第六章 考教衔接 无穷等比数列的探究与应用-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦无穷等比数列求和、极限及应用等核心考点，严格对接高考评价体系对数学运算、逻辑推理的考查要求。通过教材例题延伸与拓展探究，梳理出数列与不等式放缩、实际问题建模等高频考点，归纳求和证明、无限循环小数化分数等常考题型，体现备考的针对性。 课件亮点在于“教材溯源+跨情境应用”的实战设计，如通过例1“保留前项放缩后项”突破不等式证明易错点，结合例4自由落体运动总路程计算，培养学生用数学思维构建无穷数列模型的能力。助力学生掌握分类讨论、极限思想等答题技巧，为教师提供系统复习框架，提升冲刺阶段教学效率。

考教衔接　无穷等比数列的探究与应用 高中总复习·数学 　　随着高考改革的不断深入，高考也由单纯的知识考查转变为能力、素 养的全面考查，数列中的试题因其情境设置新颖，考查角度灵活等特点， 不仅体现了新课程标准的考查要求，更突出了对学生数学思维、探索能力 的考查，对于全面促进“教—考—学”的改革起到了关键作用. 一、挖掘教材 （人A选二P38例10）如图，正方形ABCD的边长为5 cm， 取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正 方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J， K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. 目 录 高中总复习·数学 （1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； 解：设正方形ABCD的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2， a3，…，an，…， 则a1＝25. 由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以ak＋1＝ ak. 因此，{an}是以25为首项， 为公比的等比数列. 设{an}的前n项和为Sn. 目 录 高中总复习·数学 （1）S10＝ ＝50×［1－（ ）10］＝ . 所以，前10个正方形的面积之和为 cm2. 目 录 高中总复习·数学 （2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和 将趋近于多少？ 解：当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积 和a1＋a2＋a3＋…＋an＋…. 而Sn＝ ＝50［1－（ ）n］， 随着n的无限增大，（ ）n将趋近于0，Sn将趋近于50. 所以，这些正方形的面积之和将趋近于50. 目 录 高中总复习·数学 继续探究 探究1　求和： ＋ ＋…＋ . 设Sn＝ ＋ ＋…＋ ， 则Sn＝ ＝1－（ ）n. 目 录 高中总复习·数学 探究2　求和： ＋ ＋…＋ ＋…. 由探究1知Sn＝ ＋ ＋…＋ ＝1－（ ）n， 当n→＋∞时，（ ）n→0，从而Sn→1， 即 ＋ ＋…＋ ＋…趋近于1. 目 录 高中总复习·数学 探究3　如图，在一个面积为1的正方形中，第一次将正方形分割成两个面 积相等的长方形，第二次把所得到的长方形分割得到两个面积为 的正方 形，依此方法一直继续下去，那么所有分得的正（长）方形的面积之和为 多少？ 设所求面积之和为S，则S＝ ＋ ＋…＋ ＋…， 由探究2知所有面积之和趋近于1. 目 录 高中总复习·数学 从图形中可以看出，所有面积之和就等于正方形的面积1. 反思感悟 　　一般地，数列{an}是公比为q（0＜q＜1）的等比数列， 其前n项和为Sn，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝ ，当n→＋∞时，qn→0，Sn→ ，即 Sn＝ . 目 录 高中总复习·数学 二、拓展探究 无穷等比数列在不等式放缩中的应用 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝ ，求证：Sn＜ . 证明：an＝ ＜ .当n＝1时，S1＝ ＜ 成立.当n≥2时，Sn＜ ＋ （ ＋ ＋…＋ ）＝ ＋ ＝ ＋ ，当n→＋∞时， →0且 ＞0.所以Sn＜ ＋ ＝ .综上，Sn＜ . 目 录 高中总复习·数学 反思感悟 　　等比数列放缩过程要适度，为避免放缩过大，可保留数列的前n项不 变，只放缩后边的项. 目 录 高中总复习·数学 无穷等比数列在无限循环小数化为分数 中的应用 阅读下列材料：有理数都能表示成 （p，q∈Z，且q≠0，p与q互 质）的形式，从而有理数集Q＝{ ｜p，q∈Z，q≠0，p与q互质}，任 何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或者 无限循环小数也可以化为 的形式，从而是有理数.