠B. .△AMO 22一1=30， ∠2=70. (I):AD平分∠BAC,.∠CAD=∠BAD.,DE∥AC,.∠CAD=∠ADE,,∠ADE= 70=110.∴∠AEM=∠1..DM∥AC,(2),∠C=52,∠2=70°，∴∠BFM=∠C+∠2 BAD.,BD⊥AD,.∠BAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=90,∴∠BDE 4)=BD. 52+70°-122.DE∥BC.∠DEF+∠BFM-180°.六.∠DEF-180-12z-58 ∠ABD.∴.DE=BE..△BDE是等腰三角形：(2)由(1)，∠ADE=∠BAD,∴AE=DE △BNAAS),.OM=ON.24.解，(1)①34°△ABC是等边三角形，∠ACB= :∠1=∠3+∠DEF,.∠3=∠1-∠DEF=110°-58=52,25.解：(1)当1=1，且点Q ∠CAD=∠EDA, 60.∠EAC=∠ACB-∠E=60°-∠E."∠DAE=120°，.∠D=180°-∠DAE-∠E 的速度与点P的速度相等时，AP=BQ=2em,则BP=AB一AP=9一2=7(em),.BP= ,CD∥AB,∠EAD=∠CDA.在△ACD和△DEA中.AD=DA ∴△ACDa -60°-∠E,∠D-∠EAC:(2)”△AC是等边三角形.AB-BC,∠ABD-∠BCE AC-7cm.:AC⊥AB,BD⊥AB..∠A=∠B-90.在△ACP和△BPQ中， ∠CDA=∠EAD. 60,.∠EBC+∠BEC-120.∠APB-120',∴.∠EBC+∠ADB-120.÷∠BEC AP=BQ. △DEA(ASA).∴CD-AE,.CD=DE,由(1)，知DE-BE..CD-BE.25.解：(1)A ADB-/BEC ∠A=∠B,.△ACP≌△BPQ(SAS(2)PC⊥PQ.证明如下：△ACP≌△BPQ =AC.,∠B=∠C.AD=AE,∴∠EDA=∠DEA.∴∠BDA=∠CEA.在△ABD和 ∠ADB.在△ABD和△BCE中，∠ABD=∠BCE,△ABD2△BCE(AAS).∴.AD A'=月P, AB=BC. .∠ACP-∠BPQ,,∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP-90,.∠CPQ-180° △ACE中，∠BDA-∠CEA,.△ABD△ACECAAS):(2)在AB上我取AE-AD,连接CE BE,25.解(IAD=DE等边三角形(2)结论AD=DE,证明如下，如图，过点D作 (∠APC+∠BPQ)=180°-90-90.即PC1PQ,(3)存在.由题意，得AP=21ci,BQ= AB-AC. DF∥AC,交AB于点F,:△ABC是等边三角形，，AB=BC,∠B=∠BAC=∠ACB= Hcm,.BP=AB-AP=9-2t(m).:∠CAB-=∠DBA=70.要使△ACP与△BPQ全 AD-AE. 60,又：DF∥AC,∠BDF-∠ACB-60,∠BFD-∠BAC-60,∠AFD-180 等，可以分以下两种情况讨论：①若△ACP2△BPQ,则AC-BP,AP=BQ,即9-2-7,2： ,AC平分∠4D.六∠E4C-∠DAC在△ADC和△AC中.∠DAC-∠EAC,.△AC ∠BFD=180-0°-120，又：∠B=60,.△BDF是等边三角形，.BF=BD..AB- =xf,解得=1，r=2.②若△ACP△BQP,则AC=BQ,AP=BP,即7=rt,2t=9一24，解 AC=AC. 得1=号=器综上所述，当=1x=2或f=号=8时，△ACP与△BPQ全等。 △AECXSAS),,DC=EC,∠D ∠AEC:∠B+∠D=180°，∠CEB+∠AEC=18 BF=BC-BD,即AF=DC.CE是△ABC外角的平分线，∠ACE=(180'一∠ACB) ∠B-∠CEB..CB-CE,CD-CB:(3)EF-EB,,∠EBF-∠EFB.△ABC是 等边三角形，·∠AC- C-60',·∠EBF-∠EBA+∠ABF-∠EBA+60°，：∠EFB =号X(10°-6)-60..∠DCE-∠DCA+∠ACE-60+60°=120.∠DE 第十五章综合评价 L.C2.D3.B4.A5.B6.A7.A8.D9.C10.D11.A12.D13.71+.5 ∠FEC+∠C=∠FEC+60,∠EBA=∠FEC.在AC上取一点M,使CM=CF,连接 ∠AFD.∠AD是△ABD的外角，∠ADC-∠B十∠DAF-0+∠DAF.:∠ADE 15,4616.25或5”成70[解析：①如图①，当CD与C垂直时.延长CD交BC于点 FM.:∠C=0,.△CFM是等边三角形，∴.FM=C下，∠CMF=60.∠BAE=180° -60.六∠ADC-∠ADE+∠EDC'-6D'+∠EIDC.∠DAF-∠EDC.在△AFD和 ∠B.AC 180 -60=120,∠EMF=180° ∠CMF=180-60°=120，.∠BAE= ∠DAF-∠EDC. E.