第一章 第三节 等式性质与不等式性质-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用课件

第三节　等式性质与不等式性质 高中总复习·数学 课标要求 1. 梳理等式的性质，理解不等式的概念. 2. 会比较两个数（式）的大小. 3. 理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用. 目 录 CONTENTS 知识·逐点夯实 01. 考点·分类突破 02. 课时·跟踪检测 03. PART 01 知识·逐点夯实 必备知识 | 课前自修 目 录 1. 比较实数的大小 （1）文字叙述：如果a－b是正数，那么a b；如果a－b等于0， 那么a b；如果a－b是负数，那么a b.反过来也对； （2）符号表示：a b⇔a－b＞0；a b⇔a－b＝0；a ⁠ b⇔a－b＜0. ＞　 ＝　 ＜　 ＞　 ＝　 ＜　 目 录 高中总复习·数学 2. 等式的基本性质 （1）对称性：如果a＝b，那么b＝a； （2）传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； （3）可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； （4）可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； （5）可除性：如果a＝b，c≠0，那么 ＝ . 目 录 高中总复习·数学 3. 不等式的基本性质 （1）对称性：a＞b⇔b＜a； （2）传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； （3）可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c b＋d； ＞　 （4）可乘性：a＞b，c＞0⇒ac bc；a＞b， c＜0⇒ac ⁠bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； （5）可乘方性：a＞b＞0⇒an 　　bn（n∈N，n≥2）； （6）可开方性：a＞b＞0⇒ ＞ （n∈N，n≥2）. ＞　 ＜　 ＞　 目 录 高中总复习·数学 1. 倒数性质 若ab＞0，则a＞b⇒ ＜ ； 若ab＜0，则a＞b⇒ ＞ . 2. 分数性质 若a＞b＞0，m＞0，则 （1）真分数性质： ＜ ； ＞ （b－m＞0）； （2）假分数性质： ＞ ； ＜ （b－m＞0）. 目 录 高中总复习·数学 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的 一种. （　√　） （2）若a＞b，则ac2＞bc2. （　×　） （3）若 ＞1，则a＞b. （　×　） （4）a＝b⇔ac＝bc. （　×　） √ × × × 目 录 高中总复习·数学 2. （人A必修一P43习题3（2）题改编）设M＝2a（a－2），N＝（a＋ 1）（a－3），则有（　　） A. M＞N B. M≥N C. M＜N D. M≤N 解析： 因为M－N＝2a（a－2）－（a＋1）（a－3）＝a2－2a＋3 ＝（a－1）2＋2＞0，所以M＞N. 故选A. √ 目 录 高中总复习·数学 3. （人A必修一P43习题8题改编）设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不 等式成立的是（　　） A. ac＞bc B. ＜ C. a2＞b2 D. a＋c＞b＋c 解析： 　对于选项A，当c≤0时，不等式ac＞bc不成立，故A不正确.对 于选项B，当a＞0，b＜0时，不等式 ＜ 不成立，故B不正确.对于选项 C，当a＝－1，b＝－2时，不等式a2＞b2不成立，故C不正确.选项D正 确，故选D. √ 目 录 高中总复习·数学 4. 已知2＜a＜3，1＜b＜2，则2a－b的取值范围是 ⁠. 解析：因为2＜a＜3，所以4＜2a＜6.又1＜b＜2，所以－2＜－b＜－1， 所以2＜2a－b＜5. （2，5）　 目 录 高中总复习·数学 5. 在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学 甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，同学甲、乙阅读量之和大于 丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和.那么这四名同学 按阅读量从大到小的顺序排列为 ⁠. 