第七章 第四节 直线、平面平行的判定与性质-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用课件

第四节　直线、平面平行的判定与性质 高中总复习·数学 课标要求 1. 了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的关系，归纳出 有关平行的性质定理和判定定理，并加以证明. 2. 能用基本事实、定理和已获得的结论证明空间基本图形平行关系的简单 命题. 目 录 CONTENTS 知识·逐点夯实 01. 考点·分类突破 02. 课时·跟踪检测 03. PART 01 知识·逐点夯实 必备知识 | 课前自修 目 录 1. 直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果平面 ⁠一条直线与此 平面 的一条直线平行， 那么该直线与此平面平行（简 记为“线线平行⇒线面平行”） ​ ⇒a∥α 外　 内　 ​ 目 录 高中总复习·数学 文字语言 图形语言 符号语言 性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果 过该直线的平面与此平面 ⁠ ，那么该直线与交线平行 （简记为“线面平行⇒线线平 行”） ​ ⇒a∥b 相 交　 ​ 目 录 高中总复习·数学 2. 面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面内的两条 ⁠ 与另一个平面平行，那 么这两个平面平行（简记为 “线面平行⇒面面平行”） ​ 相交 直线　 ​ ⇒β∥α 目 录 高中总复习·数学 文字语言 图形语言 符号语言 性质 定理 两个平面平行，如果另一个平 面与这两个平面 ，那 么 ⁠平行 ​ ⇒a∥b 相交　 两条交线　 ​ 目 录 高中总复习·数学 1. 两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 2. 夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. 3. 两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. 4. 如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 目 录 高中总复习·数学 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若一条直线和一个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面 平行. （　×　） （2）若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数 条. （　×　） （3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平 行. （　×　） （4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异 面. （　√　） × × × √ 目 录 高中总复习·数学 2. （人A必修二P143习题1题改编）如果直线a∥平面α，那么直线a与平 面α内的（　　） A. 一条直线不相交 B. 两条直线不相交 C. 无数条直线不相交 D. 任意一条直线都不相交 解析： 　因为直线a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此直线a与 平面α内的任意一条直线都不相交. √ 目 录 高中总复习·数学 3. 平面α与平面β平行的充分条件可以是（　　） A. α内有无穷多条直线与β平行 B. 直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内 C. 直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α D. α内的任何一条直线都与β平行 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　对于A，α内有无穷多条直线与β平行，并不能保证平面α内有 两条相交直线与平面β平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错 误；对于B，直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，当直 线a平行于平面α与平面β的相交直线时满足上述条件，但平面α与平面 β不平行，故B错误；对于C，直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β， b∥α，当直线a∥b时，不能保证平面α与平面β平行，故C错误；对于 D，α内的任何一条直线都与β平行，则α内至少有两条相交直线与平面 β平行，所以平面α与平面β平行，故D正确. 目 录 高中总复习·数学 4. （苏教必修二P179练习5题改编）〔多选〕如图，在长方体ABCD- A'B'C'D'的六个面所在的平面中，与AB平行的平面是（　　） A. 平面A'B'C'D' B. 平面DCC'D' C. 平面BCC'B' D. 平面A'D'DA 解析：AB　由于AB∥A'B'，AB⊄平面A'B'C'D'，A'B'⊂平面A'B'C'D'，所 以AB∥平面A'B'C'D'，故A符合.同理证得AB∥平面DCC'D'，故B符合.而 AB∩平面BCC'B'＝B，AB∩平面A'D'DA＝A，故C、D不符合. √ √ 目 录 高中总复习·数学 5. （人A必修二P138例3改编）如图是长方体被一平面所截得的几何体， 四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为 ⁠. 解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面DCGH＝ HG，且平面EFGH∩平面ABFE＝EF，所以EF∥HG，同理EH∥FG， 所以四边形EFGH是平行四边形. 平行四边形 目 录 高中总复习·数学 PART 02 考点·分类突破 精选考点 | 课堂演练 目 录 直线与平面平行的判定与性质（定向精析突破） 考向1　直线与平面平行的判定与证明 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝ AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点.