第六章 第四节 数列的通项公式-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用课件

第四节　数列的通项公式 高中总复习·数学 课标要求 1. 掌握等差、等比数列的通项公式. 2. 掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求通项公式的方法. 目 录 CONTENTS 考点·分类突破 01. 课时·跟踪检测 02. PART 01 考点·分类突破 精选考点 | 课堂演练 目 录 累加法求通项公式（师生共研过关） 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，a2＝3，且Sn＋1＋Sn－1＝2n ＋2Sn（n≥2），则数列{an}的通项公式an＝（　　） A. 1－2n B. 2n C. 2n－1 D. 2 √ 解析： 　由Sn＋1＋Sn－1＝2n＋2Sn可得Sn＋1－Sn＝2n＋Sn－Sn－1，即an＋1 －an＝2n（n≥2）.因为a2－a1＝21，所以an＋1－an＝2n（n∈N*），于 是an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2n－2，…，a2－a1＝21，累加得an－a1 ＝21＋22＋…＋2n－1，故an＝1＋21＋…＋2n－1＝ ＝2n－1. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 　　如果数列{an}的递推公式满足an＋1－an＝f（n）的形式，且f（n） 可求和，那么就可以运用累加法an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋ （an－2－an－3）＋…＋（a2－a1）＋a1（n≥2），并验证a1，求出数列 {an}的通项公式. 目 录 高中总复习·数学 已知数列{an}中，a1＝1， － ＝n＋1，则数列{an}的通项公式an ＝ ⁠. 解析：由题意得， － ＝2， － ＝3， － ＝4，…， － ＝ n（n≥2），累加得， － ＝2＋3＋4＋…＋n，又a1＝1，所以 ＝1 ＋2＋3＋4＋…＋n＝ ，所以an＝ . 　 目 录 高中总复习·数学 累乘法求通项公式（师生共研过关） 已知数列{an}满足a1＝ ，an＋1＝ an（n∈N*），则an＝ （　　） A. B. C. n D. 4n √ 解析： 　由a1＝ ，an＋1＝ an，得 ＝ ，即 ＝ ， 因此当n≥2时，累乘得an＝a1· · ·…· ＝ ×（ × ）×（ × ） ×…×（ × ）＝ .又a1＝ 也满足上式，故an＝ . 目 录 高中总复习·数学 解题技法 　　如果数列{an}的递推公式满足 ＝f（n）（an≠0）的形式，且f （n）可求积，那么就可以运用累乘法an＝ · · ·…· ·a1 （n≥2），并验证a1，求出数列{an}的通项公式. 目 录 高中总复习·数学 数列{an}中，n（an＋1－an）＝an（n∈N*），且a3＝π，则an＝ ⁠. 解析：由题意可知 ＝ ⇒ ＝ ⇒ ＝ （n≥2），显然 有 ＝2， ＝ ⇒a2＝ ，a1＝ ，由累乘法可得 × × × ×…× ＝ × × × ×…× ，则 ＝n，an＝ （n≥2），当 n＝1时，a1＝ 适合上式，所以an＝ （n∈N*）. 　 目 录 高中总复习·数学 构造法求通项公式（定向精析突破） 考向1　形如an＋1＝can＋d（c≠0，d≠0且c≠1）型 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1 （n∈N*），则通项公式an＝（　　） A. 2n B. 2n－1 C. 2n＋1 D. 2n √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　因为Sn＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＝2Sn＋1，因此Sn＋1＋1＝2（Sn ＋1）.因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等 比数列.