第7章 证明-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024 贵州专版）

第七章 证明 1为什么要证明 1.甲、乙、丙、丁、戊五位同学，他们的年龄之间的关系为：丙没有丁大，乙比甲大，戊不比丁小，而 乙不比丙大.请你判断年龄最小的是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 2.如图，甲、乙两只小虫从点A同时出发，甲虫沿着大的半圆爬行，乙虫沿着内部的三个小半圆爬 行.如果两虫爬行的速度相同，那么先到达点B的虫子是 A.甲 B.同时到达 C.乙 D.不能确定 3.小明不知什么原因三天没来上学了，明天他肯定还不会来.这种判断是否合理？ 答： ,（选填“合理”或“不合理”) 4.先观察，再验证： (1)图①中的实线是直的还是弯曲的？ (2)图②中的直线AB与直线CD平行吗？ 4s89) 图① 图② 5.张老师把红、白、蓝三个颜色的气球分别送给三个小朋友，根据下面三句话，判断他们分到的各是 什么颜色的气球，并写出推理过程. (1)小春说：“我分到的不是蓝气球.” (2)小宇说：“我分到的不是白气球.” (3)小华说：“我看见张老师把蓝气球和红气球分给上面两位小朋友了.” ·42· 2认识证明 第1课时定义与命题 1.下列语句属于定义的是 ( A.两点确定一条直线 B.平行线的同位角相等 C.两点之间线段最短 D.直线外一点到直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离 2.下列命题：①全等三角形的面积相等；②面积相等的两个三角形全等；③成轴对称的两个图形全 等；④两个全等三角形是轴对称图形.其中真命题有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.已知命题“任何偶数都是8的整数倍”.在下列选项中，一定可以作为“该命题是假命题”的反例的 是 ) A.2k B.15 C.24 D.42 4.请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假. (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等； (2)绝对值相等的两个数相等； (3)两个钝角的和一定大于180°. 5.命题：两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等. (1)请将上述命题改写成“如果…，那么…”的形式； (2)上述命题是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举反例说明. ·43· 第2课时定理与证明 1.下列说法错误的是 A.定理是真命题 B.公理一定不是假命题 C.公理与定理没有区别 D.定义、定理、公理、公式等都是进行推理的依据 2.下列命题能称为定理的是 ( A.同一平面内，如果两条直线不相交，那么这两条直线互相平行 B.如果两个实数的乘积为1，那么这两个实数互为倒数 C.线段有两个端点 D.两直线平行，内错角相等 3.某工程队在修建高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，这样做能缩短路程的依据是 4.下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条 件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果.可以作为推理依据的有 .(填序号) 5.如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB=AC;②AD=AE;③∠1=∠2；④BD= CE.请你以其中三个等式作为条件，余下的作为结论，写出一个真命题，并证明.（要求写出已 知、求证及证明过程) ·44· 3平行线的证明 第1课时平行线的判定 1.如图是小丽同学画一条直线的平行线的方法，这种画法的依据是 (1) (2)过点A作直线b(3)作∠2=∠1 A.同旁内角互补，两直线平行 B.两直线平行，同位角相等 C.同位角相等，两直线平行 D.内错角相等，两直线平行 2.如图，下列能判定AD∥BC的是 A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠2=∠3 D.∠1=∠4 ) 31 2 一上 (第2题图) (第3题图) (第4题图) 3.如图，下列推理正确的是 A..∠A+∠D=180°，∴.AD∥BC B..∠C+∠D=180°，∴.AB∥CD C..∠A+∠D=180°，∴.AB∥CD D..∠A+∠C=180°，∴.AB∥CD 4.如图，下列条件：①∠1=∠A;②∠ABC+∠BCD=180°；③∠3=∠2；④∠ABC=∠DCE.其 中，能判定AB∥CD的是 .(填序号) 5.如图，已知∠ADE=70°，DF平分∠ADE,∠1=35°. 求证：DF∥BE. 6.如图，已知EF⊥BC,DE⊥AB,∠B=∠ADE.求证：AD∥EF. 证明：.EF⊥BC,DE⊥AB, .∠EFB=∠AED=90°( ∴.∠BEF+∠B=90°， ∠BAD+∠ADE=90°( .'