∠C=∠C=40',∠CEB=90,∠EBC31=50..∠CBD=∠EBC,=25:②如 ∠BAE=∠EMF, △IDCE中，AF=DC ∴.△AFD2△DCE(A5A),∴.AD-DE:(3)如 图②，当CD与AB垂直时，∠CEB=0',∴，∠CBE=90°一4D°=50'，∴，∠CBD= ∠EMF在△ABE和△MEF中，J∠EBA=∠FEM,.△ABE△MEF(AAS),AE ∠AFD=∠DCE. BE-EF. ∠CBC-号(90+50)-70：③如图，当CD与AC垂直时，∠CDC=90, 答图.60T解析：，△ABC是等边三角形，BC=AC.,C=CD.AC=CD. MF.'FM=CF.CF=AE=1.5 cm.'BC=5 cm.BF=BC-CF=5-1.5=3.5(cm), ,CE平分∠ACD,易得CE垂直平分AD,,AE-DE.,∠ADE=0 ∠CDB=∠CDB=135°.∴.∠C:BD=180-∠C-∠CDB=5] 即BF的长为3.5c '.△ADE是等边三角移，，。/ADm0 阶段综合评价（二）[期中] 第十六章综合评价 1.C2.A3.D4,C5.D6.B7.B8.B9.B10.C11.A12.B13.814.2 1.C2.C3.B4.C5.B6.B7.C8.C9.C10.C11.C12.C[m析：：四边 15,416.4[解析：，AB=AC,∠BAC=120°，.∠B=∠C=30.由题意，易得△ABDa △AED.BD=DE,∠AED=∠B=30,AB=AE=AC.:AF平分∠EAC.,∠EAF 形ABCD是正方形，BC=CD..CE+BE=CF十DF,.CE=CF+2,设CF=r.则CE= ∠FAC.∴.易得△AEF2△ACF(SAS)..EF=CF,∠AEF=∠C=30'..∠DEF +2,S=,5:=(x+2),2+(x+2)°=60，x+2-r=2.∴.(x+2-r)=(x+2) ∠DEA十∠AEF=60,△DEF为等腰三角形，△DEF为等边三角形，，DE=FF 2x(x+2)+2=4.∴2r(x+2)=(x+2)+2-4=56,.x(x+2)=28,即CE·CF 17.证明：AB一AC,AM是边BC上的中线，AM⊥B队C,AM垂直平分B,:点N在 DF.又：DE+EF+DF=BD+DF+FC=3BD=BC=12,∴BD=4门I7.证明：AC是 288-2813.60614.-立15.116.2[解折：2,10)-x,(2.5)-y,2- AM上，∴NB=NC.18.解：AB=AC,∠BAC=120°..∠B=∠C=方(180°-∠BAC) AE的平分线，.B4C=DAE在△BAC和△DAE中，/二AC∠D C-∠E △BAC≌ 10,2=5,27=2y÷g=19=2】17.解：(1)原式=-2公26-3a6+3a=-6m6+3a: AB=AD, =号×(180-120)=30.AE⊥AB..∠BAE=90',∠EAC=∠BAC-∠BAE=120 △DAECAAS.BC-DE. 18.解：()如图，点E即为所求 (2)8 (2)原式=a-4a2+4a2-14ab+ah-212=-7h-21,18.解：(1)原式=(4a2-9h -90'=30,∴∠C=∠EAC.,EC=AE=3L在R1△ABE中，∠B=0,.BE=2AE=2 -4a+4a6一F)+(一h物-(-10w+4知b)古（一4h)-受b-u当a-号，b一1时.原式 ×3=6(cm),.C'=BE+EC=6+3=9(m).19.解：(1)：AB=AC,∴.∠B=∠C.在 BE-CD. -是×(-1)-受--542)式--9-4r+12x+-4+4=2+8-5“+ △BDE和△CFD中，∠B=∠C.△BDE≌△CFD(SAS):(2)∠A=40,∠B=∠C I9,解：(I)点B为线段DE的中点，.BD一BE.又：∠DBC-∠EBA,BC-BA: 8r2025=0..x+8.x-2025,.原式-2025-5-2020.19.解：任务一：(1)单项式乘 IBDECE. ∴△DBC≌△EBA(SAS),.∠CDB=∠E.∴CD∥EF,(2),CD∥EF,.∠CDF+∠DFE 单项式及单项式乘多项式(2)四2与x不是同类项，不能合并任务二：原式=一 -70'.:△BDE≌△CFD..∠BED=∠CDF.∠EIC-∠B+∠BED-∠EDF+ ∠CDF,∴∠EDF-∠B=70,20.解：已知：③.求证：△AED是等题三角形，证明：在 -180,:∠DFE-58,∠CDF-122.:DE平分∠CDF.∠CDB-∠CDF-61 =0,( ∠B=C, ∴∠E-∠CDB一81.20.解：(1)BD,CE分别平分∠A,∠ACB。.∠OC △ABE和△DE中，∠AEB=∠DEC,∴.△ABE2△DE(AAS),∴.AE-DE.∴.△AED +1(x-1)-(-2)(+3)=0.2-1-2+r-6)=0,x2-1-2-x+6=0,-r+5 AB-DC. 3∠ABC,∠BO=∠ACB.:AB=AC.·∠ABC=∠ACB.·∠OBC=∠BO.OB 0x=5.故当r=5时，】T十=0.21.