求证：BE∥平面PAD. 目 录 高中总复习·数学 证明：法一 如图1，取PD的中点F，连接EF，FA. 由题意知EF为△PDC的中位线， ∴EF∥CD，且EF＝ CD＝2. 又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4， ∴AB􀰿EF， ∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF. 又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD， ∴BE∥平面PAD. 法二 如图2，延长DA，CB相交于点H，连接PH， ∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4， 目 录 高中总复习·数学 ∴ ＝ ＝ ，即B为HC的中点， 又E为PC的中点，∴BE∥PH， 又BE⊄平面PAD，PH⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD. 法三 如图3，取CD的中点H，连接BH，HE， ∵E为PC的中点，∴EH∥PD， 又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴EH∥平面PAD， 又由题意知AB􀰿DH， ∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD， 目 录 高中总复习·数学 又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD， ∴BH∥平面PAD， 又BH∩EH＝H，BH，EH⊂平面BHE， ∴平面BHE∥平面PAD， 又BE⊂平面BHE，∴BE∥平面PAD. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 线面平行的证明方法 目 录 高中总复习·数学 考向2　直线与平面平行的性质 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，E为PB的中点，F是PC 上的点，且EF∥平面PAD，证明：F为PC的中点. 目 录 高中总复习·数学 证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面 PAD， 所以BC∥平面PAD. 因为P∈平面PBC，P∈平面PAD， 所以可设平面PBC∩平面PAD＝PM， 又因为BC⊂平面PBC，所以BC∥PM. 因为EF∥平面PAD，EF⊂平面PBC，所以 EF∥PM，从而得EF∥BC. 因为E为PB的中点，所以F为PC的中点. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 线面平行性质的应用 　　证明线线平行，常常将线面平行转化为该线与过该线的一个平面和已 知平面的交线平行. 提醒 应用线面平行的判定定理和性质定理时，一定要注意定理成立的条 件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤. 目 录 高中总复习·数学 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点. （1）求证：AM∥平面BDE； 解： 证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE. 因为O，M分别为AC，EF的中点，且四边形ACEF是矩 形，所以EM∥OA且EM＝OA， 所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE， 又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， 所以AM∥平面BDE. 目 录 高中总复习·数学 （2）若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l 与m的位置关系，并证明你的结论. 解： l∥m，证明如下： 由（1）知AM∥平面BDE， 又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l， 所以l∥AM，同理，AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面 BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m. 目 录 高中总复习·数学 平面与平面平行的判定及性质（师生共研过关） 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形. 目 录 高中总复习·数学 （1）求证：平面A1BD∥平面CD1B1； 证明： 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥AD，且A1D1＝AD， AD∥BC，AD＝BC， 所以A1D1∥BC，且A1D1＝BC， 所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C. 又因为A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1， 所以A1B∥平面CD1B1. 同理，A1D∥平面CD1B1. 又因为A1B∩A1D＝A1，且A1B，A1D⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平 面CD1B1. 目 录 高中总复习·数学 （2）若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，求证：B1D1∥l. 证明： 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面A1B1C1D1∩平面B1D1C＝ B1D1，所以B1D1∥l. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 1. 证明面面平行的常用方法 （1）利用面面平行的判定定理； （2）利用垂直于同一条直线的两个平面平行（l⊥α，l⊥β⇒α∥β）； （3）利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这 两个平面平行（α∥β，β∥γ⇒α∥γ）. 目 录 高中总复习·数学 2. 