所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1， a1＝1也满足此式，所以an＝2n－1（n∈N*）. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 　　求解递推公式形如an＋1＝can＋d（c≠0，d≠0且c≠1）的数列{an} 的通项公式的关键：一是利用待定系数法构造an＋1＋λ＝c（an＋λ）的 形式；二是证明{an＋λ}为等比数列（其中 λ＝ ）. 目 录 高中总复习·数学 考向2　形如an＋1＝can＋f（n）（c≠0）型 在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝6an＋3n，则an＝ ⁠ ⁠. 解析：将an＋1＝6an＋3n的两边同乘以 ，得 ＝2· ＋ ，令bn＝ ，则bn＋1＝2bn＋ ，∴bn＋1＋ ＝2（bn＋ ）.又b1＋ ＝ ，∴bn＋ ＝ ·2n－1，∴bn＝ － ，则an＝ －3n－1. －3n－ 1　 目 录 高中总复习·数学 解题技法 an＋1＝can＋f（n）（c≠0）型数列的求解策略 （2）当f（n）＝rpn（p，r≠0）时，即an＋1＝can＋rpn：①将原递推式 化为an＋1＋λpn＋1＝c（an＋λpn），比较系数，用待定系数法求得λ； ②将原递推公式两边同时除以pn＋1，得 ＝ · ＋ ，引入辅助数列 {bn}（其中bn＝ ），得bn＋1＝ bn＋ ，再用待定系数法求解. （1）当f（n）＝an＋b（a≠0）时，即an＋1＝can＋an＋b，可利用待 定系数法构造等比数列，即令an＋1＋x（n＋1）＋y＝c（an＋xn＋y）， 与已知递推式比较，解出x，y，从而转化为{an＋xn＋y}是公比为c的等 比数列，进而求解； 目 录 高中总复习·数学 考向3　形如an＋1＝ （r，p，c为常数，r＞0，p，c，an≠0）型 在数列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝ ，n∈N*，则通项公式bn＝ （　　） A. B. C. D. √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　递推式bn＋1＝ 两边同时取倒数，得 ＝ ，即 ＝2· ＋3，因此 ＋3＝2（ ＋3），又 ＋3＝2，故{ ＋3}是以2为 首项，2为公比的等比数列，所以 ＋3＝2n，可得bn＝ . 目 录 高中总复习·数学 解题技法 　　形如an＋1＝ （r，p，c为常数，r＞0，p，c，an≠0）型数列 的求解方法是等式两边同时取倒数变形构造出线性递推式 ＝ ＋B （A，B是常数），进而求解. 目 录 高中总复习·数学 1. 在数列{an}中，a1＝1，an＝ an－1＋2（n≥2），则数列{an}的通项公 式为 ⁠. an＝－3（ ）n－1＋4　 目 录 高中总复习·数学 解析：法一 由an＝ an－1＋2（n≥2）得an－1＝ an－2＋2（n≥3），所以 an－an－1＝ （an－1－an－2）（n≥3）.因为a1＝1，a2＝ a1＋2＝ ，所 以a2－a1＝ ，所以an－an－1＝ （ ）n－2（n≥2），所以由累加法可得 an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝ · ＋1＝－3（ ）n－1＋4（n≥2），又a1＝1满足上式，所以数列{an}的通项 公式为an＝－3（ ）n－1＋4. 目 录 高中总复习·数学 法二 设an＋λ＝ （an－1＋λ），即an＝ an－1－ λ，所以－ λ＝2，即 λ＝－4，所以an－4＝ （an－1－4）.又a1－4＝－3，所以an－4＝（－3） （ ）n－1，故数列{an}的通项公式为an＝－3（ ）n－1＋4. 目 录 高中总复习·数学 2. 数列{an}满足an＋1＝5an＋3×5n＋1，a1＝6，则数列{an}的通项公式 为 ⁠. 解析：因为an＋1＝5an＋3×5n＋1，所以 ＝ ＋3，即 － ＝3，所 以{ }是等差数列，而 ＝ ，所以 ＝ ＋3（n－1）＝3n－ ，所以 an＝（3n－ ）·5n. an＝（3n－ ）·5n　 目 录 高中总复习·数学 3. 