∠B=∠ADE, .∠BEF=∠BAD( ·45。 第2课时平行线的性质 1.如图，直线AB,CD被直线CE所截，AB∥CD.若∠C=50°，则∠1的度数为 A.40° B.50 C.130° D.150° D 一) 8 (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，AB∥CD,AE∥CF.若∠BAE=75°，则∠DCF的度数为 A.65° B.70 C.75° D.105° 3.如图，AB∥CD,过点E画EF∥AB,则EF与CD的位置关系是 ,理由是 4.如图，AB∥CD,EF分别与AB,CD交于点B,F.若∠E=30°，∠EFC=130°，则∠A的度数为 (第4题图) (第5题图) 5.如图，有一个含有30°角的直角三角尺，一顶点放在直尺的一条边上.若∠2=115°，则∠1的度 数是 6.根据题意，完成下列推理过程： 如图，已知AD∥BC,∠1+∠C=180°.求证：∠D=∠1. 证明：.AD∥BC(已知)， .∠1=∠ ( .∠1十∠C=180°（已知）， ∴.∠B+∠C=180°( ∴.AB∥ ( ∴.∠D=∠1( 7.如图，已知∠1=∠2，∠D=60°，求∠B的度数. ·46·18同四×20，得+6y=10.国-④，得r=8=叁将=是代人8，得y=是所代人y2十1，相y2X(一3)+1=一i5解：1设，=十人由图可知，当=4时y 高在153en~165m:0%的学生身高在165cm~179m:20%的学生身高在179cm~ -等-7球一压起它们代人上式得份得合仁-次函 188cm.B校：下四分位数为160cm.中位数为166cm.上四分位数为170cm.即20%的学 生身高在145m-160cm:50%的学生身高在160cm~170cm:20%的学生身高在170cm 以原方程组的解是 数表达式是y=1.5x十4.5：(2)当x=4十7=11时，y=1.5×11十45=21.即把这两摞饭而 178cm. 3 y-5 整齐地积成一摞时，这擦饭前的高度是21m. 3哪个团队收益大 3二元一次方程组的应用 “5三元一次方程组 解：方法一：用平均数和方差分析：，=13.5.72=14,5，=2,25,2=3.由平均数看，甲 第1深时二元一次方程组的应用一“鸡兔同笼” r=6, 跑步用时少，由方差看，甲比乙的波动小，所以甲的成绩好且更稳定：方法二：用四分位数分 1.D2.y-一11.3.5164，解：(1)把①分别代入②并化简，得x+y一4，①2x十3y 析：甲：m-12.5m-13,5,m,-14.5:乙：mn-13,m-14.5,m-16.由四分位数看. 1C2.立十子一5（答案不啡一）解：设每包了本书，共有y本书，根据愿意，得 女3 甲的运动时间四分位数均比乙小，且波动也小，所以甲的成绩较好且更稳定。 号y-16a+40 /x-1. 3=9r-40. 解得P0, 1山.解由④©组成的二元一次方程组，得所以原方程组的解是=：20+ 第七章证明 答：这批书共有150本，4.解：(1)设乙的速度为 1y-1500 y=3. 1为什么要证明 x=-4: 1.A2.B3.不合理4.解：(1)对于图①中的实线，直接观察可能得出结论：实线是弯曲 xm/min,则甲的速度为2.5xm/min.环形场地的周长为ym.根据题意.得 ②，得3r十：=1.④（②+③）÷2，得3x-2:=一2.的解由④组成的二元一次方程组，得 的，面实际上图①中的实线是直的：(2)对于图②，直接观察可能得出结论：直线AB与直线 4x+300=y, 一一30,2)设笼的总数为个，鸡的总数为y只，根据意一 /2.5xX4-4=”即6一y0, CD不平行，而实际上图②中直线AB与直线CD平行.5.解：根据小华说的语：“我看见张 '把=0=1代人①，得y=子所以原方程组的解是y 5,解：(1)根据题 老师把蓝气球和红气球分给上面两位小朋友了.”可知小华分到的是白气球：又因为小春分 得= g=1 到的不是蓝气球，那么她分到的是红气球：因此小宇分到的是霞气球.容：小春分到的是红 5(x-1D=3y 额色的气球，小宇分到的是登额色的气球，小华分到的是白规色的气球 第2课时二元一次方程组的应用一增收节支 a十+c=5, 2认识证明 r+y=3100, 1+6%)十1-2%)y-3100×1十4.4%2，D3解：(1)设胸进甲矿泉水r箱。 意，得)9a-36十c-5,解得 6=，这个代数式为+号1：2)当x=一时，代 第1课时定义与命题 =1, 1.D2.B3.D4解：(1)条件：两个角是直角：结论：这两个角相等.直角为90，故原命 购进乙矿泉水y箱根据题意.得y一50. 5计540，解得二答期进甲矿流水0 题是真命题：(2)条件：两个数绝对值相等：结论：这两个数相等.绝对值相等的两个数，还可 1y=200. 数式鹊值为号×()+×（）1-- 以互为相反数，不一定相等，故原命题是假命题：《3)条件：两个角是纯角：结论：这两个角的 箱.期进乙矿泉水200箱：(2)(35一25)×300+(48-35)×200-5600（元）.答：该商场售完 第六章数据的分析 和一定大于180.纯角大于9D,故两个掩角的阳一定大于180°，故原命题是真命题. 这500箱矿泉水，可获利5500元，4.解：设去年的总产值为r亿元，去年的总支出为y亿 元.