面面平行条件的应用 （1）两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行； （2）两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行. 提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的 两条直线是相交直线. 目 录 高中总复习·数学 如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证： （1）BE∥平面DMF； 证明： 如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交 点O，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的 中点. 连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO， 又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF， 所以BE∥平面DMF. 目 录 高中总复习·数学 （2）平面BDE∥平面MNG. 证明： 因为N，G分别为平行四边形ADEF的边 AD，EF的中点，所以DE∥NG， 又DE⊄平面MNG，NG⊂平面MNG， 所以DE∥平面MNG. 因为M为AB的中点，N为AD的中点， 所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN， 又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG， 所以BD∥平面MNG， 又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线， 所以平面BDE∥平面MNG. 目 录 高中总复习·数学 平行关系的综合应用（师生共研过关） 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1 上的点，且 ＝ ＝ . 目 录 高中总复习·数学 （1）求证：PQ∥平面A1D1DA； 解： 证明：连接CP并延长，与DA的延长线交于 M点，如图，连接MD1，因为四边形ABCD为正方形， 所以BC∥AD， 故△PBC∽△PDM， 所以 ＝ ＝ ，又因为 ＝ ＝ ， 所以 ＝ ＝ ，所以PQ∥MD1. 又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA， 故PQ∥平面A1D1DA. 目 录 高中总复习·数学 （2）若R是AB上的点， 的值为多少时，能使平面PQR∥平面 A1D1DA？请给出证明. 解： 当 的值为 时，能使平面PQR∥平面 A1D1DA，如图.证明如下：因为 ＝ ，即 ＝ ， 故 ＝ ，所以PR∥DA. 又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA， 所以PR∥平面A1D1DA， 又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面 PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 三种平行关系的转化 目 录 高中总复习·数学 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形. （1）求证：AB∥平面EFGH； 解： 证明：∵四边形EFGH为平行四边形， ∴EF∥HG. ∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD， ∴EF∥平面ABD. 又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB， ∴EF∥AB， 又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH. 目 录 高中总复习·数学 （2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH的周长l的取值范围. 解： 设EF＝x（0＜x＜4），由（1）知 EF∥AB， ∴ ＝ ＝ .同理可得CD∥FG，∴ ＝ ， 则 ＝ ＝ ＝1－ ，∴FG＝6－ x. ∴四边形EFGH的周长l＝2（x＋6－ x）＝12－x.又 ∵0＜x＜4，∴8＜l＜12， 故四边形EFGH的周长l的取值范围是（8，12）. 目 录 高中总复习·数学 PART 03 课时·跟踪检测 关键能力 | 课后练习 目 录 1. α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α与β平行的是 （　　） A. l∥α，l∥β B. α内不共线的三点到β的距离相等 C. l，m是平面α内的直线且l∥β，m∥β D. l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，m∥β，l∥β 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 22 23 24 25 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　对于A，α和β可平行也可相交；对于B，必须是α内不共线的 三点，且在β的同侧到β的距离相等，才可判定平面α与平面β平行，故 B错误；对于C，当l，m是平面α内的两条平行直线时，α与β可能相 交，故C错误；对于D，过直线l，m分别作平面与平面α，β相交，设交 线分别为l1，m1与l2，m2，由l∥α，l∥β得l∥l1，l∥l2，从而l1∥l2， 则l1∥β，同理m1∥β，因为l1与m1相交，所以α∥β.故选D. 目 录 高中总复习·数学 2. 设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是 “α∥β”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析： 　若m⊂α，m∥β，而α，β可能相交或平行，充分性不成 立；若α∥β，m⊂α，则m∥β，必要性成立，故“m∥β”是 “α∥β”的必要不充分条件.故选B. √ 目 录 高中总复习·数学 3. 若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行 的棱有（　　） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 1条或2条 解析： 　如图，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为 平行四边形，则EF∥GH. 