解析：由题意得，甲＋丙＝乙＋丁①，甲＋乙＞丙＋丁②，丁＞乙＋丙 ③，由①②可知，甲＋乙＋（甲＋丙）＞丙＋丁＋（乙＋丁），甲＋乙＋ （乙＋丁）＞丙＋丁＋（甲＋丙），可得甲＞丁，乙＞丙，由③知丁＞乙 且丁＞丙.所以甲＞丁＞乙＞丙. 甲＞丁＞乙＞丙　 目 录 高中总复习·数学 PART 02 考点·分类突破 精选考点 | 课堂演练 目 录 比较两个数（式）的大小（基础自学过关） 1. 设x，y，z的平均数为M，x与y的平均数为N，N与z的平均数为P. 若x＜y＜z，则M与P的大小关系是（　　） A. M＝P B. M＜P C. M＞P D. 不能确定 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由题意可知：M＝ ，N＝ ，P＝ ＝ ＝ ，则P－M＝ － ＝ ，因为x＜y ＜z，则z－x＞0，z－y＞0，可得P－M＝ ＞0，即M ＜P. 故选B. 目 录 高中总复习·数学 2. 已知0＜a＜ ，且M＝ ＋ ，N＝ ＋ ，则M，N的大小关 系是（　　） A. M＞N B. M＜N C. M＝N D. 不能确定 解析： 　∵0＜a＜ ，∴1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0.∴M－N＝ ＋ ＝ ＞0，∴M＞N. 故选A. √ 目 录 高中总复习·数学 3. 若a＝ ，b＝ ，c＝ ，则（　　） A. a＜b＜c B. c＜b＜a C. c＜a＜b D. b＜a＜c 解析： 　法一 易知a，b，c都是正数， ＝ ＝log8164＜1，∴a＞ b； ＝ ＝log6251 024＞1，∴b＞c.即c＜b＜a. 法二 构造函数f（x）＝ ，则f'（x）＝ ，由f'（x）＞0，得0＜x＜ e；由f'（x）＜0，得x＞e.∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋ ∞）上单调递减.∴f（3）＞f（4）＞f（5），即a＞b＞c. √ 目 录 高中总复习·数学 练后悟通 目 录 高中总复习·数学 不等式的基本性质（师生共研过关） （1）〔多选〕已知a，b∈R，则下列选项中能使 ＜ 成立的是 （　BD　） A. b＞a＞0 B. a＞b＞0 C. b＜0＜a D. b＜a＜0 BD 解析： 对于A，由b＞a＞0可得 ＞ ＞0，A错误；对于B，由a＞b ＞0可得 ＞ ＞0，B正确；对于C，由b＜0＜a可得 ＞0＞ ，C错误； 对于D，由b＜a＜0可得0＞ ＞ ，D正确.故选B、D. 目 录 高中总复习·数学 （2）〔多选〕设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等 式正确的是（　AD　） A. ac＜bc B. a－b＜c－d C. ad＞bc D. － ＞0 AD 目 录 高中总复习·数学 解析：对于A，因为a＞b＞0＞c，所以ac＜bc，故A正确；对于B，令a ＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，所以a－b＝1＝c－d，故B错误；对于 C，令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，所以ad＝－4＜bc＝－1，故C错 误；对于D，因为a＞b＞0＞c＞d，所以 ＞ ＞0，－d＞－c＞0，可得 － ＞－ ＞0，所以 － ＞0，故D正确.故选A、D. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 利用不等式的性质判断命题真假的两种方法 （1）直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说 法错误的，只需举出一个反例即可； （2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二 是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性. 目 录 高中总复习·数学 　〔多选〕已知a＞b＞0，b＞c，则下列不等式一定成立的是（　　） A. ＜ B. ac2＞bc2 C. ＜ D. a＋c＞b－c √ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　对于A，由a＞b＞0，得a2＞b2＞0，所以 ＞ ＞0，所以 ＜ ，则A正确；对于B，当c＝0时，ac2＝bc2，则B错误；对于C，由a ＞b，b＞c，得a－c＞b－c＞0，所以 ＜ ，则C正确；对于D， 当a＝2，b＝1，c＝－2时，a＋c＝0，b－c＝3，此时a＋c＜b－c， 则D错误.故选A、C. 目 录 高中总复习·数学 不等式性质的应用（师生共研过关） （1）（人A必修一P43习题5题改编）已知2＜a＜3，－1＜b＜5，则 a＋2b的取值范围是 ，ab的取值范围是 ⁠； 解析：∵2＜a＜3，－1＜b＜5，∴－2＜2b＜10，∴0＜a＋2b＜13；当 －1＜b＜0时，0＜－b＜1，∴0＜－ab＜3，则－3＜ab＜0，当0＜b＜5 时，0＜ab＜15，当b＝0时，ab＝0，综上，－3＜ab＜15. （0，13）　 （－3，15）　 目 录 高中总复习·数学 （2）若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证： ＞ . 证明：由于a＞b＞0，－c＞－d＞0，则a－c＞b－d＞0，则（a －c）2＞（b－d）2＞0，即 ＜ .又e＜0，则 ＞ . 目 录 高中总复习·数学 解题技法 1. 根据不等式的性质求取值范围的策略 （1）严格运用不等式的性质，注意其成立的条件； （2）同向不等式的两边可以相加，如果在解题过程中多次使用这种转 化，就会扩大其取值范围； （3）建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系，最后一次 性运用不等式的性质求得取值范围. 2. 利用不等式的性质证明简单的不等式的实质是根据性质把不等式进行变 形，要注意每个性质成立的条件. 目 录 高中总复习·数学 1. 已知－3＜a＜－2，2＜b＜4，则 的取值范围是 　（－2，－ ）　. 解析：∵－3＜a＜－2，∴－ ＜ ＜－ ，故 ＜－ ＜ .又∵2＜b＜4， ∴ ＜－ ＜2，则－2＜ ＜－ . 2. 若bc－ad≥0，bd＞0，求证： ≤ . 证明：∵bc≥ad， ＞0，∴ ≥ ， ∴ ＋1≥ ＋1，∴ ≤ . （－2，－ ）　 目 录 高中总复习·数学 PART 03 课时·跟踪检测 关键能力 | 课后练习 目 录 1. 已知a＞0，b＞0，M＝ ，N＝ ＋ ，则M与N的大小关系 为（　　） A. M＞N B. M＜N C. M≤N D. M，N大小关系不确定 解析： 　M2－N2＝（a＋b）－（a＋b＋2 ）＝－2 ＜0，∴M ＜N. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 2. 已知－3＜a＜－2，3＜b＜4，则 的取值范围为（　　） A. （1，3） B. （ ， ） C. （ ， ） D. （ ，1） 解析： 　因为－3＜a＜－2，所以4＜a2＜9，而3＜b＜4，即 ＜ ＜ ， 故 的取值范围为（1，3）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 3. 已知a＋b＜0，且a＞0，则下列不等式正确的是（　　） A. a2＜－ab＜b2 B. b2＜－ab＜a2 C. a2＜b2＜－ab D. －ab＜b2＜a2 解析： 　由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，且a＜－b.因为a2－（－ ab）＝a（a＋b）＜0，所以0＜a2＜－ab.又因为0＜a＜－b，所以0＜ －ab＜（－b）2，所以0＜a2＜－ab＜b2.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 4. （2025·宜荆适应性考试）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个 房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积 （单位：m2）分别为x，y，z，且x＞y＞z，三种颜色涂料的粉刷费用 （单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的 总费用（单位：元）是（　　） A. ax＋by＋cz B. az＋by＋cx C. ay＋bz＋cx D. ay＋bx＋cz √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 解析： 　ax＋by＋cz－（az＋by＋cx）＝a（x－z）＋c（z－x）＝ （a－c）（x－z）.∵x＞y＞z，a＜b＜c，∴a－c＜0，x－z＞0， ∴ax＋by＋cz＜az＋by＋cx.同理，ay＋bz＋cx－（ay＋bx＋cz）＝b （z－x）＋c（x－z）＝（b－c）（z－x）＞0，∴ay＋bz＋cx＞ay ＋bx＋cz，故只需再比较ax＋by＋cz与ay＋bx＋cz的大小即可.ax＋by ＋cz－（ay＋bx＋cz）＝a（x－y）＋b（y－x）＝（a－b）·（x－ y），∵a－b＜0，x－y＞0，∴（a－b）（x－y）＜0，∴ax＋by＋ cz＜ay＋bx＋cz，∴在不同的方案中，最低的总费用是（ax＋by＋cz） 元，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 5. 〔多选〕若a＜0＜b，且a＋b＞0，则（　　） A. ＞－1 B. ｜a｜＜｜b｜ C. ＋ ＞0 D. （a－1）（b－1）＜1 解析： 　对于A，∵a＋b＞0，∴a＞－b，又b＞0，∴ ＞－1， ∴A正确；对于B，∵a＋b＞0，∴b＞－a＞0，∴｜b｜＞｜a｜，∴B 正确；对于C，取b＝2，a＝－1满足a＜0＜b，且a＋b＞0，但 ＋ ＝ －1＋ ＝－ ＜0，∴C错误；对于D，∵a＜0＜b，且a＋b＞0，∴a＋b ＞0＞ab，∴（a－1）（b－1）＜1，∴D正确.综上，选A、B、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 6. 〔多选〕下列命题中正确的是（　　） A. ∃a，b∈R，｜a－2｜＋（b＋1）2≤0 B. ∀a∈R，∃x∈R，使得ax＞2 C. ab≠0是a2＋b2≠0的充要条件 D. 若a≥b＞0，则 ≥ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 解析： 　对于选项A，当a＝2，b＝－1时，｜a－2｜＋（b＋1）2≤0 成立，故A正确；对于选项B，当a＝0时，ax＞2不成立，故B错误；对于 选项C，当ab≠0时，a2＋b2≠0成立；当a2＋b2≠0时，如a＝1，b＝0， 此时ab＝0，故ab≠0不成立，也即“ab≠0”是“a2＋b2≠0”的充分不 必要条件，故C错误；对于选项D，当a≥b＞0时， ≥ 等价于a＋ ab≥b＋ab，显然成立，所以D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 7. 已知b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再添上m克糖（m＞0），则 糖水就变甜了.试根据此事实提炼一个不等式：当b＞a＞0且m＞0 时， ⁠. 解析：糖水变甜了，意味着含糖量变大了，即浓度变高了，所以当b＞a ＞0且m＞0时， ＞ . ＞ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 8. 若1＜α＜3，－4＜β＜2，则2α＋｜β｜的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：∵－4＜β＜2，∴0≤｜β｜＜4，又1＜α＜3，∴2＜2α＜6，∴2 ＜2α＋｜β｜＜10. （2， 10）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 9. 已知6＜a＜60，15＜b＜18，求a－b， 的取值范围. 解：因为6＜a＜60，15＜b＜18， 所以－18＜－b＜－15，所以－12＜a－b＜45. 又 ＜ ＜ ，则 ＜ ＜ ， 即 ＜ ＜4. 因为 ＝ ＋1，所以 ＜ ＜5. 综上，a－b的取值范围为（－12，45）， 的取值范围为（ ，5）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 10. 若a＞0，b＞0，则p＝（ab 与q＝abba的大小关系是（　　） A. p≥q B. p≤q C. p＞q D. p＜q 解析： 　 ＝ ＝ ＝（ ，若a＞b＞0，则 ＞ 1，a－b＞0，∴ ＞1；若0＜a＜b，则0＜ ＜1，a－b＜0，∴ ＞1； 若a＝b，则 ＝1，∴p≥q.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 11. “x＞y＞0”是“x－ ＞y－ ”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由题得，x－ －（y－ ）＝ － ＝ .又x ＞y＞0.所以x－ －（y－ ）＞0，即x－ ＞y－ .充分性成立.显然， 当x＝2，y＝－1时，x－ ＞y－ 成立，所以必要性不成立.故“x＞y＞ 0”是“x－ ＞y－ ”的充分不必要条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 12. 〔多选〕已知a＞b＞0，给出下列四个不等式.其中一定成立的不等式 为（　　） A. a2＞b2 B. 2a＞2b－1 C. ＞ － D. a3＋b3＞2a2b 解析： 　由a＞b＞0，可得a2＞b2，A成立；由a＞b＞0，可得a＞b －1，而函数f（x）＝2x在R上是增函数，所以f（a）＞f（b－1），即 2a＞2b－1，B成立；因为a＞b＞0，所以 ＞ ，所以（ ）2－ （ － ）2＝2 －2b＝2 （ － ）＞0，所以 ＞ － ，C成立；若a＝3，b＝2，满足a＞b＞0，则a3＋b3＝35，2a2b＝ 36，a3＋b3＜2a2b，D不成立，故选A、B、C. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 13. 设f（x）＝ax2＋bx，且1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4，则f（－ 2）的取值范围是 ⁠. 解析：法一（待定系数法） f（1）＝a＋b，f（－1）＝a－b，设f（－ 2）＝4a－2b＝m（a－b）＋n（a＋b），则f（－2）＝（m＋n）a＋ （－m＋n）b，所以 解得 所以f（－2）＝3 （a－b）＋（a＋b）.因为1≤a－b≤2，所以3≤3（a－b）≤6.又 2≤a＋b≤4，所以5≤3（a－b）＋（a＋b）≤10，即5≤f（－2） ≤10. [5，10]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 法二（换元法） 设 则a＝ ，b＝ .所以f（－2）＝ 4a－2b＝2（m＋n）－（n－m）＝3m＋n，而1≤m＝a－b＝f（－1） ≤2，2≤n＝a＋b＝f（1）≤4，所以5≤f（－2）≤10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 14. （1）设n是正整数，求证： ≤ ＋ ＋…＋ ＜1； 解：证明：由2n≥n＋k＞n（k＝1，2，…，n），得 ≤ ＜ . 当k＝1时， ≤ ＜ ； 当k＝2时， ≤ ＜ ； … 当k＝n时， ≤ ＜ . ∴ ＝ ≤ ＋ ＋…＋ ＜ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 （2）已知a＞0且a≠1，比较 与 的大小. 解： ∵ － ＝ ， ∴当a＞1时，－2a＜0，a2－1＞0，则 ＜0，即 ＜ ； 当0＜a＜1时，－2a＜0，a2－1＜0，则 ＞0，即 ＞ . 综上，a＞1时， ＜ ；0＜a＜1时， ＞ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 15. （新定义）设a，b∈R，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a⊗b＝ a⊕b＝ 若m⊗n≥2，p⊕q≤2，则（　　） A. mn≥4且p＋q≤4 B. m＋n≥4且pq≥4 C. mn≤4且p＋q≥4 D. m＋n≤4且pq≤4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 解析： 　结合定义及m⊗n≥2可得 或 即n≥m≥2或 m＞n≥2，所以mn≥4，m＋n≥4；结合定义及p⊕q≤2，可得 或 即q＜p≤2或p≤q≤2，所以pq≤4，p＋q≤4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 16. （开放创新题）若a＞b＞0，c＜d＜0，｜b｜＞｜c｜. （1）求证：b＋c＞0； 解： 证明：因为｜b｜＞｜c｜，且b＞0，c＜0，所以b＞－c，所 以b＋c＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 （2）求证： ＜ ； 解： 证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0. 又a＞b＞0，所以由同向不等式的可加性可得a－c＞b－d＞0， 所以（a－c）2＞（b－d）2＞0， 所以0＜ ＜ . ① 因为a＞b，d＞c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d＞b＋c， 所以a＋d＞b＋c＞0. ② ①②相乘得 ＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 （3）在（2）的不等式中，能否找到一个代数式，满足 ＜所求式 ＜ ？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由. 解： 由（2）知：a＋d＞b＋c＞0，0＜ ＜ ， ＜ ， 所以 ＜ ＜ 或 ＜ ＜ . 所以 ， 均为所求代数式.（只要写出一个即可） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 THANKS 演示完毕 感谢观看 $