模据题意，得仁一一2. 1平均数与方差 5.解，(1)由随道，命题的条件为：两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等：结论为： 0%0-0%0-2X2.解每 y=4 (1十20%)×6-7.2（亿元. 这两个三布形全等：改写为：如果两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等，那么这两 第1误时众数与平均数 个三角形全等：(2)此命题是假命题.如图， AC=AD,在△ABD与△ABC 答：今年的总产值将达到7.2亿元 1.B2.B3,C4.45,76,解：(1)320210(2)合厘.型由略。 第3课时二元一次方程组的应用一行程问题 第2课时加权平均数 1.C2.B3.1500+.解：设船在静水中的速度为xkm/h,水流速度为ykm/h.根据题 1.B2.D3.C+.805.解：小m的成绩是(8×6+80×3+80×1)÷(6+3+1) 意，得十》-0解科7.5”答船在静水中的速度为1以.5km,水流连度为 90,8(分)，小真的成绩是(95×6+0×3+0×1)÷(6+3+1)=93（分），小扬的成绩是(8别 中，AB=AB,AD=AC,∠B瓶是AC的对角，也是AD的对角，即∠B=∠B,但△ABD与 4(r-y)=60, y=2.5. ×6+100×3+100×1)÷(6+3+1)=88(分).：93>90.8>88..冠军是小其，重军是小 △AC并不全等，故该命题为假命题. 2.5km/h.5.解：(1)设小贵每小时走xkm,小港每小时走ykm.根据题意，得 丽，季军是小扬. 第2课时定理与证明 (2+2,5)x+2.5y=37, 得二6“答：小贵每小时走6km,小卷每小时走4km:(2)37 第3课时数据的离散程度 1.C2,D3.两点之间线段最短4.①②③④分心5.解：答案不唯一，已知：在△ABD 1,5r+5,5+1.5)y-37. y=4. 1.B2.D3.C4.D5.46.解：(1)10(2)10×200=2000(kg》.答：估计该果园樱桃 和△ACE中，AB-AC,AD-AE.∠I-∠2.求证：BD-CE,证明：：∠1-∠2，.∠1+ (6+4)×2=17(km),答：2h后两人相距17km. 4二元一次方程与一次函数 的总产量为2000kg:(3)2=0×(10-10y+(13-102+3×《8-10)2+2×(12-10)2 AB=AC, ∠CAD-∠2+∠CAD,即∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中，∠BAD-∠CAE, 第1课时二元一次方程（组）与一次函数 +(11一10)+2×(9一10)门=3.2<3.5.客，该稷桃园的每棵樱桃树的产量是均匀的」 AD-AE. 第4课时平均数与方差的综合应用 D之行有无 4 △AB2△ACE(SAS)..BD=CE. ”5解：根帮题意，可列方程组 1.A2.C3.A4.485.解：(1)70-(5+6+7十9十8)÷5-7（环），72-《8十4十8十6 3平行线的证明 18 一2=6·解得 十9)÷5=7（环），m=写×[(5-7)2+(6-7)+(7-7+(9-7)+(8-7)]=2.吃 第1课时平行线的判定 x十=6， = 对于一次函数y=3一号，当=0时y=一号与y轴的交 ×[(8一7)十(4-)+(8-7+(-7)+(-》门-3.2：(2)选深甲手参赛更好 1.D2.C3,C4.D②④5，证明：∠ADE-70.DF平分∠ADE,∴∠FDE 些，理由如下：工w一2，动<吃，甲选手的成绩更稳定，选派甲选手参赛更好些， 7∠ADE=35,“∠1=35，六∠FDE=∠1，DF∥BE.6.垂直的定义直角三角形的 点坐标为(@，一装)：当y=0时=普六与z轴的交点坐标为（号，0小对于一次函数y 2中位数与箱线图 两个锐角互余等角的余角相等ADEF同位角相等，两直线平行 +号当r=0时-号与y轴的交点龟标为(0号)当y=0时=一号与x轴 第1课时中位数 第2课时平行线的性质 1.B2.B3.D4.85.解：(1)918(2)不认问.理由如下，小刚的测试成绩高于这 1.C2.C3.EF∥CD平行于问一条直线的两条直线平行4.20°5.256.B两直 的交点坐标为（号，0） 次成绩的中位数，.不可能有一半八年级男生的成皱比小刚高：(3)：11÷60=18,3%，成 线平行，内错角相等等量代换CD同旁内角互补，两直线平行两直规平行，同位角相 第2课时用二元一次方程组确定一次函数表达式 绩达到18即次及以上的同学占比比较小，∴，建议保证体有运动时阿，倡导学生积最参加跳 等7.解：知图， ∠1-∠2，∠2-∠3..∠1=∠3..AB∥CD..∠B+ L.D2.D3.y--r+34.解：(1)将上一一1y-一1和立-2，y-5分别代人一次函数 绳训练，（答案不唯一） 表达式，得解科怎2这个一次所数表达式为y=2r+,2)把=- 第2课时四分位数 15=20+b. 16=1. 解：A校：下四分位数为165em.中位数为172em,上四分位数为179cm.即20%的学生身 ∠D=180,∠D=0,.∠B=180°-∠D=180°-60°=120. 第52页（共54页） 第53页（共54页） 第54页（共54页）