因为EF⊄平面BCD，GH⊂平 面BCD，所以EF∥平面BCD. 又因为EF⊂平面ACD，平 面BCD∩平面ACD＝CD，所以EF∥CD. 又EF⊂平面 EFGH，CD⊄平面EFGH，所以CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以与平面α（平面EFGH）平行的棱有2条. √ 目 录 高中总复习·数学 4. 如图，P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC＝（　　） A. 2∶3 B. 2∶5 C. 4∶9 D. 4∶25 √ 解析： 　∵平面α∥平面ABC，∴A'C'∥AC，A'B'∥AB，B'C'∥BC， ∴S△A'B'C'∶S△ABC＝（PA'∶PA）2，又PA'∶AA'＝2∶3，∴PA'∶PA＝ 2∶5，∴S△A'B'C'∶S△ABC＝4∶25. 目 录 高中总复习·数学 5. 如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为 PC上一点，当PA∥平面EBF时， ＝（　　） A. B. C. D. √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平 面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以 ＝ .又 AD∥BC，E为AD的中点，所以 ＝ ＝ ，所以 ＝ . 目 录 高中总复习·数学 6. 〔多选〕如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一 些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不 同，有下面几个结论，其中正确的是（　　） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 水面EFGH所在四边形的面积为定值 C. 随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行 D. 当容器倾斜如图3所示时，AE·AH为定值 √ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　根据棱柱的特征（有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行），结合题图易知A正确；由 题图可知水面EFGH的边EF的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改 变，可知B错误；因为A1C1∥AC，AC⊂平面ABCD，A1C1⊄平面 ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，当平面EFGH不平行于平面ABCD时， A1C1不平行于水面所在平面，故C错误；当容器倾斜如题图3所示时，因为 水的体积是不变的，所以棱柱AEH-BFG的体积V为定值，又V＝ S△AEH·AB，高AB不变，所以S△AEH也不变，即AE·AH为定值，故D正确. 目 录 高中总复习·数学 7. 如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱 CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及 其内部运动，则M只需满足条件 ⁠ 时，就有MN∥平面B1BDD1（注：请填上你认为正确的 一个条件即可，不必考虑全部可能情况）. 点M与点H重合（点M只要在线段 FH上即可） 解析：连接HN，FH，FN（图略），则FH∥DD1，HN∥BD，且FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1. 目 录 高中总复习·数学 8. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E， F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G， 且PG＝λGD，则λ＝ ；若ED与AF相交于点H，则GH ＝ ⁠. 1 ​ 目 录 高中总复习·数学 解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，且AB＝CD. 又 E，F分别是AB，CD的中点，所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH， ∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH. 因为平面 AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝ PE，所以GH∥PE，则G是PD的中点，即PG＝GD，故λ＝1.因为PA ＝AB＝PB＝2，所以PE＝ ，GH＝ PE＝ . 目 录 高中总复习·数学 9. 如图，三棱锥P-ABC中，Q为PA的中点，O为AB中点，G为△AOC 的重心，求证：QG∥平面PBC. 目 录 高中总复习·数学 证明：法一 如图1，连接OG并延长交AC于M，连 接QM，QO. 由G为△AOC的重心，知M为AC中点， 由Q为PA中点，得QM∥PC. 又O为AB中点，得OM∥BC. 又因为QM，MO⊂平面OQM，PC，BC⊂平面PBC， QM∩MO＝M，PC∩BC＝C， 所以平面OQM∥平面PBC， 因为QG⊂平面OQM. 所以QG∥平面PBC. 目 录 高中总复习·数学 连接OG并延长交AC于点M，易知M为AC中点，连接AG并延长交BC于点N， 又O为AB中点，得OM∥BC， 根据平行线分线段对应成比例可知AG＝GN， 从而在△APN中，QG为中位线，QG∥PN， 因为QG⊄平面PBC，PN⊂平面PBC，所以QG∥平面PBC. 法二 如图2， 目 录 高中总复习·数学 10. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别 为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点，则下列叙述中正确的是 （　　） A. 直线BQ∥平面EFG B. 直线A1B∥平面EFG C. 平面APC∥平面EFG D. 