例如：0. ＝0.3＋ 0.03＋0.003＋…＝ ＝ .则循环小数1. 化成分数为（　　） A. B. C. D. √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　1. ＝1＋0.27＋0.002 7＋0.000 027＋…，设Sn＝0.27×100 ＋0.27×10－2＋…＋0.27×10－2n＋2，则Sn＝ ，当n→＋ ∞时10－2n→0.Sn→ ＝ ，所以当n→＋∞时，1. ＝Sn＋1＝ ， 故选D. 目 录 高中总复习·数学 反思感悟 　　根据有限小数或者无限循环小数都可以化为 的形式，即可把循环小 数1. 用等比数列前n项和表示出来，进而运用公式即可化成分数. 目 录 高中总复习·数学 无穷等比数列在“分形几何学”求面积 中的应用 雪花曲线是在1906年由瑞典数学家科赫第一次作出. 如图所示，由等边三角形ABC开始，然后把三角形的每 条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等 边三角形（并去掉与原三角形叠合的边）；接着对新图 形的每条边再继续上述操作，即在每条边三等分后的中段，向外画新的 尖形.不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线.雪花曲线的周长可以无限 长，然而围成的面积却是有限的.设初始三角形ABC的边长为a，不断重复 上述操作，雪花曲线围成的面积趋于的定值为（　　） A. a2 B. a2 C. a2 D. a2 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由题意知，初始三角形的面积S0＝ a2，第一次操作后，增加 了3个边长为 的等边三角形，此时面积S1＝ a2＋3× （ ）2；第二次 操作后，增加了3×4个边长为 的等边三角形，此时面积S2＝ a2＋ 3× （ ）2＋3×4× （ ）2；…； 目 录 高中总复习·数学 第n次操作后，增加了3×4n－1个边长为 的等边三角形，此时面积Sn＝ a2＋3× （ ）2＋3×4× （ ）2＋…＋3×4n－1× （ ）2＝ a2 （1＋ ＋ ＋…＋ ）＝ a2［1＋ ］＝ a2［ － ·（ ） n］，当n→＋∞时，（ ）n→0，Sn→ a2× ＝ a2.故选A. 目 录 高中总复习·数学 反思感悟 　　依次计算得到第n次操作后面积Sn＝ a2＋3× （ ）2＋3×4× （ ）2＋…＋3×4n－1× （ ）2，按照等比数列求和公式得到Sn＝ a2［ － ·（ ）n］，再由n→＋∞时，（ ）n→0得到结果. 目 录 高中总复习·数学 无穷等比数列在自由落体运动中的应用 一个弹性小球从10米处自由落下，着地后反弹到原来高度的 处，再 自由落下，又弹回到上一次高度的 处，假设这个小球能无限次反弹，则 这个小球在这次运动中所经过的总路程为（　　） A. 50 B. 80 C. 90 D. 100 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由题意知小球第n次的路程为2×10× ，则这个小球在这 次运动中所经过的总路程为Sn＝2×10＋2×10× ＋2×10×（ ）2＋ 2×10×（ ）3＋…＋2×10×（ ）n－1－10＝2× －10＝ 100［1－（ ）n］－10，假设这个小球能无限次反弹，即当n→＋∞时， （ ）n→0，Sn→90.故选C. 目 录 高中总复习·数学 反思感悟 　　小球在运动中所经过的总路程可以用无穷数列{2×10×（ ）n}的前 n项和表示出来，再利用极限思想即可求出结果. 目 录 高中总复习·数学 无穷等比数列在解析几何中的应用 已知直线l：y＝－x＋1与x轴交于点A，将线段OA的n等分点从左 至右依次记为P1，P2，…，Pn－1，过这些分点分别作x轴的垂线，与直线 l的交点依次记为Q1，Q2，…，Qn－1，从而得到n－1个直角三角形， △Q1P1O，△Q2P2P1，…，△Qn－1Pn－1Pn－2，若这些三角形的面积之和为 Sn，则当n→＋∞时，Sn的定值为 ⁠. 　 目 录 高中总复习·数学 解析：根据题意，各个小直角三角形的底边长为 ， 第i（i＝1，2，3，…，n－1）个三角形的高QiPi＝ 1－ ，面积为 （1－ ），所以面积之和Sn＝ （1－ ＋1－ ＋1－ ＋…＋1－ ）＝ （n－1－ － － －…－ ）＝ ［（n－1）－（ ）］＝ （ － ）＝ － ，当n→＋∞时， →0，Sn→ . 目 录 高中总复习·数学 反思感悟 　　根据所给条件，结合几何关系，先求第i个小直角三角形的面积，列 式求和，最后求极限. 三、回顾反思 　　通过无穷数列在各知识领域中的应用，启发学生分析、思考问题，拓 展知识视野，增强获取知识的能力，激发创新思维，提升数学关键能力. 目 录 高中总复习·数学 THANKS 演示完毕 感谢观看 $