已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2（n≥3），则 这个数列的通项公式为 ⁠. 解析：∵an＝2an－1＋3an－2，∴an＋an－1＝3（an－1＋an－2），又a1＋a2＝ 7，∴{an＋an－1}是首项为7，公比为3的等比数列，则an＋an－1＝7×3n－2 ①，又an－3an－1＝－（an－1－3an－2），a2－3a1＝－13，∴{an－3an－1} 是首项为－13，公比为－1的等比数列，则an－3an－1＝（－13）·（－1）n －2②，由①×3＋②得，4an＝7×3n－1＋13·（－1）n－1，∴an＝ ×3n－1 ＋ （－1）n－1. an＝ ×3n－1＋ （－1）n－1　 目 录 高中总复习·数学 PART 02 课时·跟踪检测 关键能力 | 课后练习 目 录 1. 数列0.4，0.44，0.444，0.444 4，…的一个通项公式是an＝（　　） A. （10n－1） B. （10n－1） C. （1－ ） D. （10n－1） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 22 23 24 25 目 录 高中总复习·数学 解析： 　因为数列9，99，999，9 999，…的一个通项公式为10n－1，则 数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的一个通项公式为 （10n－1）＝1 － ，而数列0.4，0.44，0.444，0.444 4，…的每一项都是上面数列对 应项的 ，所以数列0.4，0.44，0.444，0.444 4，…的一个通项公式为an ＝ （1－ ），故选C. 目 录 高中总复习·数学 2. 在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋ ，则通项公式an＝ （　　） A. 4－ B. 4＋ C. 4＋n D. 4－n 解析： 　∵an＋1－an＝ ＝ － ，∴当n≥2时，an－an－1＝ － ，an－1－an－2＝ － ，…，a2－a1＝1－ ，∴以上各式相加 得an－a1＝1－ ，∴an＝4－ ，a1＝3适合上式，∴an＝4－ . √ 目 录 高中总复习·数学 3. 已知数列{an}满足：a1＝1，且an＋1－2an＝n－1，其中n∈N*，则数列 {an}的通项公式为（　　） A. an＝2n－n B. an＝2n＋n C. an＝3n－1 D. an＝3n＋1 解析： 　由题设，an＋1＋（n＋1）＝2（an＋n），而a1＋1＝2，∴{an ＋n}是首项、公比均为2的等比数列，故an＋n＝2n，即an＝2n－n. √ 目 录 高中总复习·数学 4. 在数列{an}中，若a1＝3，an＋1＝ ，则an＝（　　） A. 2n－1 B. 3n－1 C. D. 解析： 　由a1＝3，an＋1＝ 知an＞0，对an＋1＝ 两边取以3为底的对 数得，log3an＋1＝2log3an，则数列{log3an}是以log3a1＝1为首项，2为公比 的等比数列，则log3an＝1·2n－1＝2n－1，即an＝ . √ 目 录 高中总复习·数学 5. 在数列{an}中，a1＝5，且满足 －2＝ ，则数列{an}的通项公 式an＝（　　） A. 2n－3 B. 2n－7 C. （2n－3）（2n－7） D. 2n－5 解析： 　因为 －2＝ ，所以 － ＝2，又 ＝－1，所以 数列{ }是以－1为首项，公差为2的等差数列，所以 ＝－1＋2（n －1）＝2n－3，所以an＝（2n－3）（2n－7）. √ 目 录 高中总复习·数学 6. 