平面A1BQ∥平面EFG √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　过点E，F，G的截面如图所示（H，I分别 为AA1，BC的中点），连接A1B，BQ，AP，PC，易知 BQ与平面EFG相交于点Q，故A错误；∵A1B∥HE， A1B⊄平面EFG，HE⊂平面EFG，∴A1B∥平面EFG， 故B正确；AP⊂平面ADD1A1，GH⊂平面ADD1A1，GH 与PA的延长线必相交，故C错误；易知平面A1BQ与平面EFG有交点Q，故D错误. 目 录 高中总复习·数学 11. 如图，四棱台ABCD-A'B'C'D'的底面为正方形，M为CC'的中点， 点N在线段AB上，AB＝4BN. 若MN∥平面ADD'A'，则此棱台上下底面 边长的比值为（　　） A. B. C. D. √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　设E为CD的中点，G为EC的中点，连接MG，NG，C'E，则 NG∥AD，则平面MNG∥平面ADD'A'.又平面DCC'D'分别交平面MNG 和平面ADD'A'于直线MG，DD'，则MG∥DD'.因为E为CD的中点，G 为EC的中点，M为CC'的中点，所以DD'∥C'E∥MG. 所以四边形 DEC'D'为平行四边形，棱台上下底面边长的比值为 . 目 录 高中总复习·数学 12. 〔多选〕如图所示是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正 方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点.在此几何体中， 给出下列结论，正确的是（　　） A. 平面EFGH∥平面ABCD B. 直线PA∥平面BDG C. 直线EF∥平面PBC D. 直线EF∥平面BDG √ √ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 作出立体图形如图所示.连接E，F，G， H四点构成平面EFGH. 对于A，因为E，F分别是PA， PD的中点，所以EF∥AD. 又EF⊄平面ABCD，AD⊂ 平面ABCD，所以EF∥平面ABCD. 同理，EH∥平面 ABCD. 又EF∩EH＝E，EF⊂平面EFGH，EH⊂平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故A项正确；对于B，连接AC，BD，DG，BG，设AC的中点为M，则M也是BD的中点，连接MG，则MG∥PA，又MG⊂平面BDG，PA⊄平面BDG，所以PA∥平面BDG，故B项正确；对于C，由A中的分析知EF∥AD，AD∥BC，所以EF∥BC，因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以直线EF∥平面PBC，故C项正确；对于D，根据C中的分析可知EF∥BC，再结合图形可得BC∩BD＝B，则直线EF与平面BDG不平行，故D项错误. 目 录 高中总复习·数学 13. （创新考法）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，点P在正方形ABB1A1内，若AB＝2，A1P∥平面AEF，则DP的最小值是 ⁠. ​ 解析：如图，分别取棱B1C1，BB1的中点M，N，连接 A1M，A1N，MN. 因为正方体中A1M∥AE， MN∥EF，所以平面A1MN内两相交直线A1M，MN与 平面AEF平行，所以平面A1MN∥平面AEF，则点P在 线段A1N上.过点A作AH⊥A1N，垂足为H，连接DH， 则DP≥DH，当且仅当P与H重合时，DP＝DH＝ ＝ . 目 录 高中总复习·数学 14. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点. （1）求证：平面MNQ∥平面PCD； 解： 证明：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中 点，所以NQ∥AB∥CD，MQ∥PC. 因为NQ⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以NQ∥平面PCD. 同理MQ∥平面PCD， 又NQ∩MQ＝Q，NQ，MQ⊂平面MNQ， 所以平面MNQ∥平面PCD. 目 录 高中总复习·数学 （2）在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 解： 线段PD上存在一点E，使得MN∥平面 ACE，且 ＝ .证明如下： 取PD的中点E，连接NE，CE，AE，因为N，E，M 分别是AP，PD，BC的中点，BC∥AD，BC＝AD， 所以NE∥MC，NE＝MC， 所以四边形MCEN是平行四边形，所以MN∥CE. 因为MN⊄平面ACE，CE⊂平面ACE，所以MN∥平面 ACE，此时 ＝ . 目 录 高中总复习·数学 15. （创新考查角度）（2024·河南二十名校联考）如图，梯形ABCD是圆台O1O2的轴截面，E，F分别在底面圆O1，O2的圆周上，EF为圆台的母线，∠DO1E＝60°，若CD＝4，AB＝8，G，H分别为O2B，BF的中 点，且异面直线AF与CH所成角的余弦值为 . （1）证明：平面CGH∥平面O1O2FE； 目 录 高中总复习·数学 解： 证明：由题意得O1C＝O2G，O1C∥O2G，所以四边形O1O2GC为平行四边形，所以O1O2∥CG， 而O1O2⊂平面O1O2FE，CG⊄平面O1O2FE， 所以CG∥平面O1O2FE. 因为G，H分别为O2B，BF的中点， 所以HG为△BO2F的中位线，所以HG∥O2F. 而O2F⊂平面O1O2FE，HG⊄平面O1O2FE， 所以HG∥平面O1O2FE， 又CG，HG⊂平面CGH，且CG∩HG＝G， 所以平面CGH∥平面O1O2FE. 目 录 高中总复习·数学 （2）求圆台O1O2的高. 解： 设圆台的高为h（h＞0），连接O2H和CO2， 因为点O2和H分别为AB和FB的中点， 所以O2H为△ABF的中位线，所以O2H∥AF， 则∠CHO2或其补角为异面直线AF与CH所成的角， 因为GH＝ O2F＝2， 则O2G＝GH， 由（1）知O1O2∥CG，则CG⊥平面ABF， 因为O2G，HG⊂平面ABF， 所以CG⊥O2G，CG⊥HG， 目 录 高中总复习·数学 由勾股定理可得CH＝CO2＝ ＝ . 由∠DO1E＝60°，EF为圆台的母线得∠AO2F＝60°， 又O2A＝O2F，则△AO2F为等边三角形， 则AF＝4，故O2H＝ AF＝2， 在△CO2H中，由余弦定理的推论得 cos ∠CHO2＝ ＝ ＝ ， 解得h＝6（舍负）. 故圆台O1O2的高为6. 目 录 高中总复习·数学 THANKS 演示完毕 感谢观看 $