解：1：6ay=4.a)y÷=:a 是等限三角形.（答案不雌一）2L,解：，∠CBD是△ABC的外角，∠BCA=∠CBD一 =OC,△OBC是等腹三角形：(2)直线A垂直平分线段BC,理由如下：AB=AC,O ∠A-G0°-30°-30，∠BCA-∠A..BC-AB-2×40-80(n mile).在R1△BDC中 =(OC,直线O4垂直平分线段BC.21.解：(1)如图， AABIC -a,a2+a=a21-a2.xy-8,2x-y-3:(2)4x2+y2-(2x-y)2+4ry-3+4×8 '∠CBD=60∴∠BCD=30,BD=2BC=号×80=40(nmile).答，当轮船到达灯塔 9十21=33.22.解：(1)长方形游泳池的面积为a(a一2)=a一2a6(),长方形空地的 面积为(3a一5b)(a一)-32一3gb一5ah十5市一3a一8b十5(m),.体息区的面积为 C的正东方向D处时，又航行了40nmie,22.解：(1)△ABD和△ACE都是等边三角 (3a-8ab+5)-(a2-2ab)-3a2-8+5-a2+2ab=2a2-6b+5W(m1(2)把 形，，∠DAB=∠EAC=60°，AD=AB,AE=AC,∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,即 25,b-5代人2a2一iah十5，得原式=2×252一6×25×5十5×52■625(m)..休息区的 AD-AB. 面积为625m.23.解：1)-22(2)(3a+1,-2)(a+2d-3)=(3a+1D(a-3)-(a ∠DAC-∠BAE.在△DAC和△BAE中，∠DAC-∠BAF..△DAC2△BAE(SAS), 2)(a+2)=3u-9a十a-3-(a-4)=3a-9u十a-3-a+4=2a-8a+1,,d-4a+1= 【AC=AE, 0.∴.2=4d-1.∴.(3+1-2)(+2.a-3)=24a-1)-8a+1=-1.24.解：(1)24 第31页（共48页） 第32颤（共48夏） 第33页（共48页）第十五章综合评价 8.如图，在饨角三角形ABC中，∠ABC为纯角，以点B为圆心，AB长为半 16.如图，在R△ABC中，∠B=90°，∠C=40°，D为线段AC上的一个动点 径画弧：再以点C为圆心，AC长为华径画弧：两弧交于点D,连接AD,与 (点D不与A,C重合)，连接BD,将△ABC沿着BD进行折叠，点C的 (时间：120分钟满分：150分) CB的延长线交于点E.下列结论错误的是 对应点为点C,当C,D与△ABC中的一条边垂直时，则∠C,BD的度数 一，选择题（本大题共12题，每随3分，共36分.每小题均有A,B,C,D四个 A.CE垂直平分AD B.CE平分∠ACD 选项，其中只有一个选项正确》 C.△ABD是等腰三角形 D.△ACD是等边三角形 三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程 1.下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°.BD=2cm,则 或演算步骤) AB的长为 17.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC,AM是边BC上的中线，点N在 A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm AM上，求证：NB=NC 2.如图，将长方形沿对称轴折叠，在对称轴处剪掉一块，余下部分的履开图 (第9题图) (第10题图) 10,如图，△ABC与△DCE都是等边三角形，B,C,E三点在同一条直线上， 若AB-3,∠BAD=150°，则DE的长为 B A.3 B.4 C.5 D.6 I8.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC,AE⊥AB交BC于点E,∠BAC= 3.如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂 11.如图，在△ABC中，边AB,AC的垂直平分线交于点O,若∠BOC一80°， 120°，AE=3cm,求BC的长 足，DE交AC于点E,连接BE,且AC=8,BC=5,则 则∠A的度数为 △BEC的周长是 A.409 B.45° D.50 A.12 B.13 C.14 D.15 4在平面直角坐标系中，点A,B关于y轴对称，点A的坐标是(2，一8)，则点 B的坐标是 ) A.(-2,-8) B.(2,8) C(-2.8) D.(8,2) 11题图) (第12题图》 5.已知实数工y满足|x一3引十√y一6=0，则以x,y的值为两边长的等腰 12.如图，在△ABC中，AB=20cm,AC=12cm,点P从点B出发以每秒3cm 三角形的周长是 的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运 A.15或12 B.15 动，其中个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.