2.1 图形的轴对称 课件 2025--2026学年浙教版八年级数学上册

三角形中有哪两类特殊的三角形？ 本章将学习图形的轴对称，等腰三角形、直角三角形的性质和判定，勾股定理，逆命题和逆定理，以及它们的一些简单应用. 直角三角形和等腰三角形 等腰三角形和直角三角形这两种特殊的三角形有许多有趣的性质，这些性质使得它们在建筑设计、工业生产等领域都有广泛的应用． 本章引入 2.1 图形的轴对称 第 2 章 特殊三角形 数学浙教版八年级上册 1.能准确阐述轴对称图形、对称轴、对称点、两个图形成轴对称的概念，清晰区分轴对称图形与两个图形成轴对； 2.熟练掌握轴对称图形的性质，会作一个简单图形关于某条直线的轴对称图形，能在实际问题中运用轴对称性质找最短路径等； 3.经历“猜想 - 验证 - 归纳” 的探究过程，感悟数学研究的一般方法，培养自主探究与合作交流能力； 4.感受轴对称在生活中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，激发学习数学的兴趣，增强审美意识. 难点 重点 学习目标 情境导入 我们生活在一个充满对称的世界中：自然界的许多动植物按对称形生长， 许多建筑都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，我国的方块字中有些也具有对称性，……对称给我们带来很多美的感受！ 北京故宫建成于1420年，整个宫殿建筑布局沿中轴线向东西两侧展开，呈现轴对称的结构. 由于轴对称给人以美感，因此被广泛应用于建筑设计上. 活动一：探究轴对称图形的定义 探究新知 活动一：探究轴对称图形的定义 蓝脸的窦尔敦盗御马 红脸的关公战长沙 黄脸的典韦 白脸的曹操 京剧脸谱，从数学的角度看，看到了什么？ a b c d 沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够相互重合. 01 探究新知 活动一：探究轴对称图形的定义 轴对称图形的定义： 如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形． 这条直线叫作对称轴. 折叠后重合的点叫作对称点. A′ B′ C′ 对称轴 如图：点A′是点A的对称点； 点B′是点B的对称点； 点C′是点C的对称点． 探究新知 活动一：探究轴对称图形的定义 下列我们学习的几何图形有哪些是轴对称图形？都有几条对称轴？ 图形 等腰 梯形 圆 长方形 正方形 等腰三角形 平行四边形 直角三角形 对称轴数量 1 无数 2 4 1 0 0 02 探究新知 活动一：探究轴对称图形的定义 1.下列图形是轴对称图形吗？你是怎么判别的？ 对于以上各轴对称图形，你能找出对称轴吗？有哪些方法？ ①②④是轴对称图形. 判别方法：沿某条直线折叠，直线两旁部分能完全重合. 如图为各图形的对称轴，用对折的方法. ① ② ③ ④ 探究新知 活动一：探究轴对称图形的定义 2.如图，AD平分∠BAC，AB=AC. （1）四边形ABDC是轴对称图形吗？如果你认为是，说出它的对称轴，哪一个点与点B对称？ （2）连结BC，交AD于E. 把四边形ABDC沿AD对折，BE与CE重合吗？∠AEB与∠AEC呢？由此你得到什么结论？ 轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段. E A B C D 是，对称轴是线段AD所在直线，C与点B对称 BE和CE重合， ∠AEB与∠AEC重合. 探究新知 m 活动二：探究轴对称的定义 如图，已知△ABC和直线m. 以直线m为对称轴，求作以点A，B，C的对称点A′，B′，C′ 为顶点的△A′B′C′ . 03 如图,根据“对称轴垂直平分连结两个对称点的线段”的性质，直线m垂直平分线段AA'，所以只要过点A作直线m的垂线段AP，延长AP至A'，使A'P=AP，则A'便是点A的对称点.类似地,可以作出点B，C的对称点B′，C′. 探究新知 m 活动二：探究轴对称的定义 如图，已知△ABC和直线m，以直线m为对称轴，求作以点A，B，C的对称点A′，B′，C′ 为顶点的△A′B′C′ . 03 解：如图： 1.作AP⟂ m，延长AP至A'，使A'P=AP. 2.按上述方法作出点B的对称点B'， 点C的对称点C'. 3.依次连结A'B'，B'C'，C'A'. △A'B'C'就是所求作的三角形. ┑ ┑ ┑ m P 探究新知 活动二：探究轴对称的定义 ┑ ┑ ┑ m 04 如果把右图沿直线m 折叠，两个三角形会重合吗？如果重合，这说明什么？ 能重合，说明: (1)轴对称变换不改变原图形的形状和大小. (2)经轴对称变换所得的图形和原图形全等. 轴对称的定义：由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫作图形的轴对称，这条直线也叫作对称轴. 对称轴 图形的轴对称有下面的性质： 成轴对称的两个图形是全等图形. P 探究新知 活动二：探究轴对称的定义 轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系： 　　 轴对称图形 轴对称 区别 联系 图形 对称轴( )只有一条 只有( )对称轴. 