精品解析：吉林省长春市新解放学校2025-2026学年高三上学期第二次学程考试（期中）数学试卷

2025-2026学年上学期第二次学程考试 高三数学 一、单选题（本题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（   ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5. 若，，，则a，b，c间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，当时，函数极值点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6 分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）． 9. 已知，则（ ） A. B. C. 的最小值为2 D. 的最小值为4 10. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 的图象关于点对称 C. 在区间单调递减 D. 的图象平移变换后可得的图象 11. 已知函数，则下列说法正确的是（　　） A. 函数的极大值为 B. 若，则 C. 若方程有两个不等的实根，则 D. 若过点恰有三条与曲线相切的直线，则 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的图像在点处的切线方程为________. 13. 若对任意恒成立，则实数的取值范围是____. 14. 已知函数．若恒成立，求实数a的取值范围_____． 四、解答题（本大题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 已知函数． （1）求的单调减区间； （2）求在区间上的值域． 16. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角： （2）若的面积为，求的周长. 17. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 如图，垂直于梯形所在平面，为PA的中点，，四边形为矩形. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且存在两个极值点． ①求的取值范围； ②设的两个极值点为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期第二次学程考试 高三数学 一、单选题（本题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解二次不等式，得到，再求即可． 【详解】由，解得， ，又， ． 故选：B 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简条件可得，再结合诱导公式求结论. 【详解】因为，， 所以 所以， 故选：B 3. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将所求变形为，再根据基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用齐次法计算得解. 【详解】由，得. 故选：C 5. 若，，，则a，b，c间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合指、对数函数单调性以及正弦函数有界性分析判断. 【详解】因为，即； 又因为，且， 所以. 故选：B. 6. 将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得出平移后的解析式，再根据奇偶性得出，，最后根据范围即可. 【详解】将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象的解析式为 ， 因为的图象关于y轴对称， 所以，，解得，， 因为，所以. 故选：D. 7. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦二倍角公式整理函数，利用换元法，根据二次函数的性质，可得答案. 【详解】由，令，则， 由，则函数的值域为. 故选：C. 8. 已知函数，当时，函数极值点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，由，得，利用导数确定方程根的个数，进而求出极值点个数. 【详解】函数，求导得 ，由，得，令函数，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， ，函数的大致图象如图， 由，得，方程必有两个根，即函数必有两个零点， 当或时，，；当时，，， 因此函数恰有2个极值点，B正确. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6 分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）． 9. 已知，则（ ） A. B. C. 的最小值为2 D. 的最小值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断选项A；由幂函数的单调性比大小判断选项B；利用基本不等式求和的最小值判断CD选项. 【详解】由，得，所以，即，故A正确； 因为函数是上的增函数，所以当时，，故B正确； 由，有，所以， 当且仅当时等号成立，但，故等号不成立，故C错误； ，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 的图象关于点对称 C. 在区间单调递减 D. 的图象平移变换后可得的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数的性质依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，因为函数， 所以，即的值域为，故A选项正确； 对于B选项，令，解得， 即的图象关于点对称，故B选项错误； 对于C选项，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以函数在区间单调递减，故C选项正确； 对于D选项，由函数图象到函数图象，需要经过平移变换与伸缩变换得到，故D选项错误. 故选：AC 11. 已知函数，则下列说法正确的是（　　） A. 函数的极大值为 B. 若，则 C. 若方程有两个不等的实根，则 D. 