当△APQ C.12 D.以上答案均不对 是以∠A为顶角的等腰三角形时，运动的时间是 ( 19(10分)如图，在△ABC中，AB=AC.D,E,F分别为边BC,AB,AC上 6.唐诗《古从军行》中“白日登山望锋火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣 A.2.5s B.3 s C.3.5s D.4 s 的数学问题一“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐 的点，且BE-CD,CF=BD 二，填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 标系中，将军从A(4,0)出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n (1)求证：△BDE≌△CFD: 13.在平面直角坐标系中，点M(a,b)与点N(3,一1)关于r轴对称，则2a+ 的任意位置饮马后返回到点A,且m与：的夹角为30°，则将军所走的最 (2)若∠A=40°，求∠EDF的度数， b的值是 短总路程为 14.如图是屋顶的“人字形“钢架，其中斜梁AB=AC,顶角∠BAC=120°，跨度 A.4 C.8 D.12 BC=10m,AD为中柱（即底边BC的中线），两根支撑架DE⊥AB, DF⊥AC,则DE+DF m (第6题图 (第8题 7.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=30,直线a∥h,顶点C在直线b上，直线@ (第14题图) (第15题图)（第16题图） 交AB于点D,交AC于点E.若∠1=145，则∠2的度数是 15.如图，在△ABC中，AB=AC,D是AC上一点，且BC=BD.若∠CBD= A.40 B.45 C.50 D.35 46”,则∠A的度数为 第1页（共6到） 第2夏（共6真） 第3页（共6页） 20.(10分)在一次数学课上，王老师在黑板上画出下图，并写下了四个等23.(12分)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三 25.(14分)【阅读材料】证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形 式：①AB=DC,②BE=CE:③∠B=∠C:④∠BAE=∠CDE.要求同 角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A,C的坐标分别为 或等腰三角形的性质，如果两条线段不在同一个三角形中，且所在三角 学们从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形.请 (-4,5),(-1,3). 形明显不全等，此时就需要添加辅助线来构造全等三角形. 你写出已知、求证，并证明.（写出一种即可） (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系： (1)【理解应用】如图①，在等腰三角形ABC中，AB=AC,D为BC上一 (2)请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C‘: 点，且CD>BD,连接AD,小明对△ABC进行了如下操作：在CD上 (3)写出点B的坐标： 取一点E.使得AE=AD,连接AE,则可证明△ABD2△ACE,请补 (4)在y轴上找一点P,使得PB十PC的值最小， 充小明操作过程的正明： (2)【类比探究】如图②.在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,∠B+ ∠D=180°，求证：CD=CB: (3)【拓展应用】如图③，已知△ABC是边长为5cm的等边三角形，点E 在CA的延长线上，且AE-1.5m,连接EB,在线段BC上取点F,连 接EF,使得EB=EF,求BF的长 21.(10分)如图，一艘轮船以40 n mile/h的速度沿正北方向航行，在A处 测得灯塔C在北偏西30°方向上，轮船航行2h后到达B处，在B处测 得灯塔C在北偏西60方向上.当轮船到达灯塔C的正东方向D处时， 又航行了多少海里？ 24.(10分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,过点B作AD的垂线，垂足 为点D,DE∥AC,交AB于点E,CD∥AB. 求证：(1)△BDE是等腰三角形： (2)CD=BE. 22.(12分)如图，以△ABC的两边AB,AC为边向外作等边三角形ABD和 等边三角形ACE,DC,BE相交于点O. (1)求证：DC=BE: (2)求∠BC的度数， 第4页（共6到） 第5夏（共6夏） 第6页（共6页）