〔多选〕已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，且an＋1＝3Sn＋2 （n∈N*），则下列说法正确的有（　　） A. a1＝ B. S4＝ C. {an}是等比数列 D. {Sn＋ }是等比数列 √ √ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由题意，数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，且an＋1＝3Sn ＋2，则a2＝3S1＋2＝3a1＋2，所以a1＝ ，故A正确；因为an＋1＝3Sn＋ 2　①，所以当n≥2时，an＝3Sn－1＋2　②，①－②得，an＋1－an＝ 3an，即an＋1＝4an，当n＝1时，a1＝ ，不满足a2＝4a1，故数列{an}不 是等比数列，故C错误；当n≥2时，an＋1＝4an，则a3＝4a2＝12，a4＝ 4a3＝48，故S4＝ ＋3＋12＋48＝ ，故B正确； 目 录 高中总复习·数学 由an＋1＝3Sn＋2，得Sn＋1－Sn＝3Sn＋2，所以Sn＋1＝4Sn＋2，令Sn＋1＋ λ＝4（Sn＋λ），则Sn＋1＝4Sn＋3λ，所以3λ＝2，即λ＝ ，所以Sn ＋1＋ ＝4（Sn＋ ），即 ＝4，故{Sn＋ }是首项为S1＋ ＝a1＋ ＝1，公比为4的等比数列，故D正确. 目 录 高中总复习·数学 7. 已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝ ⁠. 解析：因为 ＝2n，所以当n≥2时， ＝2n－1， ＝2n－2，…， ＝22， ＝2，以上各式累乘得an＝ · ·…· · ·a1＝2n－1·2n－ 2·…·22·2·2＝21＋2＋3＋…＋（n－1）·2＝ ＝ ，且a1＝2也适合 上式，所以an＝ . 　 目 录 高中总复习·数学 8. 已知数列{an}中，a2＝a（a为非零常数），其前n项和Sn满足：Sn＝ （n∈N*），数列{an}的通项公式为 ⁠. 解析：由已知得a1＝S1＝ ＝0，∴Sn＝ ，则有Sn＋1＝ ，∴2（Sn＋1－Sn）＝（n＋1）an＋1－nan，即（n－1）an＋1 ＝nan（n∈N*），∴nan＋2＝（n＋1）an＋1，两式相减得2an＋1＝an＋2＋ an（n∈N*），即an＋2－an＋1＝an＋1－an（n∈N*），故数列{an}是等差 数列.又a1＝0，a2＝a，∴公差d＝a，an＝（n－1）a. an＝（n－1）a　 目 录 高中总复习·数学 9. 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足 －（n2＋n－ 3）Sn－3（n2＋n）＝0，n∈N*. （1）求a1的值； 解： 令n＝1，得 －（－1）S1－3×2＝0， 即 ＋S1－6＝0，∴（S1＋3）（S1－2）＝0. 又S1＞0，∴S1＝2，即a1＝2. 目 录 高中总复习·数学 （2）求数列{an}的通项公式. 解： 由 －（n2＋n－3）Sn－3（n2＋n）＝0，得（Sn＋3）·[Sn－ （n2＋n）]＝0. ∵an＞0（n∈N*），∴Sn＞0，∴Sn＋3＞0，∴Sn＝n2＋n， 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[（n－1）2＋（n－1）]＝2n. 又a1＝2满足上式，∴an＝2n（n∈N*）. 目 录 高中总复习·数学 10. 〔多选〕已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ （n∈N*），则 （　　） A. { }为等比数列 B. {an}的通项公式为an＝ C. {an}为单调递减数列 D. { }的前n项和Tn＝ √ √ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　对于选项A，因为 ＝ ＝ ＋3，则 － ＝3， 所以数列{ }是以 ＝1为首项，3为公差的等差数列，故选项A错误；对 于选项B， ＝1＋3（n－1）＝3n－2，即an＝ ，故选项B正确；对 于选项C，根据函数y＝ 在[1，＋∞）上单调递减，又an＝ ， n∈N*，则数列{an}为单调递减数列，故选项C正确；对于选项D，数列 { }的前n项和Tn＝n×1＋ ×3＝ ，故选项D正确，故选 B、C、D. 目 录 高中总复习·数学 11. 若x＝1是函数f（x）＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1（n∈N*）的极值 点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝ ⁠. 解析：f'（x）＝4an＋1x3－3anx2－an＋2，∴f'（1）＝4an＋1－3an－an＋2＝ 0，即an＋2－an＋1＝3（an＋1－an），∴数列{an＋1－an}是首项为2，公比 为3的等比数列，∴an＋1－an＝2×3n－1，则an＝an－an－1＋an－1－an－2 ＋…＋a2－a1＋a1＝2×3n－2＋…＋2×30＋1＝3n－1. 3n－1　 目 录 高中总复习·数学 12. 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝（－1）nan－ ，n∈N*，则数列 {an}的通项公式为 ⁠. an＝ 　 目 录 高中总复习·数学 解析：因为Sn＝（－1）nan－ ，n∈N*，所以当n为奇数时，Sn＝－an － ，Sn＋1＝an＋1－ ，两式相减得an＋1＝an＋1＋an＋ ，所以an＝ － （n为奇数）；当n为偶数时，Sn＝an－ ，Sn＋1＝－an＋1－ ，两式相减可得an＋1＝－an＋1－an＋ ，即2an＋1＝－an＋ ，所 以2×（－ ）＝－an＋ ，解得an＝ .因此，所求数列{an}的通项 公式为an＝ 目 录 高中总复习·数学 13. 已知f1（x）＝ ，fn＋1（x）＝f1[fn（x）]，an＝ ， n∈N*，数列{an}的通项公式an＝ ⁠. 解析：an＋1＝ ＝ ＝ ＝ ＝－ × ＝－ an，所以数列{an}是以－ 为公比的等比数列，f1（0） ＝ ＝2，a1＝ ＝ ，an＝ （－ ）n－1＝（－ ）n＋1. （－ ）n＋1　 目 录 高中总复习·数学 14. （2025·八省联考）已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝ . （1）证明：数列{1－ }为等比数列； 解： 证明：由an＋1＝ 得 ＝ ＝ ＋ ， 则1－ ＝ － ＝ （1－ ）， 所以数列{1－ }是首项为1－ ＝ ，公比为 的等比数列. 目 录 高中总复习·数学 （2）求{an}的通项公式； 解： 由（1）得1－ ＝ ×（ ）n－1＝（ ）n， 即an＝ ＝ . 目 录 高中总复习·数学 （3）令bn＝ ，证明：bn＜bn＋1＜1. 解：证明：法一 由（2）知，bn＝ ＝ · ＝ ＝ ＝1－ ， 因为bn－bn＋1＝（1－ ）－（1－ ） ＝－ ＜0， 所以bn＜bn＋1，又n∈N*，所以bn＋1＝1－ ＜1， 所以bn＜bn＋1＜1. 目 录 高中总复习·数学 法二 由（2）知，bn＝ ＝ · ＝ ＝ ＝ ＝1－ . 令f（n）＝3·（ ）n－2，n∈[1，＋∞）， 因为f（n）＝3·（ ）n－2在n∈[1，＋∞）上单调递增， 则f（n）≥f（1）＝3× －2＝ ＞0， 从而数列{bn}在n∈N*上单调递增，且bn＜1， 故得bn＜bn＋1＜1. 目 录 高中总复习·数学 15. （新定义）对于一个给定的数列{an}，令bn＝ ，则数列{bn}称为 数列{an}的一阶商数列，再令cn＝ ，则数列{cn}是数列{an}的二阶商 数列.已知数列{An}为1，2，8，64，1 024，…，且它的二阶商数列是常数 列，则An＝（　　） A. 2n（n－1） B. （ ）n（n＋1） C. D. 2n＋（n－1） √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　设数列{An}的一阶商数列为{bn}，二阶商数列为{cn}，则b1＝ ＝2，b2＝ ＝4，c1＝ ＝2.又数列{An}的二阶商数列{cn}是常数列，所 以cn＝c1＝2，则{bn}满足 ＝cn＝2，所以数列{bn}是以2为首项，2为 公比的等比数列，则bn＝2·2n－1＝2n，所以 ＝2n.当n≥2时， ＝ 2n－1， ＝2n－2， ＝2n－3，…， ＝22， ＝21，将这n－1个式子 相乘可得 ＝2n－1·2n－2·2n－3·…·22×21＝2（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋…＋2＋1＝ ＝ （n≥2），又A1＝1，所以An＝ ·A1 ＝ .故选C. 目 录 高中总复习·数学 THANKS 演示完毕 感谢观看 $