若过点恰有三条与曲线相切的直线，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导确定函数单调性即可判断ABC，对于D，设切点坐标为，通过斜率得到，化简可得：，问题转化成方程有3个不同的根，进而可求解. 【详解】定义域为，， 由得，由得， 所以在单调递增，在单调递减， 当时，，当时，， 在时，取得极大值；A正确， 当时，，由单调性可知；B正确， 由函数单调性和极值可知：若方程有两个不等的实根，则，C错误； 设切点坐标为，则切线斜率为， 由两点得切线斜率，化简可得：， 若过点恰有三条与曲线相切的直线，则方程有3个不同的根， 令，定义域为，， 由得：或，由得：， 所以在单调递减，在单调递增， 极小值为，极大值，当时，，当时，， 所以方程有3个不同的根，即和的图象有3个交点，则，D正确； 故选：ABD 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的图像在点处的切线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求得函数的图像在点处的切线的斜率，写出切线的点斜式方程，化简可得一般式方程. 【详解】函数的定义域为，. 所以. 函数的图像在点处的切线方程为：，即. 故答案为：. 13. 若对任意恒成立，则实数的取值范围是____. 【答案】 【解析】 【分析】因为，所以根据基本不等式及不等式的性质可得实数a的取值范围. 【详解】因为，所以，当且仅当即时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 所以，当且仅当时，取得最大值. 因为恒成立，所以，所以. 所以实数的取值范围是. 故答案是：. 14. 已知函数．若恒成立，求实数a的取值范围_____． 【答案】 【解析】 【分析】分离参数，令，转化为，求导分析单调性，由隐零点代换求出即可. 【详解】不等式恒成立，即恒成立， 不等式等价于恒成立， 令， ， 令， 求导得，函数在上单调递增， 又，则存在唯一，使得， 则，即，于是， 函数在上单调递增，则． 当时，，，则函数在上单调递增； 当时，，，则函数在上单调递减， 因此，则， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 已知函数． （1）求的单调减区间； （2）求在区间上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的单调性可得答案； （2）利用的范围求出及的范围可得答案. 【小问1详解】 由得 ， 所以的单调减区间为； 【小问2详解】 当时，， 所以， 所以. 16. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角： （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，再利用两角和的正弦公式进行化简即可求解； （2）利用三角形的面积公式和余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得. 因为， 所以，即. 又，所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以. 由余弦定理得，即， 即，可得， 所以的周长为. 17. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列通项的基本量运算列方程组，求出，即得数列通项公式； （2）利用裂项相消法即可求得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由① 由， 即② 联立①②，解得， 则的通项公式为； 【小问2详解】 ， 则 . 18. 如图，垂直于梯形所在平面，为PA的中点，，四边形为矩形. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 设交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点． 在中，，分别为，的中点，所以， 因为平面DEF，平面DEF，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）设交于点，连接，根据三角形中位线可证明，进而通过线面平行的判定定理证明问题； （2）建立空间直角坐标系，进而通过空间向量夹角公式求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为垂直于梯形所在平面，，所以两两垂直， 如图以为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，所以，． 设平面PBC的法向量为，则， 令，则. 因为垂直于梯形所在的平面，所以是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为 所以. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且存在两个极值点． ①求的取值范围； ②设的两个极值点为，证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）①； ②证明：由①可知时，存在两个极值点，设， 则，即， 则， 所以，要证， 即证明，即证， 由①知在上单调递增，则即证， 又因为，即证， 令， ， 所以在上单调递增，又， 所以在上有， 即成立， 所以有，即成立. 【解析】 【分析】（1）将函数求导，根据参数的取值进行分类，讨论函数的单调性； （2）①求出导数，根据函数极值点就是导数零点，即有两个不同的根，则函数与有两个不同的交点，通过讨论单调性及最值，可得其取值变化，进而求得的取值范围； ②设，由通过对数运算可得要证，即证明，即证，由在上单调递增，可得需证，令，利用导数可证得，即证得，即成立. 【小问1详解】 函数的定义域为，则， 当时，，此时在上单调递增； 当时，由可得；由，可得. 则在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 ①因为，则， 因为存在两个极值点，则存在两个变号的零点， 即有两个不同的根， 则函数与有两个不同的交点， 又因为，则有，即有单调递增， 则有，即有单调递减， 所以， 又时，，当时，， 则函数与有两个不同的交点，有，即， 故存在两个极值点，的取值范围为； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $