第七章 第一节 基本立体图形及表面积与体积-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦立体几何核心考点，覆盖柱锥台球的结构特征、表面积与体积计算、直观图与展开图三大课标要求，对接高考评价体系梳理考点权重，如体积计算占比达35%，归纳结构辨析、体积计算、展开图最短路径等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，以2023新高考Ⅰ卷正四棱台体积题为例，用分割法、补形法突破空间几何体体积计算，培养学生空间观念与运算能力，设置直观图面积关系等易错警示，帮助学生掌握得分技巧，助力教师精准教学，提升高考冲刺效率。

第一节　基本立体图形及表面积与体积 高中总复习·数学 课标要求 1. 认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现 实生活中简单物体的结构. 2. 知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决 简单的实际问题. 3. 能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其 简单组合）的直观图. 目 录 CONTENTS 知识·逐点夯实 01. 考点·分类突破 02. 课时·跟踪检测 03. PART 01 知识·逐点夯实 必备知识 | 课前自修 目 录 1. 基本立体图形 （1）多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 目 录 高中总复习·数学 名称 棱柱 棱锥 棱台 底面 互相 ⁠ 且 ⁠ 多边形 互相 且 ⁠ ⁠ 侧棱 互相 ⁠ 且 ⁠ 相交于一点，但不一定 相等 延长线交于 ⁠ 侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形 平行　 全等　 平行　 相 似　 平行　 相等　 一点　 目 录 高中总复习·数学 提醒 常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系 目 录 高中总复习·数学 （2）旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相 等， ⁠于 底面 长度 ⁠且 相交于一点 长度相等且延长线 交于 ⁠ 垂直　 相等　 一点　 目 录 高中总复习·数学 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 轴截面 全等的 ⁠ 全等的 ⁠ ⁠ 全等的 ⁠ ⁠ 圆面 侧面 展开图 矩形 扇形 扇环 矩形 等腰三 角形 等腰梯 形 目 录 高中总复习·数学 2. 立体图形的直观图 （1）画法：常用斜二测画法； （2）规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的 夹角为 （或 ），z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直； ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和 z轴的线段在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段长度在直观 图中变为原来的 ⁠. 45°　 135°　 不变　 一半　 目 录 高中总复习·数学 3. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面 积公式 S圆柱侧＝ ⁠ S圆锥侧＝ ⁠ S圆台侧＝ ⁠ 2πrl　 πrl　 π（r＋r'）l 目 录 高中总复习·数学 4. 空间几何体的表面积与体积公式 　　名称 几何体　　 表面积 体积 柱体（棱柱和圆柱） S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体（棱锥和圆锥） S表面积＝S侧＋S底 V＝ ⁠ Sh　 目 录 高中总复习·数学 　　名称 几何体　　 表面积 体积 台体（棱台和圆台） S表面积＝S侧＋S上＋ S下 V＝ ⁠ ⁠ 球 S＝4πR2 V＝ ⁠ 提醒 几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所 有底面面积之和. （S上＋S下＋　　 ）h　 πR3　 目 录 高中总复习·数学 1. 原图形与直观图面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图面积与原图形面积的关系： （1）S直观图＝ S原图形；（2）S原图形＝2 S直观图. 2. 与体积有关的几个结论 （1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差； （2）底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等（祖暅原理）. 目 录 高中总复习·数学 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱. （　×　） （2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥. （　×　） （3）菱形的直观图仍是菱形. （　×　） （4）圆锥的任意一个轴截面都是全等的等腰三角形. （　√　） × × × √ 目 录 高中总复习·数学 2. （人A必修二P106习题8题改编）如图，长方体ABCD-A'B'C'D'被截去体积较小的一部分，其中EH∥A'D'∥FG，则剩下的几何体是（　　） A. 棱台 B. 四棱柱 C. 五棱柱 D. 六棱柱 解析： 　由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱. √ 目 录 高中总复习·数学 3. （人A必修二P111习题1题改编）下列说法正确的是（　　） A. 相等的角在直观图中仍然相等 B. 相等的线段在直观图中仍然相等 C. 正方形的直观图是正方形 D. 若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 解析： 　由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的 平行关系不变，正方形的直观图是平行四边形. √ 目 录 高中总复习·数学 4. （人A必修二P119习题2题改编）如图，把一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为 ⁠. 1∶47 解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1 ＝ × × a× b× c＝ abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－ abc ＝ abc，所以V1∶V2＝1∶47. 目 录 高中总复习·数学 5. 已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆 的半径为 cm. 解析：设圆锥底面圆的半径为r cm，母线长为l cm，依题意得2πr＝πl， ∴l＝2r，S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2 （cm）. 2 目 录 高中总复习·数学 PART 02 考点·分类突破 精选考点 | 课堂演练 目 录 基本立体图形（定向精析突破） 考向1　结构特征 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. 底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 D. 如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体 √ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　若底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则该四棱 柱底面为正方形，且侧棱垂直于底面，所以该四棱柱为正四棱柱，故A正 确；棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行 且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长 后不一定交于一点，故B错误；当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是 360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误； 若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符 合长方体的定义，故D正确. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 辨别空间几何体的两种方法 目 录 高中总复习·数学 考向2　直观图 已知在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝ ，下底 AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A'B'C'D'的 面积为 ⁠. 　 目 录 高中总复习·数学 解析：法一 实际图形和直观图 如图1和图2所示.因为OE＝ ＝1，由斜二测画 法可知O'E'＝ ，E'F＝ ，D'C' ＝1，A'B'＝3，则直观图A'B'C'D'的面积S'＝ × ＝ . 法二 因为OE＝ ＝1，S原图形＝ ×1＝2，故S直观图＝ ×2＝ . 目 录 高中总复习·数学 解题技法 　　在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段的位置.平行于x轴的线段 的平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段的平行性不变，长度减半. 目 录 高中总复习·数学 考向3　展开图 如图，在正三棱锥S-ABC中，∠BSC＝40°，BS＝2，一质点自点 B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　将三棱锥S-ABC沿侧棱BS展开，其侧面展开图 如图所示.一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周 回到点B的最短路线的长为BB'，根据余弦定理得BB'＝ ＝2 . 目 录 高中总复习·数学 解题技法 1. 多面体表面展开图由剪开的位置不同可以有不同的形状，但图形面积相 等.借助展开图可以求几何体的表面积及表面上两点间的距离，还可将部 分空间问题转化为平面问题. 2. 旋转体表面展开图一般沿母线剪开，多面体表面展开图一般沿某些棱展 开，注意球无法展开成平面图形. 目 录 高中总复习·数学 1. 〔多选〕下面关于空间几何体的叙述正确的是（　　） A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B. 用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 C. 长方体是直平行六面体 D. 存在每个面都是直角三角形的四面体 √ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　当顶点在底面的投影是正多边形的中心时 才是正棱锥，故A不正确；当平面与圆柱的母线平行或 垂直时，截得的截面才为圆或矩形，否则为椭圆或椭圆 的一部分，故B不正确；长方体是直平行六面体，故C正 确；如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形，故D正确. 目 录 高中总复习·数学 2. 如图，一个水平放置的平面图形由斜二侧画法得到的直观图A'B'C'D'是 边长为2的菱形，且O'D'＝2，则原平面图形的周长为（　　） A. 4 ＋4 B. 4 ＋4 C. 8 D. 8 解析： 　根据题意，把直观图还原成原平面图形，如 图所示，其中OA＝2 ，OD＝4，AB＝CD＝2，则 AD＝ ＝2 ，故原平面图形的周长为2＋2＋ 2 ＋2 ＝4 ＋4. √ 目 录 高中总复习·数学 3. 某圆柱的高为2，底面周长为16，M，N分别是圆柱上、下底面圆周上 的两点，其中ME垂直于底面，OE⊥ON，如图所示，则在此圆柱侧面 上，从M到N的路径中，最短路径的长度为 ⁠. 解析：圆柱的侧面展开图及M，N的位置（N为EE'的四等 分点）如图所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最 短路径.EN＝ ×16＝4，EM＝2，∴MN＝ ＝ ＝2 . 2 目 录 高中总复习·数学 空间几何体的表（侧）面积（师生共研过关） （人A必修二P120习题6题改编）如图所示为某工厂内一手电筒最初 模型的组合体，该组合体是由一个圆台和一个圆柱组成的，其中O为圆台 下底面圆心，O2，O1分别为圆柱上、下底面的圆心，经实验测量得到圆柱 上、下底面圆的半径为2 cm，O1O2＝5 cm，OO1＝4 cm，圆台下底面圆半 径为5 cm，则该组合体的表面积为（　　） A. 42π cm2 B. 84π cm2 C. 36π cm2 D. 64π cm2 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由题知，圆柱的上底面面积为4π cm2，圆柱的侧面积为4π×5＝ 20π（cm2），圆台的下底面面积为25π cm2，圆台的母线长为 ＝5（cm），所以圆台的侧面积为π（2＋5）×5＝35π （cm2），则该组合体的表面积为4π＋20π＋25π＋35π＝84π（cm2）. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 求解几何体表面积的类型及方法 （1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利 用求平面图形面积的方法求多面体的表面积； （2）求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手， 将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开 图中的边长关系； （3）求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、 锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和 或作差，求出所给几何体的表面积. 目 录 高中总复习·数学 如图所示，已知三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面都是等腰直角三角形， CC1⊥平面ABC，AC＝2，A1C1＝1，CC1＝1，则这个三棱台的侧面积为 （　　） A. B. C. D. 3＋2 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　因为CC1⊥平面ABC，AC，CB⊂平面ABC，所以CC1⊥AC， CC1⊥CB，又AC＝2，A1C1＝1，CC1＝1，所以 ＝ ＝ ×（1＋2）×1＝ ，在梯形A1ABB1中，易知A1B1＝ ，AB＝2 ， AA1＝BB1＝ ，所以 ＝ （ ＋2 ）× ＝ ，所 以这个三棱台的侧面积S侧＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ . 目 录 高中总复习·数学 空间几何体的体积（师生共研过关） （1）（2023·新高考Ⅰ卷14题）在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB ＝2，A1B1＝1，AA1＝ ，则该棱台的体积为 　　​ 　　； ​ 目 录 高中总复习·数学 解析： 法一 如图所示，设点O1，O分别为正 四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接 B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中 点，连接O1O，则O1O即为正四棱台ABCD- A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E， 则B1E＝O1O. 因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝ ，O1B1＝ ，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝ ，又AA1＝ ，所以BB1＝ ，B1E＝ ＝ ＝ ，所以O1O＝ ，所 以 ＝ ×（22＋12＋ ）× ＝ . 目 录 高中总复习·数学 法二 如图，将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形成正 四棱锥P-ABCD，因为AB＝2，A1B1＝1， AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB， PC，PD的中点，又A1A＝ ，所以PA＝2 ， 即PB＝2 .连接BD，取BD的中点为O，连接 PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝ ，所以PO＝ ＝ ，所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为 ，所以 ＝ ×（22＋12＋ ）× ＝ . 目 录 高中总复习·数学 （2）棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的 中点，则三棱锥A1-D1MN的体积为 ⁠； 解析： 如图，由正方体棱长为2及M，N分别为 BB1，AB的中点，得 ＝2×2－2× ×2×1－ ×1×1＝ ，又易知D1A1为三棱锥D1-A1MN的高，且 D1A1＝2，所以 ＝ ＝ · ·D1A1＝ × ×2＝1. 1 目 录 高中总复习·数学 （3）如图所示，已知多面体ABC-DEFG中，AB，AC，AD两两互相垂 直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝ 2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为 ⁠. 4 目 录 高中总复习·数学 解析： 法一（分割法） 因为几何体有两对相对面 互相平行，如图所示，过点C作CH⊥DG于H，连接 EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个 斜三棱柱BEF-CHG. 由题意，知V三棱柱DEH-ABC＝ S△DEH×AD＝（ ×2×1）×2＝2，V三棱柱BEF-CHG＝ S△BEF×DE＝（ ×2×1）×2＝2.故所求几何体的体积为V多面体ABC-DEFG＝2＋2＝4. 法二（补形法） 因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的一半.又正方体的体积V＝23＝8，故所求几何体的体积为V多面体ABC-DEFG＝ ×8＝4. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 求空间几何体的体积的三种方法 目 录 高中总复习·数学 1. （2025·八省联考）底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（　　） A. π B. π C. 2π D. 3π 解析： 　由题可知圆锥的底面半径R＝1，母线长l＝2，高h＝ ＝ ＝ ，∴圆锥的体积为V＝ πR2h＝ π.故选A. √ 目 录 高中总复习·数学 2. 如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是10和16，则容器内液体的体积是（　　） A. 36π B. 39π C. 42π D. 45π √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　将含液体部分的几何体补成如图所示的圆柱，过M作 底面的平行平面，与过N的母线交于点S，连接MS，由题意知 ∠MNS＝30°，则MS＝6× ＝2 ，故圆柱的底面半径为 ，则容器内液体的体积为 ×（10＋16）×π×（ ）2＝ 13×π×3＝39π.故选B. 目 录 高中总复习·数学 PART 03 课时·跟踪检测 关键能力 | 课后练习 目 录 1. 下列说法正确的是（　　） A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B. 球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段 C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 22 23 24 25 目 录 高中总复习·数学 解析： 　虽然各侧面都是正方形，但底面可能是菱形，所以该四棱柱不 一定是正方体，故A错误；球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经 过球心的线段”，故B正确；以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一 周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得 的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C错误；用一个平行于底 面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误. 目 录 高中总复习·数学 2. 若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图， 其中A'C'∥O'B'，A'C'⊥B'C'，A'C'＝1，O'B'＝2，则原四边形中AO的长度 为（　　） A. B. 2 C. 2 D. √ 解析： 　过点A'作A'D'⊥O'B'，垂足为D'.因为A'C'∥O'B'，A'C'⊥B'C'，A'C'＝1，O'B'＝2，所以O'A'＝ ＝ ，所以原四边形中AO的长度为2O'A'＝2 .故选B. 目 录 高中总复习·数学 3. （2024·新高考Ⅰ卷5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等， 且它们的高均为 ，则圆锥的体积为（　　） A. 2 π B. 3 π C. 6 π D. 9 π 解析： 　设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为 ，而 它们的侧面积相等，所以2πr× ＝πr× ，即2 ＝ ， 故r＝3，故圆锥的体积为 π×9× ＝3 π.故选B. √ 目 录 高中总复习·数学 4. （2025·北京东城一模）《天工开物》是我国明代科学 家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一 种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为 同学们准备了制瓦用的黏土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底 面外圆的直径为20 cm，高为20 cm.首先，在圆桶的外侧面 均匀包上一层厚度为2 cm的黏土，然后，沿圆桶母线方向将黏土层分割成四等份（如图），等黏土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四 片瓦，全年级共500人，需要准备的黏土量（不计损耗）约为（参考数 据：π≈3.14）（　　） A. 0.8 m3 B. 1.4 m3 C. 1.8 m3 D. 2.2 m3 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由条件可得四片瓦的体积V＝π×122×20－π×102×20＝880π （cm3），所以500名学生，每人制作4片瓦共需黏土的体积为500×880π＝ 440 000π（cm3），又π≈3.14，所以共需黏土的体积约为1.381 6≈1.4 m3， 故选B. 目 录 高中总复习·数学 5. 如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（　　） A. 24－3π B. 24－π C. 24＋π D. 24＋5π 解析： 　由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个 顶点为球心，2为半径的 个球后的剩余部分，则其表面积为6×22－3× ×π×22＋ ×4×π×22＝24－π. √ 目 录 高中总复习·数学 6. 〔多选〕（2022·新高考Ⅱ卷11题改编）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，P是BB1上一点，且BP＝2B1P，记三棱锥A1-B1C1P，四棱锥P-ACC1A1，三棱锥C-ABP的体积分别为V1，V2，V3，则（　　） A. V3＝2V1 B. V3＝V2 C. V2＝2（V1＋V3） D. 2V3＝3V1 √ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由题可知V1＝ ＝ ＝ ·B1P，V2 ＝ ＝ －（V1＋V3），V3＝VC-ABP＝VP-ABC＝ S△ABC·BP，根据三棱柱的性质易得S△ABC＝ ，又BP＝2B1P，所 以V3＝2V1，A正确，D错误；因为 ＝ ·BB1＝3（ S△ABC·B1P＋ S△ABC·BP）＝3（V1＋V3），所以V2＝3（V1＋V3）－（V1 ＋V3）＝2（V1＋V3），B错误，C正确. 目 录 高中总复习·数学 7. 一个六棱锥的体积为2 ，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相 等，则该六棱锥的侧面积为 ⁠. 解析：一个六棱锥的体积为2 ，其底面是边长为2的正 六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高 为h，则 ×6× ×22·h＝2 ，∴h＝1，棱锥的斜高 为 ＝ ＝2，该六棱锥的侧面积为6× ×2×2＝12. 12 目 录 高中总复习·数学 8. （2025·吕梁一模）已知圆台O1O2的高为3，中截面（过高的中点且垂直 于轴的截面）的半径为3，若中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1∶2 的两部分，则该圆台的母线长为 ⁠. 解析：设圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R，因为 中截面的半径为3，所以根据梯形中位线性质可知：r＋ R＝6.又中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1∶2的两部分，所以根据圆台侧面积公式可知： ＝ ＝ ，解得r＝1，所以R＝5.又圆台的高为3，所以圆台的母线长为 ＝ ＝5. 5 目 录 高中总复习·数学 9. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝ ，CC1＝ ， 动点M在棱CC1上，连接MA，MD1，则MD1＋MA的最小值为 ⁠. ​ 目 录 高中总复习·数学 解析：由题意，将平面DCC1D1展开到矩形ACC1A1所在平面，结合展开图 可知当A，M，D1三点共线时，MD1＋MA取得最小值，最小值为展开图 中D1A的长度.因为AC＝ ＝2，CD＝1，所以展开图中AD＝ 3.又因为DD1＝CC1＝ ，所以展开图中D1A＝ ＝ . 目 录 高中总复习·数学 10. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a（a＞1），动点E，F在棱 A1B1上，动点P，Q分别在棱CD，AD上，若EF＝1，A1F＝x，DP＝ y，DQ＝z（x，y，z均大于零），则四面体PEFQ的体积（　　） A. 与x，y，z都有关 B. 与x有关，与y，z无关 C. 与y有关，与x，z无关 D. 与z有关，与x，y无关 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由四面体PEFQ的一个面△PEF的面积不变，即S△PEF＝ ·EF· a＝ a为定值，且△PEF在面A1B1CD内，所以点Q到△PEF 的距离就是点Q到平面A1B1CD的距离.设点Q到平面A1B1CD的距离为 d，由题意知d随z的变化而变化，又V四面体PEFQ＝ S△PEF·d，所以V四面体 PEFQ与d有关，即与z有关，与x，y无关. 目 录 高中总复习·数学 11. （2024·天津一模）在各棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，上、下 底面的中心分别为D，H，三个侧面的中心分别为E，F，G，若在该三 棱柱中挖去两个三棱锥D-EFG和H-EFG，则剩余部分的体积为（　　） A. B. C. D. √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　如图所示，因为三个侧面的中心分别为E，F， G，所以三棱锥D-EFG和三棱锥H-EFG的底面EFG面积 为 S△ABC，高为正三棱柱的高的一半，故挖去的几何体的 体积为2× × × ×2×2 sin 60°×1＝ ，三棱柱的体积 为 ×2×2 sin 60°×2＝2 ，故剩余几何体的体积为2 － ＝ .故选A. 目 录 高中总复习·数学 12. 一个底面半径为2的圆锥的轴截面为正三角形，现用平行于底面的平面 将该圆锥截成两个部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在圆锥上的 截面面积为（　　） A. 3π B. 2 π C. 2 π D. 2π √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由题知，平面截圆锥后上半部分为一小圆锥， 下半部分为一圆台，且圆台的上底面即小圆锥的底面， 即该平面在原圆锥上的截面；圆台的下底面即原圆锥 的底面.不妨设圆台上底面半径为r1，圆台下底面半径 为r2，小圆锥母线长为l1，原圆锥母线长为l2，由轴截面为正三角形知， ＝ ＝2，则小圆锥底面积为π ，底面周长为2πr1，侧面积为l1·πr1＝ 2π ，易知圆台侧面积可看作原圆锥侧面积减去小圆锥侧面积，则圆台侧 面积为2π（ － ），下底面积为π ，由于两部分表面积相等，则π ＋2π ＝π ＋π ＋2π（ － ）⇒ ＝ ，因为r2＝2，则r1＝ ， 所以截面面积为3π，故选A. 目 录 高中总复习·数学 13. 在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM＝ PC，线段PB上的 点N满足PN＝ PB，则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为 （　　） A. B. C. D. √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 如图，连接NC. 以A为顶点，三棱锥A-PMN 与三棱锥A-PNC的高相同，底面分别为△PMN和 △PNC，分别以PM和PC为底边，则这两个三角形的高 相同，S△PMN∶S△PNC＝PM∶PC＝1∶3，所以V三棱锥A- PMN∶V三棱锥A-PNC＝1∶3，即V三棱锥A-PMN＝ V三棱锥A-PNC. 同理，以C为顶点，三棱锥C-PAN与三棱锥C-PAB的高相同，底面分别为△PAN和△PAB，且S△PAN∶S△PAB＝PN∶PB＝2∶3，所以V三棱锥C-PAN∶V三棱锥C-PAB＝2∶3，即V三棱锥C-PAN＝ V三棱锥C-PAB. 所以V三棱锥A-PMN＝ V三棱锥A-PNC＝ × V三棱锥C-PAB＝ V三棱锥C-PAB，即V三棱锥P-AMN＝ V三棱锥P-ABC. 故选B. 目 录 高中总复习·数学 14. 〔多选〕如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1， ∠ABC＝90°，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点， 下列判断正确的是（　　） A. 直三棱柱的侧面积是4＋2 B. 直三棱柱的体积是 C. 三棱锥E-AA1O的体积为定值 D. AE＋EC1的最小值为2 √ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝ BC＝1，∠ABC＝90°，△ABC和△A1B1C1是等腰直 角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋ ×2＝4＋2 ，故A正确；直三棱柱的体积为 V＝S△ABC·AA1＝ ×1×1×2＝1，故B不正确；如图1所示，由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点，所以三棱 锥E-AA1O的高为定值 ， ＝ × ×2＝ ， 所以 ＝ × × ＝ ，故C正确；将侧 面AA1B1B和BB1C1C展开到一个平面上，则四边形AA1C1C为边长为2的正方形，如图2所示.则AC1即为所求AE＋EC1的最小值，AC1＝ ＝2 ，故D正确. 目 录 高中总复习·数学 15. （创新考法）〔多选〕（2024·甘肃二诊）如图所示，长方体ABCD- EFGH的表面积为6，AE＝1，则（　　） A. 该长方体不可能为正方体 B. 该长方体体积的最大值为1 C. 若长方体下底面的一条边长为2，则三棱锥H-AFC的体 积为 D. 该长方体外接球表面积的最小值为3π √ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　对于A，当长方体的所有棱长都为1时，表面积为6，此时 该长方体为正方体，错误.对于B，设AD＝a，AB＝b，则2（ab＋a＋ b）＝6，ab＋a＋b＝3，V长方体＝ab·1＝ab＝3－（a＋b）≤3－ 2 ，解得0＜ab≤1，当且仅当a＝b时取“＝”，故长方体体积的最 大值为1，正确.对于C，当长方体底面的一条边长为2时，可得与其相 邻的边长为 ，VH-AFC＝V长方体－4VF-ABC＝2× ×1－4× ×2× × ×1＝ ，错误.对于D，设AD＝a，AB＝b.长方体外接球的直径为其体 对角线，长为 ， 目 录 高中总复习·数学 S球＝4πR2＝4π（ ）2＝π（a2＋b2＋1），∵a＋b≥2 ＝ 2 ，∴（a＋b）2≥4[3－（a＋b）]，解得a＋b≥2，当 且仅当a＝b时取“＝”，又 ≥ ，∴a2＋b2≥2，当且仅当a ＝b时取“＝”，∴外接球表面积的最小值为3π，正确.故选B、D. 目 录 高中总复习·数学 16. （创新知识交汇）（2025·晋城一模）若一个正n棱台的棱数大于15， 且各棱的长度构成的集合为{2，3}，则n的最小值为 ，该棱台各 棱的长度之和的最小值为 ⁠. 解析：根据正棱台的结构特征可知，正n棱台的总棱数为3n（n≥3， n∈N*），则3n＞15，得n＞5，所以n的最小值为6.要想各棱长之和最 小，则棱数总和要最小，故n＝6，又因为棱台的上、下底面边长不相等， 所以可取上底面边长为2，下底面边长为3，要使各棱长之和最小，则侧棱 长取2，故该棱台各棱的长度之和的最小值为2×12＋3×6＝42. 6 42 目 录 高中总复习·数学 THANKS 演示完毕 感谢观看 $