不一定 一条 共同点 　沿一条直线对折，对折的两部分能够完全重合 两个图形成 一个图形 两个图形 如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴( )；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是( ). 对称 轴对称图形 探究新知 活动二：探究轴对称的定义 1.如图，已知线段AB和直线l. 以直线 l 为对称轴，作与线段AB成轴对称的图形. l A B B′ A′ 探究新知 活动二：探究轴对称的定义 2.如图，已知直角三角形ABC. (1)以直角边AC所在的直线为对称轴， 作出与直角三角形ABC成轴对称的图形. (2)第(1)题作出的图形和原图形能组成一个等腰三角形吗？请说明理由. 解：(1)如图，△AB′C即为所求． B C A (2)答：能组成等腰三角形，理由如下． 由△AB′C与△ABC成轴对称，知△AB′C≌△ABC， 所以AB′=AB，故△ABB′为等腰三角形． B′ 探究新知 A′ 如图，直线 l 表示草原上的一条河流，一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中. 他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线. A B C P 如图，设P是直线上任意一点，连结AP，BP. 以直线 l 为对称轴，作与线段AP成轴对称的线段A'P，则AP+BP=A'P+BP. 显然，当点A'，P，B同在一直线上时，A'P+BP最短，即路程最短. 教材 例题 应用新知 解：如图，作点A关于直线 l 的对称点A′，连结A′B，交直线 l 于点C，连结AC. 骑马少年沿折线A—C—B的路线行走时路程最短. 下面给出证明： 设P是直线 l 上任意一点，连结AP，A′P 由作图知，直线 l 垂直平分AA′ 则AC=A′C，AP=A′P (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等) 则AP+BP=A′P+BP≥A′B， A′B=A′C+BC=AC+BC 即AP+BP≥AC+BC 所以骑马少年沿折线A—C—B的路线行走时路程最短. 教材 例题 A′ A B C P 应用新知 经典例题 如图，P为△MON内一点，线段AB的长为15cm，P与A关于ON对称，P与B关于OM对称，点D与点C都在线段AB上，求△PDC的周长. 由轴对称的性质可知：AD=PD，PC=BC，再根据三角形的周长公式求出△PDC的周长即可. O D C B M P N A 应用新知 教材 练习 1.线段、角是轴对称图形吗?如果你认为是轴对称图形，分别说出它们的对称轴. A B E D F 线段是轴对称图形. 对称轴是线段的垂直平分线. 角是轴对称图形. 对称轴是这个角的平分线所在的直线 课堂练习 教材 练习 2.如图，已知图形X和直线 l，以直线 l 为对称轴，图形X的轴对称图形是( ) （A） （B） （C） （D） C 根据轴对称图形定义，沿直线 l 折叠，图形X与选项C中的X′能重合，所以选C. 课堂练习 3. 小明在镜中看到对面电子时钟的示数如图所示，则现在的实际时间为（　　） A．12:01 B．10: 21 C．15:10 D．10:51 D 镜中的像与实际物体关于镜面对称，也就是左右相反. 观察镜中显示的“12:01”，左右反转后，实际时间就是10:51. 所以选D. 课堂练习 4.如图，是由三个小正方形组成的图形，请你补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形. 并画出对称轴. 课堂练习 由轴对称的性质可得∠A′=∠A=50°， ∠C=∠C′=30°， 所以∠B=∠B′=180°-50°-30°=100°. l C′ C B′ B A′ A 5.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B为 ． 100° 课堂练习 6.如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为( ) A. 4cm² B. 8cm² C. 12cm² D. 16cm² A D C B B 课堂练习 7.如图，一牧马人从点A出发，到草地MN放牧，在傍晚回到帐篷B之前，先到河边 PQ去饮马，牧马人沿哪条路线行走才能使整个放牧的路程最短?请作出满足题意的图形(不写作法，保留作图痕迹). 作出A关于MN对称点A'、B关于PQ对称点B'，连接A'B'交MN于C、交PQ于D，路线 A→C→D→B 即为所求. 解：如图所示，A→C→D→B 即为所求的路线. A' B' C D M N P Q A B 课堂练习 定义 性质 知识点1相交线 如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形．这条直线叫作对称轴.折叠后重合的点叫作对称点. 图形的轴对称 轴对称图形的性质： 对称轴垂直平分连结两个对称点的线段. 图形的轴对称的性质： 成轴对称的两个图形是全等图形. 知识点1相交线 由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫作图形的轴对称. 总结归纳 实践作业：生活中的轴对称 任务： 用手机拍摄3 - 5张生活中具有轴对称特征的图片(如建筑、植物、生活用品、艺术作品等)． 要求： 在每张图片旁标注对称轴数量及位置，并说明判断轴对称的依据． $